高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.1.5空間向量的數(shù)量積筆記省公開課一等獎(jiǎng)新名師獲獎(jiǎng)?wù)n

空間向量的數(shù)量積1/44

依據(jù)功計(jì)算,我們定義了平面向量數(shù)量積.W=|F||S|cos

類似地,我們能夠定義空間向量數(shù)量積運(yùn)算:這種運(yùn)算非常有用,它能處理相關(guān)垂直、長(zhǎng)度和角度等問題.一、問題情境2/441、兩個(gè)向量夾角:OAB（1）兩個(gè)向量夾角取值范圍是:（2）（3）（4）二、知識(shí)建構(gòu)3/442、兩個(gè)向量數(shù)量積（1）兩個(gè)向量數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.（2）要求:零向量與任意向量數(shù)量積等于零.注意：4/44

性質(zhì)（1）是證實(shí)兩向量垂直依據(jù)；性質(zhì)（2）是求向量長(zhǎng)度（模）依據(jù)；性質(zhì)（3）是求向量夾角依據(jù)．3、空間兩個(gè)向量數(shù)量積性質(zhì)（3）空間兩個(gè)非零向量夾角滿足：5/44４、空間向量數(shù)量積滿足運(yùn)算律思索：?jiǎn)幔?2)對(duì)于向量，成立嗎？6/44.212121zzyyxx++

5、空間向量數(shù)量積坐標(biāo)表示問題2令,能夠得出怎樣結(jié)果?模長(zhǎng)公式問題1

平面向量數(shù)量積能夠用坐標(biāo)表示，空間向量數(shù)量積能用坐標(biāo)表示嗎？怎樣表示呢？7/44問題3若,則能得出怎樣結(jié)論?向量垂直充要條件坐標(biāo)表示問題4兩空間向量夾角余弦值能用坐標(biāo)表示嗎?8/44

例1、已知空間向量滿足試求:

變式向量

求:三、數(shù)學(xué)應(yīng)用9/44

例2、空間四邊形ABCD中,每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)度都為1,M、N分別是AB、AD中點(diǎn)，計(jì)算：MN·DC．變式1

空間四邊形OABC中,且OA=OB=OC，M、N分別是OA、BC中點(diǎn)，G是MN中點(diǎn)，求．10/44

變式２已知：在空間四邊形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求證：OC⊥AB．ABCO11/44

例3、

已知m,n是平面

內(nèi)兩條相交直線，直線l滿足：l⊥m，l⊥n，求證：l⊥.gmn

lnlgm12/44

證實(shí)：在

內(nèi)作不與m、n重合任一條直線g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m與n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使：

g=xm+yn,∴

l·g=xl·m+yl·n，∵l·m=0,l·n=0，∴l(xiāng)·g=0.∴l(xiāng)⊥g，∴l(xiāng)⊥g．這就證實(shí)了直線l垂直于平面

內(nèi)任一條直線，所以l⊥．13/44解：由，可知.由，知.

例４、如圖，已知線段在平面內(nèi)，線段，，，，假如，求、之間距離．^ACa14/44例5已知在平行六面體中，,,求對(duì)角線長(zhǎng)．解：15/44例6

已知、，求：（1）線段中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度；

解：設(shè)是中點(diǎn)，則∴點(diǎn)坐標(biāo)是.16/44例6

已知、，求：（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積．

17/44（2）到兩點(diǎn)距離相等點(diǎn)坐標(biāo)滿足條件．解：點(diǎn)到距離相等，則化簡(jiǎn)整理，得即到兩點(diǎn)距離相等點(diǎn)坐標(biāo)滿足條件是18/44

例7已知點(diǎn)A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),求滿足以下條件點(diǎn)D坐標(biāo):

(1)DB∥AC且DC∥AB;

(2)DBAC,DCAB且AD=BC．

變式已知A(1,-1,,7),B(3,-2,5),C(2,-3,9),求:三角形ABC各邊之長(zhǎng)和各內(nèi)角大?。?9/44

解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則：

例8如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E１、F１分別是A1B1、C1D1一個(gè)四等分點(diǎn)，求BE1與DF1所成角余弦值．20/4421/44變式１C1B1A1D1DABCMP如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)Q是AD中點(diǎn)，點(diǎn)P是C1B1中點(diǎn)，求A1P與DQ所成角余弦值．22/44所求余弦值為．23/44FEC1B1A1D1DABC變式２如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是BB1、D1B1一個(gè)中點(diǎn)，求證:

EF與DA1相互垂直．24/441.已知線段、在平面內(nèi)，，線段，假如，求、之間距離.解：∵四、鞏固練習(xí)25/442.已知空間四邊形每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于，點(diǎn)分別是邊中點(diǎn)．求證：．證實(shí)：因?yàn)樗酝恚?6/443.已知空間四邊形，求證：．證實(shí)：∵27/444.如圖，已知正方體，和相交于點(diǎn)，連結(jié)，求證：．28/44aAOP29/446.已知空間四邊形每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于,點(diǎn)分別是中點(diǎn)，求以下向量數(shù)量積：30/4431/4432/44ADFCBE33/4434/4435/4436/4437/4438/4439/4416.已知三角形ABC是正三角形，PA與平面ABC垂直，求PB與AC所成角大?。?0/44

5、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是D1D、BD中點(diǎn)，G在棱CD上，且．(2)求BE與C1F所成角