中考數(shù)學(xué)中折疊問題

中考數(shù)學(xué)中的折疊問題探究中考數(shù)學(xué)中，經(jīng)常通過折疊操作類問題考查學(xué)生的數(shù)、形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法和空間想象能力，題目靈活多變，趣味性強(qiáng)，更為引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活相聯(lián)系中激發(fā)興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂。幾何圖形的折疊問題，實(shí)質(zhì)上是軸對(duì)稱問題。解答這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，找準(zhǔn)折疊前后的兩個(gè)全等圖形。確定其中對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)線段相等。折痕平分線段、平分角等條件。下面分幾個(gè)類型來探索這類問題的解答思路。

一、折疊求角度類

此類問題往往利用折疊中的對(duì)應(yīng)角相等，再通過鄰補(bǔ)角、平行線性質(zhì)等得到各角度的數(shù)量關(guān)系。此類問題通常難度較低。

例1.將五邊形abcde紙片按如圖1的方式折疊，折痕為af，點(diǎn)e，d分別落在e′，d′。已知∠afc=76°，則∠cfd′等于（）

a.31°b.28°c.24°d.22°

分析：根據(jù)題意，由鄰補(bǔ)角的關(guān)系求得∠afd=∠afd′=180°-76°=104°，則∠cfd′=104°-76°=28°，故選b。

例2.如圖2，把一個(gè)長方形紙片沿ef折疊后，點(diǎn)d、c分別落在d′、c′的位置，若∠efb=65°，則∠aed′等于（）

a.50°b.55°c.60°d.65°

二、折疊求線段類

此類問題多通過折疊中的全等圖形，確定對(duì)應(yīng)線段的等量關(guān)系，再運(yùn)用勾股定理或相似比尋求線段間數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建方程，從而求解。方程建模思想的應(yīng)用是解決此類問題的主要思路。

三、折疊求坐標(biāo)類

此類題目中勾股定理與三角函數(shù)的綜合運(yùn)用較多。求坐標(biāo)一般要通過求線段長來解決。但有些題目中適當(dāng)運(yùn)用三角函數(shù)比運(yùn)用相似圖形解答會(huì)更便捷。

四、折疊求面積類

此類問題的解答一般要借助線段長的求解，但問題的關(guān)鍵是確定所求圖形的形狀，再求面積；若圖形是非規(guī)則圖形，則要通過其他規(guī)則圖形的面積關(guān)系轉(zhuǎn)化求解。

例5.如圖5a，abcd是一矩形紙片，ab=6cm，ad=8cm，e是ad上一點(diǎn)，且ae=6cm。操作：（1）將ab向ae折過去，使ab與ae重合，得折痕af，如圖b；（2）將△afb以bf為折痕向右折過去，得圖c。則△gfc的面積是（）

分析：本題中通過折疊可知△gfc是等腰直角三角形，根據(jù)已知條件求出線段cf的長為2cm，即可得到△gfc的面積為2cm2。故選b。

五、折疊求圖形類

此類題目多由折疊中的角、線段間關(guān)系判斷特殊三角形、多邊形。

例6.矩形abcd中，ad=5，ab=3，將矩形abcd沿某直線折疊，使點(diǎn)a的對(duì)應(yīng)點(diǎn)a′落在線段bc上，再打開得到折痕ef。

（1）當(dāng)a′與b重合時(shí)（如圖6a），ef=；當(dāng)折痕ef過點(diǎn)d時(shí)（如圖6b），求線段ef的長；

（2）觀察圖7a和圖7b，設(shè)ba′=x，①當(dāng)x的取值范圍是時(shí)，四邊形aea′f是菱形；②在①的條件下，利用圖7b證明四邊形aea′f是菱形。

六、折疊求規(guī)律類

例7.小宇同學(xué)在一次手工制作活動(dòng)中，先把一張矩形紙片按圖（1）的方式進(jìn)行折疊，使折痕的右側(cè)部分比左側(cè)部分長1cm，展開后再按圖（2）的方式再折疊一次，使第二次折痕的左側(cè)部分比右側(cè)部分長1cm，展開后得到圖（3），紙片上形成的兩條折痕之間的距離是cm。

分析與解答：本題考查了通過動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)規(guī)律、求解問題的能力。由于兩次都不是對(duì)折，但兩次的折痕到對(duì)折的折痕距離都是0.5cm，所以兩條折痕之間的距離是1cm。也可以借助實(shí)驗(yàn)操作得兩條折痕之間的距離是1cm。

折疊問題題型多樣，變化靈活，從考查學(xué)生空間想象能力與動(dòng)手操作能力的實(shí)踐操作題，到直接運(yùn)用折疊相關(guān)性質(zhì)的說理計(jì)算題，發(fā)展到基于折疊操作的綜合題，甚至是壓軸題。中考復(fù)習(xí)中，抓其軸對(duì)稱實(shí)質(zhì)，究其不變之根本，歸納總結(jié)每個(gè)類型的題目，構(gòu)建解題模型，結(jié)合直角三角形、相似形、銳角三角函數(shù)等知識(shí)來解決有關(guān)折疊問題，可以使得解題思路更加清晰，解題步驟更加簡潔。學(xué)生