新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.3第1課時(shí)柱體錐體臺(tái)體的表面積與體積課件

簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積第1課時(shí)

柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積公式的推導(dǎo)過(guò)程.2.掌握柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積公式,并能夠運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.用類(lèi)比、聯(lián)系的運(yùn)動(dòng)變化思想推導(dǎo)公式,感受數(shù)學(xué)運(yùn)算與幾何直觀(guān)的過(guò)程,感受柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積公式在生產(chǎn)活動(dòng)中的運(yùn)用.自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、圓柱、圓錐的表面積【問(wèn)題思考】1.如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,求它們的表面積?提示:它們的表面積等于側(cè)面積與底面積的和,利用它們的側(cè)面展開(kāi)圖來(lái)求得它們的側(cè)面積,由于底面是圓面,其底面積直接應(yīng)用圓的面積公式即得.其中,圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形,圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形.2.填空:(1)多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和.(2)圓柱的表面積:S=2πrl+2πr2(r是底面半徑,l是母線(xiàn)長(zhǎng)).(3)圓錐的表面積:S=πrl+πr2(r是底面半徑,l是母線(xiàn)長(zhǎng)).3.做一做:(1)如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π,那么圓柱的體積等于(

)A.ππππ(2)若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半徑為2的半圓,則圓錐的底面半徑是

.

解析:(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r,則圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)為2r,由題意得S圓柱側(cè)=2πr×2r=4πr2=4π,所以r=1,所以V圓柱=πr2×2r=2πr3=2π.(2)易知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2,設(shè)圓錐底面的半徑為r,答案:(1)B

(2)1二、圓臺(tái)的表面積【問(wèn)題思考】1.圓柱、圓錐和圓臺(tái)的表面積之間有什么關(guān)系?2.填空:圓臺(tái)的表面積:S=π(r'2+r2+r'l+rl)

(r',r分別是上、下底的半徑,l是母線(xiàn)長(zhǎng)).

3.做一做:圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm,它的側(cè)面展開(kāi)圖的扇環(huán)的圓心角是180°,求圓臺(tái)的表面積.解:如圖所示,設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為c

cm,由于扇環(huán)的圓心角是180°,故c=π·SA=2π×10,解得SA=20(cm).同理可得SB=40(cm),所以AB=SB-SA=20(cm).即S表=S側(cè)+S上+S下=π×(10+20)×20+π×102+π×202=1

100π(cm2).三、柱體、錐體、臺(tái)體的體積【問(wèn)題思考】1.比較柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式,你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎?柱體、錐體是否可以看作“特殊”的臺(tái)體?其體積公式是否可以看作臺(tái)體體積公式的“特殊”形式?提示:柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體,錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體.因此柱體、錐體可以看作“特殊”的臺(tái)體.當(dāng)S'=0時(shí),臺(tái)體的體積公式變?yōu)殄F體的體積公式;當(dāng)S'=S時(shí),臺(tái)體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式,因此,柱體、錐體的體積公式可以看作臺(tái)體體積公式的“特殊”形式.3.做一做:一個(gè)水平放置的圓臺(tái)形容器如圖所示,上、下底面半徑分別為2dm,4dm,高為5dm,現(xiàn)以3dm3/s的速度往容器里面注水,當(dāng)水面的高度為3dm時(shí),求所用的注水時(shí)間.(精確到0.01s)解:如圖,作AG⊥BC于點(diǎn)G,交EF于點(diǎn)H.設(shè)水面的半徑為r

dm,則EH=r-2(dm),BG=2

dm,在△ABG中,∵EH∥BG,【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3cm,4cm,5cm,則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)為6cm.(

×

)(2)錐體的體積公式V=Sh(S為底面面積,h為高).(

×

)(3)圓柱和圓錐都可以看作是圓臺(tái)退化而成的幾何體.圓柱可以看作是上下底面全等的圓臺(tái),圓錐可看作是上底面退化成一點(diǎn)的圓臺(tái).(

√

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

柱體、錐體的表面積【例1】

已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直線(xiàn)為軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積.解:如圖,在△ABC中,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為點(diǎn)D.由AC=3,BC=4,AB=5,知AC2+BC2=AB2,則AC⊥BC.由BC·AC=AB·CD,求組合體的表面積與體積的關(guān)鍵是弄清組合體中各簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征及組合形式,對(duì)于與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體問(wèn)題,要根據(jù)條件分清各個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的底面半徑及母線(xiàn)長(zhǎng),再分別代入公式求解.【變式訓(xùn)練1】

已知圓柱和圓錐的高、底面半徑均分別相等.若圓柱的底面半徑為r,圓柱的側(cè)面積為S,求圓錐的側(cè)面積.探究二

柱體、錐體的體積【例2】

如圖所示,已知底面半徑為r的圓柱被一個(gè)平面所截,剩下部分母線(xiàn)長(zhǎng)的最大值為a,最小值為b,那么圓柱被截后剩下部分的體積是

.

對(duì)于柱體、錐體的體積公式的認(rèn)識(shí)(1)等底、等高的兩個(gè)柱體的體積相同.(2)等底、等高的圓柱的體積是圓錐的體積的3倍.【變式訓(xùn)練2】

已知三棱錐O-ABC中,OA,OB,OC兩兩垂直,OC=1,OA=x,OB=y,且x+y=4,則三棱錐體積的最大值是

.探究三

臺(tái)體的體積【例3】

已知一個(gè)三棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為20cm和30cm的正三角形,側(cè)面是全等的等腰梯形,且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和,求棱臺(tái)的高和體積.解:如圖所示,在三棱臺(tái)ABC-A'B'C'中,點(diǎn)O',O分別為上、下底面的中心,點(diǎn)D,D'分別是BC,B'C'的中心,則DD'是等腰梯形BCC'B'的高,本例換成圓臺(tái)背景,已知圓臺(tái)的高為3,在軸截面中,母線(xiàn)AA1與底面圓直徑AB的夾角為60°,軸截面中的一條對(duì)角線(xiàn)垂直于腰,如何求圓臺(tái)的體積?解:如圖所示,作軸截面A1ABB1,設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑和母線(xiàn)長(zhǎng)分別為r,R,l,高為h.作A1D⊥AB于點(diǎn)D,則A1D=3.求幾何體的體積時(shí),要注意利用好幾何體的軸截面(尤其為圓柱、圓錐時(shí)),準(zhǔn)確求出幾何體的高和底面積;同時(shí),對(duì)不規(guī)則的幾何體可利用分割幾何體或補(bǔ)全幾何體的方法轉(zhuǎn)化為柱、錐、臺(tái)體的體積計(jì)算問(wèn)題.易

錯(cuò)

辨

析體積公式識(shí)記不全致誤【典例】

如圖所示,一個(gè)底面直徑為20cm的圓柱形玻璃杯裝有一些水,水中放著一個(gè)底面直徑為6cm,高為20cm的圓錐體鉛錘,當(dāng)鉛錘從水中取出后,杯里的水將下降幾厘米?錯(cuò)解:圓錐形鉛錘的體積為設(shè)水面下降的高度為xcm,則小圓柱的體積為π×(20÷2)2×x=100πx(cm3).所以有180π=100πx,解此方程得x=1.8.答:鉛錘取出后,杯中水面下降了1.8cm.以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:記憶錐體、臺(tái)體的體積公式,應(yīng)注意防漏乘以正解:由題目得圓錐形鉛錘的體積為設(shè)水面下降的高度為xcm,則小圓柱的體積為π×(20÷2)2×x=100πx(cm3).故有下列方程60π=100πx,解此方程得x=0.6(cm).即鉛錘取出后,杯中水面下降了0.6cm.錐體、臺(tái)體的體積容易漏乘

,解決此類(lèi)問(wèn)題一定要把錐體、臺(tái)體的體積公式識(shí)記全面并且與柱體有所區(qū)別.【變式訓(xùn)練】

如圖,ABC-A'B'C'是體積為1的棱柱,則四棱錐C-AA'B'B的體積是(

)答案:C隨

堂

練

習(xí)1.若圓錐的高等于其底面直徑,則它的底面積與側(cè)面積之比為(

)答案:C2.若圓柱的高擴(kuò)大為原來(lái)的4倍,底面半徑不變,則圓柱的體積擴(kuò)大為原來(lái)的

倍;若圓柱的高不變,底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的4倍