小題核心考點(diǎn)完整版練-04計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)-沖刺2024年高考（原卷）

小題核心考點(diǎn)精練04計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)沖刺2024年高考（原卷）題型大全目錄【題型一】排列組合綜合【題型二】二項(xiàng)式定理【題型三】統(tǒng)計(jì)【題型四】統(tǒng)計(jì)案例【題型五】概率、概率的性質(zhì)、事件的關(guān)系【題型六】條件概率、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式【題型七】隨機(jī)變量及其分布列知識(shí)溫習(xí)（略）各個(gè)擊破【題型一】排列組合綜合【知識(shí)回顧】分類加法計(jì)數(shù)原理：N=m1+m2+…+mn.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理：N=m1×m2×…×mn3.排列數(shù)公式：Anm=n(n1)(n2)…(nm+1)(m，n∈N*階乘的相關(guān)結(jié)論(1)規(guī)定：0!=1.(2)Anm=n!(n∈N(3)Anm=n(n1)(n2)…(nm+1)=n!(n?m)!*排列數(shù)及其運(yùn)算1.Anm=n(n1)…(nm+1)=n!(n?m)!Anm=nAn?1m?1=m4.組合數(shù)公式與組合數(shù)性質(zhì)1.組合數(shù)公式：Cnm=AnmAmm2.規(guī)定：Cn3.組合數(shù)的性質(zhì)：Cnm=Cnn?m；【跟蹤訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·四川雅安·一模）甲、乙、丙、丁4個(gè)學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有五個(gè)研學(xué)基地供選擇，每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，則4個(gè)學(xué)校中至少有3個(gè)學(xué)校所選研學(xué)基地不相同的選擇種數(shù)共有（

）A．420 B．460 C．480 D．5202．（2024·浙江嘉興·二模）6位學(xué)生在游樂場(chǎng)游玩三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)人都只游玩一個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目都有人游玩，若項(xiàng)目必須有偶數(shù)人游玩，則不同的游玩方式有（

）A．180種 B．210種 C．240種 D．360種3．（2324高三上·河北·期末）第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，為了弘揚(yáng)“奉獻(xiàn)，友愛，互助，進(jìn)步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個(gè)場(chǎng)館開展志愿服務(wù)工作．若要求每個(gè)場(chǎng)館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場(chǎng)館時(shí)，場(chǎng)館僅有2名志愿者的概率為（

）A． B． C． D．【題型二】二項(xiàng)式定理【知識(shí)回顧】二項(xiàng)式定理1.概念：公式(a+b)n=Cn0an+Cn1an1b1+…+Cnkankbk+…+2.(a+b)n的二項(xiàng)展開式：Cn0an+Cn1an?1b1+…+Cnk3.二項(xiàng)式系數(shù)：展開式中各項(xiàng)的系數(shù)Cn4.通項(xiàng)：展開式的第k+1項(xiàng)：Tk+1=Cnkank5.備注：在二項(xiàng)式定理中，若設(shè)a=1，b=x，則得到公式：(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+C【跟蹤訓(xùn)練】4．（2024·陜西西安·一模）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C．40 D．805．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B． C．15 D．606．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C．21 D．35【題型三】統(tǒng)計(jì)【知識(shí)回顧】1.分層隨機(jī)抽樣一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層.在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.2.計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步，計(jì)算i=n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).3.頻率分布表、頻率分布直方圖及其相關(guān)的計(jì)算1.繪制頻率分布直方圖的注意點(diǎn)(1)各組頻率的和等于1.(2)在Oxy坐標(biāo)平面內(nèi)畫頻率分布直方圖時(shí)，x=樣本數(shù)據(jù)，y=頻率組距，這樣每一組的頻率可以用該組的小矩形的面積來表示，其中矩形的底=組距，高=頻(3)同一組數(shù)據(jù)，組距不同，橫軸、縱軸單位不同，得到的頻率分布直方圖的形狀也會(huì)不同.2.由頻率分布表或頻率分布直方圖進(jìn)行有關(guān)計(jì)算時(shí)，要掌握下列結(jié)論(1)小長(zhǎng)方形的面積=組距×頻率(2)各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1；(3)頻數(shù)樣本量4.數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的估計(jì)1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).(2)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，處在最中間位置的數(shù)(或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù)：如果有n個(gè)數(shù)x1，x2,…,xn，那么x=1n(x1+x2+…+xn2.總體集中趨勢(shì)的估計(jì)(1)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).(2)一般地，對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢(shì)的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對(duì)分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等)集中趨勢(shì)的描述，可以用眾數(shù).5.數(shù)據(jù)離散程度的估計(jì)1.極差極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度.但因?yàn)闃O差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個(gè)值的信息，對(duì)其他數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少.2.方差和標(biāo)準(zhǔn)差(1)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，用x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為s2=1ni=1n(xix)2=1(2)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為Y，則稱S2=1Ni=1N(YiY)2為總體方差，S=S2為總體標(biāo)準(zhǔn)差.如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(k≤N)個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1，2,…,k)，則總體方差為S2=1Ni(3)樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為y，則稱s2=1ni=1n(yiy(4)標(biāo)準(zhǔn)差的意義標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息.一般情況下，大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在區(qū)間[xs，x+s]內(nèi)，絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在區(qū)間[x2s，x+2s]內(nèi).【跟蹤訓(xùn)練】7．（2024·四川南充·二模）某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為2∶3∶5，用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為n的樣本.若樣本中A型號(hào)的產(chǎn)品有30件，則樣本容量n為（

）A．150 B．180 C．200 D．2508．（2024·上海徐匯·二模）為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)（見下表）：x12345y0.50.911.11.5若已求得一元線性回歸方程為，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，y的預(yù)測(cè)值為2.2C．樣本數(shù)據(jù)y的第40百分位數(shù)為1D．去掉樣本點(diǎn)后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不會(huì)改變9．（2024·遼寧·二模）已知一組數(shù)據(jù)為50，40，39，45，32，34，42，37，則這組數(shù)據(jù)第40百分位數(shù)為（

）A．39 B．40 C．45 D．3210．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）某校為了解在校學(xué)生對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)文化的傳承認(rèn)知情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行中國(guó)傳統(tǒng)文化知識(shí)考試，并將這100名學(xué)生成績(jī)整理得到如下頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖（分成，，，，，六組），下列結(jié)論中不正確的是（

）A．圖中的B．若從成績(jī)?cè)?，，?nèi)的學(xué)生中采用分層抽樣抽取10名學(xué)生，則成績(jī)?cè)趦?nèi)的有3人C．這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為65D．若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則這100名學(xué)生的平均成績(jī)約為68.2【題型四】統(tǒng)計(jì)案例【知識(shí)回顧】1.樣本相關(guān)系數(shù)1）.樣本相關(guān)系數(shù)：r=i=12）.樣本相關(guān)系數(shù)r的特征(1)r∈[1，1].(2)當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).(3)當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本

數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.2.樣本相關(guān)系數(shù)r是一個(gè)描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負(fù)性可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征.2.一元線性回歸模型1.把式子Y=bx+a+e，E(e)=0，D(e)=3.經(jīng)驗(yàn)回歸方程與最小二乘法1.設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(xi，yi)(i=1，2，…，n)，通

常用各散點(diǎn)到直線y=bx+a的豎直距離的平方之和Q=i=1（1）當(dāng)a，b的取值為b^（2）將y^=b^x+a^稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的b4.殘差分析1.對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的y^稱為預(yù)測(cè)值，殘差=觀測(cè)值預(yù)測(cè)值5.回歸模型擬合效果的檢驗(yàn)1.刻畫回歸效果的方式(1)殘差圖法以殘差為縱坐標(biāo)，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖.在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在以橫軸為對(duì)稱軸的水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高.(2)殘差平方和法：殘差平方和為i=1n(yiy(3)決定系數(shù)R2法：R2=1i=1R2越大，殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.6.獨(dú)立性檢驗(yàn)1.假定通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如表所示.XY合計(jì)Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d則χ2=n(ad?利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).3.χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中5個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值如下表所示.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828獨(dú)立性檢驗(yàn)的實(shí)質(zhì)是檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量是否相關(guān)及相關(guān)的程度有多大，其應(yīng)用過程如下：根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算出χ2的值，其值越大，說明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大，在假設(shè)X與Y沒有關(guān)系的前提下，可以通過查閱臨界值表得到P(χ2≥xα)，從而得到兩變量相關(guān)的程度.7.由χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)1.應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題大致應(yīng)包括以下幾個(gè)主要環(huán)節(jié)：(1)提出零假設(shè)H0：分類變量X和Y相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋；(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，并與臨界值xα比較；(3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論；(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律.【注】上述幾個(gè)環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同情況進(jìn)行調(diào)整.例如，在有些時(shí)候，分類變

量的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表是問題中給定的.8.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般方法分割線【跟蹤訓(xùn)練】11．（2024·上海虹口·二模）給出下列4個(gè)命題：①若事件和事件互斥，則；②數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為10；③已知關(guān)于的回歸方程為，則樣本點(diǎn)的離差為；④隨機(jī)變量的分布為，則其數(shù)學(xué)期望.其中正確命題的序號(hào)為（

）A．①② B．①③ C．②③ D．②④12．（2023·福建寧德·二模）5G技術(shù)在我國(guó)已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，5G的銷量也逐漸上升，某商城統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月的實(shí)際銷量，如下表所示：時(shí)間x12345銷售量y（千只）0.50.81.01.21.5若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（

）A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x正相關(guān)B．線性回歸方程中C．可以預(yù)測(cè)時(shí)該商場(chǎng)5G銷量約為1.72（千只）D．時(shí)，殘差為13．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）下列說法不正確的是（

）A．甲、乙、丙三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查，若抽取的甲種個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為18B．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，.…，的方差為32C．在一個(gè)列聯(lián)表中，計(jì)算得到的值，則的值越接近1，可以判斷兩個(gè)變量相關(guān)的把握性越大D．已知隨機(jī)變量，且，則【題型五】概率、概率的性質(zhì)、事件的關(guān)系古典概率：P(A)=kn=n(A)2.概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)=1，P(?)=0.性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)，此性質(zhì)可以推廣到

多個(gè)事件的情況，即如果事件A1，A2，…，Am兩兩互斥，那么P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+

P(A2)+…+P(Am).性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)=1P(A)，P(A)=1P(B).性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B).性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B).3.互斥事件和對(duì)立事件互斥事件：一般地，如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說A∩B是一個(gè)不可能事件，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)對(duì)立事件：一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立.事件A的對(duì)立事件記為.4.事件相互獨(dú)立的定義對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.相互獨(dú)立事件的性質(zhì)：1）.如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與B，A與B，A與2）必然事件Ω、不可能事件?都與任意事件相互獨(dú)立.5.概率關(guān)系概率A、B互斥A、B相互獨(dú)立P(A∪B)P(A)+P(B)1P(A)P(B)P(AB)0P(A)P(B)P(AB1[P(A)+P(B)]P(A)P(B)P(AB∪AB)P(A)+P(B)(A、B互斥時(shí)，AB=A，AB=B)P(A)·P(B)+P(A)·P(B)P(AB∪AB∪A11P(A)P(B)6.頻率的隨機(jī)性與穩(wěn)定性1.頻率的隨機(jī)性：大量試驗(yàn)表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.2.頻率的穩(wěn)定性：一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A).分割線【跟蹤訓(xùn)練】14．（2024·四川瀘州·三模）從3，4，5，6，7這5個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則所取兩個(gè)數(shù)之積能被3整除的概率是（

）A． B． C． D．15．（2223高三·江西撫州·階段練習(xí)）一袋中有大小相同的個(gè)白球和個(gè)紅球，現(xiàn)從中任意取出個(gè)球，記事件“個(gè)球中至少有一個(gè)白球”，事件“個(gè)球中至少有一個(gè)紅球”，事件“個(gè)球中有紅球也有白球”，下列結(jié)論不正確的是（

）A．事件與事件不為互斥事件 B．事件與事件不是相互獨(dú)立事件C． D．16．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件為“兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與事件是對(duì)立事件 B．事件與事件不是相互獨(dú)立事件C． D．17．（2024·福建莆田·二模）若，則（

）A．事件與互斥 B．事件與相互獨(dú)立C． D．【題型六】條件概率、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式【知識(shí)回顧】1.條件概率1.定義：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)=P(AB)P(A)2.性質(zhì)：設(shè)P(A)>0，則(1)P(B|A)∈[0，1]，P(Ω|A)=1；(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；(3)設(shè)B和B互為對(duì)立事件，則P(B|A)=1P(B|A).2.概率的乘法公式1.由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A).我們稱上式為概率的乘法公式.2.推廣：(1)若P(AB)>0，則P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).(2)若Ai(i=1，2，3，…，n)為隨機(jī)事件，且P(A1A2…An)>0，則P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An1).3.全概率公式1.一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P(B)=i=1n4.貝葉斯公式*1.設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2,…,n，則對(duì)任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)=P(Ai)P(B|i=1，2,…,n.2.貝葉斯公式是在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因，在運(yùn)用貝葉斯公式時(shí)，一般已知條件和未知條件如下：(1)A的多種情況中到底哪種情況發(fā)生是未知的，但是每種情況發(fā)生的概率已知，即P(Ai)已知；(2)事件B是已經(jīng)發(fā)生的確定事實(shí)，且A的每種情況發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率已知，即P(B|Ai)已知；(3)P(B)未知，需要使用全概率公式計(jì)算得到；(4)求解的目標(biāo)是用A的某種情況Ai的無條件概率求其在B發(fā)生的條件下的有條件概率P(Ai|B).【跟蹤訓(xùn)練】18．（2024·全國(guó)·二模）某單位選派一支代表隊(duì)參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊(duì).選哪支隊(duì)是隨機(jī)的，其中選“初心”隊(duì)獲勝的概率為0.8，選“使命”隊(duì)獲勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊(duì)參加比賽的概率為（

）A． B． C． D．19．（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）某校高三（1）班和（2）班各有40名同學(xué)，其中參加數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)的學(xué)生分別有10人和8人．現(xiàn)從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取一名同學(xué)，若抽到的是參加數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)的學(xué)生，則他來自高三（1）班的概率是（

）A． B． C． D．20．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件，存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為，即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測(cè)，有的可能呈現(xiàn)陽性；該試劑的誤報(bào)率為，即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測(cè)，有的可能會(huì)誤報(bào)陽性.現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，已知檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．【題型七】隨機(jī)變量及其分布列1.離散型隨機(jī)變量X的分布列1）.定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列.2）.分布列的表格表示Xx1x2…xnPp1p2…pn3）.離散型隨機(jī)變量分布列具有的兩個(gè)性質(zhì)(1)pi≥0，i=1，2，…，n；(2)p1+p2+…+pn=1.2.離散型隨機(jī)變量的均值1）.定義：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示.Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=i=1nxip稱期望.2）.性質(zhì)：若X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，則有E(aX+b)=aE(X)+b.3.離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差1.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示.Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱D(X)=(x1E(X))2p1+(x2E(X))2p2+…+(xnE(X))2pn=i=1n(xiE(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，并稱隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.*離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)1.設(shè)a，b為常數(shù)，則D(aX+b)=a2D(X).2.均值與方差的性質(zhì)公式：D(X)=E(X2)(E(X))2.4.二項(xiàng)分布1.一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=Cnkpk(1p)n2.二項(xiàng)分布的期望與方差：一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1p).5.超幾何分布1.一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件

(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=CMkCN?Mn?kC若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則其均值E(X)=nMN若X服從參數(shù)為N，n，M的超幾何分布，即X~H(N，n，M)，則D(X)=nM(N6.正態(tài)分布1）.正態(tài)曲線：函數(shù)f(x)=1σ2）.正態(tài)分布：若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X~N(μ，σ2).特別地，當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.3）.正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827；P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.4）3σ原則1.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ3σ，μ+3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.分割線【跟蹤訓(xùn)練】二、多選題21．（2023·新疆·一模）已知任一隨機(jī)變量，若其數(shù)學(xué)期望，方差均存在，則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，有，即表示事件“”的概率下限估計(jì)值為．現(xiàn)有隨機(jī)變量，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．C．若，則取最大值時(shí)或D．若有不低于的把握使，則的最小值為62522．（2024·湖南常德·三模）下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位數(shù)(75%分位數(shù))為7B．樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)滿足，則兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同C．若隨機(jī)事件，滿足：，則，相互獨(dú)立D．若，且函數(shù)為偶函數(shù)，則23．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某工廠進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量抽測(cè)，兩位員工隨機(jī)從生產(chǎn)線上各抽取數(shù)量相同的一批產(chǎn)品，已知在兩人抽取的一批產(chǎn)品中均有5件次品，員工A從這一批產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，員工B從這一批產(chǎn)品中無放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品．設(shè)員工A抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為X，員工B抽取到的