04高考數(shù)學(xué)模擬卷（新題型地區(qū)專用）

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新題型地區(qū)專用）黃金卷04（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．某市物價部門對某商品在5家商場的售價（元）及其一天的銷售量（件）進行調(diào)查，得到五對數(shù)據(jù)（），經(jīng)過分析、計算，得，，，之間的經(jīng)驗回歸方程是：，則相應(yīng)于點的殘差為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以樣本點的中心為，又因為經(jīng)驗回歸直線過樣本點的中心，所以，所以，所以經(jīng)驗回歸方程是：，當時，，所以殘差為.故選：A.2．在平面四邊形中，，分別為，的中點.若，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】連接，，如圖，可知.由，即，可得.從而，，所以.故選：B.3．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則＝（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】C【解析】由題意得，由等比中項性質(zhì)得，故.故選：C4．已知表示兩條直線，表示平面，下列命題中正確的有（

）①若，且，則；②若相交且都在平面外，，則；③若，則；④若，且，則．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【解析】對于①，若，且，則或相交，故①錯誤；對于③和④，與也可能相交，均錯誤；對于②，設(shè)相交確定平面，根據(jù)線面平行的判定定理知，根據(jù)平行平面的傳遞性得知．故選：A．5．城步苗族自治縣“六月六山歌節(jié)”是湖南省四大節(jié)慶品牌之一，至今已舉辦25屆.假設(shè)在即將舉辦的第26屆“六月六山歌節(jié)”中，組委會要在原定排好的10個“本土歌舞”節(jié)目中增加2個“歌王對唱”節(jié)目.若保持原來10個節(jié)目的相對順序不變，則不同的排法種數(shù)為（

）A．110 B．144 C．132 D．156【答案】C【解析】添加節(jié)目后，共有12個節(jié)目，因為保持原來10個節(jié)目的相對順序不變，則只需排好2個“歌王對唱”節(jié)目即可，所以，不同的排法種數(shù)為.故選：C.6．若直線與曲線相切，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)切點為，因為，所以．又因為切點在直線上，所以，解得，所以．令，則，所以在區(qū)間上，單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故的取值范圍為．故選：C7．已知，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以．兩邊除以，得．故選：D．8．古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家阿基米德最早采用分割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的倍，這種方法已具有積分計算的雛形.已知橢圓的面積為，離心率為，，是橢圓的兩個焦點，為橢圓上的動點，則下列結(jié)論正確的是（

）①橢圓的標準方程可以為

②若，則③存在點，使得

④的最小值為A．①③ B．②④ C．②③ D．①④【答案】D【解析】對于①：由，解得，則橢圓的標準方程為，故①正確；對于②：由定義可知，由余弦定理可得：，整理得，則，故②錯誤；對于③：設(shè)，，，由于，，則不存在點，使得，故③錯誤；對于④：，當且僅當，即時，等號成立，故④正確；故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．曲線的對稱軸為C．在區(qū)間單調(diào)遞增D．的最小值為【答案】AC【解析】，即，對于A，，易知為偶函數(shù)，所以A正確；對于B，對稱軸為，故B錯誤；對于C，，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增，故C正確；對于D，，則，所以，故D錯誤；故選：AC10．已知是的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A．若，則B．若為純虛數(shù)，則C．若，則D．若，則集合所構(gòu)成區(qū)域的面積為【答案】AB【解析】，所以，故A正確；由為純虛數(shù)，可設(shè)，所以，因為且，所以，故B正確；由，得，因為與均為虛數(shù)，所以二者之間不能比較大小，故C錯誤；設(shè)復(fù)數(shù)，所以由得，所以集合所構(gòu)成區(qū)域是以為圓心為半徑的圓，所以面積為，故D錯誤.故選：AB.11．已知函數(shù)的定義域為R，滿足，且，則（

）A．B．為奇函數(shù)C．D．【答案】ACD【解析】對A：令，，則，因為，所以，故A正確；對B：令得：，結(jié)合可得，所以為偶函數(shù)，故B錯誤；對C：令可得：，因為，所以，進一步可得：，又，，故，故，依次有,所以，故C正確；對D：令可得：;用代替，得：，結(jié)合C的結(jié)果，可得：，故D正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知集合，，若，則實數(shù)．【答案】1【解析】由題知,若,則或,當時,方程無解;當時,,解得:,此時,,符合題意,所以.故答案為：1.13．如圖，在直三棱柱中，，分別為線段，的中點，，，平面平面，則四面體ABMN的外接球的表面積為．【答案】【解析】如圖，取BN的中點，連接CD，因為，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面ABN，又平面ABN，所以，依題意平面ABC，平面ABC，所以，又，，平面，所以平面，又BN，平面，所以，，所以，所以，連接，則，所以，又，所以，所以，所以與共斜邊，所以四面體ABMN的外接球的球心為的中點，且外接球半徑，所以該球的表面積．14．下列有關(guān)命題的說法正確的是（請?zhí)顚懰姓_的命題序號）．①命題“若，則”的否命題為：“若，則”；②命題“若，則”的逆否命題為真命題；③條件，條件，則是的充分不必要條件；④已知時，，若是銳角三角形，則.【答案】②④【解析】對于①，命題“若，則”的否命題是：“若，則”，故錯誤；對于②，命題“若，則”是真命題，則它的逆否命題也是真命題，故正確；對于③，條件，即為或；條件，即為；則是的充分不必要條件，故錯誤；對于④，時，，當時，，則在上是增函數(shù)；當是銳角三角形，，即，所以，則，故正確.故答案為②④.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù).(1)若，求曲線在點處的切線；(2)討論的單調(diào)性；【解析】（1）當時，函數(shù)，則，切點坐標為，，則曲線在點處的切線斜率為，所求切線方程為，即.（2），函數(shù)定義域為R，，①，解得或，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，②，解得或，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，③，恒成立，在上單調(diào)遞增.綜上，當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增.16．（15分）某班為了慶祝我國傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設(shè)計了一個小游戲：在一個不透明箱中裝有4個黑球，3個紅球，1個黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學(xué)生從中一次隨機摸出3個球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有個紅球，則分得個月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個節(jié)目.(1)求一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；(2)求每位學(xué)生分得月餅數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）記“一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目”為事件A，可知有兩種可能：“2個紅球1個黃球”和“1個黑球，1個紅球，1個黃球”，所以.（2）由題意可知的可能取值為：0，1，2，3，則有：，，可得的分布列為0123所以.17．（15分）如圖所示，在梯形中，，，.四邊形為矩形，且平面.(1)求證：平面；(2)若直線與所成角的正切值為，點在線段上運動，當點在什么位置時，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【解析】（1）因為四邊形為梯形，，，，所以，，則，即又因為平面，面ABCD，所以.因為、都在平面內(nèi)，，所以面.（2）取中點，連結(jié)，，由，知，由（1）知，共面且不共線，所以，故直線與所成角為.由平面，面ABCD，所以，又，在面內(nèi)，且，故面，所以面，面，則，在中，，，所以，在，易得，以為坐標原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系,如圖所示，則，，，，，設(shè)為平面的法向量，則，即，取，則.所以由題可知，是平面的一個法向量，所以.因為，解得或（舍去）.當點為線段的靠近的三等分點時，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.18．（17分）在平面直角坐標系中，已知拋物線和點.點在上，且.(1)求的方程；(2)若過點作兩條直線與，與相交于，兩點，與相交于，兩點，線段和中點的連線的斜率為，直線，，，的斜率分別為，，，，證明：，且為定值.【解析】（1）設(shè)點，則，因為，，所以，，所以點，代入方程中，得，所以的方程為.（2）設(shè)點，，，，則直線的斜率，同理得直線的斜率，直線的斜率，直線的斜率，所以，，從而得.由消去得，所以，由，得或.設(shè)和的中點分別為，，則，，同理，，所以，即，所以得.19．（17分）將有窮數(shù)列中部分項按原順序構(gòu)成的新數(shù)列稱為的一個“子列”，剩余項按原順序構(gòu)成“子列”.若{bn}各項的和與各項的和相等，則稱和為數(shù)列的一對“完美互補子列”.(1)若數(shù)列為，請問是否存在“完美互補子列”？并說明理由；(2)已知共100項的等比數(shù)列為遞減數(shù)列，且，公比為q.若存在“完美互補子列”，求證：；(3)數(shù)列滿足.設(shè)共有對“完美互補子列”，求證：當和時，都存在“完美互補子列”且.【解析】（1）解：由題得數(shù)列各項的和為由題得“完美互補子列”的和相等，所以每一個“子列”的和為是一個小數(shù)，由于數(shù)列各項為整數(shù)，所以“子列”的和不可能為，所以不存在“完美互補子列”.（2）解：假設(shè)，由題得數(shù)列的前100項和為,所以不管在哪一個“子列”，都不可能，所以假設(shè)不成立，所以.（3）解：時，，不妨設(shè)中項為中項為則中所有項與中所有的項的和均為，所以時，數(shù)列存在完美互補子數(shù)列.時，只需將中，中移到中，將放入中，將放入中，則此時，中的的和均在原來的基礎(chǔ)上增加了，所以時，數(shù)列存在完美互補子數(shù)列.