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第二課時(shí)一元二次不等式的綜合問題2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式[方法技巧](1)對(duì)于比較簡(jiǎn)單的分式不等式,可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解,但要注意分母不為零.(2)對(duì)于不等號(hào)右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式,先移項(xiàng)再通分(不要去分母),使之轉(zhuǎn)化為不等號(hào)右邊為零的形式,然后再用上述方法求解.
題型二一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用
【學(xué)透用活】[典例2]某小區(qū)內(nèi)有一個(gè)矩形花壇ABCD,現(xiàn)將這一矩形花壇拆建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN,要求點(diǎn)B在AM上,點(diǎn)D在AN上,且對(duì)角線MN過點(diǎn)C,如圖所示.已知AB=3m,AD=2m.要使矩形AMPN的面積大于32m2,則DN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)?[方法技巧]解不等式應(yīng)用題的步驟解決一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵在于構(gòu)造一元二次不等式模型,即分析題目中哪些是未知量,然后選擇未知量并設(shè)出此未知量,再概括題目中的不等關(guān)系列不等式.
【對(duì)點(diǎn)練清】某文具店購進(jìn)一批新型臺(tái)燈,若按每盞臺(tái)燈15元的價(jià)格銷售,每天能賣出30盞;若售價(jià)每提高1元,日銷售量將減少2盞.為了使這批臺(tái)燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入,應(yīng)怎樣制定這批臺(tái)燈的銷售價(jià)格?解:設(shè)這批臺(tái)燈的銷售價(jià)定為x元,則[30-2(x-15)]·x>400,即x2-30x+200<0,因?yàn)榉匠蘹2-30x+200=0的兩根為x1=10,x2=20,所以x2-30x+200<0的解為10<x<20,又因?yàn)閤≥15,所以15≤x<20.故應(yīng)將這批臺(tái)燈的銷售價(jià)格制定在15元到20元之間(包括15元但不包括20元),才能使這批臺(tái)燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入.題型三不等式恒成立問題
【學(xué)透用活】[典例3]
(1)若對(duì)?x∈R,不等式x2+mx>4x+m-4恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若x2>4x+m-4在R上恒成立,求m的取值范圍.[解]
(1)原不等式可化為x2+(m-4)x+4-m>0,∴Δ=(m-4)2-4(4-m)=m2-4m<0,∴0<m<4,∴m的取值范圍為{m|0<m<4}.(2)原不等式可化為x2-4x+4=(x-2)2>m恒成立,∴m<0,∴m的取值范圍為{m|m<0}.[方法技巧]對(duì)于含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大(小)于或等于零的問題,可以利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解,也可以分離變量,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題求解.【對(duì)點(diǎn)練清】1.對(duì)于1≤x≤3,mx2-mx-1<-m+5恒成立,求m的取值范圍.2.已知不等式x2+2x+a2-3>0的解集為R,求a的取值范圍.解:∵不等式x2+2x+a2-3>0的解集為R,∴函數(shù)y=x2+2x+a2-3的圖象應(yīng)在x軸上方,∴Δ=4-4(a2-3)<0,解得a>2或a<-2.故a的取值范圍為{a|a>2或a<-2}.1<x<3{x|1<x<3}無解?二、應(yīng)用性——強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2.國家原計(jì)劃以2400元/噸的價(jià)格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m噸.按規(guī)定,農(nóng)戶向國家納稅為:每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個(gè)百分點(diǎn),即8%).為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān),制定積極的收購政策,根據(jù)市場(chǎng)規(guī)律,稅率每降低x個(gè)百分點(diǎn),收購量相應(yīng)能增加2x個(gè)百分點(diǎn).試確定x的取值范圍,使稅率調(diào)低后,國家此項(xiàng)稅收總收入不低于原計(jì)劃的78%. [析題建模]
稅率降低x個(gè)百分點(diǎn)(邏輯推理)―→即調(diào)節(jié)后稅率為(8-x)%(邏輯推理)―→收購量能增加2x個(gè)百分點(diǎn)(數(shù)學(xué)運(yùn)算)―→此時(shí)總收購量為m(1+2x%)噸(數(shù)據(jù)分析)―→原計(jì)劃的78%即為2400m×
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