第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

§2.1函數(shù)及其表示

1知識(shí)梳理要點(diǎn)回顧整體認(rèn)知

1.函數(shù)與映射

函數(shù)映射

兩集合/、B設(shè)8是兩個(gè)非空_________設(shè)48是兩個(gè)非空—

如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系

如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系/,使對(duì)于集合/

f,使對(duì)于集合4中的______一

對(duì)應(yīng)關(guān)系/：A-*B中的______一個(gè)數(shù)x,在集合8中都有唯一確

個(gè)元素x,在集合B中都有唯一

定的數(shù)/U)和它對(duì)應(yīng)

確定的元素y與之對(duì)應(yīng)

稱對(duì)應(yīng)fN-8為從集合/到

名稱稱__________為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)

集合8的一個(gè)映射

記法>y=/(x)aJ)對(duì)應(yīng)f4-5是一個(gè)映射

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)y=/(x),xe/中，其中所有x組成的集合/稱為函數(shù)y=/(x)的:將所有y組成的集合叫

做函數(shù)y—fix)的.

(2)函數(shù)的三要素：、和.

(3)函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有、和.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為

分段函數(shù).

分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的,其值域等于各段函數(shù)的值域的,分段

函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).

4.常見(jiàn)函數(shù)定義域的求法

類型X滿足的條件

氣祠,“GN”兀020

卷與阿]。

lo&/(x)(a>0,。#1)

log/A這(X)

ta吸c(diǎn))

2考點(diǎn)自測(cè)快捷解答游刃有余

1.(2016?宜昌一模)下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.yw=(、向2,g(x)=d?

B.左)=臉2,g(x)=21gx

C.fix)-yjx+2--\Jx—2,g(x)=W：2—4

D./(x)=x,g(x)=yfp

解析：/、8、C中兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以表示的不是同一函數(shù)；。中兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，表

示的是同一函數(shù)，故選D.

答案：D

2.已知函數(shù)段)滿足*2x)=〃(x),且當(dāng)lWx<2時(shí)，寅x)=f,則犬3)=()

999

-B-C-9

842D.

339

解析：??7(2x)=4(x),且當(dāng)l<x<2時(shí)，危)=/,.?.火3)=”5)=2*卬2=].

答案：C

3.若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)锳/={x|—2WxW2},值域?yàn)镹={M0WyW2},則函數(shù)y=/(x)的圖象可能是

2

)

答案：B

4.(2016?福建上杭一中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研)函數(shù)尸\pog；(2x-l)的定義域是()

A.[1,2JB.[1,2)

C.(1,1]D.1]

'2x-l>0,

解析：由隰21)》。，解得呆口

故選C.

,3

[2x+2,xWO,

5.(2016.黑龍江哈爾濱師大附中等校一模)若函數(shù)/U)=L，則川⑴)的值為()

[2—4,x>0

A.-10B.10

C.—2D.2

解析：；/(1)=2'-4=-2,；.加1))=/(-2)=-2.

答案：C

練思維無(wú)所不通

題型一函數(shù)的概念

例1：有以下判斷：

①/a)=號(hào)與g(x)=]_]"a:0)表示同一函數(shù)；

②函數(shù)y=/(x)的圖象與直線x=l的交點(diǎn)最多有1個(gè)；

③Ax)=f—2%+1與g⑺=f2—2/+1是同一函數(shù)；

④若.危)=僅一11—IM，則火/&))=0?

其中正確判斷的序號(hào)是.

LdU(GO)

[解析]對(duì)于①，由于函數(shù)/)=3的定義域?yàn)閧小￡R且x#0},而函數(shù)g(x)={的定義域

x[—\(x<0)

3

是R,所以二者不是同一函數(shù)：

對(duì)于②，若尤=1不是y=/Cr)定義域內(nèi)的值，則直線x=l與》=危)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，如果x=l是y=/3>

定義域內(nèi)的值，由函數(shù)定義可知，直線x=l與y=/(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即y=/(x)的圖象與直線久=1最

多有一個(gè)交點(diǎn)；

對(duì)于③，/(x)與的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，所以/(x)和g")表示同一函數(shù)；

對(duì)于④，由于a=七一1|一9|=°，所以歡5)=/(。)=1.

綜上可知，正確的判斷是②③.

［答案I②③

【變式訓(xùn)練1】

(1)下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

x~1

A.y=x-1I)2B.y=W-l與產(chǎn)

y/xT

C.y=41gx與y=21g%2D-尸lgx-2與尸1g前

(2)下列所給圖象是函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)為()

［解析］(1)A中兩函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系不同；B、C中的函數(shù)定義域不同，答案選D.

(2)①中當(dāng)￡>0時(shí)，每一個(gè)x的值對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的y值，因此不是函數(shù)圖象，②中當(dāng)x=xo時(shí)，V的值有

兩個(gè)，因此不是函數(shù)圖象，③④中每一個(gè)x的值對(duì)應(yīng)唯一的y值，因此是函數(shù)圖象，故選B.

［答案J(1)D(2)B

題型二函數(shù)的定義域

命題點(diǎn)1求給定函數(shù)解析式的定義域

例2：(1)(2015?杭州模擬通數(shù)&)=4?=？的定義域?yàn)?)

A.(一3。B.(-3,0)

C.(-8,-3)U(-3,0]D.(-8,-3)u(-3,l]

(2)函數(shù)人工)=至詈y的定義域是()

A.(-1,+8)B.[-1,+8)

4

C.(-1,1)U(1,+oo)D.[-l,l)u(l,+8)

[1-2"，0,

[解析](1)由題意知,解得一3<xW0,所以函數(shù)人x)的定義域?yàn)?一3,0],故選A.

[x+3>0,

(2)要使函數(shù)/(x)=有意義,需滿足x+l>0且X-1W0,得x>-l,且xWl,故選C.

[答案](1)A(2)C

命題點(diǎn)2求抽象函數(shù)的定義域

例3：(1)若函數(shù)y=/(x)的定義域是[1,2016],則函數(shù)g(x)一空心的定義域是()

A.[0,2015]B.[0,1)0(1,2015]

C.(1,2016]D.[-1,1)0(1,2015]

(2)若函數(shù)/2+1)的定義域?yàn)閇-1,1],則川gx)的定義域?yàn)?)

A.[-1,1]B.[1,2)

C.[10,100]D.[0,lg2]

I解析](1)令/=x+l,則由已知函數(shù)的定義域?yàn)閇1,2016],可知1W/W2016.要使函數(shù)7(x+l)有意義，則

有1WX+1W2016,解得0WxW2015,故函數(shù)_/(x+l)的定義域?yàn)閇0,2015].

0WxW2015,

所以使函數(shù)g(x)有意義的條件是彳解得，OWxVl或1<XW2015.

.x—1￥0,

故函數(shù)蛉)的定義域?yàn)閇0/)U(l,2015].故選B.

(2)因?yàn)槿耍?])的定義域?yàn)閇一],]],則一i<xWl,故OWfWl,所以1WX?+1W2.因?yàn)?2+1)與4gx)

是同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以lWlgxW2,即IOWXWIOO,所以函數(shù)4gx)的定義域?yàn)閇10,100].故選C.

[答案](1)B(2)C

命題點(diǎn)3已知定義域求參數(shù)范圍

例4：(2015?合肥模擬)若函數(shù)於)=山？+2以一a—1的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍為.

[解析]因?yàn)楹瘮?shù)負(fù)x)的定義域?yàn)镽,所以2?十"一。一1'0對(duì)xGR恒成立，即2?+"一a22°,f+

2以一〃20恒成立，因此有/=(2a)2+4a<0,解得一iWaWO.

[答案1[-1,0]

【變式訓(xùn)練2】

(1)已知函數(shù)Xx)的定義域是[0,2],則函數(shù)g(x)=/(x+g)+y{x—；)的定義域是

(2)函數(shù)3=的定義域?yàn)?

解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是[0,2],

5

所以皿…中―滿/"梟解得:吳v

[oWx—gW2,

13

所以函數(shù)g(x)的定義域是歷，

x+l>0,

⑵由得一1<xV1.

—2

LX—3x+4>0,

答案：⑴序|](2)(-1,1)

題型三：求函數(shù)解析式

2

例5:(1)已知店：+l)=lgr,則./(x)=.

(2)已知/(x)是一次函數(shù)，且滿足3危+1)—4口一D=2x+17,則/(x)=.

(3)已知函數(shù).危)的定義域?yàn)?0,+°°),且./(X)=455-1,則_/(X)=.

22

[解析](1)(換元法)令，=:+1?>1),則x==T，

人I1

22

，大。=1%=7，即加)=1與=7(%>1)

(2)(待定系數(shù)法)設(shè)火x)="+b3N0),

貝”3f(x+\)—2f(x—\)=3ax+3a+3h—2ax+2a—2h=ax+5a+h,

即ax+5a+b=2x+17不論x為何值都成立，

Q=2,(〃=2,

??.,解得I.7U)=2x+7.

缶+5〃=17,[h=lf八

(3)(消去法)在./(x)=2/gm-l中，用/弋替x,得/()=2/止-1,

將｛3=蕖^一[代入人x)=4()也一]中，可求得/(工)=粘+；.

I答案I(1)1%=y(x>l)(2)2r+7(3)油+]

【變式訓(xùn)練3】

(1)已知/(正+l)=x+2噌，則/(x)=.

(2)定義在R上的函數(shù)./(X)滿足>U+1)=Z/U).若當(dāng)OWxWl時(shí)，犬x)=x(l—x),則當(dāng)一IWxWO時(shí)，兀0

(3)定義在(一1,1)內(nèi)的函數(shù)式x)滿足2/(x)-/(-x)=lg(x+l),則/(x)=.

解析：⑴設(shè)4+1=421),則而=1-1.代入/eG+i)=x+2也，得用)=*一1?力)，

y(x)=x2—i(x^1).

6

(2)當(dāng)一IWXWO時(shí)，OWx+l<l,由已知兀0=3(》+1)=—%(x+l).

(3)當(dāng)xW(-l,l)時(shí),有〃(x)-/(-x)=lg(x+l).①

以一x代替x得，2/(—%)—/(x)=lg(-x+1).②

_21

由①②消去人一x)得，/(x)=glg(x+l)+glg(l—x),x￡(—1,1).

答案：(1)#一1(%21)(2)—5(x+1)(3)|lg(x+1)+1lg(1-x)(—1<x<1)

練方法無(wú)所不曉

分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用

[例1](2015?山東)設(shè)函數(shù),/)=:''則滿足/(/3))=2仙)的a的取值范圍是()

.2,x31,

A.[1,1]B.[0,1]

2

C.5，+8)D.[1,+8)

[解析]由心解=*得，火a)，L

22

當(dāng)aVl時(shí)，有3。一121,

當(dāng)時(shí)，有2"21,?.a20,；.a2l.

2

綜上，故選C.

[例21(2016?江西南昌二中第三次考試)已知函數(shù)./(x)=(2x—a+l)ln(x+a+1)的定義域?yàn)?一a—1,+

8),若兀v)20恒成立，則a的值是.

a—1

[解析]當(dāng)0<r+a+lW1,即一a—laW—Q時(shí)，有In(X+Q+l)WO「.'/(x)NO,2x—〃+1W0,XW~~-,

a-11

欲使X/x,/(x)20恒成立，則一一2一。，，。，耳.當(dāng)x+a+1>1,即x>—a時(shí)，有l(wèi)n(x+a+l)>0,

a-1a—111

/.2x—a+1>0,x>2，欲使\/x,/(x)20恒成立，則一^一<一a,/.故〃=1.

I答案段

易錯(cuò)題萬(wàn)無(wú)一失

［典例］已知2/+/=6工，則f+丁的取值范圍是（）

A.（一8,9］B.[9,+8)

7

C.[0,9]D.（0,9]

[解析I因?yàn)?d+y2=6x,所以J=6x—2x2eo,OMxW3.所以乂+9二一工2+64=一（工一3y+9

所以當(dāng)x=3時(shí)，取最大值9.

當(dāng)x=0時(shí)，/+”取最小值o所以/+，的取值范圍是[0,9],故選C.

練小題無(wú)所不會(huì)

練大題無(wú)所不能

一'選擇題（每小題5分，共60分）

1.（2016.惠州一模）已知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)閇0,2],則g（x）=M的定義域?yàn)?/p>

()

A.[0,l)U(l,2]B.[0,1)U(1,4]

C.[0,1)D.(1,4]

解析：由題意可知，\一解得0Wx<l,故g（x）="J的定義域?yàn)閇0,1）,選C.

X—IT5O

答案：C

71X

cos、，x30,

則加―2))=()

{-(x+/x<0,

A.-坐B(niǎo).1

C.D.坐

41

解析：；/(-2)=4,.../(/(-2))=/(4)=cosg7r=-5.故選C.

答案：C

3.(2016.四川成都診斷)已知函數(shù)/(x)=x|x|,若/宙))=4,則x0的值為()

A.-2B.2

C.—2或2D.也

解析：當(dāng)x20時(shí)，兀0=X2,./0)=4,即/=4,解得Xo=2;當(dāng)x<0時(shí)，?C)=—x2,

./(xo)=4,即一x,=4,無(wú)解.所以xo=2.

答案：B

8

410g2(x—8),x29,

4.（2016?貴州遵義航天高中七模）設(shè)函數(shù)人x）=?囪一+8,x<9,若朋=4,則，的值

為（）

A.10B.6或10

C.6D.不存在

2

解析：當(dāng)?9時(shí)，X0=2r-/+8=4^2?-r+4=0,無(wú)解：當(dāng)/29時(shí)，//)=41og2(Z-8)=

210g2(L8)2=(7—8尸=4,解得/=6(舍去)或t=10.故選A.

答案：A

5.（2016?河北武邑中學(xué)月考）已知函數(shù)y=/（x+l）的定義域是[-2,3],則y=A2x—l）的定義

域?yàn)椋?

A.[-3,7]B.[-1,4]

5

C.[-5,5]D.[0,3

解析：由xG[—2,3]得x+lG[—l,4],由2x—lG[—l,4],解得xG[0,1].故選D.

答案：D

1+log2(2—x),x<\,

6.（2015?新課標(biāo)全國(guó)卷II）設(shè)函數(shù)人x）=2X7,則人_2)+/Uog212)=()

A.3B.6

C.9D.12

解析：V-2<1,1+log2(2+2)=1+log24=1+2=3.

,/log212>l,.\/Uog212)=210g212-1=￥=6.

A/(-2)+/(log212)=3+6=9.故選C.

答案:C

f2x1—2,x<l,

7.(2015?新課標(biāo)全國(guó)卷I)已知函數(shù)7(x)=T1且人a)=—3,則人6—a)

Iog2(x+1)?x>\,

=()

75

--

-4-4

A.B.

c31

-D.-

-4-4

解析：由于=-3,

9

①若aWl,則2“T-2=—3,整理得2“T=-1.由于2*>0,所以2"一|=一1無(wú)解；

7

②若。>1,則一log2(a+l)=—3,解得a+l=8,a=7,所以負(fù)6—。)=火-1)=2-2—2=—7

7

綜上所述，/(6—a)=-1.故選A.

答案：A

[1,x>0,

8.(2016.吉安聯(lián)考)已知符號(hào)函數(shù)sgnx=<0,x=0,/(x)是R上的增函數(shù)，g(x)=/(%)-

I—1,x<0.

刎)3>1),則()

A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=—sgnx

C.sgnfg(x)]=sgn[/(x)]D.sgn[g(x)]=sgn[/(x)]

解析：因?yàn)?(x)是R上的增函數(shù)，所以令/(x)=x,則g(x)=(l—a)x,

p,x>o,

因?yàn)閝>l,所以g(x)是R上的減函數(shù)，由符號(hào)函數(shù)sgnx=40,x=0,

l—1,x<0,

(—1,x>0,

知sgn[g(x)]=,0,x=0,=—sgnx,排除A.令人x)=x+l,則g(x)=(l—a)x.

11,x<0

1,x>—1,f—1,x>0,

0,x=-1,sgn「g(x)]=r0,x=0,

{—1,x<—1,11,x<0,

所以sgn/x)]Wsgng)],sgn[g(x)]—sgn[/(x)],排除C,D,選B.

答案：B

9.(2015?武漢調(diào)研)若函數(shù)人工)=而三在[2,+8)上有意義，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.a=\B.a>\

C.心1D.心0

____2

解析：?.?函數(shù)人x)=N?x—2在[2,+8)上有意義，.?.ox-220在[2,+8)上恒成立，即

2

在[2,+8)上恒成立.VO<-^1,

答案：C

10.(改編題)已知外)為二次函數(shù)，不等式加)+2<0的解集為(一1,1),且對(duì)任意a,夕GR

10

恒有人sina)WO,人2+cos夕)20.則函數(shù)加)的解析式為()

33

2,5

?—x+^

X

23

35

-D?

2-25

2'-x~2

解析：依題意，設(shè)/(x)+2=a(x+l>(x—g)(a>0),即於)=4，+拳一事一2.令a=g,fi=7t,

則sina=l,cos夕=—1,則_/U)W0,負(fù)2—1)20,因此大1)=0,即a+年一1一2=0,得a=],

35

所以函數(shù)./(X)的解析式為/(X)=+x—

答案：A

-COSTTX,X>0?44

11.已知./)=<n則義？+/(—多的值等于()

j\X十1)I-1,xW09?，

A.1B.2

C.3D.-2

447r7rl412In15

解析：/q)=_cos^=cosw=]；/(-1)=/(_1)+1=/(1)+2=-cos亍+2=/+2=/.

44

故/(1)+.八_])=3.

答案：C

X2—x,xE(0,1),

12.定義域?yàn)镽的函數(shù)/U)滿足/(x+2)="x)—2,當(dāng)xG(0,2]時(shí),>(x)=h

:，xe[l,2],

I人

若xe(0,4]時(shí)，*一￡q(x)恒成立，則實(shí)數(shù)，的取值范圍是()

A.[1,2]B.[2,|]

C.[1,1]D.[2,+8)

解析：當(dāng)xG(2,3)時(shí)，x—26(0,1),則兀0="》-2)—2=2(》-2)2—2(》一2)—2,即為解x)

=2X2-10X+10,當(dāng)xC[3,4]時(shí)，x-2G[l,2],

則/(x)=2)_2=告_2.

當(dāng)x￡(0,l)時(shí)，當(dāng)x=g時(shí)，/(X)取得最小值，且為一上

11

當(dāng)xW[l,2]時(shí)，當(dāng)x=2時(shí)，於)取得最小值，且為3；

當(dāng)xG(2,3)時(shí)，當(dāng)x=|時(shí)，段)取得最小值，且為一|;

當(dāng)x￡[3,4]時(shí)，當(dāng)x=4時(shí)，?v)取得最小值，且為一1.

綜上可得，/(X)在(0,4]的最小值為一|.

若xG(0,4]時(shí)，『一片心)恒成立，則有‘一六一|,解得gw|.

答案：C

二、填空題(每小題5分，共20分)

13.(2016?合肥模擬)若函數(shù)於)=俊2?+2G一4一1的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍為

解析：因?yàn)楹瘮?shù)人x)的定義域?yàn)镽,所以2x?+2辦一4一120對(duì)xGR恒成立，2x2+2ax

—Q22°,x2+2ax—恒成立，因此有J=(2tz)2+4(2^0,解得一iWaWO.

答案：LL0)

14.已知函數(shù)外)滿足對(duì)任意的x￡R都有/g+x)+/g—x)=2成立，則向+/(])+…+/6)

解析：由./(g+x)+*_x)=2,得上)+心)=2,若)+埠)=2,

3541441

,/(g+/(g)=2,又/(W)=/[/(W)+/g)]=]X2=1,

127

二■1---h/(g)=2X3+l=7.

答案：7

15.(2016.北京二模)已知/是有序數(shù)對(duì)集合〃={(x,y)|x￡N*,yWN*}上的一個(gè)映射，正整

數(shù)數(shù)對(duì)(x,y)在映射/下的象為實(shí)數(shù)z,記作人》，y)=z.對(duì)于任意的正整數(shù)機(jī)，M(W>M),映射/

由下表給出：

（X,y）（〃，n）（m,ri）（〃，m）

Ax>y）nm-nm-\~n

則人3,5)=,使不等式大才，x)W4成立的x的集合是

解析：由表可知/(3,5)=5+3=8.

VVxeN*,都有爐>廠,x)=r-x,

12

則人丁，x)4aeN*)02*Wx+4(xGN*),

當(dāng)x=l時(shí)，2*=2,x+4=5,2*Wx+4成立；

當(dāng)x=2時(shí)，2X=4,x+4=6,2*Wx+4成立；

當(dāng)x23(xGN*)時(shí)，2x>x+4.

故滿足條件的x的集合是{1,2}.

答案：8{1,2}

16.(2016?江西南昌二中第三次考試)已知函數(shù)人幻=(24-4+1)1!1(4+。+1)的定義域?yàn)?一。

-1,+8),若/(x)20恒成立，則a的值是.

解析：當(dāng)Oa+a+lWl,即一a—l<xW—a時(shí)，有l(wèi)n(x+a+l)W0/</(x)20,；.2x—“+1WO,

a-1a-1I

2，欲使Vx,?v)20恒成立，則-2—a,，。力］.當(dāng)x+a+121,即x>一。時(shí)，有l(wèi)n(x

ci——1a-1)

+a+1)>0,.??2x—a+1>0,~，欲使Vx,/(x)20恒成立，則一一W—a,.?.QW］.

故Q=；.

答案：;

易錯(cuò)警示：本題易忽略對(duì)對(duì)函數(shù)分類討論：當(dāng)Oa+a+lWl時(shí)，有l(wèi)n(x+a+l)WO,欲使

a—1

V(x),y(x)NO恒成立，則［5—a;當(dāng)x+a+l>l,即x>—a時(shí)，欲使Vx,火x)20恒成立，

,a~1一a~11

則~W—a,2=—%"（于a=T

三、解答題(每小題10分，共20分)

17.甲同學(xué)到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是

2km,甲10時(shí)出發(fā)前往乙家.如圖所示，表示甲從家出發(fā)到達(dá)乙家為止經(jīng)過(guò)的路程興km)與時(shí)

間x(min)的關(guān)系，試寫(xiě)出y=/(x)的函數(shù)解析式.

解：當(dāng)xW［0,30］時(shí)，設(shè)歹=左送+濟(jì),

Z>i=O,即尸占.

由已知得解得

30抬+d=2,

13

當(dāng)xG（30,40）時(shí)，y=2；

當(dāng)xS[40,60]時(shí)，設(shè)尸松+電，

'40左2+人2=2,即尸已-2.

由已知得《

、6042+力2=4,

C1

k，xW[0，30],

綜上，加）=12,xe（30,40）,

—2,x￡[40,60].

18.行駛中的汽車(chē)在剎車(chē)時(shí)由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停上，這段距離

叫做剎車(chē)距離.在某種路面上，某種型號(hào)汽車(chē)的剎車(chē)距離M米）與汽車(chē)的車(chē)速M(fèi)千米/時(shí)）滿足下

列關(guān)系：夕=血+加工+〃（加，〃是常數(shù)）.如圖是根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制的剎車(chē)距離M米）與汽車(chē)

的車(chē)速式千米/時(shí)）的關(guān)系圖.

（1）求出y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如果要求剎車(chē)距離不超過(guò)25.2米，求行駛的最大速度.

崗140加+〃=8.4,

解：（1）由題意及函數(shù)圖象，得《602

[^^+60加+〃=18.6,

1X2X

解得m=]00，〃=0,所以歹=20。+100（*2°）,

x2%

（2）令訴+而工\j\jW25.2,得一72WxW70.

Vx^O,，0WxW70.

故行駛的最大速度是70千米/時(shí).

§2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值

n知識(shí)梳理要點(diǎn)向顧整體認(rèn)知

14

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間D上是或,那么就說(shuō)函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單

調(diào)性，叫做y=/U)的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

(1)對(duì)于任意的X?/,都有_____________；(3)對(duì)于任意的xG/,都有___________；

條件(2)存在%()￡/,(4)存在XoG/,

使得使得___________.

結(jié)論"為最大值M為最小值

2考點(diǎn)自測(cè)快捷解答游刃有余

1.(2016?珠海摸底)下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是()

A.y=e~xB.y—x3

C.y=\nxD.y=|x|

答案：B

2,函數(shù)y=(24+l)x+b在(-8,+8)上是減函數(shù)，則()

A.k>2B.k<2

C.k>~^D.k<~^

答案：D

3.函數(shù)次0=k一2|x的單調(diào)減區(qū)間是()

A.[1,2JB.[-1,0J

C.[0,21D.[2,+0°)

x2—2x,x22,

解析：由于./(x)=|x—2|x=

X2+2X,X<2.

結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是[1,2].

15

答案：A

4.(2016?長(zhǎng)春市質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)7(x)=|x+M在(-8,—1)上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是()

A.(―0°,1]B.(—8,—1]

C.[-1,+°°]D.[1,+8)

解析：因?yàn)楹瘮?shù)?r)在(-8,—a)上是單調(diào)函數(shù)，所以一ae一1,解得“W1.

答案：A

5.函數(shù)外)=占在區(qū)間[a,6]上的最大值是1,最小值是g,則。+6=.

解析：易知./)在[a,以上為減函數(shù)，

%)=1,

(1=2,

,即VJ吉???a+b=6.

1_1b=4.

577T=5

答案：6

練思維無(wú)所不通

題型一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)

命題點(diǎn)1給出具體解析式的函數(shù)的單調(diào)性

例1：(1)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A.y=ln(x+2)B.y=—ylx+\

C.y=(夕D.y=x+^

(2)函數(shù)寅x)=logl(x2-4)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

2

A.(0,+8)B.(一8,0)

C.(2,+8)D.(-8,-2)

(3)y=~x+2|x|+3的單調(diào)增區(qū)間為.

[解析](l)y=ln(x+2)的增區(qū)間為(-2,+~),

.二在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù).

(2)因?yàn)閥=log)在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)￡=?—4的單調(diào)遞減區(qū)

2

間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為(-8,-2).

(3)由題意知，當(dāng)x20時(shí)，y——x2+2r+3=—(X-1)2+4；當(dāng)x<0時(shí)，x2_2x+3="(x+1)2+4,

二次函數(shù)的圖象如圖.

16

由圖象可知，函數(shù)夕=-》2+2國(guó)+3在(-8,-1］,［0,1］上是增函數(shù).

答案］(1)A(2)D(3)(-°o,-1］,［0,1］

命題點(diǎn)2解析式含參函數(shù)的單調(diào)性

例2：試討論函數(shù)"0=目(。20)在(一1,1)上的單調(diào)性.

、江X-1+1,1

［解］設(shè)一1<為<》2<1，/(X)=4()=。(1+1"［)，

八