2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何模型歸納及練習(xí)

“一線三等角”模型1.模型說明一線三等角是一個常見的模型，指的是有三個相等的角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似(或全等)圖形，有時也稱“K形圖”或“M形圖”.2.識別方法(1)查找圖形中已知的角，順著這個角的頂點(diǎn)尋找或者構(gòu)造模型中的“一線”；(2)構(gòu)造其他角，構(gòu)造的角的頂點(diǎn)必須在“同一條直線”上，“這條直線”可能在已知角的外部，也可能“穿過”這個角.3.構(gòu)造一線三等角的基本步驟做題過程中，若出現(xiàn)一角的頂點(diǎn)在一條直線上的形式，就可以構(gòu)造兩側(cè)的兩個相等的角，利用全等三角形或相似三角形解決相關(guān)問題.類型圖示結(jié)論同側(cè)型(三等角都在直線的同側(cè))如圖,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上,且∠1,∠2,∠3的兩邊在AB同側(cè)∠1,∠2,∠3可以是銳角、直角,也可以是鈍角.若∠1=∠2=∠3,則①△APC∽△BDP;②當(dāng)?shù)冉撬鶎Φ倪呄嗟葧r，△APC≌△BDP.異側(cè)型(三等角分居直線的兩側(cè))如圖,點(diǎn)P在直線AB上,且∠2,∠3在AB兩側(cè)中點(diǎn)型如圖,A是BD的中點(diǎn),即AB=AD若∠1=∠2=∠3,則△ADE∽△CBA∽△CAE.例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A的雙曲線y=kxx0)同時經(jīng)過點(diǎn)B,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,∠AOB=∠OBA.=45°,【思路分析】圖中點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，可過點(diǎn)A作x軸或γ軸的平行線構(gòu)造一線三等角模型，然后利用相關(guān)知識進(jìn)行計(jì)算.故答案為：1+例2如圖,在△ABC中,AB=AC=BC=3,D是BC上一點(diǎn),BD=1,∠EDF=∠ABC,DF與AC的延長交于點(diǎn)F，(1)求證:△BDE∽△CFD;(2)若CF=m,用含有m的式子表示BE;(3)若點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),求△BDE的面積.【解析】(1)∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC.∴∠FCD=∠EBD.∵∠EDF=∠ABC,∴∠EDF=∠ACB.∵∠ACB是△CDF的外角,∴∠ACB=∠CDF+∠F.又∵∠EDF=∠CDF+∠BDE,∴∠BDE=∠F.∴△BDE∽△CFD.(2)∵BC=3,BD=1,∴CD=BC+BD=4.∵△BDE∽△CFD,∴BDCF=解得BE(3)如圖,過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G.∵AB=AC=BC=3,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),∴BE在Rt△BEG中,EG=sin∴例3如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,過點(diǎn)A作直線MN，分別過點(diǎn)B,C作BD⊥MN于點(diǎn)D,CE⊥MN于點(diǎn)E,BD=2,AD=3,BA平分∠CBD.(1)求證:△ABD∽△CAE∽△CBA;(2)求證:AD=EA;(3)求BC的長.【解析】(1)如圖,由題意知,∠BDA=∠AEC=90°.∴∠1+∠DAB=90°.∵∠BAC=90°,∴∠3+∠DAB=90°.∴∠1=∠3.∴△ABD∽△CAE.∵BA平分∠CBD,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∴∠4=∠5.∴△CAE∽△CBA.∴△ABD∽△CAE∽△CBA.(2)∵△ABD∽△CAE,∴又∵tan∠4=tan∠5,∴∴AD=EA.(3)在Rt△ABD中,AB=A∵△ABD∽△CBA,∴AB2=∴“手拉手”模型1.模型說明(以三角形為例)兩個三角形的頂點(diǎn)重合在一起，其中一個三角形固定不動，另一個三角形繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，就好象手拉著一樣，故叫“手拉手”模型.2.模型特征共頂點(diǎn)的兩個相似三角形部分重合在一起，其中一個三角形固定不動，另一個三角形繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，線段長始終不變，只是旋轉(zhuǎn)角在發(fā)生變化，有相等的邊，則三角形全等，無相等的邊，則三角形相似.(無論是全等還是相似，都是用兩邊相等或兩邊對應(yīng)成比例，夾角始終是相等的)類型圖示全等型如圖,△AOB≌△COD,△AOB固定不動,△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)任意角度始終有:△AOC≌△BOD.相似等腰型如圖，兩個大小不全等的等腰三角形中，若CD∥AB，旋轉(zhuǎn)任意角度始終有:△AOC≌△BOD.若∠AOB=α,結(jié)論：①拉手線AC，BD的夾角為α或180°-α(拉手線AC與BD的夾角與兩個相似三角形共頂點(diǎn)的角相等或者互補(bǔ).因?yàn)樵谛D(zhuǎn)的過程中始終會產(chǎn)生一對相似的“對頂三角形”，如圖2中，△AOM∽△BNM);②拉手線段BD與AC的比值為BD=OBA(拉手線段的比值等于相似比).兩個相似的直角三角形型①以直角頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心如圖1,△AOB中,∠AOB=90°,CD∥AB,以直角頂點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，則△OAC∽△OBD,BD=0Vc=03/?=tan∠OAB.②以銳角頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心如圖1,△ACB中,∠ACB=90°,PM∥BC,以銳角頂點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，則△CAP∽△BAM,AP=CP/AC=cos∠CAB.兩個共頂點(diǎn)的相似直角三角形手拉手的一般結(jié)論：①以直角頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心時，拉手線段的比值為直角三角形中一銳角的正切值；②以銳角頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心時，拉手線段的比值為直角三角形中該銳角的余弦值.手拉手構(gòu)造如圖,△ABC中,點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)(不與A,B重合),作△ADE且△ADE∽△ABC,將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使CE⊥AD.如果題中圖形沒有共頂點(diǎn)的相似圖形就“補(bǔ)形”，也就是構(gòu)造一對共頂點(diǎn)的手拉手相似圖形即可.如圖1和圖2中，補(bǔ)一個以AD為斜邊的等腰直角三角形ADE(題干中一般不指明旋轉(zhuǎn)方向)，BD是拉手線，再補(bǔ)一個拉手線CE，且使CE⊥AD.所有的“補(bǔ)形”基本上都是一致的.例(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)M為BC邊上異于B，C的一點(diǎn)，以AM為邊作等邊三角形AMN,連接CN.BM與NC的數(shù)量關(guān)系為；直線BM與直線NC所夾的較大的角為·(2)深入探究如圖2,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=30°,點(diǎn)M為BC邊上異于B,C的一點(diǎn),以AM為邊在其右側(cè)作Rt△AMN,使∠MAN=90°,∠AMN=∠ABC,連接CN.(1)中的結(jié)論是否成立?請說明理由.(3)拓展延伸如圖3,在正方形ADBC中,點(diǎn)M為BC邊上異于B，C的一點(diǎn)，以AM為邊在其右側(cè)作正方形AMEF,點(diǎn)Ⅳ為正方形AMEF的中心,連接CN,若BC=8,CN=2,請直接寫出正方形AMEF的面積.【思路分析】(1)根據(jù)△ABC,△AMN為等邊三角形,得到AB=AC,AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°,從而得到∠BAC--∠CAM=∠MAN-∠CAM,即∠BAM=∠CAN,證明△BAM≌△CAN,即可得到BM=CN,進(jìn)而可得夾角;(2)方法同(1),證相似;(3)連接AB,AN,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°,∠MAN=45°,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出CNBM=ACAB,得到【解析】(1)BM=CN,120°.提示:∵△ABC,△AMN均為等邊三角形,∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN.∴∠BAM=∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM=∠CAN.∴△ABM≌△ACN.∴BM=CN,∠ACN=∠ABM=60°.∴∠BCN=∠BCA+∠ACN=120°.∴直線BM與直線NC所夾的較大的角為120°.(2)不成立.BM=3CN,直線BM與直線∵△ABC和△AMN中,∠BAC=90°,∠ABC=30°,∠MAN=90°,∠AMN=∠ABC,∴∴∵∠BAM=∠CAN=90°-∠MAC,∴△ABM∽△ACN.∴∴BM=3CN,∠BCN=∠ACB+∠ACN=90°.∴CM⊥NC.∴直線BM與直線NC所夾的較大的角與較小的角均為90°.(3)正方形AMEF的面積為136-32提示:如圖,連接AB,AN.∵四邊形ADBC,AMEF為正方形，點(diǎn)N為正方形AMEF的中心,∴∠ABC=∠BAC=45°,∠MAN=45°.∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC,即∠BAM=∠CAN.∵∴△ABM∽△ACN.∴CNBM=∴∴CM=BC-BM=8-22.;SΞ+跟蹤訓(xùn)練1.如圖1,正方形ABCD的邊長為2,點(diǎn)E,F分別為邊AB,AD的中點(diǎn),將△AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)(α0°≤α≤360°,(1)問題發(fā)現(xiàn)：圖1中，線段BE與DF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)探究證明:將△AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置時，請判斷線段BE與DF的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；(3)拓展延伸：將正方形ABCD改為矩形AB-CD,且AB=6,BC=8,其他條件不變,若將△AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至AE⊥BE,請直接寫出DP的長.中點(diǎn)模型與中點(diǎn)有關(guān)的試題的形式有選填題也有解答題.為了提高解題能力，本專題將介紹中點(diǎn)模型的基本構(gòu)造及運(yùn)用.遇到以下情況考慮中點(diǎn)模型1.已知任意三角形一邊上的中點(diǎn)，可以考慮：倍長中線法，類中線法(與中點(diǎn)有關(guān)的線段)構(gòu)造全等三角形；2.已知直角三角形斜邊的中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造斜邊中線；3.有些題目不直接給出中點(diǎn)，我們可以挖掘其中隱含的中點(diǎn)，比如等腰三角形、等邊三角形、直角三角形斜邊的中點(diǎn)、平行四邊形對角線的交點(diǎn)、圓中圓心是直徑中點(diǎn)等可以出現(xiàn)中點(diǎn)的圖形，通?？紤]用中點(diǎn)模型.類型圖示結(jié)論倍長中線如圖1,在△ABC中,AD為BC邊上的中線.如圖2,延長AD到點(diǎn)E,使ED=AD.①△ACD≌△EBD,類中線法已知:BD=CD.作法一：連接AB上一點(diǎn)M和點(diǎn)D并延長到點(diǎn)N,使ND=MD,連接CN;作法二:過點(diǎn)C作CN∥AB,與過點(diǎn)D的直線交于點(diǎn)N，該直線與AB交于點(diǎn)M.△BDM≌△CDN.`多個中點(diǎn)型若出現(xiàn)多個中點(diǎn)，則作其他邊的平行線構(gòu)造平行四邊形，同時也構(gòu)造了相似比為1：2的相似三角形.構(gòu)造了三個平行四邊形，產(chǎn)生多個相似三角形，等量關(guān)系一大片.直角三角形斜邊上的中點(diǎn)遇到直角三角形斜邊上的中點(diǎn)，則連接直角頂點(diǎn)與中點(diǎn)；或過中點(diǎn)作一條邊的平行線構(gòu)造中位線①AP=BP=CP;②∠PAC=∠PCA;③∠PCB=∠PBC;④PM=BC;⑤△AMP∽△ACB.等腰三角形型遇到等腰三角形底邊中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)相連用“三線合一”.①BD=CD;②AD⊥BC;③∠BAD=∠CAD.例1如圖,在△ABC中,AD為BC邊上的中線，E是線段AD上一點(diǎn)，且AE=12BC,BE的延長線交AC求證:(1)AC=BE;(2)∠ADC=60°.【思路分析】(1)延長AD到T,使得DT=AD,先證明△ADC≌△TDB,得AC=BT,證明BT=BE即可解決問題；(2)在DT上取DM=DC,連接BM.想辦法證明△BDM是等邊三角形即可解決問題.【解析】(1)如圖,倍長AD至點(diǎn)T,連接BT.在△ACD和△TBD中,AD=∴△ACD≌△TBD.∴AC=BT,∠CAD=∠T.又∵AF=EF,∴∠CAD=∠AEF=∠BET=∠T.∴BT=BE.∴AC=BE.(2)在DT上取DM=DC,連接BM.∴AE+ED=ED+DM,即AD=EM.∴△DAC≌△MEB(SAS).∴BM=CD=BD.∴△BDM為等邊三角形.∴∠ADC=∠BDM=60°.例2如圖,在邊長為22的正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接EC,FD,點(diǎn)G,H分別是EC,FD的中點(diǎn),連接GH,則GH的長度為【思路分析】連接CH并延長交AD于M，連接ME,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A=90°,AD∥BC,AB=AD=BC=22.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到MD=【解析】如圖，連接CH并延長,交AD于點(diǎn)M,連接EM.∵H是FD的中點(diǎn),AD∥BC,∴HD=HF,∠MDH=∠CFH.又∵∠MHD=∠CHF,∴△HMD≌△HCF.∴HM=HC,MD=CF.∵點(diǎn)G是EC的中點(diǎn),∴GH是△CEM的中位線.∴易知AM∴∴倍半角模型以坐標(biāo)系和拋物線為背景結(jié)合角度的數(shù)學(xué)試題是近年中考試題及各地市模擬試題的高頻考點(diǎn)題型，該題型以能力立意考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力.本專題主要介紹以坐標(biāo)系為背景的倍半角的基本構(gòu)造及運(yùn)用.解題思路半角向外構(gòu)等腰，倍角向內(nèi)構(gòu)等腰.運(yùn)用知識點(diǎn)全等、相似、勾股定理、平行線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等.類型作法及基本思路圖示半角如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(m,0),點(diǎn)B(0,n),在y軸上求一點(diǎn)P,使∠PAO=∠BAO,求出直線AP的解析式.如圖1,以Rt△AOB的斜邊AB為腰向右構(gòu)造等腰△ABC，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后求出直線BC的解析式,再過點(diǎn)A作AP?∥BC,即可求出點(diǎn)P?的坐標(biāo)，然后求出AP?的解析式.如圖2，將直線AP?沿x軸向上翻折可求出直線AP?關(guān)于x軸對稱的直線AP?的解析式.如圖3,過點(diǎn)A作∠BAO的角平分線AP?,交y軸于點(diǎn)P?,過點(diǎn)P?作P?M⊥AB于點(diǎn)M,則OP?=P?M,S△AOP?+S△P?AB=S△AOB,即可求出OP?的長，再求出點(diǎn)P?的坐標(biāo)，然后求出直線AP?的解析式.如圖4，向上翻折后求出直線AP?的解析式.二倍角如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(0,m),點(diǎn)B(0,n),在x軸上求一點(diǎn)P,使∠OPB=2∠BAO,求直線BP的解析式.如圖5，在x軸上取一點(diǎn)P?，使.BP?=AP?,則∠OP?B=2∠BAO.設(shè)點(diǎn)P?的坐標(biāo)后,解直角三角形BOP?，求出點(diǎn)P?的坐標(biāo)，然后求出BP?的解析式.如圖6，將直線BP?沿γ軸翻折可求出直線BP?的解析式.例1如圖,拋物線y=43x2+bx+c交x軸于(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn),當(dāng)∠PBA=12∠ABC時，請直接寫出點(diǎn)【解析】(1)∵A(-1,0),B(3,0)是拋物線上的兩點(diǎn)，∴43-b∴拋物線的解析式為y(2)解法一:如圖1,延長AB到點(diǎn)F,使BF=BC,易知∠∵B(3,0),C(0,-4),∴OB=3,OC=4.∴∴OF=OB+BF=8.∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(8,0).分兩種情況：(i)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時，過點(diǎn)B作BP?∥CF.∴∠設(shè)CF的解析式為γ=kx+b,∵直線CF經(jīng)過點(diǎn)C(0,-4),F(8,0),∴8k+∴直線CF的解析式為y∵BP?∥CF,∴設(shè)直線P?B的解析式為y將點(diǎn)B(3,0)代入,解得b∴直線P?B的解析式為y∵點(diǎn)P在直線y=12x-32和拋物線∴y解得x1=-5∴點(diǎn)P?的坐標(biāo)為-(ii)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時,直線P?B與直線P?B關(guān)于x軸對稱，∴直線P?B的解析式為y∵點(diǎn)P在直線y=-12x+32和拋物線∴解得x1=-11∴點(diǎn)P?的坐標(biāo)為-綜上可知，當(dāng)∠PBA=12∠ABC時，點(diǎn)P解法二:如圖2,作∠ABC的平分線BM?,交y軸于點(diǎn)M?,過點(diǎn)M?作M?N⊥BC于點(diǎn)N.∴∠∵B(3,0),C(0,-4),∴OB=3,OC=4.∴設(shè)OM?=SS∵∴32h∴點(diǎn)M易求出直線BM?的解析式為y∵點(diǎn)P在直線y=12x-32和拋物線∴解得x1=-5∴點(diǎn)P?的坐標(biāo)為-(ii)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時,直線P?B與直線P?B關(guān)于x軸對稱，∴直線P?B的解析式為y∵點(diǎn)P在直線y=-12-