固體物理學例題

補充例題03試做出簡單立方晶格、面心立方晶格和體心立方晶格的維格納—塞茨原胞(Wingner-Seitz)

WS原胞——由某一個格點為中心做出最近各點和次近各點連線的中垂面——這些包圍的空間為維格納—塞茨原胞1固體物理學例題5/8/2024補充例題01做出石墨烯Graphene的原胞Graphene(石墨烯)的兩種原胞取法，每個原胞有2個碳原子Graphene2固體物理學例題5/8/2024補充例題02做出石墨Graphite的原胞石墨原胞取法，每層2個原子，取兩層原胞有4個碳原子GraphiteA層B層3固體物理學例題5/8/2024簡單立方的WS原胞——原點和6個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的立方體4固體物理學例題5/8/2024面心立方晶格的WS原胞——為原點和12個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正十二面體

5固體物理學例題5/8/2024體心立方的WS原胞——為原點和8個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正八面體，和沿立方軸的6個次近鄰格點連線的垂直平分面割去八面體的六個角，形成的14面體（截角八面體）其中八個面是正六邊形，六個面是正四邊形

6固體物理學例題5/8/2024習題1.2習題1.1習題1.3晶格常數(shù)為a的簡立方晶格，與正格矢R正交的晶面族指數(shù)是什么？晶面間距d是？習題1.4繪畫石墨烯的普通原胞和WS原胞7固體物理學例題5/8/2024a1a2a3-a3-a2-a1四指數(shù)晶向指數(shù)，取與坐標軸的垂直截距，而非平行四邊形截距。[1,0,-1,0]a1a2-a2-a1[1,1/2,0]

[2,1,0]三指數(shù)晶向指數(shù)取與坐標軸的平行四邊形截距(坐標)。（為取指數(shù)方便，例子中紅色的晶向的表示矢量可以任意伸縮）六角晶格特殊的晶面指數(shù)表示

8固體物理學例題5/8/2024習題1.7證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是體心立方。習題1.8證明：倒格子矢量垂直于密勒指數(shù)為(h1h2h3)的晶面系。習題1.6(試用倒格矢關系證明)習題1.5計算二維六角的倒格子基矢，畫出其1BZ9固體物理學例題5/8/2024習題二提示1)：提示2)：10固體物理學例題5/8/2024雙原子鏈：M=m:得到等質量一維雙原子鏈：

11固體物理學例題5/8/2024等質量一維雙原子鏈：

一維單原子鏈：

等價性？等質量一維雙原子鏈相當于取單原子鏈原胞兩倍為晶胞，對應1BZ大小減半，單原子鏈超出部分的色散曲線折疊入1BZ成為光學支，保持1BZ總格波模式為“N=原子數(shù)”-----------這也是為什么使用原胞概念.12固體物理學例題5/8/2024練習3.1解釋概念格波色散關系聲子13固體物理學例題5/8/2024幾種簡單情況下振動模式密度的表示

例1：計算一維單原子鏈的振動模式密度。—最大頻率振動模式密度定義：一維情況下每個波矢占據(jù)寬度單位長度里的波矢密度：dq長度里的波矢數(shù)：14固體物理學例題5/8/2024考慮到一個頻率可以有兩個值振動模式密度15固體物理學例題5/8/2024一維單原子鏈的振動模式密度16固體物理學例題5/8/2024類似的，一維雙原子鏈的振動模式密度17固體物理學例題5/8/2024幾種簡單情況下振動模式密度的表示

例2：計算三維長聲學波在彈性波近似下的振動模式密度。其中彈性波色散關系，由于波速(色散關系)與傳播方向q無關，故在q空間等頻面為球面，球殼體積：彈性波態(tài)密度呈現(xiàn)拋物線形。10/36直接由態(tài)密度定義，dn=密度*體積1.18固體物理學例題5/8/2024由于波速(色散關系)與傳播方向q無關，故在q空間等頻面為球面，ds積分即該球面面積：于是：方法2.直接利用公式：19固體物理學例題5/8/2024固體物理教程--王矜奉習題3.10習題3.120固體物理學例題5/8/2024色散關系沒有方向性(qx,qy無區(qū)分),等頻率面在二維情況下為圓環(huán)，圓環(huán)周長為：

例3：

N個相同原子組成二維簡單晶格，面積為S，用徳拜模型計算比熱,證明其低溫下與T2正比。證：徳拜模型使用彈性波近似，色散關系為w=vq。qxqyq二維晶格有兩支格波，一支橫波、一支縱波，速度分別為vL,vT。令21固體物理學例題5/8/2024先確定德拜頻率wD：熱容表示為，二維格波總模式數(shù)2N,把態(tài)密度和德拜頻率wD帶入熱容公式：做變量代換,22固體物理學例題5/8/2024熱容表示為，高溫時

，對積分內(nèi)只保留x的一階小量,

與經(jīng)典熱容理論一致.低溫時

，熱容與溫度平方成正比.23固體物理學例題5/8/2024固體物理教程--王矜奉習題3.10習題3.2其中ds為該支格波的等頻面，由于題中色散關系沒有方向性，故為球面：推廣可以證明：如果色散關系提示：二維三維一維24固體物理學例題5/8/2024習題3.3對一維簡單晶格(一維單原子鏈)，按照徳拜模型，求晶格熱容；并證明高溫熱容為常數(shù)NkB,低溫熱容正比于T。固體物理教程--王矜奉習題3.13注：徳拜模型即使用彈性波近似，色散關系為w=vq。25固體物理學例題5/8/2024色散關系沒有方向性(qx,qy無區(qū)分),等頻率面在二維情況下為圓環(huán)，圓環(huán)周長為：

例3：

N個相同原子組成二維簡單晶格，面積為S，用徳拜模型計算比熱,證明其低溫下與T2正比。證2：徳拜模型使用彈性波近似，色散關系為w=vq。qxqyq26固體物理學例題5/8/2024二維簡單晶格共有2支格波：27固體物理學例題5/8/2024

例1：分別以定義和態(tài)密度計算自由電子的0K費米能。

方法1電子濃度28固體物理學例題5/8/2024方法2E到E+dE間電子數(shù)總電子數(shù)29固體物理學例題5/8/2024習題：證明二維自由電子的態(tài)密度(除以單位面積)為常數(shù);一維自由電子的態(tài)密度(除以單位長度)~E-1/2；（并求出各自費米面處態(tài)密度）30固體物理學例題5/8/2024自由電子模型，溫度T下電子滿足:TESTtest

例1：分別以定義和態(tài)密度計算自由電子的0K費米能。

TEST31固體物理學例題5/8/2024例題1計算一維單原子鏈的緊束縛能帶(L=na)對于中心原子，只考慮左右近鄰，Rs=±a利用具有相同的值3