19.1.2 矩形的判定 華東師大版八年級數(shù)學(xué)下冊學(xué)案

2.矩形的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解并掌握矩形的判定方法．2．能應(yīng)用矩形定義、判定等知識，解決簡單的證明題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的分析能力．自主學(xué)習(xí)一、知識鏈接1.四邊形的內(nèi)角和為_______.2.矩形有哪些性質(zhì)？在這些性質(zhì)中哪些是平行四邊形所沒有的？列表進(jìn)行比較.平行四邊形矩形邊角對角線二、新知預(yù)習(xí)自學(xué)教材P102—P104，完成下列問題1．矩形是特殊的平行四邊形，怎樣判定一個平行四邊形是矩形呢?請說出最基本的方法（矩形的定義）：___________________________________________________.2．做一做：按照畫“邊－直角、邊－直角、邊－直角、邊”這樣四步畫出一個四邊形.它是一個矩形嗎?說明理由.（探索得到矩形的一個判定）3.思考：小華想要做一個矩形相框送給媽媽做生日禮物，于是找來兩根長度相等的短木條和兩根長度相等的長木條制作，你有什么辦法可以檢測他做的是矩形相框嗎？（得到矩形的另一個判定）總結(jié)：矩形判定方法1：_______________________________.矩形判定方法2：_______________________________.合作探究一、探究過程探究點1：矩形判定定理1，2問題1：已知：如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求證：四邊形ABCD是矩形.證明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=_______°,∠B+∠C=_______°.∴AD_____BC,AB_____CD.∴四邊形ABCD是______________，∴四邊形ABCD是________.【要點歸納】矩形的判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形.幾何語言描述：在四邊形ABCD中，若∠A=∠B=∠C=90°,則四邊形ABCD是矩形.問題2：已知：如圖,在□ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線,AC=DB.求證：□ABCD是矩形.證明：∵AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC______△DCB,∴∠ABC______∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=______°.∴∠ABC=_______°.∴□ABCD是__________.【要點歸納】矩形的判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形.幾何語言描述：在￡ABCD中，若AC=BD，則□ABCD是矩形.例1（教材P104例4）如圖,矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的一點,且AE=BF=CG=DH.求證:四邊形EFGH是矩形.【針對訓(xùn)練】1.如圖，在平行四邊形ABCD中,∠1=∠2中.此時四邊形ABCD是矩形嗎？為什么？例2（教材P105例6）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，AE是△BAC的外角平分線，DE∥AB交AE于點E，求證：四邊形ADCE是矩形．【針對訓(xùn)練】2.如圖,直線EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C兩點,AB、CB、CD、AD分別是∠EAC、∠MCA、∠ACN、∠CAF的平分線,則四邊形ABCD是（）A.梯形B.平行四邊形C.矩形D.不能確定例3平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在CD上，CF=AE，連結(jié)BF，AF．

（1）求證：四邊形BFDE是矩形；

（2）若AF平分∠BAD，且AE=2，DE=4，求矩形BFDE的面積．二、課堂小結(jié)內(nèi)容矩形的判定定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形.判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形.當(dāng)堂檢測1.在判斷“一個四邊形門框是否為矩形”的數(shù)學(xué)活動課上，一個學(xué)習(xí)小組的4位同學(xué)分別擬定了如下的方案，其中正確的是（）A．測量對角線是否相等B．測量兩組對邊是否分別相等C．測量一組對角是否都為直角D．測量其中三個角是否都為直角2.如圖，在□ABCD中，AC和BD相交于點O，則下面條件能判定□ABCD是矩形的是（）A．AC=BDB．AC=BCC．AD=BCD．AB=AD3.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求證：四邊形ABCD是矩形．4.如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，延長OA到N，使ON＝OB，再延長OC至M，使CM＝AN.求證：四邊形NDMB為矩形．參考答案自主學(xué)習(xí)一、知識鏈接1.360°2.平行四邊形矩形邊對邊平行且相等對邊平行且相等角對角相等，鄰角互補(bǔ)四個內(nèi)角都是直角對角線對角線互相平分對角線相等且互相平分二、新知預(yù)習(xí)解：1.有一個內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形2.是矩形.由題意可知，該四邊形有三個內(nèi)角是直角，且兩組對邊分別平行，所以它是平行四邊形，而且是矩形.3.測量兩條對角線的長度，若相等，則該四邊形是矩形.總結(jié)：有三個角是直角的四邊形是矩形對角線相等的平行四邊形是矩形合作探究一、探究過程探究點1：問題1：180180∥∥平行四邊形矩形問題2：≌=18090°矩形例1證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=CO=BO=DO.∵AE=BF=CG=DH，∴EO=FO=GO=HO.∴四邊形EFGH是平行四邊形.又∵EO+GO=EG=FO+HO=FH，∴四邊形EFGH是矩形.【針對訓(xùn)練】1.解：四邊形ABCD是矩形；理由：在平行四邊形ABCD中，AO=CO，BO=DO.∵∠1=∠2，∴AO=BO，即AO=CO=BO=DO.∴AC=AO+CO=BO+DO=BD.∴四邊形ABCD是矩形.例2證明：∵AB＝AC，∴∠B=∠ACB，∠FAC=∠B+∠ACB=2∠B.∵AE平分∠FAC,∴∠FAC=2∠FAE.∴∠B=∠FAE.∴AE∥BC.又∵DE∥AB，∴四邊形ABDE為平行四邊形.∴AE=BD.∵AB＝AC，AD是BC邊上的高，∴BD=DC.∴AE=DC.又∵AE∥DC，∴四邊形ADCE為平行四邊形.∵∠ADC=90°，∴四邊形ADCE是矩形．【針對訓(xùn)練】2.C例3（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD.∴DF∥BE.∵CF=AE，∴DF=BE，

∴四邊形BFDE是平行四邊形.∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°.∴四邊形BFDE是矩形．

（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD.∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠AFD.∴AD=DF，在Rt△ADE中，∵AE=2，DE=4，∴∴∴矩形BFDE的面積=DF×DE=當(dāng)堂檢測1.D2.A3.證明：∵AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠D=