高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題四數(shù)列推理與證明第3講數(shù)列的綜合問(wèn)題理市賽課公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省名師獲獎(jiǎng)?wù)n件

第3講數(shù)列綜合問(wèn)題專(zhuān)題四數(shù)列、推理與證實(shí)1/49熱點(diǎn)分類(lèi)突破真題押題精練2/49Ⅰ熱點(diǎn)分類(lèi)突破3/49熱點(diǎn)一利用Sn，an關(guān)系式求an1.數(shù)列{an}中，an與Sn關(guān)系2.求數(shù)列通項(xiàng)慣用方法(1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式.(2)在已知數(shù)列{an}中，滿(mǎn)足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列通項(xiàng)an.(3)在已知數(shù)列{an}中，滿(mǎn)足

＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，則可用累乘法求數(shù)列通項(xiàng)an.(4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)數(shù)列(等差、等比數(shù)列).4/49例1

已知等差數(shù)列{an}中，a2＝2，a3＋a5＝8，數(shù)列{bn}中，b1＝2，其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足：

bn＋1＝Sn＋2(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}，{bn}通項(xiàng)公式；解答5/49解∵a2＝2，a3＋a5＝8，∴2＋d＋2＋3d＝8，∴d＝1，∴an＝n.∵bn＋1＝Sn＋2(n∈N*)，

①∴bn＝Sn－1＋2(n∈N*，n≥2). ②由①－②，得bn＋1－bn＝Sn－Sn－1＝bn(n∈N*，n≥2)，∴bn＋1＝2bn(n∈N*，n≥2).∵b1＝2，b2＝2b1，∴{bn}為首項(xiàng)為2，公比為2等比數(shù)列，∴bn＝2n.6/49解答思維升華給出Sn與an遞推關(guān)系，求an，慣用思緒：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間關(guān)系，再求an.思維升華7/49兩式相減，得8/49證實(shí)跟蹤演練1

(·天津市紅橋區(qū)重點(diǎn)中學(xué)八校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足Sn－n＝2(an－2)(n∈N*).(1)證實(shí)：數(shù)列{an－1}為等比數(shù)列；9/49證實(shí)∵Sn－n＝2(an－2)，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1－(n－1)＝2(an－1－2)，兩式相減，得an－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1－1，∴an－1＝2(an－1－1)，又當(dāng)n＝1時(shí)，a1－1＝2(a1－2)，得a1＝3，a1－1＝2，∴數(shù)列{an－1}是以2為首項(xiàng)，2為公比等比數(shù)列.10/49(2)若bn＝an·log2(an－1)，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn.解答11/49解由(1)知，an－1＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n＋1，又bn＝an·log2(an－1)，∴bn＝n(2n＋1)，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)，設(shè)An＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，則2An＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，兩式相減，得－An＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋112/49∴An＝(n－1)×2n＋1＋2.13/49熱點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問(wèn)題數(shù)列與函數(shù)綜合問(wèn)題普通是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿(mǎn)足條件，通常利用點(diǎn)在曲線上給出Sn表示式，還有以曲線上切點(diǎn)為背景問(wèn)題，處理這類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化.數(shù)列與不等式綜合問(wèn)題普通以數(shù)列為載體，考查最值問(wèn)題，不等關(guān)系或恒成立問(wèn)題.14/49例2

設(shè)fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.(1)求fn′(2)；解答15/49解方法一由題設(shè)fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1，所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，

①則2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，

②由①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n所以fn′(2)＝(n－1)2n＋1.16/49＝(n－1)2n＋1.17/49證實(shí)思維升華處理數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問(wèn)題要注意以下幾點(diǎn)(1)數(shù)列是一類(lèi)特殊函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時(shí)要尤其重視.(2)解題時(shí)準(zhǔn)確結(jié)構(gòu)函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)注意限制條件.(3)不等關(guān)系證實(shí)中進(jìn)行適當(dāng)放縮.思維升華18/49證實(shí)因?yàn)閒n(0)＝－1＜0，又f′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，19/4920/49證實(shí)跟蹤演練2

(屆浙江省寧波市期末)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝2，an＋1＝2(Sn＋n＋1)(n∈N*)，令bn＝an＋1.(1)求證：{bn}是等比數(shù)列；證實(shí)a1＝2，a2＝2(2＋2)＝8，an＋1＝2(Sn＋n＋1)(n∈N*)an＝2(Sn－1＋n)(n≥2)，兩式相減，得an＋1＝3an＋2(n≥2).經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n＝1時(shí)上式也成立，即an＋1＝3an＋2(n≥1).所以an＋1＋1＝3(an＋1)，即bn＋1＝3bn，且b1＝3.故{bn}是等比數(shù)列.21/49(2)記數(shù)列{nbn}前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn；解答解由(1)得bn＝3n.Tn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，3Tn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，兩式相減，得－2Tn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋122/49證實(shí)23/4924/4925/49熱點(diǎn)三數(shù)列實(shí)際應(yīng)用用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是合理建立數(shù)學(xué)模型——數(shù)列模型，搞清所結(jié)構(gòu)數(shù)列是等差模型還是等比模型，它首項(xiàng)是什么，項(xiàng)數(shù)是多少，然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問(wèn)題.求解時(shí)，要明確目標(biāo)，即搞清是求和，還是求通項(xiàng)，還是解遞推關(guān)系問(wèn)題，所求結(jié)論對(duì)應(yīng)是解方程問(wèn)題，還是解不等式問(wèn)題，還是最值問(wèn)題，然后進(jìn)行合理推算，得出實(shí)際問(wèn)題結(jié)果.26/49例3

自從祖國(guó)大陸允許臺(tái)灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來(lái)，在11個(gè)省區(qū)設(shè)置了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺(tái)灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺(tái)灣農(nóng)民在那里申辦個(gè)體工商戶(hù)能夠享受“綠色通道”申請(qǐng)、受理、審批一站式服務(wù)，某臺(tái)商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬(wàn)元蔬菜加工廠M，M價(jià)值在使用過(guò)程中逐年降低，從第二年到第六年，每年年初M價(jià)值比上年年初降低10萬(wàn)元，從第七年開(kāi)始，每年年初M價(jià)值為上年年初75%.(1)求第n年年初M價(jià)值an表示式；解答27/49解當(dāng)n≤6時(shí)，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為120，公差為－10等差數(shù)列，故an＝120－10(n－1)＝130－10n，當(dāng)n≥7時(shí)，數(shù)列{an}從a6開(kāi)始項(xiàng)組成一個(gè)以a6＝130－60＝70為首項(xiàng)，以

為公比等比數(shù)列，28/49(2)設(shè)An＝

，若An大于80萬(wàn)元，則M繼續(xù)使用，不然須在第n年年初對(duì)M更新，證實(shí)：必須在第九年年初對(duì)M更新.證實(shí)思維升華29/49證實(shí)設(shè)Sn表示數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，由等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式，得當(dāng)1≤n≤6時(shí)，Sn＝120n－5n(n－1)，當(dāng)n≥7時(shí)，因?yàn)镾6＝570，30/49因?yàn)閧an}是遞減數(shù)列，所以{An}是遞減數(shù)列.所以必須在第九年年初對(duì)M更新.31/49思維升華常見(jiàn)數(shù)列應(yīng)用題模型求解方法(1)產(chǎn)值模型：原來(lái)產(chǎn)值基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增加率為p，對(duì)于時(shí)間n總產(chǎn)值y＝N(1＋p)n.(2)銀行儲(chǔ)蓄復(fù)利公式：按復(fù)利計(jì)算利息一個(gè)儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期利率為r，存期為n，則本利和y＝a(1＋r)n.(3)銀行儲(chǔ)蓄單利公式：利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期利率為r，存期為n，則本利和y＝a(1＋nr).(4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b＝ .32/49跟蹤演練3

(·全國(guó)Ⅰ)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”活動(dòng).這款軟件激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)兩項(xiàng)是20,21，再接下來(lái)三項(xiàng)是20,21,22，依這類(lèi)推.求滿(mǎn)足以下條件最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列前N項(xiàng)和為2整數(shù)冪.那么該款軟件激活碼是A.440 B.330 C.220 D.110√答案解析33/4934/49設(shè)N是第n＋1組第k項(xiàng)，若要使前N項(xiàng)和為2整數(shù)冪，35/49Ⅱ真題押題精練36/49真題體驗(yàn)1.(·浙江)設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝___，S5＝_____.1答案解析1212137/4912當(dāng)n≥2時(shí)，由已知可得an＋1＝2Sn＋1，

①an＝2Sn－1＋1，

②由①－②，得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1，∴{an}是以a1＝1為首項(xiàng)，以q＝3為公比等比數(shù)列.38/492.(·山東)已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)等比數(shù)列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.(1)求數(shù)列{xn}通項(xiàng)公式；解設(shè)數(shù)列{xn}公比為q.12所以3q2－5q－2＝0，由已知得q＞0，所以q＝2，x1＝1.所以數(shù)列{xn}通項(xiàng)公式為xn＝2n－1.解答39/49(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折線P1P2…Pn＋1，求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所圍成區(qū)域面積Tn.12解答40/49解過(guò)P1，P2，…，Pn＋1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，…，Qn＋1.由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，記梯形PnPn＋1Qn＋1Qn面積為bn，12所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2，

①則2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1，

②由①－②，得41/49－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－11242/49押題預(yù)測(cè)解答押題依據(jù)本題綜合考查數(shù)列知識(shí)，考查反證法數(shù)學(xué)方法及邏輯推理能力.已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足關(guān)系式Sn