概率論多維隨機(jī)變量及其分布市公開課一等獎(jiǎng)省賽課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

第三章多維隨機(jī)變量及其分布§1

二維隨機(jī)變量1、二維r.v.定義:

設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),樣本空間是S={e},設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上r.v.,由它們組成一個(gè)向量(X,Y),叫做二維r.v.注:二維r.v.(X,Y)性質(zhì)不但與X和Y相關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)r.v.相互關(guān)系.第1頁怎樣描述二維r.v.(X,Y)統(tǒng)計(jì)規(guī)律?

2.二維r.v.(聯(lián)合)分布函數(shù):第2頁圖2若將(X,Y)看成平面上隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo),則分布函數(shù)F(x,y)值為(X,Y)落在陰影部分概率(如圖1)圖1第3頁二維r.v.分布函數(shù)基本性質(zhì)與一維r.v.分布函數(shù)F(x)性質(zhì)類似:1、F(x,y)是x和y不減函數(shù)。3、F(x,y)分別關(guān)于x，y右連續(xù)。第4頁3.下面分別討論二維離散型和連續(xù)型r.v.(一)二維離散型r.v.第5頁例1.設(shè)r.v.X在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值,r.v.Y則在1~X中等可能地取一整數(shù),試求(X,Y)分布律.二維離散隨機(jī)變量分布律第6頁(二)二維連續(xù)型r.v.第7頁第8頁第9頁§2.邊緣分布

一、邊緣分布函數(shù)：第10頁二、邊緣分布律：第11頁例1(續(xù))Y1234p?j

11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16

pi?X1/41/41/41/425/4813/487/483/481第12頁三、邊緣概率密度:第13頁第14頁注:由二維隨機(jī)變量(X,Y)概率分布(X,Y)聯(lián)合分布可唯一地確定X和Y邊緣分布,反之,若已知X,Y邊緣分布,并不一定能確定它們聯(lián)合分布.第15頁§3.條件分布

一、二維離散型r.v.情況:第16頁第17頁例1.設(shè)(X,Y)分布律為:Y012300.8400.0300.0200.01010.0600.0100.0080.00220.0100.0050.0040.001求在X=1時(shí)Y條件分布律.X用表格形式表示為:

k012P{Y=k|X=1}6/92/91/9第18頁例2一射擊手進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)概率為p(0<p<1),射擊到擊中目標(biāo)兩次為止,設(shè)以X表示首次擊中目標(biāo)進(jìn)行射擊次數(shù),以Y表示總共進(jìn)行射擊次數(shù),試求X和Y聯(lián)合分布律和條件分布律.第19頁第20頁二、二維連續(xù)型r.v.條件分布首先引入條件分布函數(shù),然后得到條件概率密度.第21頁深入能夠化為:第22頁第23頁例3.設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0,1)上隨機(jī)地取值,當(dāng)觀察到X=x(0<x<1)時(shí),數(shù)Y在區(qū)間(x,1)上隨機(jī)地取值,求Y概率密度.第24頁§4.相互獨(dú)立隨機(jī)變量

由兩個(gè)事件相互獨(dú)立概念可引出兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立概念.第25頁2.等價(jià)定義:例:設(shè)X和Y都服從參數(shù)=1指數(shù)分布且相互獨(dú)立,試求P{X+Y≤1}.第26頁第27頁3.命題：設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則X,Y相互獨(dú)立充要條件是

=0.第28頁5.一個(gè)主要定理:設(shè)(X1,X2,…,Xm)和

(Y1,Y2,…Yn)相互獨(dú)立,則Xi(i=1,2,…,m)和Yj(j=1,2,…,n)相互獨(dú)立,又若h,g是連續(xù)函數(shù),則

h(X1,X2,…,Xm)和

g(Y1,Y2,…Yn)

相互獨(dú)立.4.邊緣分布及相互獨(dú)立性概念能夠推廣到n維r.v.情況.第29頁§5.兩個(gè)r.v.函數(shù)分布(一)和(Z=X+Y)分布:已知X,Y聯(lián)合密度f(x,y),

求Z=X+Y分布密度.第30頁結(jié)論:若X,Y是連續(xù)型r.v.且X與Y相互獨(dú)立,則X+Y也是連續(xù)型r.v.且它密度函數(shù)為X與Y密度函數(shù)卷積.第31頁例1.(P86)設(shè)X和Y相互獨(dú)立,且都服從N(0,1),求:Z=X+Y分布密度.第32頁結(jié)論:第33頁第34頁(二)商(Z=X/Y)分布:當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí),則有第35頁第36頁(三)M=max(X,Y)及m=min(X,Y)分布:設(shè)X,Y相互獨(dú)立,分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y).首先求M=max(X,Y)分布.第37頁第38頁推廣:設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,分布函數(shù)分別為F1(x),F2(x),…,Fn(x),

則M=max(X1,X2,…,Xn)分布函數(shù)為

FM(z)=F1(z)·F2(z)…Fn(z)

N=min(X1,X2,…,Xn)分布函數(shù)為

FN(z)=1-(1-F1(z))·(1-F2(z))…(1-Fn(z))尤其地,當(dāng)X1,X2,…,Xni.i.d.時(shí),設(shè)分布函數(shù)為F(x),第39頁(四)用“分布函數(shù)法”導(dǎo)出兩r.v.密度函數(shù)關(guān)鍵點(diǎn):第40頁第41頁參數(shù)為瑞利分布第42頁(五)對于離散型r.v.函數(shù)分布:設(shè)X,Y是離散型r.v.且相互獨(dú)立,其分布律分別為:P{X=i}=pi,i=0,1,2,3,…,P{Y=j}=qj,j=0,1,2,3,…,求Z=X+Y分布律.解:P{Z=i}=P{X+Y=i}于是有:

這就是Z=X+Y分布律.第43頁例5設(shè)X,Y是相互獨(dú)立r.v.,分別服從參數(shù)為

1,2泊松分布,試證實(shí)Z=X+Y也服從泊松分布.證實(shí):已知P{Z=i}第44頁第45頁第46頁第三章習(xí)題課一.主要內(nèi)容：(1)二維r.v.分布函數(shù),離散型r.v.聯(lián)合分布,連續(xù)型r.v.聯(lián)合概率密度.(2)邊緣分布函數(shù);邊緣分布律;邊緣概率密度.(3)條件分布律;條件概率密度.(4)隨機(jī)變量相互獨(dú)立.(5)兩個(gè)r.v.函數(shù)分布.第47頁二.練習(xí)題:1.設(shè)某人從1,2,3,4四個(gè)數(shù)中依次取出兩個(gè)數(shù),記X為第一次所取出數(shù),Y為第二次所取出數(shù),若第一次取后不放回,求X和Y聯(lián)合分布律.=P{X=i}P{Y=j|X=i}第48頁第49頁第50頁第51頁第52頁5.設(shè)離散型隨機(jī)變量X與Y分布列分別為X01