1.4-直角三角形的射影定理市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省賽課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

1/20[讀教材·填關(guān)鍵點(diǎn)]1．射影相關(guān)概念

(1)從一點(diǎn)向一直線(xiàn)所引垂線(xiàn)垂足，叫做這個(gè)點(diǎn)在這條直線(xiàn)上

．

(2)線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)在這條直線(xiàn)上正射影間線(xiàn)段，叫做這條線(xiàn)段在直線(xiàn)上

．

(3)

正射影簡(jiǎn)稱(chēng)為射影．正射影正射影點(diǎn)和線(xiàn)段2/202．射影定理直角三角形斜邊上

百分比中項(xiàng)；兩直角邊分別是

與

百分比中項(xiàng)．兩直角邊在斜邊上射影它們?cè)谛边吷仙溆靶边?/20[小問(wèn)題·大思維]1．線(xiàn)段正射影還是線(xiàn)段嗎？提醒：不一定．當(dāng)該線(xiàn)段所在直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直時(shí)，線(xiàn)段正射影為一個(gè)點(diǎn)．

2．怎樣用勾股定理證實(shí)射影定理？提醒：如圖，在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，∴AD2＋2·AD·DB＋DB2＝AC2＋BC2，即2AD·DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2.4/20∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，∴2AD·DB＝2CD2，即CD2＝AD·DB.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD·DB＝AD(AD＋DB)＝AD·AB，即AC2＝AD·AB.在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD·DB＋BD2＝BD(AD＋DB)＝BD·AB，即BC2＝BD·AB.5/20[研一題]

[例1]如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上高，已知BD＝4，AB＝29，試求BC，AC和CD長(zhǎng)度．分析：本題考查射影定理與勾股定理應(yīng)用．解答本題可由已知條件先求出AD，然后利用射影定理求BC，AC和CD長(zhǎng)度．6/207/20[悟一法]利用射影定理時(shí)，要注意其成立條件，要結(jié)合圖形去記憶定理，當(dāng)所給條件中具備定理?xiàng)l件時(shí)，可直接利用定理，不具備時(shí)可經(jīng)過(guò)作垂線(xiàn)使之滿(mǎn)足定理?xiàng)l件，再利用定理．8/20[通一類(lèi)]9/2010/20[研一題]

[例2]如圖所表示，CD垂直平分AB，點(diǎn)E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F(xiàn)、G分別為垂足．求證：AF·AC＝BG·BE.分析：本題考查射影定理應(yīng)用，以及利用分割法分析處理問(wèn)題能力，解答本題需要將原圖形分割成兩個(gè)直角三角形，然后分別利用射影定理求證．11/2012/20[悟一法]將原圖分成兩部分來(lái)看，分別在兩個(gè)三角形中利用射影定理，實(shí)現(xiàn)了溝通兩個(gè)百分比式目標(biāo)，在求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一定要注意對(duì)圖形進(jìn)行剖析．13/20[通一類(lèi)]2．如圖，AD、BE是△ABC高，DF⊥AB于F，交BE于G，F(xiàn)D延長(zhǎng)線(xiàn)交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于H，求證：DF2＝FG·FH.14/20證實(shí)：∵BE⊥AC，∴∠ABE＋∠BAE＝90°.同理，∠H＋∠HAF＝90°∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA，∴△BFG∽△HFA.∴BF∶HF＝FG∶AF.∴BF·AF＝FG·FH.Rt△ADB中，DF2＝BF·AF，∴DF2＝FG·FH.15/20射影定理常與勾股定理及三角形相同等問(wèn)題結(jié)合考查.年中山模擬將射影定理與勾股定理相結(jié)合，考查其在幾何相關(guān)量計(jì)算中應(yīng)用，是高考模擬命題一個(gè)考向．16/20[考題印證](·中山模擬)如圖，在△ABC中，D、F分別在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1.求AC長(zhǎng)．

[命題立意]本題主要考查射影定理和勾股定理綜合應(yīng)用．17/20解：在△ABC中，設(shè)AC為x，∵AB⊥AC，AF⊥BC又FC＝1，依據(jù)射影定理，