高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第八章立體幾何第3講點直線平面之間的位置關(guān)系配套理市賽課公開課一等獎省名師獲獎PP

第3講點、直線、平面之間位置關(guān)系1/39考綱要求考點分布考情風(fēng)向標(biāo)1.了解空間直線、平面位置關(guān)系定義，并了解以下能夠作為推理依據(jù)公理和定理.◆公理1：假如一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上全部點在此平面內(nèi).◆公理2：過不在同一條直線上三點，有且只有一個平面.◆公理3：假如兩個不重合平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點公共直線.◆公理4：平行于同一條直線兩條直線相互平行.◆定理：空間中假如兩個角兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.2.以立體幾何上述定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和了解空間中線面平行、垂直相關(guān)性質(zhì)與判定定理綱領(lǐng)第15題考查異面直線所成角；綱領(lǐng)第16題考查異面直線所成角；新課標(biāo)Ⅰ第19題(1)以三棱柱為背景，證實線線垂直；(2)考查線面位置判定定理及求三棱柱體積；綱領(lǐng)第4題考查異面直線所成角；新課標(biāo)Ⅰ第19題(1)以三棱柱為背景，證實線線垂直；(2)考查線面位置判定定理、性質(zhì)定理及求三棱柱高；新課標(biāo)Ⅰ第11題考查異面直線所成角；新課標(biāo)Ⅱ第10題考查異面直線所成角平面基本性質(zhì)是研究立體幾何基礎(chǔ)，是高考主要考點之一，考查內(nèi)容有以平面基本性質(zhì)、推論為基礎(chǔ)共線、共面問題，也有以平行、異面為主兩直線位置關(guān)系，求異面直線所成角是本節(jié)重點2/39項目公理1公理2公理3公理4圖形語言1.平面基本性質(zhì)即四條公理“圖形語言”“文字語言”“符號語言”列表3/39(續(xù)表)4/39推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面等角定理空間中假如兩個角兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補5/39兩直線位置關(guān)系共面直線平行沒有交點相交一個交點異面直線沒有交點直線與平面位置關(guān)系平行沒有交點相交一個交點在平面內(nèi)無數(shù)個交點兩平面位 置關(guān)系平行沒有交點相交無數(shù)個交點2.空間線、面之間位置關(guān)系6/393.異面直線所成角銳角或直角(0°，90°]

過空間任一點O分別作異面直線a與b平行線a′與b′.那么直線a′與b′所成____________，叫做異面直線a與b所成角(或夾角)，其范圍是____________.7/391.在以下命題中，不是公理是()A

A.平行于同一個平面兩個平面相互平行

B.過不在同一條直線上三點，有且只有一個平面

C.假如一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)

D.假如兩個不重合平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點公共直線

解析：選項B，C，D說法均不需證實，也無法證實，是公理；選項A能夠推導(dǎo)證實，故是定理.故選A.8/392.以下命題正確是()C

A.若兩條直線和同一個平面所成角相等，則這兩條直線平行

B.若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面距離相等，則這兩個平面平行

C.若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面交線平行

D.若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行9/39

3.如圖8-3-1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C中點，有以下四個結(jié)論：①直線AM與CC1

是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1

是異面直線.其中正確結(jié)論為_________.圖8-3-110/39

解析：A，M，C1三點共面，且在平面AD1C1B中，但C平面AD1C1B，所以直線

AM與

CC1是異面直線，同理AM與BN也是異面直線，AM與DD1

也是異面直線，①②錯，④正確；M，B，B1三點共面，且在平面MBB1中，但

N

平面

MBB1，因此直線BN與MB1

是異面直線，③正確.答案：③④11/39)D4.若A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，P∈l，則(A.P?α

B.Pα

D.P∈αC.lα12/39考點1平面基本性質(zhì))例1：若直線l不平行于平面α，且lα，則(A.α內(nèi)全部直線與l異面B.α內(nèi)不存在與l平行直線C.α內(nèi)存在唯一直線與l平行D.α內(nèi)直線與l都相交13/39

解析：不妨設(shè)直線l∩α＝M，過點Mα內(nèi)直線與l不異面，故A錯誤；假設(shè)存在與l平行直線m，則由m∥l，得l∥α，這與l∩α＝M矛盾，故B正確；C顯然錯誤；α內(nèi)存在與l異面直線，故D錯誤.故選B.答案：B

【規(guī)律方法】直線在平面內(nèi)也叫平面經(jīng)過直線，假如直線不在平面內(nèi)，記作lα，包含直線與平面相交及直線與平面平行兩種情形.反應(yīng)平面基本性質(zhì)三個公理是研究空間圖形和研究點、線、面位置關(guān)系基礎(chǔ)，三個公理也是立體幾何作圖和邏輯推理依據(jù).公理1是判斷直線在平面內(nèi)依據(jù)；公理2作用是確定平面，這是把立體幾何轉(zhuǎn)化成平面幾何依據(jù)；公理3是證實三(多)點共線或三線共點依據(jù).14/39【互動探究】1.以下推斷中，錯誤是()C

A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α

B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB

C.lα，A∈l?Aα

D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合15/39考點2空間內(nèi)兩直線位置關(guān)系例2：(1)如圖8-3-2，在正方體ABCD-A1B1C1D1

中，M，N)分別是BC1，CD1中點，則以下判斷錯誤是(

圖8-3-2A.MN與CC1

垂直C.MN與BD平行

B.MN與AC垂直D.MN與A1B1

平行16/39

答案：D17/39

(2)(年上海)如圖

8-3-3，在正方體ABCD-A1B1C1D1

中，E，F(xiàn)分別為BC，BB1

中點，則以下直線中與直線EF相交是()圖8-3-3A.直線AA1B.直線A1B1C.直線A1D1D.直線B1C1

解析：只有B1C1與EF在同一平面內(nèi)，是相交，A，B，C中直線與EF都是異面直線.故選D.

答案：D18/39

【規(guī)律方法】判斷直線是否平行比較簡單直觀，能夠利用公理4；判斷直線是否異面則比較困難，掌握異面直線兩種判斷方法：①反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，再由假設(shè)條件出發(fā)，經(jīng)過嚴格推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，必定兩條直線異面；②在客觀題中，也可用下述結(jié)論：過平面外一點和平面內(nèi)一點直線，與平面內(nèi)不過該點直線是異面直線.19/39

【互動探究】

2.如圖8-3-4所表示是正方體和正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱中點，則四個點共面圖形是_________(填上所有正確答案序號).

圖8-3-4①②③20/39

3.如圖8-3-5，G，H，M，N分別是正三棱柱頂點或所在棱中點，則使直線GH，MN是異面直線圖形有_______(填上全部正確答案序號).圖8-3-521/39

解析：圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點在三棱柱側(cè)面上，MG與這個側(cè)面相交于點G，∴M平面GHN，所以直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H平面GMN，所以GH與MN異面.答案：②④22/39考點3異面直線所成角

例3：在正方體ABCD-A1B1C1D1中. (1)求AC與A1D所成角大??；

(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD中點，求A1C1與EF所成角大小.

解：(1)如圖8-3-6，連接AB1，B1C.由ABCD-A1B1C1D1

是正方體，易知A1D∥B1C，從而B1C與AC所成角就是AC與A1D所成角.

圖8-3-623/39∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D與AC所成角為60°.(2)如圖8-3-7，連接AC，BD.圖8-3-7在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.∵E，F(xiàn)分別為AB，AD中點，∴EF∥BD.∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1與EF所成角為90°.24/39

【規(guī)律方法】求異面直線所成角基本方法就是平移，有時候平移兩條直線，有時候只需要平移一條直線，直到得到兩條相交直線，最終在三角形或四邊形中處理問題.25/39【互動探究】

4.如圖8-3-8，已知圓柱軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB中點，C1

是圓柱上底面弧A1B1

中點，那么異面直線AC1與BC所成角正切值為________.圖8-3-826/39

解析：如圖D56，取圓柱下底面弧AB另一中點D，連接C1D，AD，則因為C是圓柱下底面弧AB中點，所以AD∥BC.圖D5627/39所以直線AC1

與AD所成角等于異面直線AC1

與BC所成角.因為C1

是圓柱上底面弧A1B1中點，所以C1D垂直于圓柱下底面.所以C1D⊥AD.因為圓柱軸截面ABB1A1

是正方形，28/39考點4三點共線、三線共點證實

例4：如圖8-3-9，在正方體

ABCD-A1B1C1D1

中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1

中點.求證： 圖8-3-9 (1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；

(2)CE，D1F，DA三線共點.29/39證實：(1)如圖8-3-10，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1

中點，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面.圖8-3-1030/39∴CE與D1F必相交.設(shè)交點為點P，如圖8-3-10，則由點P∈CE，CE?平面ABCD，得點P∈平面ABCD.同理點P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴點P∈直線DA.∴CE，D1F，DA三線共點.31/39

【規(guī)律方法】證實三線共點步驟就是先說明兩線交于一點，再證實此交點在另一條線上，把三線共點證實轉(zhuǎn)化為三點共線證實，要證實D，A，P三點共線，由公理3知，只要證實D，A，P都在兩個平面交線上即可.

證實多點共線問題：①可由兩點連一條直線，再驗證其它各點均在這條直線上；②可直接驗證這些點都在同一條特定直線上——相交兩平面唯一交線，關(guān)鍵是經(jīng)過繪出圖形，作出兩個適當(dāng)平面或輔助平面，證實這些點是這兩個平面公共點.32/39【互動探究】5.在空間四邊形ABCD邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，若EF與GH交于點M，則()A

A.點M一定在AC上

B.點M一定在BD上

C.點M可能在AC上，也可能在BD上

D.點M既不在AC上，也不在BD上

解析：點M

在平面ABC內(nèi)，又在平面ADC內(nèi)，故必在交線AC上.33/396.如圖8-3-11，ABCD-A1B1C1D1

是正方體，O是B1D1

中)點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則以下結(jié)論錯誤是(

圖8-3-11DA.A，M，O三點共線B.A，M，O，A1

四點共面C.A，O，C，M四點共面D.B，B1，O，M四點共面34/39

難點突破