2023學(xué)年成都市玉林中學(xué)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期4月考試卷附答案解析

學(xué)年成都市玉林中學(xué)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期4月考試卷（時間：120分鐘；總分：150分）一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知數(shù)列滿足，若，則=（

）A． B． C． D．2．某同學(xué)從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂新聞雜志中任選一本閱讀，則不同的選法共有（

）A．24種 B．9種 C．3種 D．26種3．已知某物體的運動方程是，則當(dāng)時的瞬時速度是A． B． C． D．4．函數(shù)遞增區(qū)間為A． B． C． D．5．已知的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，那么的圖象最有可能是圖中的（

）A．B．C．D．6．已知橢圓的左頂點為，右焦點為F，B為橢圓上一點，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．7．要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為（

）A．cm B．cm C．cm D．cm8．已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（

）A． B． C．10 D．11二?多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的按比例得分，有錯選的得0分．9．遞增等差數(shù)列，滿足，前n項和為，下列選項正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時最小 D．時n的最小值為810．下列式子中正確的是（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增B．在上單調(diào)遞減C．若函數(shù)在處取得最小值，則D．，三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩個志愿者都不能從事翻譯工作，則選派方案共有種.13．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，若，則等于；14．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足在上恒成立，則不等式的解集是.四?解答題：本大題有5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．已知在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式：（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．16．設(shè)函數(shù)（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值.17．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an.（1）證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（2）設(shè)bn=（2n）an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.18．如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)點在線段上，直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.19．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，且，證明：.1．A【分析】依次求出得解.【詳解】時，；時，；時，.故選：A【點睛】本題主要考查利用遞推公式求數(shù)列的項，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.2．B【分析】所選的雜志可以分成3類，求出每類雜志任選一本的方法，然后相加，即可求出結(jié)論.【詳解】某同學(xué)從4本不同的科普雜志任選1本，有4種不同選法，從3本不同的文摘雜志任選1本，有3種不同的選法，從2本不同的娛樂新聞雜志中任選一本，有2種不同的選法，根據(jù)分類加法原理可得，該同學(xué)不同的選法有：種.故選：B.【點睛】本題考查分類加法計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.3．C【解析】根據(jù)瞬時速度為位移對應(yīng)導(dǎo)數(shù)值求解.【詳解】當(dāng)時的瞬時速度是為導(dǎo)函數(shù)在的值，因為，所以，因此當(dāng)時的瞬時速度是，選C.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在物理上的應(yīng)用，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4．A【分析】先求函數(shù)的定義域，然后求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍與定義域求交集即可．【詳解】∵f（x）＝lnx﹣4x+1定義域是{x|x＞0}∵f'（x）4當(dāng)f'（x）＞0時，0＜x，所以函數(shù)遞增區(qū)間為，故選A．【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．5．A【分析】由題意，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可得答案.【詳解】由題意，可得在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，只有選項A符合，故選：A.6．D【分析】依題意列出橢圓、的齊次式即可求解.【詳解】依題意，，因為，所以，所以，因為，所以，所以，因為，所以，解得.故選：D.

7．D【分析】設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，根據(jù)幾何關(guān)系可得，再將看做的函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性與極值點即可.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，，，令，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，因此當(dāng)取最大值.故選：D.8．D【分析】根據(jù)累加法可求出數(shù)列的通項公式，再利用均值不等式求最小值.【詳解】因為，，所以，累加得：，所以，故，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即，由于，所以當(dāng)時，的最小值為.故選：D【點睛】本題主要考查了累加法求數(shù)列的通項公式，均值不等式，屬于中檔題.9．ABD【分析】由等差數(shù)列通項公式基本量的計算即可判斷AB；由等差數(shù)列前n項和二次函數(shù)特性即可判斷C；由等差數(shù)列前n項和的不等式法即可判斷D.【詳解】A、B：由題意可設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，可得，解得，又由等差數(shù)列是遞增數(shù)列，可知，則，故A，B正確.C：，由得，當(dāng)或4時最小，故C錯誤.D：令，解得或，即時n的最小值為8，故D正確.故選：ABD.10．ABD【分析】由導(dǎo)數(shù)的運算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計算后可判斷．【詳解】；；；．故選：ABD．11．ACD【分析】AB選項利用二次求導(dǎo)的方法求得的單調(diào)性來判斷，CD選項通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合二次求導(dǎo)的方法來進而判斷.【詳解】，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增.A正確，B錯誤.令，則.令，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增.又，所以，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即.又，，所以.CD選項正確.故選：ACD12．240【分析】根據(jù)題意,使用間接法:首先計算從6名志愿者中選出4人分別從事四項不同工作的情況總數(shù),再分別計算若甲從事翻譯工作的情況總數(shù)和若乙從事翻譯工作的情況總數(shù),進而由事件間的關(guān)系,計算即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，由排列可得,從6名志愿者中選4人分別從事四項不同的工作,共有種不同的情況,其中若甲從事翻譯工作,有種不同情況,若乙從事翻譯工作,有種不同情況.因為甲和乙都不能從事翻譯工作,所以符合題意的選派方案共有種.故答案為:240【點睛】本題考查計數(shù)原理和排列組合的應(yīng)用;重點考查間接法,注意間接法比直接分析更為簡便時,要使用間接法;屬于中檔題.13．【分析】由得，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得，進而可得.【詳解】由得，所以，因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以，故，得.故答案為：14．【分析】根據(jù)已知關(guān)系式可構(gòu)造函數(shù)，可知在上單調(diào)遞增，將所求不等式轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性可解不等式求得結(jié)果.【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，得，即，又在上單調(diào)遞增，所以，解得.所以不等式的解集是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此類問題要結(jié)合代數(shù)式的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而解不等式即可.15．（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，列出和的方程組，進而求出和，即可求出的通項公式；（2）由（1）可知，根據(jù)裂項相消法即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得解得，所以等差數(shù)列的通項公式可得;（2）由（1）可得，所以.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列通項公式的求法，以及裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16．（1）；（2）極大值為，極小值為.【解析】（1）首先計算得到切點為，再求導(dǎo)代入得到斜率，利用點斜式即可得到切線方程.（2）首先求出的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)區(qū)間即可得到函數(shù)的極值.【詳解】（1），切點為.，.曲線在點處的切線方程為，即.（2）令，解得，.，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù).則函數(shù)的極大值為，極小值為.【點睛】本題第一問考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，第二問考查導(dǎo)數(shù)的極值問題，屬于簡單題.17．（1）證明見解析；（2）Tn=（2n）×2n+3.【分析】（1）由證得數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）得通項公式，再得，由錯位相減法求和.【詳解】（1）證明：當(dāng)n=1時，a1=S1=2a1，所以a1=1，當(dāng)n≥2時，an=Sn－Sn－1=（2an－1）－（2an－1－1），所以an=2an－1，所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，an=2n－1，所以bn=（2n－1）×2n－1，所以Tn=1+3×2+5×22+…+（2n－3）×2n－2+（2n－1）×2n－1，①2Tn=1×2+3×22++（2n－3）×2n－1+（2n－1）×2n，②①－②，得－Tn=1+2×（21+22++2n－1）－（2n－1）×2n=1+2×－（2n－1）×2n=（3－2n）×2n－3，所以Tn=（2n－3）×2n+3.18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先利用平面幾何的知識與線面垂直的性質(zhì)證得兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的法向量，由此證得線面平行；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，求出平面與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示求解即可；（3）先利用線面角結(jié)合向量法求得的坐標(biāo)，再利用空間向量點面距離公式求解即可.【詳解】（1）記的中點為，連結(jié)，因為，，所以四邊形是平行四邊形，則，因為，所以平行四邊形是矩形，則，因為平面，平面，所以，則兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點，分別以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，因為為的中點，所以，則，設(shè)平面的一個法向量為，而，，則，令，則，所以，則，又平面，所以平面．.（2）設(shè)平面的一個法向量為，而，，所以，令，則，設(shè)平面的一個法向量為，而，，所以，令，則，記平面與平面夾角為，則，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）依題意，不妨設(shè)，則，，又由（2）得平面的一個法向量為，記直線與平面所成角為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以，則，而由（2）得平面的一個法向量為，所以點到平面的距離為.19．(1)當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)(3)證明見解析【分析】（1）先求定義域，然后對進行分類討論，求解不同情況下的單調(diào)區(qū)間；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，討論實數(shù)的取值，保證函數(shù)有兩個不同的零點，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及極值列出不等式，求出時滿足題意，再證明充分性即可；（3）設(shè)，對題干條件變形，構(gòu)造函數(shù)對不等式進行證明.【詳解】（1）函數(shù)定義域為，，①當(dāng)時，在上恒成立，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為②當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，綜上可知：①當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為②當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)至多有一個零點，不符合題意，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又函數(shù)有兩個零點，又，使得，又，設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，使得，綜上可知，為所求.（3）依題意，是函數(shù)的兩個零點，設(shè)，因為，，，不等式，，所證不等式即設(shè)，在上是增函數(shù)，且，所以在上是增函數(shù)，且，即