2024年雅禮中學高三數(shù)學5月高考模擬試卷附答案解析

年雅禮中學高三數(shù)學5月高考模擬試卷2024.05一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．某中學的高中部共有男生1200人，其中高一年級有男生300人，高二年級有男生400人．現(xiàn)按分層抽樣抽出36名男生去參加體能測試，則高三年級被抽到的男生人數(shù)為（

）A．9 B．12 C．15 D．182．已知集合，則（

）A． B． C． D．3．我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（）A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸4．已知橢圓和拋物線相交于、兩點，直線過拋物線的焦點，且，橢圓的離心率為．則拋物線和橢圓的標準方程分別為（

）．A．； B．；C．； D．；5．《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經(jīng)包含了深菨的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則（

）

A． B．1 C． D．6．人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項深度偽造技術(shù)，某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001．某團隊決定用AI對抗AI，研究了深度鑒偽技術(shù)來甄別視頻的真假．該鑒偽技術(shù)的準確率是0.98，即在該視頻是偽造的情況下，它有的可能鑒定為“AI”；它的誤報率是0.04，即在該視頻是真實的情況下，它有的可能鑒定為“AI”．已知某個視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（

）A． B． C． D．7．加斯帕爾·蒙日是18～19世紀法國著名的幾何學家，他在研究時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（如圖）．已知橢圓：，是直線：上一點，過作的兩條切線，切點分別為、，連接（是坐標原點），當為直角時，直線的斜率（

）

A． B． C． D．8．已知，，，則（

）A． B．C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．設(shè)，為兩條不重合的直線，為一個平面，則下列說法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則10．已知，下列判斷正確的是（

）A．若，且，則B．時，直線為圖象的一條對稱軸C．時，將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱D．若在上恰有9個零點，則的取值范圍為11．若實數(shù)滿足，則下列選項正確的是（）A．且 B．的最小值為9C．的最小值為 D．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則．13．數(shù)列滿足，則.14．設(shè)為雙曲線的一個實軸頂點，為的漸近線上的兩點，滿足，，則的漸近線方程是．四?解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．為了了解高中生運動達標情況和性別之間的關(guān)系，某調(diào)查機構(gòu)隨機調(diào)查了100名高中生的情況，統(tǒng)計他們在暑假期間每天參加體育運動的時間，并把每天參加體育運動時間超過30分鐘的記為“運動達標”，時間不超過30分鐘的記為“運動欠佳”，已知運動達標與運動欠佳的人數(shù)比為3∶2，運動達標的女生與男生的人數(shù)比為2∶1，運動欠佳的男生有5人.(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成下面2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為學生體育運動時間達標與性別因素有關(guān)系；性別運動達標情況合計運動達標運動欠佳男生女生合計(2)現(xiàn)從“運動達標”的學生中按性別用分層隨機抽樣的方法抽取6人，再從這6人中任選2.人進行體能測試，求選中的2人中恰有一人是女生的概率.參考公式，.0.10.050.012.7063.8416.63516．已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)當時，，求a的取值范圍．17．如圖，已知在正三棱柱中，，且點分別為棱的中點.

(1)過點作三棱柱截面交于點，求線段長度；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.18．由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果橢圓的“特征三角形”為，橢圓的“特征三角形”為，若，則稱橢圓與“相似”，并將與的相似比稱為橢圓與的相似比．已知橢圓：與橢圓：相似．(1)求橢圓的離心率；(2)若橢圓與橢圓的相似比為，設(shè)為上異于其左、右頂點，的一點．①當時，過分別作橢圓的兩條切線，，切點分別為，，設(shè)直線，的斜率為，，證明：為定值；②當時，若直線與交于，兩點，直線與交于，兩點，求的值．19．設(shè)n次多項式，若其滿足，則稱這些多項式為切比雪夫多項式.例如：由可得切比雪夫多項式，由可得切比雪夫多項式.(1)若切比雪夫多項式，求實數(shù)a，b，c，d的值；(2)對于正整數(shù)時，是否有成立？(3)已知函數(shù)在區(qū)間上有3個不同的零點，分別記為，證明：.1．C【分析】由題意按分層抽樣的方法用36乘以高三年級的男生數(shù)占總男生數(shù)的比例即可求解.【詳解】高三年級被抽到的男生人數(shù)為.故選：C.2．B【分析】解一元二次不等式化簡集合M，再根據(jù)交集運算求解即可.【詳解】因為，，所以.故選：B3．C【分析】由題意得到盆中水面的半徑，利用圓臺的體積公式求出水的體積，用水的體積除以盆的上底面面積即可得到答案.【詳解】如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，因為積水深9寸，所以水面半徑為寸，則盆中水的體積為立方寸，所以平地降雨量等于寸.故選：C.4．B【詳解】由橢圓與拋物線的對稱性知，軸，且，故根據(jù)拋物線的定義可知，所以拋物線的標準方程為．所以橢圓過點，又因為橢圓離心率為，因此，解得，則橢圓的標準方程為．故選：B．5．D【分析】根據(jù)給定條件，利用正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合數(shù)量積的定義計算即得.【詳解】在正八邊形中，連接，則，而，即，于是，在等腰梯形中，，所以.故選：D

6．C【分析】根據(jù)題意，由貝葉斯公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】記“視頻是AI合成”為事件，記“鑒定結(jié)果為AI”為事件B，則，由貝葉斯公式得：，故選：C．7．D【分析】利用特殊的長方形（即邊長與橢圓的軸平行）求得蒙日圓方程，進而可求得直線：為圓的切線，由，即可得出結(jié)果.【詳解】由橢圓：可知：，當如圖長方形的邊與橢圓的軸平行時，長方形的邊長分別為和，其對角線長為，因此蒙日圓半徑為4，圓方程為，當為直角時，可知點當在圓，因為到直線的距離為，所以直線：為圓的切線，因為直線，，所以.故選：D.

8．A【分析】由條件得到，，從而得到，，即可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷出，從而得出結(jié)果.【詳解】由，得到，又，所以，所以，，又，所以，又，得到，令，則，所以，得到，令，則在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，當時，，得到在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以，得到，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于判斷的大小，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，得函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)果.9．BD【分析】根據(jù)空間中線面之間的位置關(guān)系，判斷各選項即可.【詳解】對于A，直線可能在平面內(nèi)，可能與平面相交，也可能平面平行，故A錯誤.對于B，設(shè)直線為平面內(nèi)的任意一條直線，因為，，所以，又，所以，即b與內(nèi)任意直線垂直，所以，故B正確.對于C，若，，則直線與直線可能平行，也可能異面，故C錯誤.對于D，過直線作平面，使得平面與平面相交，設(shè)，因為，，，所以，又，，所以，則，故D正確.故選:BD10．BD【分析】利用二倍角公式化簡，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷選項即可.【詳解】，對于，根據(jù)條件，可得，故A錯誤；對于，當時，，所以直線為的一條對稱軸，故B正確；對于，當時，，將向左平移個單位長度后可得，為非奇非偶函數(shù)，故C錯誤；對于D，由題意，則，因為在上恰有9個零，所以，解得，故D正確.故選：BD.11．ABD【分析】對于AD，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于BC，利用指數(shù)的運算法則與基本不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對于A，由，可得，所以且，即，故A正確；對于B，，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為9，故B正確；對于C，因為，可得，即，所以，當且僅當，即，即時，等號成立，所以的最大值為，故C錯誤；對于D，因為，則，所以，故D正確.故選：ABD.【點睛】易錯點睛：在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．12．【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合復數(shù)模的計算公式，即可求解.【詳解】由復數(shù)，可得，則，所以.故答案為：.13．【分析】當時求出，當時，作差即可得解.【詳解】因為，當時，當時，所以，所以，當時不成立，所以.故答案為：14．【分析】由角平分線定理，結(jié)合余弦定理，求得，再求的正切值，進而即可求得漸近線方程.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：

依題意，為的角平分線，且，設(shè)，由角平分線定理可得：，則；在中，由余弦定理；在中，由余弦定理可得，，即，解得.故，，所以的漸近線方程是．故答案為：.【點睛】方法點睛：求雙曲線的漸近線方程，常見有三種方法：①直接求出，從而得解；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，從而得解；③求得其中一個漸近線的傾斜角（或斜率），從而得解.15．(1)列聯(lián)表見解析，能(2)【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，計算，與臨界值比較得結(jié)論；（2）由分層抽樣確定男女生人數(shù)，利用組合數(shù)公式和古典概型求解.【詳解】（1）100名高中生，運動達標與運動欠佳的人數(shù)比為3∶2，則運動達標人數(shù)為，運動達標的女生與男生的人數(shù)比為2∶1，則運動達標的女生有40人，運動達標的男生有20人，列聯(lián)表為性別運動達標情況合計運動達標運動欠佳男生20525女生403575合計6040100零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨立，即學生體育運動時間達標與性別因素無關(guān)，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即學生體育運動時間達標與性別因素有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.05.（2）因為“運動達標”的男生?女生分別有20人和40人，按分層隨機抽樣的方法從中抽取6人，則男生?女生分別抽到2人和4人，則選中的2人中恰有一人是女生的概率為.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求解；（2）由題意，將問題轉(zhuǎn)化為（）恒成立，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由于，則切點坐標為，因為，所以切線斜率為，故切線方程為，即．（2）當時，等價于，令，，恒成立，則恒成立，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符合題意；當時，由，得，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，，不符合題意；當時，，因為，所以，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，符合題意．綜上所述，．17．(1)(2)【分析】（1）將平面延展得到點，再利用相似三角形求解即可.（2）建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量利用夾角公式求解即可.【詳解】（1）由正三棱柱中，，又因為點分別為棱的中點，可得，如圖所示，延長交的延長線于點，連接交于點，則四邊形為所求截面，過點作的平行線交于，所以因此，所以.

（2）以點為原點，以所在的直線分別為軸，

以過點垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則取，則，所以，取的中點，連接.因為△為等邊三角形，可得，又因為平面，且平面，所以，因為，且平面，所以平面，又由，可得，所以平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）首先得到、的長軸長、短軸長、焦距、依題意可得，從而得到，再由離心率公式計算可得；（2）①設(shè)，則直線的方程為，進而與橢圓聯(lián)立方程，并結(jié)合判別式得，同理得到，進而得，再根據(jù)即可求得答案；②由題知橢圓的標準方程為，進而結(jié)合點在橢圓上得，故設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，進而得其對應的方程，再與橢圓聯(lián)立方程并結(jié)合韋達定理，弦長公式得、，進而得．【詳解】（1）對于橢圓：，則長軸長為，短軸長為，焦距為，橢圓：的長軸長為，短軸長為，焦距為，依題意可得，所以，則橢圓的離心率.（2）①由相似比可知，，解得，所以橢圓：，設(shè)，則直線的方程為，即，記，則的方程為，將其代入橢圓的方程，消去，得，因為直線與橢圓有且只有一個公共點，所以，即，將代入上式，整理得，同理可得，所以為關(guān)于的方程的兩根，所以．又點在橢圓上，所以，所以，為定值．②由相似比可知，，解得，所以橢圓：，其左、右頂點分別為，，恰好為橢圓的左、右焦點，設(shè)，易知直線、的斜率均存在且不為，所以，因為在橢圓上，所以，即，所以．設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，所以直線的方程為．由，得，設(shè)，，則，，所以，同理可得，所以．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題