八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期壓軸題檢測試題解析(一)

八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期壓軸題檢測試題解析（一）1、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與軸交于點A、與軸交于點B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直線BC與直線AB關(guān)于軸對稱.(1)求△ABC的面積；(2)如圖2，D為OA延長線上一動點，以BD為直角邊，D為直角頂點，作等腰直角△BDE，求證：AB⊥AE；(3)如圖3，點E是軸正半軸上一點，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，點M是射線AF上一動點，點N是線段AO上一動點，判斷是否存在這樣的點M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，請寫出其最小值，并加以說明.2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b），且|a+4|+b2﹣86+16＝0．（1）求a，b的值；（2）如圖1，c為y軸負(fù)半軸上一點，連CA，過點C作CD⊥CA，使CD＝CA，連BD．求證：∠CBD＝45°；（3）如圖2，若有一等腰Rt△BMN，∠BMN＝90°，連AN，取AN中點P，連PM、PO．試探究PM和PO的關(guān)系．3、在Rt△中，，∠，點是上一點．(1)如圖，平分∠，求證；(2)如圖，點在線段上，且∠，∠，求證；(3)如圖3，BM⊥AM，M是△ABC的中線AD延長線上一點，N在AD上，AN＝BM，若DM＝2，則MN＝（直接寫出結(jié)果）．4、已知：AD為△ABC的中線，分別以AB和AC為一邊在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，連接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．(1)如圖1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度數(shù)．(2)如圖1，求證：EF＝2AD．(3)如圖2，設(shè)EF交AB于點G，交AC于點R，F(xiàn)C與EB交于點M，若點G為EF中點，且∠BAE＝60°，請?zhí)骄俊螱AF和∠CAF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．5、（初步探索）（1）如圖：在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．(1)（1）小明同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點，使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_____________；(2)（靈活運用）（2）如圖2，若在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；6、已知：為的中線，分別以和為一邊在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，連接，．(1)如圖1，若，求的度數(shù)．(2)如圖1，求證：．(3)如圖2，設(shè)交于點，交于點與交于點，若點為中點，且，請?zhí)骄亢偷臄?shù)量關(guān)系，并直接寫出答案（不需要證明）．7、如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．（1）求∠CAM的度數(shù)；（2）若點D在線段AM上時，求證：△ADC≌△BEC；（3）當(dāng)動D在直線AM上時，設(shè)直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說明理由．8、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B分別在x、y軸上，以AB為邊作等腰直角三角形ABC，使，點C在第一象限．(1)若點A(a，0)，B(0，b)，且a、b滿足，則______，_____，點C的坐標(biāo)為_________；(2)如圖2，過點C作軸于點D，BE平分，交x軸于點E，交CD于點F，交AC于點G，求證：CG垂直平分EF；(3)試探究（2）中OD，OE與DF之間的關(guān)系，并說明理由．【參考答案】1、（1）36；（2）證明見解析；（3）3，理由見解析.【分析】(1)根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點易得A,C的坐標(biāo)，從而得出AC=12，OB=6，根據(jù)三角形面積公式可求解；(2)過E作EF⊥x軸于點F，【解析】（1）36；（2）證明見解析；（3）3，理由見解析.【分析】(1)根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點易得A,C的坐標(biāo)，從而得出AC=12，OB=6，根據(jù)三角形面積公式可求解；(2)過E作EF⊥x軸于點F，延長EA交y軸于點H，證△DEF≌△BDO，得出EF＝OD＝AF，有，得出∠BAE＝90°.(3)由已知條件可在線段OA上任取一點N,再在AE作關(guān)于OF的對稱點,當(dāng)點N運動時，最短為點O到直線AE的距離.再由，在直角三角形中,即可得解.【詳解】解：（1）由已知條件得：

AC=12，OB=6

∴（2）過E作EF⊥x軸于點F，延長EA交y軸于點H,∵△BDE是等腰直角三角形，∴DE=DB,∠BDE=90°,∴∵∴∴∵EF軸，∴∴DF=BO=AO,EF=OD∴AF=EF∴∴∠BAE＝90°（3）由已知條件可在線段OA上任取一點N,再在AE作關(guān)于OF的對稱點,當(dāng)點N運動時，最短為點O到直線AE的距離,即點O到直線AE的垂線段的長，∵，OA=6，∴OM+ON=3【點睛】本題考查的知識點主要是直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，軸對稱在最短路徑問題中的應(yīng)用，弄懂題意，作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵.2、（1）a＝﹣4，b＝4；（2）見解析；（3）MP＝OP，MP⊥OP，理由見解析【分析】（1）先利用完全平方公式將a和b的式子化成絕對值與平方數(shù)之和的形式，再利用絕對值的非負(fù)數(shù)和平方數(shù)的非負(fù)性即可；【解析】（1）a＝﹣4，b＝4；（2）見解析；（3）MP＝OP，MP⊥OP，理由見解析【分析】（1）先利用完全平方公式將a和b的式子化成絕對值與平方數(shù)之和的形式，再利用絕對值的非負(fù)數(shù)和平方數(shù)的非負(fù)性即可；（2）如圖1（見解析），作于E．易證，由三角形全等的性質(zhì)得，再證明是等腰直角三角形即可；（3）如圖2（見解析），延長MP至Q，使得，連接AQ，OQ，OM，延長MN交AO于C．證出和，再利用全等三角形的性質(zhì)證明是等腰直角三角形即可.【詳解】（1）由絕對值的非負(fù)性和平方數(shù)的非負(fù)性得：解得：；（2）如圖1，作于E是等腰直角三角形，；（3）如圖2，延長MP至Q，使得，連接AQ，OQ，OM，延長MN交AO于C∴∵在四邊形MCOB中，是等腰直角三角形∴是等腰直角三角形.【點睛】本題考查了絕對值的非負(fù)數(shù)和平方數(shù)的非負(fù)性、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.3、(1)見解析(2)見解析(3)8【分析】（1）如圖1中，作DH⊥AB于H．證明△ADC≌△ADH即可解決問題．（2）如圖2中，過點C作CM⊥CE交AD的延長線于M，連接BM．證明△ACE≌△【解析】(1)見解析(2)見解析(3)8【分析】（1）如圖1中，作DH⊥AB于H．證明△ADC≌△ADH即可解決問題．（2）如圖2中，過點C作CM⊥CE交AD的延長線于M，連接BM．證明△ACE≌△BCM（SAS），推出AE=BM，再利用直角三角形30度角的性質(zhì)即可解決問題．（3）如圖3中，作CH⊥MN于H．證明得到，進(jìn)一步證明即可解決問題．(1)證明：如圖1中，作DH⊥AB于H．∵∠ACD＝∠AHD＝90°，AD＝AD，∠DAC＝∠DAH，∴△ADC≌△ADH（ASA），∴AC＝AH，DC＝DH，∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠HDB＝∠B＝45°，∴HD＝HB，∴BH＝CD，∴AB＝AH+BH＝AC+CD．(2)如圖2中，作CM⊥CE交AD的延長線于M，連接BM．，，，，，∵∠ACB＝∠ECM＝90°，，，∵CA＝CB，CE＝CM，∴△ACE≌△BCM（SAS），∴AE＝BM，∵在Rt△EMB中，∠MEB＝30°，∴BE＝2BM＝2AE．(3)解：如圖3中，作CH⊥MN于H．，，，，，，，，，，，，，是的中線，，，，，，，．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．4、(1)∠BAC＝50°(2)見解析(3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由見解析【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根據(jù)∠EAF+∠BAC＝180°構(gòu)建方程即可解決問題【解析】(1)∠BAC＝50°(2)見解析(3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由見解析【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根據(jù)∠EAF+∠BAC＝180°構(gòu)建方程即可解決問題；（2）延長AD至H，使DH＝AD，連接BH，想辦法證明△ABH≌△EAF即可解決問題；（3）結(jié)論：∠GAF﹣∠CAF＝60°．想辦法證明△ACD≌△FAG，推出∠ACD＝∠FAG，再證明∠BCF＝150°即可．(1)解：∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝65°，∴∠EAB＝50°，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC＝75°，∴∠CAF＝30°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC＝180°，∴50°+2∠BAC+30°＝180°，∴∠BAC＝50°．(2)證明：證明：如圖，延長AD至點H，使DH=AD，連接BH∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC，又∵DH=AD，∠BDH=∠ADC∴△ADC≌△HDB（SAS），∴BH=AC，∠BHD=∠DAC，∴BH=AF，∵∠BHD=∠DAC，∴BH∥AC，∴∠BAC+∠ABH=180°，又∵∠EAF+∠BAC=180°，

∴∠ABH=∠EAF，又∵AB=AE，BH=AF，∴△AEF≌△BAH（SAS），∴EF=AH=2AD，∴EF＝2AD；(3)結(jié)論：∠GAF﹣∠CAF＝60°．理由：由（2）得，AD＝EF，又點G為EF中點，∴EG＝AD，由（2）△AEF≌△BAH，∴∠AEG=∠BAD，在△EAG和△ABD中，，∴△EAG≌△ABD，∴∠EAG＝∠ABC＝60°，AG=BD，∴△AEB是等邊三角形，AG=CD，∴∠ABE＝60°，∴∠CBM＝60°，在△ACD和△FAG中，，∴△ACD≌△FAG，∴∠ACD＝∠FAG，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC，在四邊形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF＝360°，∴60°+2∠BCF＝360°，∴∠BCF＝150°，∴∠BCA+∠ACF＝150°，∴∠GAF+（180°﹣∠CAF）＝150°，∴∠GAF﹣∠CAF＝60°．【點睛】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．5、(1)（初步探索）結(jié)論：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；(2)（靈活運用）成立，理由見解析【分析】（1）延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG【解析】(1)（初步探索）結(jié)論：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；(2)（靈活運用）成立，理由見解析【分析】（1）延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，據(jù)此得出結(jié)論；（2）延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．（1）解：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF．理由：如圖1，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，∵，∴，∵DG＝BE，，∴△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF=BE+FD，DG＝BE，∴，且AE＝AG，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF．故答案為：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；（2）如圖2，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B＋∠ADF＝180°，∠ADG＋∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE＋FD＝DG＋FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF【點睛】本題考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時注意：同角的補(bǔ)角相等．6、(1)∠BAC=50°；(2)見解析；(3)【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出∠EAB和∠CAF，再根據(jù)構(gòu)建方程即可解決問題；（2）延長AD至H，使DH=AD，連接BH，想辦法證明△AB【解析】(1)∠BAC=50°；(2)見解析；(3)【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出∠EAB和∠CAF，再根據(jù)構(gòu)建方程即可解決問題；（2）延長AD至H，使DH=AD，連接BH，想辦法證明△ABH≌△EAF即可解決問題；（3）先證明△ACD≌△FAG，推出∠ACD=∠FAG，再證明∠BCF=150°即可．(1)∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABE=65°，∴∠EAB=50°，∵AC=AF，∴∠ACF=∠AFC=75°，∴∠CAF=30°，∵∠EAF+∠BAC=180°，∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC=180°，∴50°+2∠BAC+30°=180°，∴∠BAC=50°．(2)證明：延長AD至H，使DH=AD，連接BH，∵EF=2AD，∴AH=EF，在△BDH和△CDA中，，∴△BDH≌△CDA，∴HB=AC=AF，∠BHD=∠CAD，∴AC∥BH，∴∠ABH+∠BAC=180°，∵∠EAF+∠BAC=180°，∴∠EAF=∠ABH，在△ABH和△EAF中，，∴△ABH≌△EAF，∴∠AEF=∠ABH，EF=AH=2AD，(3)結(jié)論：∠GAF-∠CAF=60°．由（1）得，AD=EF，又點G為EF中點，∴EG=AD，在△EAG和△ABD中，，∴△EAG≌△ABD，∴∠EAG=∠ABC=60°，∴△AEB是等邊三角形，∴∠ABE=60°，∴∠CBM=60°，在△ACD和△FAG中，，∴△ACD≌△FAG，∴∠ACD=∠FAG，∵AC=AF，∴∠ACF=∠AFC，在四邊形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF=360°，∴60°+2∠BCF=360°，∴∠BCF=150°，∴∠BCA+∠ACF=150°，∴∠GAF+（180°-∠CAF）=150°，∴∠GAF-∠CAF=60°．.【點睛】本題考查三角形綜合題，涉及全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．7、（1）30°；（2）見解析；（3）是定值，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出，，，由等式的性質(zhì)就可以，根據(jù)就可以得出；（3）分情【解析】（1）30°；（2）見解析；（3）是定值，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出，，，由等式的性質(zhì)就可以，根據(jù)就可以得出；（3）分情況討論：當(dāng)點在線段上時，如圖1，由（2）可知，就可以求出結(jié)論；當(dāng)點在線段的延長線上時，如圖2，可以得出而有而得出結(jié)論；當(dāng)點在線段的延長線上時，如圖3，通過得出同樣可以得出結(jié)論．【詳解】解：（1）是等邊三角形，．線段為邊上的中線，，．故答案為：30°；（2）與都是等邊三角形，，，，，．在和中，，；（3）是定值，，理由如下：①當(dāng)點在線段上時，如