2019-2020學(xué)年人教A版海南省臨高中學(xué)高一第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 含解析

2019-2020學(xué)年高一第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.已知集合4={x|0Vlog4*V1},B={x|x^2),貝114ng()

A.(0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2]

2.已知aGR,貝"ua<T,是“孑V2a”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.設(shè)a=3"3,b=logn3,c=log0.3e,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

4.已知a為第三象限角，則：所在的象限是（）

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C.第一或第三象限D(zhuǎn).第二或第四象限

5.函數(shù)y=asinA+1的最大值是3,則它的最小值是（）

A.0B.1C.-1D.與a有關(guān)

6.設(shè)函數(shù)式（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=T+x-3,貝寸f（x）的零點(diǎn)

個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

7.要得到函數(shù)尸cos（4—）的圖象，只需將函數(shù)y=sin§的圖象（）

242

TT

A.向左平移單位長(zhǎng)度B.向右平移夕個(gè)單位長(zhǎng)度

7T向右平移生個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度D.

44

TT17

8.若0VaV-^-VBVIT,且cos|3=—-,sin（a+B）=—,則sina的值是（）

239

A.—B.—C.1D.23

2727327

二.多項(xiàng)選擇題

9.已知/=｛第一象限角｝,5=｛銳角｝,餐｛小于90°的角｝,那么/、B、C關(guān)系是（）

A.B=AV\CB.BUC=CC.B^A=BD.A=B=C

10.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=xB.y=xC.y1D.y=）x

11.下列函數(shù)，最小正周期為n的偶函數(shù)有()

A.y=tanxB.y=|sinx|

兀

C.y=2cosxD?y=sin(--2x)

a(a》b)

12.定義運(yùn)算a十b=<設(shè)函數(shù)A(x)=1?2-x,則下列命題正確的有()

b(a<b)'

A.f(x)的值域?yàn)閇1,+8)

B.f(x)的值域?yàn)?0,1]

C.不等式,(A+1)<f(2X)成立的范圍是(-8,0)

D.不等式/(/1)<f(2x)成立的范圍是(0,+oo)

三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)f(x)=/一+"Q>0且a豐1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)?(勿，2),則/n=.

14.若cosa)=—,貝寸sin(^^-a)=

356---------

15.已知x>0,y>0,lglx+l^y=Igl,則工斗上的最小值是_____

x3y

16.對(duì)函數(shù)y=A(x)=4sin(2妙三)(xGR)有下列命題：

3

①函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式可改寫為y=4cos(2x-2-)

6

②函數(shù)y=5(x)是以2n為最小正周期的周期函數(shù)

③函數(shù)y=f(.X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(——,0)對(duì)稱

6

④函數(shù)y=，(x)的圖象關(guān)于直線x=-對(duì)稱

6

其中正確的命題是

四,解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知tanx=2,

(1)求ssx+Enx的值.

cosx-sinx

(2)求2sin\-sinxcosA+cos%的值.

18.已知。<-0-<,sina=~-.

2u

(1)求tana的值；

(2)求cos2a+sin(a旺-)的值.

19.已知函數(shù)f(x)=x」.

X

(I)求證函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；

(II)用定義證明：函數(shù)r(X)在(1,+OO)上是增函數(shù).

20.已知A(x)=loga(1-x)(a>0,a芋1).

(1)求，(x)的定義域；

(2)求使A(x)>0成立的x的取值范圍.

21.已知函數(shù)y=sin3+求：

(1)函數(shù)y的最大值，最小值及最小正周期；

(2)函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間.

22.某心理學(xué)研究小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p

與聽(tīng)課時(shí)間t之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當(dāng)te(0,14］時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖

象的一部分，當(dāng)tG［14,40］時(shí)，曲線是函數(shù)y=logv(t-5)+83(a>0,且a學(xué)1)圖

象的一部分.根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)p大于等于80時(shí)聽(tīng)課效果最佳.

(1)試求°=尸(力)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)一道數(shù)學(xué)難題，講解需要22分鐘，問(wèn)老師能否經(jīng)過(guò)合理安排在學(xué)生聽(tīng)課效果最佳

時(shí)講完？請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

一.單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4={x|0Vlog4xV1},B={x|x^2},貝44ng()

A.(0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2]

【分析】求出集合4中其他不等式的解集，確定出4找出4與夕的公共部分即可求出

交集.

解：由4中的不等式變形得：Iog41<Iog4x<Iog44,

解得：1VxV4,即/=(1,4),

?：B=(…，2],

：.AV\B=(1,2].

故選：D.

2.已知aGR,貝4aa<2n是“才〈2成‘的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】當(dāng)aGR時(shí)，由aa<2n推導(dǎo)不出“82a”，ai<2an="0VaV2”，故“a

<2n是“/V2a”的必要不充分條件.

解：“0VaV2"="a2V2a”，

“aVO”=“才>2a”，

“a=0"n"3=2a”.

ua<2ann“0VaV2”，

“aV2”是“3V2a”的必要不充分條件.

故選：B.

3.設(shè)a=303,b=logn3,c=logo.3e,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【分析】考查函數(shù)y=3",y=lognX,y=logo.3X的單調(diào)性，借助于0和1,對(duì)a、b、c

比較大小.

解：?.?y=3'是定義域上的增函數(shù)，

:.5=303>3°=1,

又???y=lognx是定義域上的增函數(shù)，

/.0=Iogn1<IOgn3<IOgnn=1,

又?.,y=logo.3*是定義域上的減函數(shù)，

**?c—Iogo.3eVIogo.3I=0,

:.a>b>c;

故選：A.

4.已知a為第三象限角，則所在的象限是()

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C.第一或第三象限D(zhuǎn).第二或第四象限

【分析】a為第三象限角，即2k兀+兀<a<2k兀表示出然后再判

斷即可.

解：因?yàn)閍為第三象限角，即2k兀+n<a〈2k冗呼《ez,

71aQTT

所以，k兀兀告TWZ當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)它是第四象限，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)它是

224

第二象限的角.

故選：D.

5.函數(shù)y=asinA+1的最大值是3,則它的最小值是()

A.0B.1C.-1D.與a有關(guān)

【分析】直接利用正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.

解：函數(shù)y=asinA+1的最大值是3,

則當(dāng)sinx=1時(shí)，可以求出a=2.

所以當(dāng)sinx=T時(shí)，函數(shù)的最小值為-2+1=-1.

故選：C.

6.設(shè)函數(shù)尸(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2*+x-3,貝4f(x)的零點(diǎn)

個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【分析】先由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)確定0是一個(gè)零點(diǎn)，再令x>0時(shí)的函

數(shù)A(x)的解析式等于0轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為判斷兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，最后根據(jù)

奇函數(shù)的對(duì)稱性確定答案.

解：；函數(shù)尸(X)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，

f(0)=0,所以0是函數(shù)A(x)的一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)x>0時(shí)，令A(yù)(x)=2*+x-3=0,

則2'=-A+3,

分別畫出函數(shù)y=2",和/=-公3的圖象，如圖所示，有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)/'(x)有

一個(gè)零點(diǎn)，

又根據(jù)對(duì)稱性知，當(dāng)x<0時(shí)函數(shù)f(x)也有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，

故選：C.

7.要得到函數(shù)尸cos(4—)的圖象，只需將函數(shù)尸sin號(hào)■的圖象()

242

A.向左平移與二個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移三■個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移三■個(gè)單位長(zhǎng)度

44

【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由左加右減上加下減的原則可確定函數(shù)y=sirr|■到

y二cos■二)的路線，即可得到選項(xiàng).

.(X兀、_?/X兀兀、_./x兀、

解：y=cos(y-^-)=sin(y-=

只需將函數(shù)y■二sirr^■的圖象，向左平移-個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y==

故選：A.

JT1.7一,

8.若OVaV-「丁VBVTT,且cosB=-----,s(a+3)=—,則sina的值是()

239

1

ABC.

-5-搭3

【分析】先根據(jù)已知條件分別求得sin。和cos（a+B）的值，最后利用正弦的兩角和

公式求得答案.

jrn?i7

解：由OVaV-^—VBVTT,知-^-Va+BV^>n且cosB=----,sin(a+3)=—,

22239

得sinB=^^,cos(a+0)=-

39

Asina=sin[(a+B)-3]=sin(a+B)cos0-cos(a+0)sin0=—.

3

故選：c.

二.多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知4=｛第一象限角｝,4｛銳角｝,餐｛小于90°的角｝,那么AB、C關(guān)系是（）

A.B=AV\CB.BUC=CC.B^A=BD.A=B=C

【分析】可看出，“小于90°的角“和”第一象限的角“都包含”銳角“，從而可判斷

出選項(xiàng)8,C都正確；而小于90°的角里邊有小于0°的角，而小于0°的角里邊有第一

象限角，從而可判斷選項(xiàng)/錯(cuò)誤，而選項(xiàng)。顯然錯(cuò)誤，從而可得出正確的選項(xiàng).

解：?.?“小于90°的角”和“第一象限角”都包含“銳角”，

:.BQC,BQA

：.BUC=C,BC\A=B-,

?.?“小于90°的角“里邊有"第一象限角”，從而屏4DC.

故選：BC.

10.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=xB.y=xC.y1D.y=）x

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，綜合即可得答案.

解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4,y=x,是正比例函數(shù)，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，符合題意；

對(duì)于8,y=f,是二次函數(shù)，在區(qū)間（0,+oo）上單調(diào)遞增，符合題意；

對(duì)于c,y=—,是反比例函數(shù)，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減，不符合題意;

對(duì)于。，y=（^）,,是指數(shù)函數(shù)，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減，不符合題意;

故選：AB.

11.下列函數(shù)，最小正周期為n的偶函數(shù)有（）

A.y=tanxB.y=|sinx|

兀

C.y=2cosxD.y=sin（--2x）

【分析】由題意利用三角函數(shù)的周期性和奇偶性，得出結(jié)論.

解：函數(shù)y=tanx的最小正周期為IT,且該函數(shù)為奇函數(shù)，故排除彳；

函數(shù)y=|sinx|的最小正周期為n,且該函數(shù)為偶函數(shù)，故8滿足條件；

函數(shù)y=2cosx的最小正周期為2TT,且該函數(shù)為偶函數(shù)，故C不滿足條件，故排除C;

jr97T

函數(shù)y=sin（-^--2x）=cos2x的最小正周期為一^―=n,且該函數(shù)為偶函數(shù)，故D

滿足條件，

故選：BD.

a(a》b)

12.定義運(yùn)算a十b=<設(shè)函數(shù)A（x）=1十2一二則下列命題正確的有（)

b(a<b)'

A.f（x）的值域?yàn)椋?,+8）

B.f（x）的值域?yàn)椋?,1］

C.不等式尸（/1）<fC2x）成立的范圍是（-8,0）

D.不等式尸（A+1）<f（2x）成立的范圍是（0,+oo）

【分析】由題意知寫出函數(shù)A（X）的解析式，畫出函數(shù)，（X）的圖象，結(jié)合圖象判斷選

項(xiàng)中的命題是否正確即可.

解：由題意知，函數(shù)A（x）=1十2一"=<份）'X<0,畫出函數(shù)“x）的圖象，如圖

1,x>0

所示；

所以A（x）的值域是［1,+8）,選項(xiàng)力正確，8錯(cuò)誤；

由A（x）在（-8,0）上是單調(diào)減函數(shù)，

x+l<0

不等式尸（/1）<尸（2x）可化為，2x<0，解得xV-1;

x+l>2x

又xG[-1,0）時(shí)，A+1^0,f（A+1）=1;

2x<0,f（2x）>1,所以尸（妙1）<f（2x）;

綜上知，不等式2（/1）<f（2x）成立的范圍是（-8,o）,所以C正確，。錯(cuò)誤.

故選：AC.

產(chǎn)附y(tǒng)

-5-4-3-2-1（F12345>x

-1-

-2-

-3-

-4~

-5L

三,填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)A（x）=a"r+〃（a>0且aH1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)夕（w,2）,則㈤■〃=3.

【分析】令解析式中的指數(shù)2x-4=0求出x的值，再代入解析式求出y的值，即得到定

點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合條件列出關(guān)于m,〃的方程，解之即得.

解：令2x-4=0解得，x=2,代入5（x）=才"4+"得，y="1,

.?.函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)（2,"1）,

又函數(shù)A（x）=ax-i+n（a>0且a#=1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)。（加，2）,

/./77=2,"1+2,/.n=1,

則研"=3

故答案為：3.

14.若cosa）=—,貝sin（-^-a）=—

356~5~

【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式，求得所給式子的值.

解：cos（2--a）=—,貝Usin（工）=cos[-^--（二--a）]=cos（'--a）

356233

=旦

T

故答案為：

5

15.已知x>0,y>0,I赳+1第=1數(shù),則工的最小值是4.

x3y

【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，①2、+/財(cái)=/材+歷2"=（A+3y）Igl,結(jié)合題意可得，/3y

=1;再利用1的代換結(jié)合基本不等式求解即可.

解：/g2x+歷8』/g2x+歷2如=(A+3y)/g2,

又由/@+1酣=1@,

貝IA+3y=1,

進(jìn)而由基本不等式的性質(zhì)可得，

--^~~=(A+3y)(—)=2+'+*22+2=4,

x3yx3yx3y

當(dāng)且僅當(dāng)x=3p時(shí)取等號(hào)，

故答案為：4.

JT

16.對(duì)函數(shù)y=F(x)=4sin(2A+-^-)(XER)有下列命題:

3

①函數(shù)y=A(x)的表達(dá)式可改寫為y=4cos(2x-

6

②函數(shù)y=，(x)是以2n為最小正周期的周期函數(shù)

③函數(shù)尸/(必的圖象關(guān)于點(diǎn)(-二，0)對(duì)稱

6

④函數(shù)y=A(x)的圖象關(guān)于直線x=-2-對(duì)稱

6

其中正確的命題是①③.

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)①，判斷正誤；求出周期判斷②；求出函數(shù)的對(duì)稱中心判定

③；對(duì)稱直線方程判斷④的正誤；即可得到解答.

解：?f(x)=4sin(2A+-^-)=4COS2x-=4cos(2A+—---)=4cos

32332

②最小正周期7="=等=TT②不正確；

32

③，(x)=4sin(2/一丁)的對(duì)稱點(diǎn)滿足(x,0)

O

C兀，/兀、兀

2A+——=〃TT,x=(k----)——kGZ

3K32

(-；TT，o)滿足條件

6

?TT

@f(x)=4sin(2/f)的對(duì)稱直線滿足

o

c兀ft兀

2A+—=(A+—1)\n；x=(A+—)—

3262

x—―---不滿足

6

故答案為：①③

四.解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知tanx=2,

cosx+sinx

(1)求?的值.

cosx-sinx

(2)求ZsiMx-singos^+cos，的值.

【分析】（1）表達(dá)式的分子、分母同除cosx,得到tanx的表達(dá)式，即可求出結(jié)果.

（2）利用si吊戶005%=1,在表達(dá)式的分母增加“1",然后分子、分母同除cos?*,得

到tanx的表達(dá)式，即可求出結(jié)果.

.zxcosx+sinx1+tanx1+2-

解：（41）----------；—=v-—=v^r=-3

cosx-smx1-tanx1-2

/.222sin2x-sinxcosx+cos^x_

\2.）2sinx-sinxcosx+cosx=------------------------3-----------=

sinx+cosx

2

2tanx-tanx+l_7

tan2x+l5

18.已知0<a<門，sin。=-^-.

25

(1)求tana的值；

（2）求cos2a+sin（a七「）的值.

【分析】（1）（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式，二倍角公式，誘導(dǎo)公式求值即可.

解：(1)v0<a<2Lfgina=4.

25

.?.cosa=7i-i2—_3

sna-T,

siriCI

刃6么：tana=4

cosCl3

⑵由cos2a+sin(a+^)=cos2a-sin2a+cosa=-^-1|+|-=-^

19.已知函數(shù)f(x)=x」.

x

(I)求證函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；

（II）用定義證明：函數(shù)尸（x）在（1,+8）上是增函數(shù).

【分析】（?）利用奇函數(shù)的定義，考查尸（-x）=-r（x）在定義域內(nèi)是否恒成立，

若是則為奇函數(shù)，否則不是奇函數(shù).

（II）利用增函數(shù)的定義，證明對(duì)于（1,+8）內(nèi)任意的必VX2,都有A（x）<f（X2）

即可.

解：（I）證明：函數(shù)的定義域是（-8.0）U（0,+8）

由f（x）=x+"l,

X

可得f（-乂）=-乂"*"-^二-（乂二）二-￡（X）,

-xX

所以函數(shù)f（X）為奇函數(shù).

(II)任取格，的￡(1,+°°),JL%i<xz,

/、/、11x2-Xix1X2-1

則￡年|)-￡(*2)=*1晨;-2*=6「*2)卞7=51-2)不77

由M,此￡(1,+°°),JL%1<^2,可知MV必，XyX2-1>0,

所以f（X）<f（也）.

即A(*)<f(x2),

所以函數(shù)f(X)在(1,+8)上是增函數(shù)

20.已知A(x)=Ioga(1-x)(a>0,a#=1).

(1)求f(x)的定義域；

（2）求使5（x）>0成立的x的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域即可；

（2）通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出x的范圍即可.

解：（1）由題意得：

1-x>0,解得：x<1,

故函數(shù)的定義域是（-8,1）;

(2)0<a<1時(shí)，0<1-xV1,

解得：0V*V1,

a>1時(shí)，1-x>1,解得：xVO.

21.已知函數(shù)尸:sin3+J§cos￡x,求：

（1）函數(shù)y的最大值，最小值及最小正周期;

（2）函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間.

【分析】（1）利用輔助角公式將y=sin-^_x+V§cos'^_x轉(zhuǎn)化為：y=2sin（-^-A+-T-）,

從