集合與函數(shù)的概念10

第一章集合與函數(shù)的概念

]]集合

1.1.1集合的含義與表示

第一課時(shí)集合的含義

課前自主預(yù)習(xí)

課前預(yù)習(xí)……明確目標(biāo)

新知初探

1.元素與集合的概念

（1）元素：一般地，我們把統(tǒng)稱為元素.

（2）集合：把組成的總體叫做集合（簡(jiǎn)稱為—）.

（3）集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的—是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相

等的.

（4）集合元素的特性：、、無(wú)序性.

2.元素與集合的表示

/元素:通常用小寫(xiě)拉丁字母表示集合中

表示，的元素；

I集合:通常用大寫(xiě)拉丁字母表示集合.

3.元素與集合的關(guān)系

關(guān)系概念記法讀法

如果________中的元

屬于aEAa屬于集合4

元索與素，就說(shuō)a屬于集合A

集合的

關(guān)系如果__________中的

a不屬于集

不屬于元素.就說(shuō)。不屬于集aA

合A

合A

4.常用數(shù)集及表示符號(hào)

非負(fù)整數(shù)集

名稱正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

（自然數(shù)集）

符號(hào)___或_一，一

思考感悟

L如何理解集合中元素的三個(gè)特性？

答案

（1）確定性：是指集合中的元素是確定的，即任何一個(gè)對(duì)象都能確定它是

或不是某個(gè)集合的元素，二者必居其一，它是判斷一-組對(duì)象是否形成集合的

標(biāo)準(zhǔn).

（2）互異性：是指給定一個(gè)集合的元素中，任何兩個(gè)元素都是不同的.因而

在同一個(gè)集合中，不能重復(fù)出現(xiàn)同一個(gè)元素.

(3)無(wú)序性：集合中的元素是沒(méi)有前后順序的，如由1,2,3和3,2,1

組成的集合是同一集合.

2.“個(gè)子高的同學(xué)”能否構(gòu)成一個(gè)集合？

答案：不能“個(gè)子高”沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不符合元素的確定性.

3.設(shè)A為大于3小于11的偶數(shù)所組成的集合，則集合力中的元素都有哪些?

答案

4；6；8；10

4.如何理解元素與集合的關(guān)系？

答案

元素與集合的關(guān)系只有屬于與不屬于兩種關(guān)系，對(duì)于任何一個(gè)元素a和一個(gè)

集合A,那么必然只存在acA或a二者必居其一.

如1e{1,2,3|,4e|1,2,3}.

課堂互動(dòng)探究

例練結(jié)合……素能提升

典例導(dǎo)悟

類型一集合的基本概念

［例1］考查下列每組對(duì)象能否組成一個(gè)集合？

(1)2010年參展上海世博會(huì)的所有展館；

(2)數(shù)學(xué)必修1課本上的所有難題；

(3)北京大學(xué)2012級(jí)的新生；

(4)平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)的一些點(diǎn).

［分析］解答本題可先分析各組的對(duì)象是否具有確定性和互異性，然后再作

出判斷.

［解］(1)、(3)的對(duì)象都是確定的，而且是不同的，因而能構(gòu)成集合；(2)

中難題標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足確定性，不能構(gòu)成集合；(4)中"平面直角坐標(biāo)

系中，第一象限內(nèi)的一些點(diǎn)元素不明確，故不能組成一個(gè)集合.

［點(diǎn)評(píng)］判斷元素能否組成集合，關(guān)鍵看這些元素是否具有能包含在集合中

的確定條件，如果條件滿足就可以斷定這些元素可以組成集合，否則就不能

組成集合.

變式訓(xùn)練1下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是().

A.某校大于50歲的教師B.某校30歲的教師

C.某校的年輕教師D.某校的女教師

答案

C某校的任意一位教師，可以明確地判斷是不是大于50歲，是不是30歲，

是不是女教師，但是“年輕”沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，某一位教師是否是年輕教師

無(wú)法確定，因此“某校的年輕教師”不能構(gòu)成集合.所以由集合中元素必須

滿足確定性可知不能構(gòu)成集合的為C,故選C.

類型二集合中元素的特征及應(yīng)用

［例2］已知集合A含有兩個(gè)元素a-3和2a—1,若一3cA,試求實(shí)數(shù)。的

值.

［解］

-3=a—3或—3=2Q—1,

若—3=a-3,

則Q=0.

此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素-3,-1,符合題意.

若一3=2。-1,

則a=—\.

此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素-4,-3,符合題意，

綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或-1.

［點(diǎn)評(píng)］1.本題集合A中含有2個(gè)元素，QGA,本題以-3是否等于a-3為

標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論，做到了“不重不漏”.

2.解決含有字母的問(wèn)題，常用到分類討論的思想，在進(jìn)行分類討論時(shí)，務(wù)必

明確分類標(biāo)準(zhǔn)

變式訓(xùn)練2本例中，若將“-3GA”改為“awA”則結(jié)果如何?

答案

解：?「acA,且awa-3,

:.a=2a-\.

.,.a—\.

類型三常用集合及其記法

［例3］給出下列關(guān)系：①;cR；cQ；③I—3|eN；④I—百GQ|；

⑤OeN淇中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.lB.2

C.3D.4

［分析］元素與集合之間的關(guān)系是“G”和

［解析］；是實(shí)數(shù)；3是無(wú)理數(shù)；1-31=3是自然數(shù)；I-百|(zhì)=百是無(wú)理

數(shù)；0是自然數(shù).故①②正確，③④⑤不正確，故選員

［點(diǎn)評(píng)］對(duì)兒個(gè)常見(jiàn)數(shù)集的符號(hào)表示應(yīng)熟練掌握.搞清正整數(shù)與自然數(shù)(非負(fù)

整數(shù))的區(qū)別以及有理數(shù)的概念.

變式訓(xùn)練3下列關(guān)系中不正確的個(gè)數(shù)為()

4I-

(1)—§￡R；(2)史Q；(3)|—201eN；

(4)|-V2|eQ；(5)一5任Z；(6)冗奎

A.2個(gè)B.3個(gè)

C.4個(gè)D.5個(gè)

答案

B本題考查元素與集合的關(guān)系，由R,Q,Z,N,N*的含義可知：(1),(2),

(6)正確；(3),(4),(5)不正確，故選區(qū)

類型四元素與集合關(guān)系的判斷

［例4］集合4是由形如、傷加+〃(加eZ,/2Gz)(例如數(shù)2后一1)的數(shù)構(gòu)成的,

判斷了J—是不是集合A中的元素.

V2-1

［解］——=72+1=1x72+1,而1,1eZ,

V2-1

.-.V2+1GA,即」一GA.

V2-1

［點(diǎn)評(píng)］判斷一個(gè)元素是不是某個(gè)集合的元素，關(guān)鍵是判斷這個(gè)元素是否具

有這個(gè)集合的元素的共同特征.

變式訓(xùn)練4集合A是由形如機(jī)+技(wiGZ,ncZ)的數(shù)構(gòu)成的，判斷

——廠是不是集合A中的元素.

2-V3

答案

解：----產(chǎn)=2+A/3=2+x1,

2-V3

而2GZ,leZ,2+GA,即---尸wA.

2-V3

自我糾錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)：忽略集合中元素的互異性而導(dǎo)致錯(cuò)誤

［錯(cuò)題展示］寫(xiě)出關(guān)于次方程/—（a+D］+。=0的解集.

［錯(cuò)解］由工2-（。+1）尤+“=0,得—1）=0,

所以方程的解為x=l或X=Q,則解集為｛1,a｝.

［錯(cuò)因分析］錯(cuò)解中沒(méi)有注意到。是參數(shù)，使方程的解集帶有不確定性.為了保證

集合中元素的互異性，寫(xiě)出解集時(shí)要對(duì)。進(jìn)行分類討論.

［正解］由--（a+l）%+。=0,得（%—。）（工-1）=0,

所以方程的解為x=l或x=Q.

若a=l,則解集為｛1｝；

若“W1,則解集為｛1,。｝.

［反思］對(duì)于用列舉法表示的集合，若其中元素用字母表示，要注意滿足集合中

元素的互異性.

思悟升華

1.理解集合的概念，關(guān)鍵是抓住集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性和無(wú)序

性.特別是處理含有參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，一定要注意集合中元素的互異性，即在

求出參數(shù)的取值或取值范圍后，一定要檢驗(yàn)集合中元素的互異性.

2.關(guān)于特定集合N,N*（N+）,Z,Q,R等的意義是約定俗成的，解題時(shí)作

為己知使用，不必重述它們的意義.

3.對(duì)于一個(gè)元素a與一個(gè)集合A而言，只有“aeA”與“QeA”這兩種結(jié)果

“w”與“左”具有方向性，左邊是元素，右邊是集合.

隨堂知能訓(xùn)練

知識(shí)反饋……技能檢驗(yàn)

1.下列指定的對(duì)象，能構(gòu)成集合的是（）

A.血的近似值B.全國(guó)的小河流

C.某學(xué)校的胖子D.50以內(nèi)的質(zhì)數(shù)

答案

D本題是對(duì)元素確定性的考核.

2.設(shè)集合A只含一個(gè)元素a,則下列各式正確的是（）

A.OeAB.aeA

C.aeAD.a-A

答案

。元素與集合之間是屬于關(guān)系，故選C

3.用“G”或"g”填空.

2N；V2Q；-R；

2

-3Z；0N*'；5Z

答案

eeGG

4.集合A由0,1,f三個(gè)元素組成，則實(shí)數(shù)X應(yīng)滿足.

答案

x。0且尤w±1

解析：由元素的互異性，可知xwO月.xw±l.解得xwO且lw±l.

5.判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由.

（1）1,’這些數(shù)組成的集合有五個(gè)元素；

2422

（2）由Q,b,c組成的集合與由b,a,c組成的集合是同一個(gè)集合.

答案

解：（1）不正確.對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的元素必須是互異的，即集合中的任

何兩個(gè)元素都是不同的，此集合是由三個(gè)元素組成的集合.

（2）正確.集合中的元素相同，只是順序不同.它們都表示同一個(gè)集合.

第2課時(shí)集合的表示

課前自主預(yù)習(xí)

課前預(yù)習(xí)……明確目標(biāo)

新知初探

1.列舉法表示集合

把集合的元素—出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.

2.描述法表示集合

用集合所含元素的—表示集合的方法稱為描述法.

具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般

符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有

的.

思考感悟

1.用列舉法表示方程V-2%+1=°的解集，能否寫(xiě)成A=|1,11?

答案

不能.因?yàn)椴环霞显氐幕ギ愋?，可表示?=｛1｝..

2.集合｛%|%>3｝與集合｛/2>3｝表示同一個(gè)集合嗎?

答案

雖然兩個(gè)集合的代表元素的符號(hào)(字母)不同，但實(shí)質(zhì)上它們均表示大于3的所有

實(shí)數(shù)，故表示同一個(gè)集合.

1.集合｛(1,2)｝與｛(2,1)｝是否為相等集合？

答案

不是.

課堂互動(dòng)探究

例練結(jié)合……素能提升

典例導(dǎo)悟

類型一用列舉法表示集合

［例1］用列舉法表示下列集合:

(1)A=X|-2<X<2,XGZ)；

2x+y=8

8=〈(x,y)|

x-y=\

(3)M={無(wú)|(%-2)2(無(wú)-3)=0}；

(4)P=卜Iy=f2+6,xeN,ye；

(5)Q={(Ay)|y=*+6,xcN,yGN}.

［解］(1)-2<x<2,xeZ,

x——2,-1,0,1,2.

.-.A={-2,-1,0,1,2).

2x+y=8,得x—3.z、

(2)解方程組'.?.8={(3,2)}.

［y=2,

(3)???2和3是方程的根,

/.M={2,3}.

(4),/y=-x2+6<6,JLxeN,yeN,

\x=0,1,2,7.y=6,5,2,/.P={6,5,2}

(5)點(diǎn)(x,y)滿足條件y=-％2+6,xeN,yGN,

x—0,x=1,jx—2,

由

y=61y=5,1y=2,

.?.Q={(0,6),(l,5),(2,2)}.

［點(diǎn)評(píng)］列舉法簡(jiǎn)明、直觀適用于元素個(gè)數(shù)較少的集合，用列舉法表示集合，要

注意分清是數(shù)集還是點(diǎn)集，元素不能重復(fù).

變式訓(xùn)練1用列舉法表示下列集合：

(1)A=x(x2-4)=0,xeR|；

(2)C={xeN|-3<2x+l<5}.

答案

解：(1)解方程％(/-4)=0得％=0或％2—4=0,

x=0,2,—2.

.?.A={0,2,-2}.

(2)解不等式一3<2尤+1<5得一24尤<2.

又xeN,.\x=0,1,.\C={0,1}.

類型二用描述法表示集合

［例2］用描述法表示下列集合：

(1)方程％2-2=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；

(2)使y=——有意義的實(shí)數(shù)x的集合；

(3)坐標(biāo)平面上第一、三象限上點(diǎn)的集合.

［分析］觀察集合中元素所具有的公共屬性，選定代表元素.

［解］(1)|XGR|X2-2=0}.

1,

(2)要使y=---------有意義，則Y+%-6W0,故可表示為

{X|XH2,J1JCW3,XGR}；

(3)第一、三象限上的點(diǎn)的特征是橫、縱坐標(biāo)符號(hào)相同，因而可寫(xiě)成

{(%,y)|孫>0,且％cR,yeR}.

［點(diǎn)評(píng)］(1)解決用描述法表示集合的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于透徹理解用來(lái)描述

元素所具有的屬性的含義，并注意所涉及到的字母的取值范圍.

(2)用描述法表示集合的優(yōu)點(diǎn)是突出了元素所具有的屬性，缺點(diǎn)是不易看出集

合的具體元素.

變式訓(xùn)練2試說(shuō)明下列各集合表示的含義：

1

(1)A=|y|y=—>；(2)B=<(x,y)|y=—>；

x

(3)C=(")1(4)D={(0,l)}

x-3;

(5)￡：={(%/)|%+'=1,且％_>=-1}.

答案

解：(1)A表示y的取值集合，由反比例函數(shù)的圖象可知，

4=3y＜0,或y＞。}=3y。。,ycR}.

(2)由反比例函數(shù)的圖象可知，8表示反比例函數(shù)＞=」的圖象上的點(diǎn)的集合.

X

(3)C的代表元是點(diǎn)(％,y),。表示直線y=X-3但去點(diǎn)(3,0).

(4)。表示一個(gè)單元素集，是一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)，或一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為元素的集合.

fx+y=1,

(5)E表示一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)集，即方程《‘的解，即(0,1).是一個(gè)單元

［%_y=T

素集.

史型三集合表示法的綜合應(yīng)用

［例3］集合4={尤|履2—8%+16=0},若集合A只有一個(gè)元素，試求實(shí)數(shù)人的

值，并用列舉法表示集合A.

［解］(1)當(dāng)攵=0時(shí)，原方程變?yōu)橐?x+16=0,%=2.此時(shí)集合A={2}.

(2)當(dāng)攵時(shí)，要使一元二次方程的近2一口+16=0.有一個(gè)實(shí)根.只需

△=64—64左=0,即攵=1.此時(shí)方程的解為王=%=4,集合4={4},

滿足題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)攵的值為0或1.當(dāng)攵=0時(shí)，A=｛2｝；當(dāng)女=1時(shí)，A=｛4｝.

［點(diǎn)評(píng)］(1)本例易忽略對(duì)人的討論自然而然認(rèn)為履2一8%+16=0是一元二次

方程，從而導(dǎo)致漏解.

(2)已知集合中元素的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的位或取值范圍時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)集合的表示

方法的正確理解.本例中，由子集合A是方程的解集，所以轉(zhuǎn)化為對(duì)方程根的討

論.

變式訓(xùn)練3集合A=卜|-+1=0｝中至少有一個(gè)元素，求a的取值范圍.

答案

解：(1)當(dāng)。=0時(shí)，原方程變?yōu)橐?尤+1=0,解得尤=’.

2

此時(shí)集合A符合題意.

(2)當(dāng)“H0時(shí)，原方程為一元二次方程，一元二次方程至少有一個(gè)根，

應(yīng)滿足：A=4-4a>0,解得QW1,且QW0.

綜上所述，a的取值范圍為aWl.

自我糾錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)：不能正確區(qū)分?jǐn)?shù)集與點(diǎn)集

［錯(cuò)題展示］判斷下列兩命題的真假：

(1)方程/工工+垃+2|=0的解集為｛2,—2｝；

(2)集合｛y|y=f-1/GR｝與｛y|y=x-1,%cR｝的公共元素所組成的集

合是{0,1}.

［錯(cuò)解］(1)正確.

;%=2,y=-2,

.?.{2-2}.

(2)正確.

x2-1=x-1,

二.%=0或1.

［錯(cuò)因分析］本題錯(cuò)解在于題意理解偏差.

［正解］(1)錯(cuò).

方程JT”+|y+2|=0,

x-2=0,

等價(jià)于《即4

y—2=0,>=-2.

其解應(yīng)為有序?qū)崝?shù)對(duì)，解集應(yīng)為{(2,-2)}.

(2)錯(cuò).

{y[y=/的代表元素是y.

當(dāng)xcR時(shí)，y=x2-1>-1.

，{y|y=x2—L%eR}={y|yN-1}.

同理，{y|y=x_l,xeR}=R.

故兩集合的公共元素所組成的集合是{y|y2-1}.

思悟升華

;集合的表示方法常見(jiàn)的有列舉法和特殊性質(zhì)描述法，當(dāng)集合中的元素個(gè)數(shù)有限

但公共屬性難以概括時(shí)，只能用列舉法；當(dāng)集合中的元素?zé)o法一一列舉時(shí)，可先

抽象出元素的特征性質(zhì)，用描述法表示；描述法和列舉法可以互化，同時(shí)也可以

轉(zhuǎn)化為自然語(yǔ)言表示.

2.用列舉法表示集合時(shí)，注意以下三點(diǎn)：①元素之間用“”隔開(kāi)；②元素不重復(fù)、

無(wú)順序；③對(duì)含有較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列

舉法，但必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方能用省略號(hào).

3.用描述法表示集合時(shí)，注意以下兒點(diǎn)：①寫(xiě)清楚該集合中元素的代號(hào)(字母或用

字母表示的元素符號(hào))；②說(shuō)明該集合中元素的特征；③不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的字

母；④多層描述時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“或”、“且”、“非”；⑤所有描述的內(nèi)容都要

寫(xiě)在集合括號(hào)內(nèi)；⑥用于描述法的語(yǔ)句力求簡(jiǎn)明、確切.

4.對(duì)于用特征性質(zhì)描述法表示的集合，一定要搞清這個(gè)集合的代表元是數(shù)，還是

有序?qū)崝?shù)對(duì)(點(diǎn))，還是集合，還是其他形式.這一點(diǎn)對(duì)于我們解題至關(guān)重要.

隨堂知能訓(xùn)練

知識(shí)反饋……技能經(jīng)驗(yàn)

A.{(1,2)}B.{(2,1)}

C.{1,2}D.{Y-3x+2=o}

答案

C解方程公―3X+2=0,得％=或尤=2.列舉法表示為{1,2}.

2.集合{%cN|x<5}的另一種表示方法是()

A.{0,l,2,3,4}B.{1,2,3,4}

C.{0,l,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

答案

A由題xeN,且％<5,.?.%的值0,1,2,3,4,用列舉法表示為{0,1,2,3,4}

x+y=2,

3.方程組《7的解集是()

x-2y=-2

A.{x=l,y=l}B.{1}

C.{(1,1)}D.{(x,y)|(l,l)}

答案

C方程組的解集中元素應(yīng)是有序數(shù)對(duì)形式，排除A,B,而D中的條件是點(diǎn)(1,1),

不含％,y,排除D

4.能被2整除的正整數(shù)的集合，用描述法可表示為.

答案

{九|x=2n,nEN+}

解析：正整數(shù)中所有的偶數(shù)均能被2整除.

5.集合卜|%=J^,a<36,xeN},用列舉法表示為.

答案

{0,123,4,5}

解析：由a<36,可一得J^<6,即尤<6,又xeN,

故工只能取0,1,2,3,4,5

6.選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)絕對(duì)值不大于3的整數(shù)組成的集合；

(2)方程(3x-5)(x+2)=0的實(shí)數(shù)解組成的集合；

(3)一次函數(shù)〉=%+6圖象上所有點(diǎn)組成的集合.

答案

解：(1)絕對(duì)值不大于3的整數(shù)是-3,-2,-1,0,1,2,3共有7個(gè)元素，則用

列舉法表示為{-3,-2,-1,0,1,2,3}.

(2)方程(3x—5)(尤+2)=0的實(shí)數(shù)解僅有兩個(gè)，分別是g,-2,用列舉法表

不為《一,一2

[3J

(3)一次函數(shù)y=x+6圖象上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，用描述法表示為{*,y)|y=x+6}.

1.1.2集合間的基本關(guān)系

課前自主預(yù)習(xí)

課前預(yù)習(xí)……明確目標(biāo)

新知初探

1.子集的概念

一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中—都是集合8中的元素，我

們就說(shuō)這兩個(gè)集合有，稱集合A為集合8的子集(subset),讀作“A

含于8”(或“8包含A").Venn圖如圖1.

說(shuō)明：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖.

如豪集合A是2合8的子集，并且8中—,那么集合A叫做集合8的真子集

(propersubset),.

如果集合A是集合B的真子集,在Venn圖中，就把表示A的區(qū)域畫(huà)在表示

B的區(qū)域的內(nèi)部.

3.空集的概念

的集合叫做空集(emptyset),，并規(guī)定：空集是任何集合的.

4.子集、真子集的性質(zhì)

由子集、真子集和空集的概念可得：

(1)是任何集合的子集，即；

(2)任何一個(gè)集合是它自身的,即A=A

(3)只有一個(gè)子集，即它自身；

(4)對(duì)于集合A,B,C,由BQC可得AC；

(5)對(duì)于集合A,B,C,由AU8,BUC可得AC.

思考感悟

1.若A=則A中的元素是8中的元素的一部分，對(duì)嗎？

答案

不對(duì)，A中的元素是8的一部分或是6的全部.

2.“U”與“〈”一樣嗎？

答案

不一樣，“U”表示集合與集合之間的關(guān)系；表示代數(shù)式間的關(guān)系.

3.0,{0},0,{0}之間有什么關(guān)系?

答案

①數(shù)0不是集合，{0}是含一個(gè)元素0的集合，0是不含任何元素的集合，{0}

是指以0為元素的集合.

②不要把數(shù)0或集合{0}與空集0混淆，同時(shí)注意不要把空集0錯(cuò)寫(xiě)成{0}或

{0}.它們之間的關(guān)系是：

0w{0},0e{0},0>0,0任{0},0e{0}.

③從集合之間的關(guān)系看，0={0},00{0}.

4.分別寫(xiě)出集合⑷，{見(jiàn)。}和{。也c}的所有子集，通過(guò)子集個(gè)數(shù)你能得

出一個(gè)規(guī)律嗎？

答案

集合{"}的所有子集是0，{。},共有2個(gè)子集；

集合的所有子集是0,{。}，抄}，{a,b},共有4個(gè)，即22個(gè)子集；

集合{凡。,4的所有子集可以分成四類：即0；含一個(gè)元素的子集：

{a},,{c}；含兩個(gè)元素的子集{a,6},{a,c},{b,c}；含三個(gè)元素

的子集問(wèn){a,b,c}.共有8個(gè)，即2,個(gè)子集.

規(guī)律：集合{%,外,。3…的子集有2"個(gè)；真子集有償"—I）個(gè)；

非空真子集有（2"-2）個(gè).

課堂互動(dòng)探究

例練結(jié)合……素能提升

類型一子集、真子集的概念

［例1］{a,b}cAU{a,b,c,d,e},求所有滿足條件的集合人

［分析］從子集、真子集的概念著手解答.

［解］因?yàn)閧Q/}RA,所以A中必有元素Q,b.

因?yàn)锳是{a/,c,d,e}的真子集，所以A中元素可以有2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)三種情

形.具體為{a,。}；{a,b,c}；{a,b,d}；{a,b,e}；{a,b,c,d}；{a,b,c,e}；

{a,A,d,e},共7個(gè).

［點(diǎn)評(píng)］(1)寫(xiě)出{a,b,c,d,e}的真子集時(shí)，按照一定順序，注意做到不重不漏.

(2)正確地把集合語(yǔ)言表達(dá)的問(wèn)題“翻譯”成普通數(shù)學(xué)語(yǔ)言是解題的關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練1若0荷A{a,b,c,d},試寫(xiě)出所有集合A.

答案

解：由題意知，集合力中可能有1個(gè)，2個(gè)或3個(gè)元素.當(dāng)集合A中含有1個(gè)元

素時(shí)，A為{"},{/?},{c},hxyv8hr；當(dāng)集合A中含有2個(gè)元素時(shí)，A為{a,b},

{a,c］,［a,d］,{b,c},{b,d},{c,d］；當(dāng)集合A有3個(gè)元素時(shí),A為{。也c},

{。也d},{b,c,d},{a,c,d}.

類型二集合相等

［例2］設(shè)集合A=—2,a?—1},8=1,/一3a,0卜若A=3,求a的值.

［分析］由A=8知，A與8中的元素應(yīng)對(duì)應(yīng)相等，分別列等式即可.

［解］由A=8及集合中元素特點(diǎn)可得

tz2-1=0,〃/口fa=±L,

a2—3a=-2,［a=1或a=2,

把a(bǔ)=1代入驗(yàn)證滿足集合中元素的互異性.

a=1.

［點(diǎn)評(píng)］此類問(wèn)題易有增解，這是由未驗(yàn)證集合中元素的互異性造成的；在求解

集合中的參數(shù)問(wèn)題時(shí)，都需進(jìn)行檢驗(yàn).

變式訓(xùn)練2(1)設(shè)集合A={%,>},3={O,/}；若4=3,則實(shí)數(shù)％=,

y=?

(2)已知M={2,a,。},N={2a,2,b2},且加=",求a,8的值.

答案

解析：(1);A=3,二x=0或y=0.

當(dāng)x=0時(shí)，x2=0,此時(shí)8={0,0},舍去;

當(dāng)y=0時(shí)，x=x2,

二.％=0或x=l,由上步知x=0舍.

..x=1,y—0.

a=2a,a=h2,

(2)根據(jù)集合中元素的互異性，有＜*或

b—b,b-2a,

(a=0,ftz=0,04，

解方程組，得《或《或《4

[b=0,^=1,,1

''b=—.

[2

由集合的互異性知《[a=0,，不合題意.

[b=0,

。=二，

b=一.

2

類型三集合間關(guān)系及應(yīng)用

［例3］已知M={%|J-3x+2=0},N={尤|犬-2x+a=0},若NqA1,求

實(shí)數(shù)a的取值范圍.

［解］:加={工*一3%+2=。}={1,2},

又NqM,

二.N=0MN={1},或％={2},或％={1,2}.

(1)當(dāng)N=0時(shí)，方程/一2九+a=0的根的判別式△=4一4。<0,即a>1.

［1+1=2,

(2)當(dāng)可={1}時(shí)，有{

1x1=

，、2+2=2,

(3)當(dāng)"={2}時(shí)，有《不成立.

tJ［2x2=。，

,x［1+2=2,

(4)當(dāng)N={1,2}時(shí)，有《不成立.

iJ［lx2=a,

綜上可知，實(shí)數(shù)。的取值范圍為a21.

［點(diǎn)評(píng)］此類問(wèn)題還應(yīng)注意“空集”這一“陷阱”，尤其是集合中含有字母參數(shù)時(shí)，

初學(xué)者會(huì)想當(dāng)然認(rèn)為是非空集合而丟解.

變式訓(xùn)練3已知集合4={尤|-3Wx?4},B-［x\2m-\<x<m+\\,且

3qA.求實(shí)數(shù)〃2的取值范圍.

答案

解：=

(1)當(dāng)3=0時(shí)，m+1<2m—1,解得m>2.

-3<2m-1,

(2)當(dāng)3時(shí)，有<"?+1W4,

2m-1<m+1,

解得-1<m<2.綜上得〃？>-1.

自我糾錯(cuò)

智易錯(cuò)點(diǎn)：忽視空集導(dǎo)致漏解

［錯(cuò)題展示］設(shè)集合M={X|2X2-5X-3=0},N={%|m%=l},若N=M,

則m的取值集合為_(kāi)____.

［錯(cuò)解］集合"=，,—』>.若NqM,則"={3}或于是當(dāng)N={3}時(shí),

m=—；當(dāng)時(shí)，m=-2.

3I2j

所以加的取位集合為1一2」>.

［錯(cuò)因分析］錯(cuò)解中由于忽視了空集是任何集合的子集，從而導(dǎo)致漏掉一種情況，

即N=0.分類討論時(shí)，要注意做到分類標(biāo)準(zhǔn)清晰，既不重復(fù)又不遺漏.

r1,ir11

［正解］集合M=J3,—/卜若,則％={3}或卜或0

m=—；當(dāng)N=<_L>時(shí),

當(dāng)N={3}時(shí),m=-2；當(dāng)N=0時(shí)，加=0.所以

3I2j

機(jī)的取值集合為《一2,0,；

［反思］當(dāng)A=8時(shí)，若則4=0或AW0,本題中，由于

M=>^0,則N=0或N/0

思悟升華

1.正確地區(qū)別各種符號(hào)的含義，如e與q,U；{0}與。.

2.寫(xiě)出一個(gè)集合的所有子集，首先要注意兩個(gè)特殊子集：。和自身；其次依次按

含有一個(gè)元素的子集、含有兩個(gè)元素的子集、含有三個(gè)元素的子集……寫(xiě)出子集.

3.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解決形如A=8類問(wèn)題

時(shí)，需分類討論4=0與A兩種情況.

4.要證明A=3,只需要證明AqB且成立即可.即可設(shè)任證明

/eB從而得出Aq反又設(shè)任意證明從而得到BqA,進(jìn)

而證明得到A=8.

隨堂知能訓(xùn)練

知識(shí)反饋……技能檢驗(yàn)

1已知集合A={x|-2Wx<2},8={x|0<x<l},則有（）

\.A>BB.AUB

C.5UAD.AcB

答案

C如下圖所示

-2-1012x

圖1

由圖可知5。A.

2.下列命題：①空集沒(méi)有子集；②任何集合至少有兩個(gè)子集；③空集是任何集

合的真子集；④若則AW0其中正確的有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.3個(gè)

答案

8；?辦是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，.?.①③錯(cuò)誤.

???0不含任何元素，0只有一個(gè)子集0,.?.②錯(cuò)誤.

???空集是任何非空集合的真子集，.?.④正確.

kk

3.已知集合A={x|x=—,攵eZ},B=<x|—,keZk貝U()

3[6

A.A^BB.AYB

C.A=BD.AUS

答案

b2k11

Ox=—=—eB,但一eB,一故

3666

4.已知集合A={-1,0},集合8={0,l,x+2},且則實(shí)數(shù)x的值為

答案

-3

解析：：Aq5,.1=X+2,解得x=-3.

5.已知集合At){1,2,3},且A中至少含有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合A有—

個(gè).

答案

5

解析：???AU{1,2,3},「泊中至多含有2個(gè)元素.

又中至少有一個(gè)奇數(shù)，

??.A可能為{1},{1,2},{1,3},⑶，{2,3},共5個(gè).

6.已知集合4={%|1W九<4},8={X[%<Q},若4=8,求實(shí)數(shù)a的取值

集合.

答案

解：將數(shù)集A表示在數(shù)軸上(如圖2所示),要滿足表示數(shù)a的點(diǎn)必須

在表示4的點(diǎn)處或在表示4的點(diǎn)的右邊，即.故實(shí)數(shù)a的取值集合為

[a\a>4].

014ax

圖2

1.L3集合的基本運(yùn)算

第1課時(shí)并集、交集

課前自主預(yù)習(xí)

課前預(yù)習(xí).....明確目標(biāo)

新知初探

1.并集的定義

文字語(yǔ)言表述為：由所有的元素所組成的集合，叫做A與B的并集，記

作,讀作.

符號(hào)語(yǔ)言表示為：AU8=.

圖1

圖形語(yǔ)言(韋思圖)表示為如圖1、所示的陰影部分.

2.并集的運(yùn)算性質(zhì)

(1)A\JB=B\JA；

(2)AUA=；

(3)AU0=;

(4)A\JB^A,A\JB^B；

(5)A==

3.交集的定義

文字語(yǔ)言表述為：由所有集合，叫做A與8的交集，記作—,讀作.

符號(hào)語(yǔ)言表示為：AD8=.

圖形語(yǔ)言(韋恩圖)表示為如圖2所示的陰影部分.

A匕箱8B

圖2

4.交集的運(yùn)算性質(zhì)

對(duì)于任何集合4,B,有(1)AnB=BnA;

(2)Ap|A=；

(3)An0=；

(4)AAficA,AHB^B；

(5)A^BAC\B=A.

思考感悟

1.“或”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵是什么？

答案

“xeA,或8”包括了三種情況：

@xeA,但xeB；@xeB,但xeA；③％cA,且

2.AUB的元素等于A的元素的個(gè)數(shù)與B的元素的個(gè)數(shù)的和嗎？

答案

不一定，用Venn圖表示AU8如下:

圖1

當(dāng)A與8有相同的元素時(shí)，根據(jù)集合元素的互異性，重復(fù)的元素在并集中只能

出現(xiàn)一次，如上圖②③④中，AU8的元素個(gè)數(shù)都小于A與B的元素個(gè)數(shù)的和.

3.如何理解交集定義中“所有”兩字的含義?

答案

①A中的任一元素都是A與8的公共元素;

②A與8的所有公共元素都屬于An8；

③集合A與8沒(méi)有公共元素時(shí)，A^B=0.

課堂互動(dòng)探究

例練結(jié)合......素能提升

典例導(dǎo)悟

類型一并集、交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算

［例1］(1)已知集合A={%|(%-1)?(%+2)=0}8={%|(x+2)(%-3)=0},

則集合4118是()

A.{-1,2,3}B.{-1-2,3}

C.{1-2,3}D.{1-2-3)

(2)已知集合4={%||%區(qū)2,%cR},B=^x\y［x<4,XGZ1,則人口8=(

)

A.(0,2)B.［0,2］

C.{0,2}D.{0,1,2}

［分析］先求得A,B,再求AU8和4nB.

［解析］⑴因4={1,-2},8={—2,3},

.?.AUB={l,-2,3}.

(2)A=|x||x|<2,xER}=［-2,2］,

3=k|Vx<4,xcz)=10,1,2,--,161,

.-.An5={0,1,2}

［答案］(1)C(2)D

［點(diǎn)評(píng)］此類題目首先應(yīng)看清集合中元素的范圍，簡(jiǎn)化集合，若是用列舉法表示

的數(shù)集，可以根據(jù)交集、并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運(yùn)算的結(jié)

果；若是用描述法表示的數(shù)集，可借助數(shù)軸分析寫(xiě)出結(jié)果，此時(shí)要注意當(dāng)端點(diǎn)不

在集合中時(shí)，應(yīng)用"空心點(diǎn)"表示.

變式訓(xùn)練1(1)設(shè)集合M={/neZ|-3</n<2},?/={nGZ|-1<n<3},

則MDN等于()

A.{0,1}B.{-1,0,1)

C.{0,1,2}D.{-l,0,l,2}

(2)設(shè)集合用={%|%〉1},P={x|x>0},則下列關(guān)系中正確的是

()

A.M=PB.MP=P

C.MUP=MD.McP=P

答案

1.(1)BVM={-2,-1,0,1},vN={-l,0,l,2,3),={-1,0,1).

(2)8因MqP,所以〃UP=尸.

類型二已知集合的并集、交集，求參數(shù)取值

［例2］設(shè)4={%|—2<%<—1,或%>1},B=［x\a<x<b］滿足

AuB={x|x>-2},ACB={%|1<%?3},求a,b的值.

［分析］從題目上不容易看出a,匕的范圍，要結(jié)合數(shù)軸，借助于圖形直觀來(lái)求.

［解］A={x\-2<x<>1},

B={x［a<x<b］.

vAQ5={x|l<x<3},

.,.3必為8的右端值，,/?=3,;.-14。<1.

又?.?4UB={%［%>—2},根據(jù)并集的定義，

集合卜|—14%?1}一定被集合8所包含，

「?一2va2-1.又,「一1?aV1.

..ci——1,H.9ci——1,Z?—3.

變式訓(xùn)練2已知A={x\2a<x<a+3\,B={x|x<-l,x>5)，若Afl8=0,

求a的取值范圍.

答案

解：(1)若A=0,有408=0,此時(shí)2a〉a+3,

a>3.

(2)若AW0,由408=0，得如圖2：

li

-12a0+35x

圖2

2〃2—1,

「?v。+3《5,解得—?。＜2.

2

2〃WQ+3,

綜上所述，a的取值范圍是＜a|—gwa＜2,或。〉3〉.

類型三并集、交集的運(yùn)算性質(zhì)

［例3］已知集合A={X|X2—3X+2=0},B={%|QX-2=0},且AU8=A,

求實(shí)數(shù)a組成的集合C.

［分析］利用4118=4得314,然后就B是否為空集討論，列出關(guān)于。的方

程求解即可.

［解］由12—3尤+2=0,得％=1或%=2,

.?.4={1,2}.

又AU8=A,小受.

(1)若8=0,即方程ax—2=0無(wú)解，此時(shí)a=0.

(2)若八0,則3={1}或3={2}.

當(dāng)3={1}時(shí)，有a—2=0,即a=2；

當(dāng)8={2}時(shí)，有2a—2=0,即a=l.

綜上可知，適合題意的實(shí)數(shù)。所組成的集合。={0,1,2}.

［點(diǎn)評(píng)］(1)在利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時(shí)，常常會(huì)遇到ADB=A,

AUB=8等這類問(wèn)題，解答時(shí)常借助于交、并集的定義及上節(jié)學(xué)習(xí)的集合間的

關(guān)系去分析，如An3=AoA=B,==B等，解答時(shí)應(yīng)靈

活處理.

(2)當(dāng)集合時(shí)，如果集合A是一個(gè)確定的集合，而集合3不確定，運(yùn)算

時(shí)要考慮B=0的情況，切不可漏掉.

變式訓(xùn)練3設(shè)集合4={-2},8={尤|。4+1=0},

(1)若AU5=5,求a的值；

(2)若408=8,求a的值.

答案

解：⑴；AU3=3,A=

??.—2是方程a%+1=0的根，

2

(2)因?yàn)?08=8,所以

因?yàn)锳={-2},所以8=0或

當(dāng)8=0時(shí)，方程ax+l=0無(wú)解，即a=0；

當(dāng)5W0時(shí)，awO,則8=［—

Ia.

所以—4=一2,解得a=L

a2

綜上所述，。=0或。=’.

2

類型四并集、交集的新定義問(wèn)題

［例4］A,B都是非空集合，定義

A*B=［x\x=a-b+a+h,aeA,be8且beACl8}

若A={1,2},B={0,2,3}則A*B中元素的和為.

［解析］由A*3的定義知，a可取1,2；b可取0,3,A*3中的元素為：1,7,

2,11,其元素之和為21.

［答案］21

［點(diǎn)評(píng)］新定義集合，關(guān)鍵是理解“定義”的含義，弄清集合中的元素是什么.

變式訓(xùn)練4定義A-B=若4={1,2,3,},5={3,4},求

A-B.

答案

4-8={1,2}

解析：由“定義”可知：A-B表示的應(yīng)是屬于A但不能屬于3的部分

如圖3.

自我糾錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)集合的錯(cuò)誤理解，導(dǎo)致集合運(yùn)算出錯(cuò)

［錯(cuò)題展示］已知集合A={(X,))|y=x2,%cR},B={(x,y)|y=x,xeR},

求ADB.

［錯(cuò)解］由丁=了，得y=?；騳=l.

.?.AnB={0』}.

［錯(cuò)因分析］此錯(cuò)解在于A,8的元素皆為有序?qū)崝?shù)對(duì)，即點(diǎn)的坐標(biāo).

［正解］4nB是直線y=X與二次函數(shù)y=x2的交點(diǎn)組成的集合，

.-.xn5={(o,o),

［反思］注意集合中元素的形式.

思悟升華

1.關(guān)于并集

(1)由于“AU3”是所有屬于A或?qū)儆?的元素并在一起而構(gòu)成的集合，所

以要求“4UB”，只需把集合A,B的元素合在一起.

求AU3時(shí)，A與8的公共元素不能重寫(xiě)，AUB的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)A與B的

元素個(gè)數(shù)之和.根據(jù)集合元素的互異性，使A,8的公共元素在并集中只出現(xiàn)一次

即可.

(2)并集4UB的元素有三類：一類是xeA,但二類是xeB,但

三類是XGA,且XGB.

2.關(guān)于交集

(1)由于“A口B”是由集合A,B的所有公共元素組成的集合，故求“AnB”

的關(guān)鍵是找出它們的公共元素.為此，首先要搞清集合A，8的代表元素是什么，

把所求交集的集合用集合符號(hào)表示出來(lái)，寫(xiě)成“AD3”的形式，把化簡(jiǎn)后的集

合A,8的公共元素寫(xiě)出來(lái)即可.

(2)當(dāng)集合A與8沒(méi)有公共元素時(shí)，408=0；當(dāng)集合A與8有公共元素

時(shí)，ADB是由所有公共元素組成的集合，當(dāng)AqB時(shí)，An8=A.

3.(AU5),A,B,(API?之間的關(guān)系

設(shè)xe(AnB),貝ijxeA,且xwB,當(dāng)然xe(AUB)，所以有

(A03)=A=(AUB),同理有(ACl3)q8=(AU8).

4.在解決有關(guān)集合的變、并運(yùn)算時(shí)，要借助于踱輻和Venn圖，充分注意分類討

論、轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想.

隨堂知能訓(xùn)練

知識(shí)反饋.....技能經(jīng)驗(yàn)

1.已知集合A={%|%>0},8=則AU8等于()

A.{x|x>-1}B.{x|x<21

C.{x|0<x<2}D,{x|-l<x<2}

答案

—LUIi.

-102X

圖4

A如圖4所示.由數(shù)軸易知：A與6的所有元素覆蓋了-1及其右側(cè)的部分.

2.設(shè)集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},則等于

()

A.{1,2,3}B.{1,2,4)

C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

答案

DvA={1,2},B={1,2,3}-

.?.4。8={1,2},

??.(A0B)UC={1,2}U{2,3,4}={1,2,3,4}

3.若集合A={%|-2W3},8=或無(wú)>4},則集合ane等于

()

A.{X|X<3,^X>4}B.{X|-1<X<3}

C.{X|3<X<4}D.{X|-2<X<-1}

答案

繆

-2-134

圖5

D直接在數(shù)軸上標(biāo)出A,B的區(qū)間，如圖5所示，取其公共分即得

AnB={%|-2<x<-1),故選D

4.集合A={0,2,Q2},B={1,Q},若AC|8={1},則1=

答案

-1

解析：由AD3={1}得leA,則/=1,Q=±1,又3={1,Q},a=1不符合

元素的互異性，.?.a=-1.

5.集合M={%|2a-l<%<4a,QGR},N={九11<x<2},若MdN=N,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案

p||<a<l>

解析：?.?〃nN=N,.?.NqM.

a<1,

*1

4a>2,a2一.

12

一WQW1.

2

二實(shí)數(shù)a的取值范圍是Jal’WaWl>.

[2

6.已知集合4={%|%<1},3={%|X2Q},且AU8=R,求實(shí)數(shù)AU8=R

的取值范圍.

答案

解：由AU3=R,得A與5的所有元素應(yīng)覆蓋整個(gè)數(shù)軸.如圖6

所示：

-----r