高等數(shù)學(xué)講稿1

課程名稱：高等數(shù)學(xué)

授課時間：2009-2010學(xué)年第一學(xué)期

(第五至第二十周，二1/2,四1/2,五3/4)

授課地點：J102

授課班級：機(jī)械0901、0902、0903、0904

第一章函數(shù)與極限

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念之一，是高等數(shù)學(xué)的主要研究對象.極限概念是微積分的理

論基礎(chǔ)，極限方法是微積分的基本分析方法，因此，掌握、運(yùn)用好極限方法是學(xué)好微積分的

關(guān)鍵。本章將介紹函數(shù)與極限的基本知識和有關(guān)的基本方法，為今后的學(xué)習(xí)打下必要的基礎(chǔ).

第一節(jié)函數(shù)

在現(xiàn)實世界中，一切事物都在一定的空間中運(yùn)動著.17世紀(jì)初，數(shù)學(xué)首先從對運(yùn)動(如

天文、航海問題等)的研究中引出了函數(shù)這個基本概念.在那以后的二百多年里，這個概念

在幾乎所有的科學(xué)研究工作中占據(jù)了中心位置.

本節(jié)將介紹函數(shù)的概念、函數(shù)關(guān)系的構(gòu)建與函數(shù)的特性.

內(nèi)容要點

一、集合

集合的概念、運(yùn)算；有限區(qū)間，無限區(qū)間；領(lǐng)域的定義、中心、半徑。

二、映射

映射的概念，滿射、單射、雙射。

三、函數(shù)的概念

函數(shù)是描述變量間相互依賴關(guān)系的?種數(shù)學(xué)模型?函數(shù)的定義、圖形、表示法。

四、函數(shù)特性

函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性。

五、反函數(shù)：反函數(shù)的概念；函數(shù)存在反函數(shù)的條件；在同一個坐標(biāo)平面內(nèi)，直接函數(shù)

y=/(x)和反函數(shù)y=夕(x)的圖形關(guān)于直線y=x是對稱的.

六、基本初等函數(shù)：界函數(shù)；指數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)；三角函數(shù)；反三角函數(shù).

七、復(fù)合函數(shù)的概念

八、初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所

構(gòu)成并可用?個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).初等函數(shù)的基本特征：在函數(shù)有定義的區(qū)

間內(nèi)初等函數(shù)的圖形是不間斷的.

九、雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)的概念.

十、數(shù)學(xué)建?！瘮?shù)關(guān)系的建立

為解決實際應(yīng)用問題，首先要將該問題量化，從而建立起該問題的數(shù)學(xué)模型，即建立函

數(shù)關(guān)系：依題意建立函數(shù)關(guān)系；依據(jù)經(jīng)驗數(shù)據(jù)建立近似函數(shù)關(guān)系。

例題選講

函數(shù)舉例

例1絕對值函數(shù))，=51=卜’

[-x,x<0

定義域D=(-00,+00),

值域匕=[0,+00).

注：常用絕對值的運(yùn)算性質(zhì)：

1劃1=|巾|；申=：；H-M^|x±y|<|x|+|y|.

設(shè)a>0,貝Ia---a<x<a\

|x|>a-->x>a^x<-a.

例2判斷下面函數(shù)是否相同，并說明理由.

(1)y=1與y=sirrx+cos-x;

(2)y=2x+1與x=2y+1.

解(1)雖然這兩個函數(shù)的表現(xiàn)形式不同，但它們的定義域(-8,+8)與對應(yīng)法則均相

同，所以這兩個函數(shù)相同.

(2)雖然它們的自變量與因變量所用的字母不同，但其定義域(-?),??)和對應(yīng)法則均相同

(如圖)，所以這兩個函數(shù)相同.

分段函數(shù)舉例

在自變量的不同變化范圍中，對應(yīng)法則用不同的表達(dá)方式來表示的函數(shù)，稱為分段函

數(shù).

(1)符號函數(shù)

1,x〉0,

y-sgnx=<0,x=0,x=sgnx.\x\.

—1,x<0.

(2)取整函數(shù)y=[x],其中，[幻表示不超過x的最大整數(shù).

(3)狄利克雷函數(shù)

~、(1,當(dāng)x是有理數(shù)時

"1o,當(dāng)x是無理數(shù)時

(4)函數(shù)=L，

1+x,X>1.

2

1

例3求函數(shù)y=,+/寶的定義域.

-1-x2

解

1-X2H0"±1

=>D—[-2,-1)u(—1,1)kJ(l,4-oo).

元+220x>-i

例4求函數(shù)/(x)=lg0二義+J5+4X—Y的定義域.

sinx

解要使有意義，顯然x要滿足：

3-x>0x<3

<sinxwO即<xh(人為整數(shù))

5+4x-x2>0

所以“X)的定義域為

Df={x\<x<3,x^3,x^0}=[-1,0}u(0,3).

例5設(shè)

1,0<x<1

/(X)=,

-2,1<x<2'

求函數(shù)/(X+3)的定義域.

1,0<x<l

解f(x)=<

—2,1<x<2

1,0<X+3<11,-34x4—2

/(x+3)=

—2,1<x+342—2,-2<x<-1

故函數(shù)f(x+3)的定義域:[-3,-1].

例6證明

X

(1)函數(shù)y=—；——在(-8,+0。)上是有界的.(E05)

x+1

(2)函數(shù)>=上在(0,1)上是無界的.

X

證⑴因為(1-N)2wo,所以|l+x22綱，故|/(x)|=|云:=4普

對一切X￡(-8,+00)都成立.由上可知題設(shè)函數(shù)在(-00,+00)上是有界函數(shù).

1

(2)對于無論怎樣大的M>0,總可在(0,1)內(nèi)找到相應(yīng)的X.例如取x0=,e(0,1),

VM+1

使得|/(/)|=』=--1——=M+\>M

X0(12

VM+I

3

所以/(x)=(在(0,1)上是無界函數(shù).

X

例7證明函數(shù))，=上在(-1,+8)內(nèi)是單調(diào)增加的函數(shù).

14-X

證在(-1,8)內(nèi)任取兩點七,出，且不<工2,則

fM-f(￡，x、)=-x\[-----x-2=----X-\——~X2-——

122

1+x)l+x2(1+國)(1+巧)

因為和工2是(-1，8)內(nèi)任意兩點，所以1+西>0,1+。2>°，

又因為再一為<0，故/(西)一f。2)V0，即/(陽)Vf為2)

所以〃M卷在(T+8)內(nèi)是單調(diào)增加的.

例8判斷函數(shù)丁=上(工+7177)的奇偶性.

解f(—%)=ln(—x+yj1+(-x)~)—ln(—x+Jl+廠)

(-X+Vl+x2)(%4-71+X2)

=In

x+y/\+x2

=ln-------=-ln(x+71+x2)=-/(x).

X4-V1+X2

由定義知/(x)為奇函數(shù).

1當(dāng)X是有理數(shù)時(L

例9設(shè)Z)(x)=二；=工1m求。仙1-揚(yáng)，。(。⑼.并討論其性

0,是無理數(shù)時I5J

質(zhì).

解￡>(-y)=l,D(l-V2)=0,D(D(x))=l,

函數(shù)是單值、有界的，偶函數(shù)，但不是單調(diào)函數(shù),是周期函數(shù)，但無最小正周期.

例10若/(x)對其定義域上的一切，恒有

f(x)=f(2a-x),

則稱/(x)對稱于x=a.

證明：若/(x)對稱于x=a及x=b(a<b),則/(x)是以T=2(?！?為周期的周期函數(shù).

證由f(x)對稱于x="及x=b，則有

/(x)=/(2a-x),(1)

f(x)=f(2b-x),(2)

在式(2)中，把x換為2"x,得

f(2a-x)=f[2b-(2a-x)]=f[x+2{b-a).

由式⑴/(x)=f(2a-x)=/[x+2(b-a),可見,/(x)以T=2(b-a)為周期.

4

求反函數(shù)

例U求函數(shù)y=>J+4x的反函數(shù).

14-71+4%

解令z=Jl+4x,則y='—故z匕士即疝嬴二匕2

1+z1+V1+V

解得T片―y

(1+)產(chǎn)

改變變量的記號，即得到所求反函數(shù):X

(1+無產(chǎn)

例12已知

1,x>0

sgnx=v0,X=O(符號函數(shù))

—1,x<0

求y=(l+x2)sgnx的反函數(shù).

解由題設(shè)，易得

1+x2,x>0

y=(l+x2)sgnx=<0,x=0(=>x=<0,y=0

—(1+%2),x<0-J-(i+y)，y<T

故所求反函數(shù)為

Vx-l,X>1

0,x=0.

—J-(1+X),X<—1

函數(shù)的復(fù)合

設(shè)y~f(i4)-arctanw,u=(p(t)=+,

例13t=y/{x)=x2-\,求/{例以x)]}.

11

解/{例〃(幻]}=arctanu=arctan—7=-arctan—；=

例14將下列型竺成基本初等函數(shù)的復(fù)合.

(1)j=Vlnsin2x;(2)yue"ctan./；(3)y=cos21n(2+Jl+—).

解(l)y=Jlnsin?x是由y=八,w=Inv,v=w2,w=sinx四個函數(shù)復(fù)合而成；

⑵y=^rctan?是由產(chǎn)e\u=arctanv,v=x2三個函數(shù)復(fù)合而成；

2

(3)y=cos21n(2+J1+/2)是由=〃2,w_cosv,v=Iniv,w=2+f,t=4h,h=l+x

六個函數(shù)復(fù)合在而成.

分段函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算

5

x

例15設(shè)/(x)e(,必x<1，?)=，Ix+_2],,xM<O0'求,四機(jī)

*"),e(x)<i

解f[<pM]=<

(p(x),(p{x}>\

(1)當(dāng)s(x)<1時，或x<0,夕(無)=x+2<l^>x<-1,或x20,9(x)=x2—1<1^>0<X<

(2)當(dāng)<p(x)>1時，或x<0，s(尤)=x+221n—14x<0,或0,p(x)=x?—12nx>41.

"2,x<-\

x+2,-14x<0

所以/S(x)]=，

Z-1,0<x<V2

x2-1,x>42

例16設(shè)/(\+工]=苫2+乂,求/(%).

kX)X

解因為/[工+_]=/+：=[工+-)-2,所以/(%)=爐—2.

課堂練習(xí)

1.用分段函數(shù)表示函數(shù)y=3-\x-l\.

2.判別函數(shù)/(x)=,*+x，*2°的奇偶性.

[一元+x,x<0

3.下列函數(shù)能否復(fù)合為函數(shù)y=/[g(x)],若能，寫出其解析式、定義域、值域.

⑴>=/(〃)=6，u=g(x)=x-x2;

(2)y=/(w)=Inw,u=^(x)=sinx-1.

4.分析函數(shù)y=Varctancose2x的復(fù)合結(jié)構(gòu).

6

第二節(jié)極限

1.2.1數(shù)列極限

極限思想是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的.例如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽(公

元3世紀(jì))利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法--割圓術(shù)(參看光盤演示)，就是極

限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用.又如，春秋戰(zhàn)國時期的哲學(xué)家莊子(公元4世紀(jì))在《莊子.天下

篇》一書中對“截丈問題”(參看光盤演示)有一段名言：“一尺之梅，日截其半，萬世不竭”,

其中也隱含了深刻的極限思想.

極限是研究變量的變化趨勢的基本工具，高等數(shù)學(xué)中許多基本概念，例如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、

定積分、無窮級數(shù)等都是建立在極限的基礎(chǔ)上.極限方法又是研究函數(shù)的一種最基本的方法.

本節(jié)將首先給出數(shù)列極限的定義.

內(nèi)容要點

一、數(shù)列的定義

二、數(shù)列的極限

￡-N論證法，其論證步驟為：

(1)對于任意給定的正數(shù)￡,令

(2)由上式開始分析倒推，推出〃＞夕(￡);

(3)取N=S(￡)],再用語言順述結(jié)論.

三、收斂數(shù)列的有界性

四、極限的唯一性

五、收斂數(shù)列的保號性

六、子數(shù)列的收斂性

例題選講

數(shù)列的極限

例1(E01)下列各數(shù)列是否收斂，若收斂，試指出其收斂于何值.

⑴卜｝;⑵.卜⑶｛(-D叫；(4).

解(D數(shù)歹"2"｝即為

2,4,8,…,2",…

易見，當(dāng)〃無限增大時，2〃也無限增大，故該數(shù)列是發(fā)散的;

(2)數(shù)歹IJ即為

7

易見，當(dāng)〃無限增大時，1無限接近于0,故該數(shù)列是收斂于0;

n

⑶數(shù)列｛（-1）叫即為

1,-1,1,-1,

易見,當(dāng)“無限增大時，（-1）"“無休止地反復(fù)取1、-1兩個數(shù)，而不會接近于任何一個確定的

常數(shù),故該數(shù)列是發(fā)散的；

（4）數(shù)歹|J｛一｝即為

23n-\

易見，當(dāng)〃無限增大時，上1無限接近于1,故該數(shù)列是收斂于1.

n

例2(E02)證明lim-+(-1)—=1.

“一>8n

￡>0,要使IX,,-11<￡，只要！<￡,

n

即

〃T8n

例3設(shè)乙三C（C為常數(shù)），證明limx〃=C

〃一>8

證因?qū)θ谓o￡〉0,對于一切自然數(shù)〃，恒有1%一。1=1。一（71=0<￡.所以，

hmxn=C.即：常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).

n->oo

注：用定義證數(shù)列極限存在時，關(guān)鍵是：對任意給定的￡〉0,尋找N,但不必要求最小

的N.

8

例4證明limq"=0,其中l(wèi)ql<l.

n—>oo

證任給￡>0,若q=0,則limq"=lim0=0;若0<lql<l,欲使lx“一Ol=lq"l<￡,

?—>oon—>00

InpInp

必須〃lnlql<ln￡，即〃>-----，故對任給￡>0,若取N=------，則當(dāng)〃〉N時，就有

Inlql|_lnIql_

I/-0l<a從而證得limq〃=0.

例5設(shè)xH>0,S.limxfl=a>0,求證limJx^=4a.

〃一>8〃—>8丫

證任給￡>0,由

gm牛，區(qū)手

也+■\la

要使I-G1<￡,即要IGl<4as,

,：limxn-a,.,.對￡(；=&￡>0,mN>0,當(dāng)“>N時，\1<&￡,

“Too

從而當(dāng)〃〉N時，恒有I"7-4a\<￡,故lim=-fa.

例6用數(shù)列極限定義證明lim-_-=-一

“T8l-3n3

5±a?_r1717

證由于=("21),只要-----<￡，解得

l-3n(3)3(1-3〃)9n-39/1-3

171171

〃>±~+上.因此，對任給的￡>0,取'=—+-，則〃>N時,

/39s3

<￡成立,

1一3〃13)\

5+2n2

即lim

"->81-3n3

n-2

例7(E03)用數(shù)列極限定義證明lim-.......=1.

"78n+”+1

22

、T+工?-2,3+rtn+n2.o.n-2.

證由于---------1=--------<——=一(〃>3),要使—---------1<￡,

n+n+1n+n+\n'nn+n+l

只要2<￡，即”>2,因此，對任給的￡>0,取N=2,當(dāng)“〉N時，有

ns￡」

〃2一2

-1<￡,B|Jlim--------=1.

〃2+〃+1…00n+〃+1

9

IAI

例8(E04)證明：若limx“=A,則存在正整數(shù)N,當(dāng)〃,N時，不等式|乙|〉——成

2

立.

證因limx“=A,由數(shù)列極限的￡-N定義知，對任給的￡>0,存在N>0,當(dāng)

n->oo

n>N時，恒有Ix“一Al<￡,由于II乙I一IA1區(qū)x“一AI,故〃〉N時，恒有

IAI

llx“I—IAIKe,從而有IAI—￡<1演1<1AI+￡，由此可見，只要取￡=」,則當(dāng)〃>N時,

2

IAI

恒有1招1>"」.證畢.

2

例9(E05)證明數(shù)列x“=(-1嚴(yán)是發(fā)散的

證設(shè)limx?=a,由定義，對于￡=,，>0,使得當(dāng)〃〉N時，恒有Ix“一al<L

22

即當(dāng)〃〉N時，X.-+區(qū)間長度為1.而與無休止地反復(fù)取1,一1兩個數(shù)，

不可能同時位于長度為1地區(qū)間.因此改數(shù)列是發(fā)散的.證畢.

注：此例同時也表明：有界數(shù)列不一定收斂.

課堂練習(xí)

1.設(shè)p>0,證明數(shù)列乙=1的極限是0.

n1

1.2.2函數(shù)極限

數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)：X,=/(?),數(shù)列｛相｝的極限為a,即：當(dāng)自變量

〃取正整數(shù)且無限增大(〃-oo)時，對應(yīng)的函數(shù)值/(〃)無限接近數(shù)a.若將數(shù)列極限概念中

自變量〃和函數(shù)值/■(”)的特殊性撇開，可以由此引出函數(shù)極限的一般概念：在自變量x的

某個變化過程中，如果對應(yīng)的函數(shù)值/(x)無限接近于某個確定的數(shù)4,則A就稱為x在該

變化過程中函數(shù)/(x)的極限.顯然，極限4是與自變量x的變化過程緊密相關(guān)，自變量的變

化過程不同，函數(shù)的極限就有不同的表現(xiàn)形式.本節(jié)分下列兩種情況來討論：

1、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限；

2、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限.

內(nèi)容要點

一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限

二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限

三、左右極限的概念

四、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性有界性保號性

五、子序列的收斂性

10

例題選講

自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限

例1(EO1)證明lim—=0.

X->8X

masinx八sinx

證因為-----()=--<-占-,于是>0,可取X=-,則當(dāng)忖>X時,

XXk￡

恒有-----0<￡,故lim-------=0.證畢.

XKT8X

例2(E02)用極限定義證明如冏=0.

證對于任意給定的￡>0,要使

只要2y,即，>6(不妨設(shè)2就可以了.因此，對于任意給定的￡>。,

￡In2

取X=1,則當(dāng)x>X時，-0<￡恒成立.

In2V2J

所以媽出

注：同理可證：當(dāng)0<q<l時，limg、=0.而當(dāng)q>l時，limq1=Q.

XT+00XT-X

1—Y

例3證明lim——=—1.

XT8X+1

證由3-(-1)=二一(限制兇>1),現(xiàn)在，W￡>0,令

X+1x+1\x\-1

7-T--<￡=Ixl>—+l,|x|>1

|x|-lS

于是,若取X=2+1,則當(dāng)國>X時，就有--(-1)<￡即lim±N=-l.證畢.

￡X+1KT8X+1

自變量趨于有限值時函數(shù)的極限

例4(E03)設(shè)y=2x—1,問5等于多少0寸，有：當(dāng)k一4|<5時,卜―7卜0.1?

11

解欲使|y-7|<0.1,即

|y-7|=|(2x-l)-7|=|2x-8|=2|x-4|<0.1

,一4|<岑=0.05,

從而

即當(dāng)3=0.05時，有：當(dāng),一4|<5時，卜一7|<0.1（如圖）.

例5(E04)(l)證明limC=C(C為常數(shù)).

XT湎

證任給￡〉0,任取5>0,當(dāng)0<,一與|<5時，|/(x)-A|=\C-C\=0恒成立,

limC=C.

例5⑵證明limx=x().

XT*。

證:|/(工)一山=,一面|,任給￡〉0,取S=&當(dāng)0<|無一引<3=￡時，

\f(x)-A\=\x-x0\<￡成立，

/.limx=xQ.

XT/

2_[

例6(E05)證明lim^r―-=2.

XT】X-1

證函數(shù)在點x-1處沒有定義，

r2_i

=-^7P-2=|x-l|,

2__i

任給￡>o,要使|/(X)-A|<￡,只要取s=￡,則當(dāng)0<k一1|<6時,就有^r~--2<3,

x—\

12

..x~

：.lim-----=2.

X-l

例7(E06)證明：當(dāng)與>0時，limJ7=A.

證|/(x)-A\=|VX-=

任給￡>0,要使|f(x)-H<￡,只要|x-Xo|<扃￡且》40，

取5=01皿｛々,^^7￡｝則當(dāng)0<卜-而|<方時，就有-<￡,

/.lim>[x=Jx^.

XT/、

子序列的收斂性

例8驗證lim且不存在.

x->0X

證lim-=lim—=lim(-1)=-1;lim—=lim—=lim1=1.

xT-0XXT-0XXT-0x->+0xx->+0Xx->+0

左右極限存在但不相等lim/(x)不存在.

XTO

左右極限的概念

例9(E07)設(shè)〃x)=f'求lim/U).

[X4-1,X<0ATo

解因為limf(x)=lim(一元+1)=1,lim/(x)=limx=0.

x->0-x->0-x->o+x->0+

即有l(wèi)imf(x)*limf(x),所以limf(%)不存在.

X->0-X70+XfO

~1-X,X<0

例10設(shè)/(x)=《2,八，求lim/(x).

X-+l,x>0a。

解x=0是函數(shù)的分段點，如下圖.

xx

\-a'

例U(E08)設(shè)/(%)=----丁(。>0),求limf(x).

\+aio

解了(x)在x=0處沒有定義，而

八ax

lim/(x)=lim——：---=-1

、TO+O.r->0+0

ax+\

13

1-a

lim/(x)=lim.-4

x->0-0x->0-01

\+ax

故lim/(x)不存在.

.r->0

課堂練習(xí)

1.判別下列極限是否存在，如果存在求出其值..

(I)lim2l/A;⑵lime”*；(3)由2"1

A->0XT8”->0

2.若/(x)>0,且lim/(x)=A問：能否保證有A>0的結(jié)論？試舉例說明.

1.2.3無窮小與無窮大

沒有任何問題可以像無窮那樣深深地觸動人

的感情，很少有別的觀念能像無窮那樣激勵理智

產(chǎn)生富有成果的思想，然而也沒有任何其它的概

念能像無窮那樣需要加于闡明.

——大衛(wèi).希爾伯特

對無窮小的認(rèn)識問題，可以遠(yuǎn)溯到古希臘，那時，阿基米德就曾用無限小量方法得到許

多重要的數(shù)學(xué)結(jié)果，但他認(rèn)為無限小量方法存在著不合理的地方.直到1821年，柯西在他

的《分析教程》中才對無限小(即這里所說的無窮小)這一概念給出了明確的回答,而有關(guān)

無窮小的理論就是在柯西的理論基礎(chǔ)上一發(fā)展起來的.

內(nèi)容要點

一、無窮小的概念

二、無窮小的運(yùn)算性質(zhì)

有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

三、無窮大的概念

四、無窮小與無窮大的關(guān)系

例題選講

無窮小的概念與無窮小的運(yùn)算性質(zhì)

例1根據(jù)定義證明：y=，sin—當(dāng)xf0時為無窮小.

X

證V￡>0,要使

X2sin--0=1x2Isin—<x2<￡,

XX

14

只須lxl<J工，取6=右，則當(dāng)0<lx—01<3時，恒有-sin——0<￡,

X

1

/.limx92sin—=0.證畢.

x->0X

e….sinx

例2(E01)求hm----.

X—X

vsinx..1.

解因為lim----=hm--sinx

X—>0CJQA：—>ooX

而當(dāng)xf8時，,是無窮小量，sinx是有界量(IsinxK1),

x

所以

1.sinx八

lim----=0.

18x

例3(E02)證明lim----=oo.

IX-1

證VM>0,要使>M,只要取S='，當(dāng)0<lx—llv5=L

x-1'11MMM

時，就有」一〉M,所以lim」一=8.

X-l—1X—1

例4證明lim(ax-1)=+oo(a>1).

XT+X

xx]ogAM+[)

證X/M>0,取X=log〃(M+l),當(dāng)x>X時，有a>a=a=M+1

從而lim(a'—1)=+8,即當(dāng)x―>+8時，(a'—1)是正無窮大.

XT+<?

例5(E03)當(dāng)xf0時，y=Lsin，是一個無界變量，但不是無窮大.

XX

證取xf0的兩個子列：

X；=7；~■~^7，xk(%=1,2,…).

2k兀+兀!22k兀

則x；f0(&foo),x：f0(28),且y(￡)=2Z乃+],故VM>0,水>0,

使y(x：)〉M,即y是無界的；但y(x；)=2brsin2A%=06=0,1,…)，所以

y=Lsin，不是無窮大.

XX

15

例6(E04)求lim———

5jr+5

解因為lim^^-=limf-+-4^=0

XT"'+5xfxX)

根據(jù)無窮小與無窮大的關(guān)系有

..X

lim-...........=oo.

38廠+5

課堂練習(xí)

lim".

1.求

—(I)?

2.(1)設(shè)XfX。時，g(x)是有界量,/(X)是無窮大量，證明:/(X)土g(x)是無窮

大量.

(2)設(shè)xf/時，Ig(x)I之例(M是一個正的常數(shù))，/(x)是無窮大量，證明:

/(x)g(x)是無窮大量.

1.2.4極限運(yùn)算法則

內(nèi)谷要點

一、極限的四則運(yùn)算：定理1推論1推論2

二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則：定理2

例題選講

極限的四則運(yùn)算

例l(E01)求lim(y-3x+5).

XT2

解lim(x2-3x+5)=limx1-lim3x+lim5=(limx)2-3limx+lim5=22-3-2+5=3

12.t—>2x—>2%—>2KT2X—>2x—>2

注：設(shè)/⑴=劭/+%―+…+%,則有

]

limf(x)=tz0(limx)〃+%(lim1)"一+…+%=a0Xg+a[XQ~+…+即=/(%()).

.fo

16

2x2-9

例2(E02)求limY~—

-

x-35X-7X-2

lim(2x2-9)

2*2-92-32-9

XT39

lim_2—_-2~

T5X2-7尤-2-lim(5x-7x-2)5-3-7-3-222

XT3

注：設(shè)“上端，且。a”。,則有

hmP(x).

——=p￡(W).

limf(x)=/(x

與

x->Iim0(x)g(x0)

XT%

當(dāng)。（x°）=0時，則商的法則不能應(yīng)用.

..p.-1?r4■人%—i1

例3(E03)求hm「；--------

alx~+2x-3

解?.Tim，+2x—3)=0,商的法則不能用又?.Tim(4x—1)=3/0,

A->1XT1

v2+2x-304r-l

.??噌F7r一廠。.由無窮大與無窮小的關(guān)系‘得贈不^”.

/2_]

例4(E04)求lim-------

7X2+2X-3

解Xf1時，分子和分母的極限都是零（9型）.先約去不為零的無窮小因子X

-1后再求

極限.

物―r吧筌UH曾霍（消去零因子法）/

2r3+3x2+5

例5(E05)計算lim—V--

x—7x+4x~-1

解X-8時，分子和分母的極限都是無窮大（巴型）.先用/去除分子分母,分出無窮

00

小，再求極限.

35

r\IQ2g2+dyrs

lim-=lim一(無窮小因子分出法)

2

is+4x-12417

/H---------------7-

XX

注：當(dāng)即工0,4wo,根和〃為非負(fù)整數(shù)時，有

17

?,當(dāng)〃=〃？

a^xm+axmH-----FQ%

lim---------!——}：------------<o,當(dāng)〃>帆.

XT8hxn+4￡+■??+/?“

Qoo,當(dāng)〃<m

無窮小因子分出法：以分母中自變量的最高次塞除分子和分母，以分出無窮小，然后再

求極限的方法.

4?、［的「+6『+5x+1

例6(E06)計算hm--------------------------.

is3x-2

解X-00時、分子分母均趨于00,此類極限也不能直接用極限運(yùn)算法則，可把分子

分母同除以絕對值最大的項，再用極限運(yùn)算法則.

].+6尸+5x+lvxx2x32

hm--------------------------=hrm----------------------=—

—003x-2-83_23

x

例7(E07)求lim(二+3+…+=

“TOO"n"

解本題考慮無窮多個無窮小之和.先變形再求極限

1+2d-----Fn

=lim

n->00n"T8n-"T821n2

例8計算lim上正出心婆二垣.

T(1-X)

解因分母的極限為0,故不能應(yīng)用極限運(yùn)算法則，而要先對函數(shù)做必要的變形，因分

子中含有根式，通常用根式有理化，然后約去分子分母中的公因子.

Hm(1-V^)(l-Vx)(l-Vx)

吧(1-x)3

lim______________(1-x)(D(l-x)______________

(i-x)3(i+Vx)(i+Vx+V?)(i+Vx+V?+V?)

lim---------------------==-------------=----.

(1+?)(1+F+v?)(1+Vx++V^)24

18

例9(E08)計算lim(sinJx+1-sinVx).

.v->+oo

解xT4-00時，sin而！與sin6的極限均不存在，但不能認(rèn)為它們差的極限也

不存在，要先用三角公式變形：

..,.I二-1~\<-c.\lX+1--yfx-JX+1+y[x

hm(sniA/x+l-sinvx)=lim2sm-----------cos------------

22

1.C.1Jx+1+\I~X

=hm2sin------------cos-----------=0n.

xtr2(Jx+l+Jx)2

最后這一步用了“有界量與無窮小的乘積為無窮小”的結(jié)論.

例10計算卜.列極限:

財產(chǎn)sin片!

s、tanx

⑴limr(2)lim------

〃一>8n+1XTO