高中數(shù)學(xué) 必修4 第二章 平面向量

高中數(shù)學(xué)必修4

第二章平面向量

平面向量的概念及線性運(yùn)算?導(dǎo)學(xué)案

一、目標(biāo)認(rèn)知

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1了解向量的實(shí)際背景.

2理解平面向量和向量相等的含義.

3理解向量的幾何表示.

4掌握向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算，并理解其幾何意義.

5理解兩個(gè)向量共線的含義.

6了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.

重占?

理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會(huì)表示向量.

難點(diǎn)：

,平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.

二、知識(shí)要點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：向量的概念

1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.

2.向量的表示方法：

(1)字母表示法:如…等.

(2)幾何表示法:用一條有向線段表示向量.如隔，8等.

(3)向量的有關(guān)概念

向量的模響量的大小叫向量的模(就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng)度).

零向量:長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.

單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

共線向量:方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱(chēng)為平行向量).

規(guī)定、與任一向量共線.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

i.數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小

向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.

2.零向量的方向是任意的，注意。與o的含義與書(shū)寫(xiě)區(qū)別.

3.平行向量可以在同一直線匕要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行,

要區(qū)別于在

同一直線上的線段的位置關(guān)系.

知識(shí)點(diǎn)二：向量的加(減)法運(yùn)算

1.運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則

2.運(yùn)算律：①交換律：?+*=*+?；②結(jié)合律：(?+*)+?-4+(6+C)

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

1.兩個(gè)向量的和與差仍是一個(gè)向量，可用平行四邊形或三角形法則進(jìn)行運(yùn)算，但要注意

向量的起點(diǎn)與終點(diǎn).

—■■■■■

2.I。卜囿可。+陽(yáng)。1+1引探討該式中等號(hào)成立的條件，可以解決許多相關(guān)的問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)三：數(shù)乘向量

1.實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)2與向量口的積是一個(gè)向量，記作：而

（N&H周同；

（2）①當(dāng)a>°時(shí)-，.的方向與云的方向相同；

②當(dāng)a〈°時(shí).石的方向與不的方向相反；

③當(dāng)a=Q時(shí)，ifl=o.

2.運(yùn)算律

設(shè)a"為實(shí)數(shù)，結(jié)合律：

分配律：（4+須?石+西，Z0+5）?擊+而

3.共線向量基本定理

非零向量三與向量*共線的充要條件是當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)非零實(shí)數(shù)3,使苫=忘.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

■■■■■

小#6是判定兩個(gè)向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的

相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一.

三、規(guī)律方法指導(dǎo)

1.向量的線性運(yùn)算

（1）在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計(jì)算，將數(shù)和形有

機(jī)結(jié)合，并能利用向量運(yùn)算完成簡(jiǎn)單的幾何證明：

（2）向量的加法表示兩個(gè)向量可以合成，利用它可以解決有關(guān)平面幾何中的問(wèn)題，減法的

三角形法則應(yīng)記住:連接兩端（兩向量的終點(diǎn)），指向被減（箭頭指向被減數(shù)）.記清法則是靈活運(yùn)

用的前提.

2.共線向量與三點(diǎn)共線問(wèn)題

向量共線的充要條件實(shí)質(zhì)上是由實(shí)數(shù)與向量的積得到的.通常用來(lái)判斷三點(diǎn)在同一條直

線上或兩直線平行.該定理主要用于證明點(diǎn)共線、求系數(shù)、證直線平行等題型問(wèn)題.

§2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念

星■基礎(chǔ)題

下列物理量:①質(zhì)量；②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程；

⑦密度;⑧功.其中不是向量的有（).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

基礎(chǔ)題

下列各量中不是向量的是（).

A.浮力B.風(fēng)速C.位移D.密度

■^9；、二50日—W??必.審r*—：；??.廣*八。，.'.回：：?”也――：二?

下列四個(gè)命題:①時(shí)間、速度、加速度都是向量;②向量的模是

一個(gè)正實(shí)數(shù);③所有的單位向量都相等;④共線向量一定在同一直

線上.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）.

A.OB.1C.2D.3

例題4

下列說(shuō)法正確的是（）.

A./〃3就是港所在的直線平行于無(wú)所在的直線

B.長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量

C.零向量長(zhǎng)度等于0

D.共線向量是在同一條直線上的向量

例題5

一輛汽車(chē)從4點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100千米

到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向向西偏北50。方向

走了200千米到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東

行駛了100千米到達(dá)。點(diǎn).

（1）作出向量履，虎，在；

（2）求l#l.

圖2-1-5

2&）9年湖徹I校聯(lián)考題

例題6-■??

下列命題不正確的是（）.

A.零向量沒(méi)有方向B.零向量只與零向量相等

C.零向量的模為0D.零向量與任何向量共線

例題7淮譚：茂常審澤一..、：

判斷下列命題的真假：

(1)單位向量都共線；(2)單位向量都相等；(3)共線的單位向

量必相等;(4)與非零向量。共線的單位向量是居.

lai

例題8

判斷下野題的真假.若為假命題,請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.

(1)向量必與無(wú)是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在同一直線上;..

(2)單位向量都相等；

(3)任一向量與它的相反向量不相筆上

(4)四邊形ABCD是平行四邊形，則謹(jǐn)=說(shuō)；

(5)如果一個(gè)向量的方向不確定，則這個(gè)向量的模一定為0；

(6)共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同.

例題9基礎(chǔ)題

給出下列命題：

①若則a一定不與b共線；

②^存=屁，則4、B、C、。四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn);

③在平行四邊形ABCD中，一定有地=反；

④^向量。與任一向量占平行，則a=0；

⑤若a=b,b=c，貝Ja=c.

其中所有正確命題的序號(hào)為_(kāi)______?

基礎(chǔ)題；,：.,：.；*1、；;濰:注.'3*：*-.

例題10，：心向土4.總":"不：.

下列說(shuō)法正確的是().

A.若㈤>SI,則a>bB.若lai=\b\，則”方

C.若。=b,則a與b共線D.若。天■，則。一定不與b共線

例題11中檔題

如圖2-1-7,已知四邊形4BCD

是平行四邊形，。是兩對(duì)角線AC、BD

的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集股=｛4、3、C、0、0|，向

量集合T=｛動(dòng)1尸、。GM且P、Q不重

合｝,求集合T元素的個(gè)數(shù).

圖2—1—7

例題12基礎(chǔ)題

如圖2-1-8所示，0是正六邊形

4BCDE尸的中心.

(1)與a的模相等的向量有多

少個(gè)？

(2)是否存在與涼長(zhǎng)度相等，方向

相反的向量？

(3)與溫共線的向量有哪些？

,圖2-1-8

例題13

一架飛機(jī)向北飛行300km,然后改變航向向西飛行300km

求(1)飛機(jī)飛行的路程;(2)兩次位移的和的方向及大小.

中檔現(xiàn)高；：礴(

例題14

一位模型賽車(chē)手遙控一輛賽車(chē)沿正東方向向前行進(jìn)1米，逆

時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)變。度,繼續(xù)按直線向前行進(jìn)1米，再逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)變

a度，按直線向前行進(jìn)1米，按此方法繼續(xù)操作下去.

(1)按1：100比例作圖說(shuō)明當(dāng)a=45。時(shí)，操作幾次時(shí)賽車(chē)的

位移為零；

(2)如果按此法操作使賽車(chē)能回到出發(fā)點(diǎn)，那么a應(yīng)滿(mǎn)足什

么條件？請(qǐng)寫(xiě)出其中兩個(gè).

例題15

判斷下列各例正確與否.

(1)向量4B與不，是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上;

⑵向量a冬喳b平邑則0、券響理或相反；

(3)若向量存、也滿(mǎn)足＞I3I,且AB與3同向，則后＞

(4)若21=歷I,則a力的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反;

(5)由于零向量方向不確定，故。不能與任何向量平行.

-

例題16基礎(chǔ)題

如圖2-1-11（1），某人想要從點(diǎn)A出發(fā)繞陰影部分走一圈,

他可按圖2-1-11（2）中提供的向量行走,則這些向量的排列順

序?yàn)開(kāi)_______：..

考題1

給出下列六個(gè)命題：

①兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同;②若

lal=⑸，則?！?③若/二虎用四邊形3/）是平行四

邊形;④平行四邊形ABC。中，一定有萬(wàn)=虎;⑤若m=n,

”=4,則JM=七⑥若?！ㄍ?，〃%則?！–.,‘

其中不正確的命題的個(gè)數(shù)為（）.

A.2B.3C.4D.5

考題2闞—;級(jí)

設(shè)4,4，4,4是平面上給定的4個(gè)不同點(diǎn)，則使

宙+就+就+就=0成立的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為（）.

A.0B.1”至2D；4

-?}????---!-?

§2.2平面向量的線性運(yùn)算

例題1基礎(chǔ)題［上-

如圖2-2-10,已知向量aJ,求作向量Q+b.

圖2-2-10

例題2基礎(chǔ)題

如圖2-2-12所示，已知向量a、b、c,試求作向量a+)+c.

........

例題3金，小廉也鬣窿球—

求向量/+9+而+能+或之和.

4

【推廣】如圖2-2-14所示，戒=氯+

祝+N+…+4”/：,特另地，當(dāng)凡和人重a

合時(shí),4/2+^2^3+^3^4+…+4-14n=?-這一ci

結(jié)論很重要，應(yīng)當(dāng)牢記.圖2-2-14

例題4基礎(chǔ)題

⑴若向量明。滿(mǎn)足W=8,⑶=12,則la+51的最小值是

_______;(2)當(dāng)非零向量a、b(a、b不共線)滿(mǎn)足時(shí)，能使

a+6平分2、b間的夾角.

例題5

如圖2-2-15,用。、入c表示下列

向量.

圖2-2-15

..4;r，?z??-u-..

例題6基礎(chǔ)題

已知任意四邊形4BCO,E為M的中點(diǎn)，尸為的中點(diǎn)，求證:

濟(jì)+濟(jì)=存+說(shuō).

例題7基礎(chǔ)題

如圖2-2-18,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)

等于1,荏=%說(shuō)=b,l^=c，試作向量:

⑴a+b+c；(2)a-b+c.

圖2-2-18

例題8基礎(chǔ)題

將=[2x(2a+防)「4x(4a-2b)]化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)式為().

A.2tl—bB.2b—。C.a—bD.b—a

例題9基礎(chǔ)題

北簡(jiǎn)告[(4a-3ft)+為一十(6G-7b)]=

例題10

已知向量。,且/=o+2A,配=-5a+6b,C^-la-26,貝1］一

定共線的三點(diǎn)是（）.

A.4、B、DB"、B、CC.B、C、DD.A、C、。

例題11

平行四邊形OACB中,BD=j~BC,OD與BA相交于E.求證:

BE=《BA.

4

例題12

在UM3C0中，/=明同=，，喬=3前,M為BC的中點(diǎn)，則

硫=_______.（用明，表示）

例題13

如圖2-2-20,在△048中，延長(zhǎng)3A到C,

使月C=班,在08上取點(diǎn)D,使OB=—B,DC

與0A交于E,設(shè)涼=a,屈=b,用a,b表示向量

0t,Dt.

圖2-2-20

例題14中檔題

若G是AABC的重心,D、E、尸分別是M、BC、G4的中點(diǎn)，則

樂(lè)+無(wú)+浸等于（）.

A.6GDB.-6GD

C.-6GED.0

例題15中檔題w

(1)設(shè)向量a=3i+2j,b=2i-j,求(■!■?-5)-(a-年6)+

(2ft-a)..3

(2)已知。與，，且5x+2y=a,3x-j=b,求xj.

例題16中檔題

如圖2-2-22所示，四邊形OADB是以

向量褊=，,加=》為邊的平行四邊形.又

=試用a,b表示加,

O^,MN.

圖2-2-22

例題17基礎(chǔ)題一2010年長(zhǎng)春高一檢測(cè)

已知非零向量4,e?不共線.

(1)如果檢=ex+e?,或=2e]+8e2,CD=3(?]-e2),求證：4、

8、。三點(diǎn)共線.

(2)欲使?+e2和%+ke2共線，試確定實(shí)數(shù)k的值.

例題18基礎(chǔ)題

用向量的方法證明:對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

例題19基礎(chǔ)題

如圖2-2-24,在重300N的物體上拴

兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè),與鉛

垂線的夾角分別為30。、60。,求當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)

處于平衡狀態(tài)時(shí),兩根繩子拉力的大小.

例題20中難題一2011年濟(jì)南調(diào)研題

如圖2-2-26,正△715c的邊長(zhǎng)為15,

#=/區(qū)+多正,前=/?荏+'充.

(1)求證:四邊形APQB為梯形；

(2)求梯形4PQ5的面積.

圖2-2-26

考題1/簞懿澹哪

若三涔向量a、b滿(mǎn)足1。+川=仍1,則().

A.\2a\>\2a+b\B.12al<\2a+b\

C.\2b\>la+2blD.12bI<la+2bl

考題2rLXZ

在AWC中/^=%斤=氏若點(diǎn)D滿(mǎn)足好=2云,則

4=().

A.

52.

B.于F

2.1

Cr.-b~7T~C

33

?1.2

D.—b+-c

考題3

已知。，、8是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C,滿(mǎn)足

2就+還=0,貝欣=().

A.2OA-O1^B.-di+2oi-

c..~dX~~dhD.--^-04+—0^

考題4

如圖2-2-38,在平行四邊

形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)。，

E是線段。。的中點(diǎn)，他的延長(zhǎng)A

線與交于點(diǎn)尸.若公=%

CD圖2-2-38

粉=九則/=().

???i

A.%+?B.-1-a+--b

C.~a+D.--a+-b

考題5

已知0是△回i:所在平面內(nèi)一點(diǎn),0為BC邊中點(diǎn)，且

2而+溫+元=0,那么().

K.A6=O6B.我=2就：

C.茄=3初D.2A6=O6

考題6；笳向軍獻(xiàn)

如圖2-2-39,。,心尸分別是AABC的邊AB,5C,G4

刖\

7

次+

走

舞

一

面

?

一

圖2-2-39

則

:支丁匚,

=n°

D.就+聞+動(dòng)=0

平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示-導(dǎo)學(xué)案

一、目標(biāo)認(rèn)知

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解平面向量的基本定理及其意義；

2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；

3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；

4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

重點(diǎn)：平面向量基本定理與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用，向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

二、知識(shí)要點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：平面向量基本定理

—?>-9^..

如果吸，.是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任i向量二，有且只有

_對(duì)實(shí)數(shù)4,4,使a=4.+4O,稱(chēng)4八為小。的線性組合.

①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；

②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解為兩個(gè)向量的和，并且這種

分解是唯一的.

這說(shuō)明如果a=A，+書(shū)且。=,那么A==4'.

③當(dāng)基底是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí)，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量

基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).

平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，它保證了向量與

坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，在應(yīng)用時(shí)，構(gòu)成兩個(gè)基底的向量是不共線向量.

知識(shí)點(diǎn)二：向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系

當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x,y),則QA=(x,y).

要點(diǎn)詮釋?zhuān)寒?dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量靜坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x“

>

yi),B(X2,y2),則4S=(X2-Xi,ya-yi).

而識(shí)點(diǎn)三：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

運(yùn)算坐標(biāo)語(yǔ)言

MM*

記CM二(X1,yi),Off=(y)

加法與減法X2f2

+

^^^=(xi+x2,yf),^?"^=(x2-xi,y2-yi)

—?一

實(shí)數(shù)與向量的乘積記3=(x,y),貝lj?U=(!x,ay)

知識(shí)點(diǎn)四：平面向量平行(共線)的坐標(biāo)表示

..卜=4

設(shè)非零向量a=k川/=缶川，則?〃公=(xi,y尸-(x2,y2),即1*=枳，或

xiy2-X2yi=0.

??_T區(qū).左，

要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝?=(0乂)^=(嗎.方)，則；〃上不能表示成以‘2’因?yàn)榉帜缚赡転?.

三、規(guī)律方法指導(dǎo)

1.用向量證明幾何問(wèn)題的一般思路：

先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向

量的運(yùn)算來(lái)證明.

2.三點(diǎn)共線的判斷方法

判斷三點(diǎn)是否共線，先求每?jī)牲c(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定，即已知

水嬴=儂兇，5），充2\-

若5-25-x）-5f5-尤=3則人，B,c三點(diǎn)共線.

§2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

例題1

已知與此是平面a內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，下列說(shuō)法不正確的個(gè)數(shù)

為（）.

①Ae1+ue2（QueR）可以表示平面a內(nèi)的所有向量;②對(duì)于平面

a內(nèi)任一向量％使+ue2的實(shí)數(shù)對(duì)（入,u）有無(wú)窮多個(gè);③若向量

兒%+口此與%%+?2?2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)人，使得用4+

ute2=A（A2?I+%02）;④若實(shí)數(shù)A,u使得A?[+u?2=°,則入=u=Q.

A.1B.2C.3D.4

例題2?4

如圖2-3-7所示,已知口ABCO的邊BC,CDD

日中點(diǎn)分別為K,"且斌

-ej,AL=。2，試用e1，?2表

示虎，而.

圖2-3-7

例題3基礎(chǔ)題

如圖2-3-9,在已知四邊形ABC。中,E、F

為肛CO邊的中點(diǎn)且祟=上設(shè)成=

DC

?i,B^=e2，試用61g及k表示屈、說(shuō).

圖2-3-9

例題4基礎(chǔ)題

若0X0,b#0,且lol=Ibl=la-bl.求。與的夾角.

例題5基礎(chǔ)題

在直角坐標(biāo)系My中，向量Q、b、c的模分別為

2、3、4,方向如圖2-3-11所示,分別求它們的坐標(biāo).

圖2-3-11

?'部?工治二―廠絲丁.

例題6

已知04=(3,2)凝=(4,5),求點(diǎn)C的坐標(biāo).

例題7基礎(chǔ)題

已知平面上三個(gè)點(diǎn)4(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求滿(mǎn)、記、就+北、港.

記、2萬(wàn)+十元.

例題8

已知點(diǎn)知2,3),8(5,4),，(7,10).若#=存+入北(人:11),試求人

為何值時(shí),(1)點(diǎn)P在第一、三象限角平分線上;(2)點(diǎn)P在第三象限內(nèi).

例題9

已知0=(1,2)@=(-3,2),當(dāng)實(shí)數(shù)人取何值時(shí),〃+2b與2窗-4,

平行？

例題10中檔題一2009年黃岡中學(xué)訓(xùn)練題

證明三角形的三條中線交于一點(diǎn).

例題11中檔題一2009年湖北八校聯(lián)考題

如圖2-3-13,已知△4EC的面積為14皿2,。1分別為邊48、367上

的點(diǎn)，且4。：DB=BE:EC=2：1,求△”＜：的面積.

例題12中檔題一2011年武漢調(diào)研題

如圖2-3-14,設(shè)P為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且還=/油+!?北,

(1)求△PBC亙△4BC的面積之比；

(2)設(shè)方=*兩+丁河,求實(shí)數(shù)x、y.

例題13基礎(chǔ)題

若向量。=(町1)=(4,%)，則當(dāng)％=時(shí)，。與b方向相

同.

例題14基礎(chǔ)題

已知△40B中,0(0,0),4(0,5),8(4,3),說(shuō)=[?而，加=；冠,

AD與5c交于M點(diǎn)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)

例題15

如圖2-3-16,正方形ABCD中,P為對(duì)角線BD

上的一點(diǎn)，四邊形PECF是矩形，用向量方法證明

EF=PA.

例題16

已知向量。=(-3,2),5=(2,l),c=(3,

⑴求la+而I的最小值及相應(yīng)的，值；

(2)若。-為與c共線,求實(shí)數(shù)e.

練習(xí)：

一1.已知△ABC中，點(diǎn)4、8、C的坐標(biāo)依次是4(2,-1),8(3,2),C(-3,邊上的

高為40,則成的坐標(biāo)是.

-2.已知向量u=(x,y)與向量v=(夕,2y-x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可用〃=/(“)表示.

(D證明:對(duì)于任意向量及常數(shù)m、n,恒有/(皿+而)=碩°)+叭5)成立;

(2)設(shè)a=(1,1),A=(1,0),求向量/(a)及/的坐標(biāo)；

(3)求使/(c)=(3,5)成立的向量c.

—3.(1)已知0=(1,?0/=(3叫2刖+1),若0〃b,求|11的值.(2)若點(diǎn)「(環(huán)1)在4(2,

-4),5(5,11)兩點(diǎn)的連線上，求二值.

—4.如圖2-3-17,已知平面上三點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(-2,1),8(-1,3),

C(3,4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，使得這四個(gè)點(diǎn)為構(gòu)成平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn).

—5.平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),6=(-l,2),c=(4,l),回答下列

問(wèn)題：

⑴求3a+b-2c；

(2)求滿(mǎn)足a=mA+nc的實(shí)數(shù)m,n；

(3)若(a+附〃(2b-a),求實(shí)數(shù)心

(4)設(shè)d=(?,y),滿(mǎn)足(d-c)〃(a+b),且ld-cl=1,求d.

■IIBM郵神

設(shè)平面向量0=(3,5),b=(-2,1),貝jia-乃=

A.(7,3).B.(7,7)C.(1,7)D.(1,3)

考題2

若祐=(2,4),北=(1,3),則說(shuō)=().

-I/)

^C(3,7)D.(-3t-7)

考題3

*設(shè)A是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn),

?■,.

.癡14；=A4/(入6R),4潭：=必4；(從wR)，且+￡=

2，則稱(chēng)A3,4調(diào)和分割A(yù)已知點(diǎn)C(c,O),D(d,O)(c,

dcR)調(diào)和分割點(diǎn)4(0,0),8(1,0)；則下面就法正確的是

'A.C可能是線段AB的中點(diǎn)

B.0可能是線段做的中點(diǎn)

C.CQ可能同時(shí)在線段的上

D.C,D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上

△ABC中，點(diǎn)。在邊AB上,CD平分乙ACB.若k=%

4.=瓦/1=1,1"=2,則而=()...

考題5

設(shè)向量滿(mǎn)足。=2酒＞=(2,1)，且。與辦的方向

相反，則a的坐標(biāo)為_(kāi)______:

考題6國(guó)的二年北京

已知向量。=(6,1),b=(0,-1),c=(K向.若。-

2b與c共線，則A=、

考題7

如圖2-3-19，在△ABC中，點(diǎn)

。是3C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。的直線分別

交直線絲、AC于不同的兩點(diǎn)M、M若

荏=m說(shuō)/公=n彳亦，貝（jm+幾的值D

為

M

圖2-3-19

專(zhuān)題82007年安徽

在四面體0M5C中,而=”,笳=b,^=c,D為8。的

卜點(diǎn)］為AD的中點(diǎn)，貝|」凌=（用*b,c表示）.

考題9

已知平面向量。=(1,2),b=(-2,m),且0〃瓦則2a+

A=().

A.(-2,-4)B.(-3,-6)

C.(-4,-8)D.(-5,-10)

考題10

I在△ABC中，已知。是AB邊上一點(diǎn)，若方=2示0=

i~CA+A，則人=（）.

A。B.《C.D.---

3333

年北京^

考題112009

已知向量a、b不共線,。=碗+5?￡10"=。-瓦如果

c〃d,那么（）.

Ad=l且c與d同向8/=1且。易/麴啜

C.4=-1且c與d同向D.4=-1且c與&反向

如圖2-3-20,在平行四邊形ABCD中,E和尸分別是

邊。和8c的中點(diǎn)，設(shè)記=入荏/，其中入weR,則

圖2-3-20

平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用?導(dǎo)學(xué)案

一、目標(biāo)認(rèn)知

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；

2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；

3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算：

4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；

5.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題；

6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題.

重點(diǎn)：數(shù)量積的運(yùn)算，以及運(yùn)用數(shù)量積求模與夾角.

難點(diǎn)：用向量的方法解決幾何、物理等問(wèn)題.

二、知識(shí)要點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：平面向量的數(shù)量積

1.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：

已知兩個(gè)非零向量逞它們的夾角是三，則數(shù)量印陣?叫；與E的數(shù)量積，記作

?亂即有"'麗㈤‘(°"為,并規(guī)定6與任何向量的數(shù)量積為o.

2.一向量在另一向量方向上的投影：圖叫做向量自在工方向上的投影.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

1.滿(mǎn)個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別

(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是?個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由8S?的符號(hào)所決定.

(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱(chēng)為內(nèi)積，寫(xiě)成；E；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積而G,是

兩個(gè)向量的

數(shù)量的積，書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能

用，，X”

代替.

(3)在實(shí)數(shù)中，若。*0,且?！?°,則占=0：但是在數(shù)量積中，若GwO,且：j=o,

不能推出

'★0.因?yàn)槠渲蠧8&有可能為0.

2.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)？為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)『為鈍角時(shí)投影為負(fù)值;

當(dāng)F為直角時(shí)投影為0；當(dāng)3=0。時(shí)投影為網(wǎng)當(dāng)三=180。時(shí)投影為一'I.

知識(shí)點(diǎn)二：向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)2與％為兩個(gè)非零向量，？是與工同向的單位向量.

2?=0

3.當(dāng)；與鄉(xiāng)同向時(shí),一傭；當(dāng)；與彳反向時(shí),'TW

.特別的rl或

F卜&?。

4.

5F和麗

知識(shí)點(diǎn)三：向量數(shù)量積的運(yùn)算律

1.交換律：ab=b-a

2數(shù)乘結(jié)合律：（問(wèn)“平%；（碼

a+b\-c=a-c^-b-c

（J

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?.已知實(shí)數(shù)a、b、c（b#））,則ab=bc=a=c.但是a4=AYRa=c；2.

在實(shí)數(shù)中,有（axb）c=a（bxc）,但是

顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c。共線的向量，而右端是與：共線的向量，而一般上與。不共線.

知識(shí)點(diǎn)四：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

1.已知兩個(gè)非零向量3=（勺，圮，；?]=玉巧+JV4

2設(shè)「-（XJ）則日『■7+/或I；卜巧衣

3.如果表示向量；的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為《為6）、（巧必），那么

I。卜如-、+5-乃）2（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）.

三、規(guī)律方法指導(dǎo)

1.向量在幾何中的應(yīng)用：

（1）證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行（共線）的充要條件

Mb="S*辦=（4.力）=秋馬㈤

（2）證明垂直問(wèn)題，常用垂直的充要條件

a_1_刃=0?5=0=A.+AXz=0

（3）求夾角問(wèn)題，利用FIFI肝針標(biāo)7

⑷求線段的長(zhǎng)度，可以利用Fl=#或阿卜扃二鏟石牙

2.向量在物理中的應(yīng)用：

⑴向量的加法與減法在力的分解與合成中的應(yīng)用;

(2)向量在速度分解與合成中的作用.

§2.4平面向量的數(shù)量積

例題

1--

如圖2-4~6,Rt44BC中，乙4=90。,43=1,貝！J同?

8C的值是().

A.1B.-1C.2D.-2

圖2-4-6

例題2

△45C中,/=%訛=b,若a?5>0,則的形狀為（）.

A.直角三角形B.鈍角三角形

C.銳角三角形D.不能判斷

例題3基礎(chǔ)題

已知⑷=4,16=5,當(dāng)（l）a〃A,（2）a",（3/與2的夾角為30。時(shí),

分別求。與5的數(shù)量積.

例題4

已知都是非零向量，且G+3。與7a-5b垂直,a-4辦與7a-2b垂

直，求。與b的夾角.

卷二一?，，&;??二：二,"一二...<"；.<..!…

例題5中檔題

若向量。與白夾角為30。,且SI=4"，⑶=1,則向量P=a+5與”

a-b的夾角的余弦值為?

例題6三澧淳1185.??-.：；；?;"'?。弧ぁ?

(1)已知"I=5,〈。力〉=60。,求。在b方向上的投影.

(2)已知a-b=3.\a\=5,求b在。方向上的投影.

例題7基礎(chǔ)題

已知(a+b)_L(a+3，)，求證：la+2bI=lbI.

例題8基礎(chǔ)理一

若向量a、b、c滿(mǎn)足a+b+c=0,且Hl=3,lbl=l,lcl=4,則a?b+

?c+<??a=?

例題9

△48C中，。為中線AM上一動(dòng)點(diǎn)，若閾/=2,則以?（屈+說(shuō)）的最小

值是________?、..

例題10

設(shè)a=(m+l,-3),b=(l,m-l)，若(a+b)J_(a-b),求m的值.

例題11

已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為4和6,試用向量法求兩直角邊

中線所成鈍角的余弦值.

例題19

已知向量aS不共線，且12a+Z?I=la+2bl，求證：（a+

b）上（a—b）.

例題20

在aMC中,已知同=(2,3),無(wú)=(1,A),且△48C的一

個(gè)內(nèi)角為直角，求實(shí)數(shù)人的值.

例題21

向量eiM是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，求向量。=

2et+?2與方=-3?j+2e2的夾角.

例題22“一

已知a=(一上,亨)，工1=6-瓦笳=。+瓦若△405是

以。為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,求向量b.

例題23中檔題....-?.?瀛

平面內(nèi)有向量加=(1,7),就=(5,1),濕=(2,1),點(diǎn)Q為直線

0P上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)談?仍取最小值時(shí)，求麗的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)。滿(mǎn)足(1)的條件和結(jié)論時(shí)，求cos44Q5的值.

、例題24中檔題

已知：a=(cosa,sina),b=(cos^,sinjB)(0<a<j8<IT).

(1)求證:(a+b)_L(a-，)；

(2)若Z+b與。-協(xié)長(zhǎng)度相等(其中k為非零實(shí)數(shù))，求萬(wàn)的值

練習(xí)題：

—設(shè)M是AABC內(nèi)任一點(diǎn)，冠?就=2"，乙創(chuàng)C=30。,△MBCgM4CgM4B的面積分別為

X,）/，若z=4,則在平面直角坐標(biāo)系中,以工,y為坐標(biāo)的點(diǎn)（x,y）的軌跡圖形是（）.

一若等邊三角形4BC的邊長(zhǎng)為2百，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿(mǎn)足或=[■益+等成,則而?

oJ

屆=.

=若（o+方）_1（2?-5）,（"2辦）_1（20+〃），試求。力的夾角的余弦值.

一在等腰直角三角形ABC中，4C是直角，。=C8,0是C8的中點(diǎn)淖是48上的一點(diǎn),

且4E=2EB求證:AD1.CE.

一已知"S是非零向量/為實(shí)數(shù)，設(shè)U=a+ib.

(1)當(dāng)I“I取最小值時(shí),求實(shí)數(shù)t的值；

(2)當(dāng)I“I取最小值時(shí)，向量，與“是否垂直.

一設(shè)兩個(gè)向量滿(mǎn)足lej=2,切=1,4與e2的夾角為岸，若向量肛+7%與

e.+血的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的范圍.

設(shè)4=(1,-2)*=(-3,4),c=(3,2)，則(a+2A)?c

等于(等

A.(-15,12)B.4C.-3D.-11

在△4BC中,4B=3,4C=2,8C="■，貝|力?記等于

平面向量吟（1,-3）,，=（4,-2）/a+b與您垂直,

則人等于（'）.I：—..

A.-1B.lC.-2D.2

考題4

已知兩個(gè)單位向量。與方的夾角為135。,則H+入川＞

1的充要條件為（）.

A.Ae（0,晚）

B.46（-笈,0）

然4成（一8,0）口（互+8）「

eJu*.?Hr：■''.?...'.'：c'1:-*?

D.Aw（—；0U（a+8）

考題5

“號(hào)b為平面內(nèi)互相垂直的單位向量,若向量。滿(mǎn)足

（I）?（°一c）=0,則舊的展大值是（）.

一在：

ACB.2C.J2D.4.

「二:淮考德演學(xué)；二；「；,2「：

若向量。與b不共線，小萬(wàn)關(guān)0,且c=a-則

向量。與c的夾角為（）.

■??■■:--'

A.0B.-；C.--:D.不

632

考題7

設(shè)。=（4,3）在5上的投影為尚第,b在4軸上的投

影為2,且IMW14,則5為（）.

A.（2,14）」工？；B.（2,±3）

C?（一2,旬小一”"[

若平面向量明萬(wàn)滿(mǎn)足lai=1，網(wǎng)W1,且以向量a,p為

鄰邊的平行四邊形的面積為;，則理與口的夾角的取值范

圍是_______?

考題9

設(shè)4(Q,1),8(2,6),C(4,5)為坐標(biāo)平面上三點(diǎn),0為原

點(diǎn)，若滔與談在說(shuō)方向上的投影相同，則。與b滿(mǎn)足的關(guān)

系式為（）.

A.4a-56=3B.5a-46=3

C.4。+53=14D.5a+46=12

考題「10睡好版就；」「；，

已知0,N,P在△48C所在平面內(nèi)，且I蘇I=I笳I=

I屈I,法+訟4?就=0,且/-Pi-PB-pt=P^?司，則

點(diǎn)。,MP依次是△成。的().

A.重心，外心，垂心B,重心,外心，內(nèi)心

C.外心，重心，垂心D.外心，重心，內(nèi)心

考題11

已知向量a=(1,2),6=(2,-3).若向量c滿(mǎn)足(c+

a)〃九CJ.(Q+方)，則c=().

考題12

對(duì)于向量。、入。和實(shí)數(shù)人，下列命題中為真命題的是

).

--?,r'??'■",-fqv.-

A?若a?"0,則"0或，=。小,,fc

B.若人…則入=?；颉?」;

C.若『=此則〃"或。=_2c—確

D.若。［b=a?%則b=%—-.；'

一…“一一

考題13

…二H*澗:廿/y.；,

設(shè)向量9=(1向力=(-2,0),則la+R=

已知a與b

(2a+b)的值為.

M晨直角蠹坐標(biāo)平黑面內(nèi)黑三辰衣次1團(tuán)禁；營(yíng)依二靠望”

§2.5平面向量應(yīng)用舉例

例題1基礎(chǔ)題

如圖2-5-9所示，平行四邊形絲而中，已知

AD=\fAB=2,對(duì)角線BD=2求對(duì)角線AC的長(zhǎng).

圖2—5—9

例題2

求證:ZiABC的三條高交于一點(diǎn).

例題32011年湖北八校聯(lián)考題

如圖2-5-11,在△由中武忖格P是

BN上的一點(diǎn)，若#=mAB+需斤,則實(shí)數(shù)m的值

為().

X—B_5_QL3-￡)A.

■11,11,11,11圖2-5-11

例題41則;—

已知△048是以08為斜邊的等腰直角三角形,08=怎/=就+

(1-入)篇，若A2>1,則說(shuō)?建的取值范圍是().

A.(-8,0)(J(2,+8)B.(-oo,-2)U(0,+oo)

C.(-<?,0)U(⑸+8)D.(-8,-75)U(0,+oo)

例題5

如圖2-5-13所示,若物體重量為G,被兩根

不等長(zhǎng)的繩子吊起，繩子兩端點(diǎn)4和B保持同一高

度，且繩子與豎直方向的夾角分別為a和仇試研

究拉力居、尸2的大小.

例題6中杷鹿」,「沙了密m濘v

某船以6km/h的速度向東航行,船上有人測(cè)得風(fēng)自北方來(lái).若船速

加倍,則測(cè)得風(fēng)自東北來(lái),求風(fēng)速大小.

例題82011年湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考

.?,..■'?r><

已知4、5、*平面上不共線的三點(diǎn),0為2ABC的外心，動(dòng)點(diǎn)尸滿(mǎn)

足"=。二入）°1+（）工謠+2入國(guó)AeR），則點(diǎn)p的軌跡_

定過(guò)△48（7的（）.

A.內(nèi)心B.垂心C.重心D.4C邊的中點(diǎn)

例題9基礎(chǔ)題

求直線1：3x-2y+1=0按向量a=（1,2）平移后的直線方程

例題10中檔題：

如圖2-5-16所示,重力為G的均勻小球放

在傾角為a的斜面上，球被與斜面夾角為e的木板

擋住，球面、木板均光滑，若使球?qū)δ景鍓毫ψ钚。?/p>

則木板與斜面間的夾角。應(yīng)為多大？

圖2—5-16

例題11中檔題

質(zhì)量m=2.0kg的木塊,在平行于斜面向

上的拉力F=10N的作用下,沿斜面角。=