新教材高中數(shù)學(xué)函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的概念及其表示函數(shù)的概念教學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

3.1.1函數(shù)的概念

(教師獨(dú)具內(nèi)容)

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.通過(guò)豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模

型.2.在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中

的作用.3.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域.

教學(xué)重點(diǎn)：1.理解函數(shù)的定義，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域.2.明確函數(shù)的兩個(gè)要

素，了解同一個(gè)函數(shù)的定義，會(huì)判定兩個(gè)給定的函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù).

教學(xué)難點(diǎn)：1.對(duì)應(yīng)關(guān)系f的正確理解，函數(shù)符號(hào)y=f(x)的理解.2.抽象函數(shù)的定義域.3.

一些簡(jiǎn)單函數(shù)值域的求法.

【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的概念

一般地，設(shè)46是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合力中的任意一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的

對(duì)應(yīng)關(guān)系￡在集合6中都有世唯一確定的數(shù)z和它對(duì)應(yīng),那么就稱人/一8為從集合力到集

合8的一個(gè)函數(shù)，記作落尸f(x),其中,x叫做因自變量,x的取值范圍力叫做函數(shù)的

目定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的/值叫做普函數(shù)值,函數(shù)值的集合"(x)叫做函數(shù)的酉值

域.顯然,因值域是集合6的子集.

注意：(1)兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集間的對(duì)應(yīng)能否構(gòu)成函數(shù)，主要看是否滿足三性：任意性、存在

性、唯一性.這是因?yàn)楹瘮?shù)概念中明確要求對(duì)于非空實(shí)數(shù)集2中的任意一個(gè)(任意性)元素X,

在非空實(shí)數(shù)集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對(duì)應(yīng).這三性只要有一個(gè)不滿足

便不能構(gòu)成函數(shù).

(2)集合/是函數(shù)的定義域，因?yàn)榻o定力中每一個(gè)x值都有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)；集合6

不一定是函數(shù)的值域，因?yàn)?中的元素可以在/中沒(méi)有與之對(duì)應(yīng)的x,也就是說(shuō)，6中的某些

元素可以不是函數(shù)值，即"(x)=

(3)在函數(shù)定義中，我們用符號(hào)y=f(x)表示函數(shù)，其中/"(X)表示“x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值”，

而不是乘廣’.

知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的兩要素

從函數(shù)的定義可以看出，函數(shù)有三個(gè)要素：區(qū)定義域、?對(duì)應(yīng)關(guān)系、因值域,由于值域

是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以確定一個(gè)函數(shù)只需要兩個(gè)要素：也定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.即

要檢驗(yàn)給定的兩個(gè)變量(變量均為數(shù)值)之間是否具有函數(shù)關(guān)系，只要檢驗(yàn)：

(1)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否給出；

(2)根據(jù)給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量x在其定義域中的每一個(gè)值是否都有唯一的函數(shù)值y和

它對(duì)應(yīng).

知識(shí)點(diǎn)三區(qū)間的概念

(1)設(shè)a,6是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<6.我們規(guī)定：

①滿足不等式aWx^b的實(shí)數(shù)x的集合叫做目閉區(qū)間,表示為因昆，物；

②滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做西開區(qū)間,表示為售(a,6)；

③滿足不等式Wb或a<x^b的實(shí)數(shù)x的集合叫做西半開半閉區(qū)間,分別表示為酉區(qū)

6),(a,81.

這里的實(shí)數(shù)a與力都叫做相應(yīng)區(qū)間的西端點(diǎn).

實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為爭(zhēng)(-8,+8),“8”讀作“?無(wú)窮大”,“一8”讀作

“國(guó)負(fù)無(wú)窮大”,“+8”讀作“口正無(wú)窮大”.

我們可以把滿足X2a,x>a,x^b,京6的實(shí)數(shù)x的集合，用區(qū)間分別表示為四［a,+8),

￡3(a,+8),墨(一8,,圈(一8,.

(2)區(qū)間的幾何表示

在用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí)，用實(shí)心點(diǎn)表示國(guó)包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn),用空心點(diǎn)表示期不包括在

區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn).

(3)含“8”的區(qū)間的幾何表示

注意：(1)無(wú)窮大“8”只是一個(gè)符號(hào)，而不是一個(gè)數(shù)，因而它不具備數(shù)的一些性質(zhì)和運(yùn)

算法則.

(2)以“一8”或“+8”為區(qū)間一端時(shí)，這一端必須用小括號(hào).

知識(shí)點(diǎn)四同一個(gè)函數(shù)

如果兩個(gè)函數(shù)的批定義域相同,并且因?qū)?yīng)關(guān)系完全一致,即相同的因自變量對(duì)應(yīng)的目函

數(shù)值也相同,那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).

【新知拓展】

(1)函數(shù)符號(hào)“尸/'(X)”是數(shù)學(xué)中抽象符號(hào)之一，"S僅為y是X的函數(shù)的數(shù)學(xué)

表示，不表示y等于『與x的乘積，f(x)也不一定是解析式，還可以是圖表或圖象.

(2)函數(shù)的概念中強(qiáng)調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，這是因?yàn)楹瘮?shù)定義中明確要

求是對(duì)于非空實(shí)數(shù)集A中的任意一個(gè)(任意性)數(shù)x,在非空實(shí)數(shù)集6中都有(存在性)唯一確定

(唯一性)的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，這“三性”只要有一個(gè)不滿足，便不能構(gòu)成函數(shù).

1.判一判(正確的打，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù)都有定義域中的數(shù)與之對(duì)應(yīng).()

(2)函數(shù)的定義域和值域一定是無(wú)限集合.()

(3)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也就確定了.()

(4)若函數(shù)的定義域中只有一個(gè)元素，則值域中也只有一個(gè)元素.()

(5)對(duì)于定義在集合A到集合B上的函數(shù)y=f(x),xi,A,若xiWx?,則

f(xi)#f(x-.()

答案⑴V(2)X(3)V(4)V(5)X

2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)

(1)下列給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,不能確定從集合力到集合6的函數(shù)關(guān)系的是.

①力={1,4},6={—1,1,-2,2},對(duì)應(yīng)關(guān)系：開平方；

@A={0,1,2},B={1,2},對(duì)應(yīng)關(guān)系：

③力=[0,2],6=[0,1],對(duì)應(yīng)關(guān)系：

(2)下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x是同一個(gè)函數(shù)的是.

①尸正；②尸羽；③y=(,)2；@s=t.

答案(1)①③(2)②④

題型一求函數(shù)的定義域

例1求下列函數(shù)的定義域：

(l)y=2x+3；(2)廣(必(3)y=y[x—l+y[l—x；(4)(5)y=(1—2x)°.

[解](1)函數(shù)尸2x+3的定義域?yàn)閁|x￡R}.

(2)要使函數(shù)式有意義，即分式有意義，則x+IWO,#—1.故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|#一

1).

1x—120,

(3)要使函數(shù)式有意義，則L、八即-I所以x=l,從而函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

【1一才三。，〔xWl,

{x|x=l}.

(4)因?yàn)楫?dāng)/—1W0,即xW±l時(shí)，?v有—I—1意義，所以函數(shù)的定義域是{x|xW±l}.

(5),.T—2x#0,即x#5，

函數(shù)的定義域?yàn)閧x|才六1}.

例2已知函數(shù)F(x)的定義域是［―1,4］,求函數(shù)F(2x+1)的定義域.

［解］已知函數(shù)廣(x)的定義域是［—1,4］,即一1WXW4.

故對(duì)于廣(2x+l)應(yīng)有一1W2X+1W4.

3

—2W2xW3,TWxW］,

"3"

???函數(shù)F(2x+1)的定義域是一1,~.

例3如圖所示，用長(zhǎng)為1m的鐵絲做一個(gè)下部為矩形、上部為半圓形的框架(鐵絲恰好

用完)，若半圓的半徑為x(單位：m),求此框架圍成的面積p(單位：#)與x的函數(shù)關(guān)系式.

［解］由題意可得，AB=2x,切的長(zhǎng)為兀上

口1-2x~兀x

于THAD^2，

-1—2x—xx兀+42.

y=2x-----------------+t—^―,a即rly=——-x+x.

"2x>0,

由《L2x—JIx得0<X_?

-------2------->0,31+2

此函數(shù)的定義域?yàn)椋郏?萬(wàn)).

JI+4(1、

故所求的函數(shù)關(guān)系式為y=90<^<--r.

乙'Ji?乙j

金版點(diǎn)睛

求函數(shù)定義域的基本要求

(1)整式：若y=f(x)為整式，則函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.

(2)分式：若了=『(X)為分式，則函數(shù)的定義域?yàn)槭狗帜覆粸?。的?shí)數(shù)集.

(3)偶次根式：若尸f(x)為偶次根式，則函數(shù)的定義域?yàn)楸婚_方數(shù)非負(fù)的實(shí)數(shù)集(特別注

意0的0次幕沒(méi)有意義).

(4)幾部分組成：若尸f(x)是由幾部分?jǐn)?shù)學(xué)式子的和、差、積、商組成的形式，定義域

是使各部分都有意義的集合的交集.

(5)對(duì)于抽象函數(shù)的定義域：

①若Hx)的定義域?yàn)椋踑,b］,則f［g(x)］中,g(x)e［a,b］,從中解得x的解集即f［g(x)］

的定義域.

②若的定義域?yàn)?則由xd［勿,加可確定g(x)的范圍，設(shè)u=g(x),則

=『(〃)，又F(u)與/1(x)是同一個(gè)函數(shù)，所以g(x)的范圍即/"(X)的定義域.

③已知的定義域，求H〃x)］的定義域，先由f［0(x)］中X的取值范圍，求出

0(x)的取值范圍，即/"(X)中的X的取值范圍，即爾X)的取值范圍，再根據(jù)爾X)的取值范圍

便可以求出/［亞團(tuán)］中X的取值范圍.

(6)實(shí)際問(wèn)題：若y=f(x)是由實(shí)際問(wèn)題確定的，其定義域要受實(shí)際問(wèn)題的約束.如：例

3中，任何一條線段的長(zhǎng)均大于零.

［跟蹤訓(xùn)練1］(1)若函數(shù)f(x+l)的定義域?yàn)橐籥2,則函數(shù)/＜x—1)的定義域?yàn)?/p>

(2)求下列函數(shù)的定義域：

c(x+l)2/----cx+1

①尸②尸??？

⑶①求函數(shù)y=.5—1—八)9的定義域;

②將長(zhǎng)為am的鐵絲折成矩形(鐵絲恰好用完)，求矩形的面積y(單位：m＞關(guān)于一邊長(zhǎng)x(單

位：m)的解析式，并寫出此函數(shù)的定義域.

-3一

答案⑴［亍4］⑵見解析⑶見解析

解析⑴由題意知，一呆12,貝旅Wx+lW3,

即F(x)的定義域?yàn)?，二(Wx—1W3,

3「3一

解得產(chǎn)xW4..?"(x—1)的定義域?yàn)槿危?.

［x+l=O,—

(2)①要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足，即

〔1一后0,［廬1,

...函數(shù)的定義域?yàn)閧x|xWl,且xW-1}.

②要使函數(shù)有意義，需滿足3—￡0,即|x|Wx,

AXO.

...函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x〈0}.

5—丫20,xW5,

(3)①解不等式組＜x—120,得＜

/2—9W0,±3.

故函數(shù)的定義域是{x|lWx＜5,且#3}.

②因?yàn)榫匦蔚囊贿呴L(zhǎng)為x,則另一邊長(zhǎng)為g(a—2x),

所以y=x?］(a-2x)=-/+~ax,

定義域?yàn)?■.

題型二已知函數(shù)值求自變量的值

例4已知函數(shù)/1(x)=2*2—4,xGR,若f(xo)=2,求xo的值.

［解］易知?(加=2/一4,

；.2——4=2,即煢=3.

又：XoGR,；.劉=土線.

金版點(diǎn)睛

就本例而言，己知函數(shù)值求自變量的值就是解方程，需要注意：所求的自變量的值必須

在函數(shù)的定義域內(nèi).如果本例中加一個(gè)條件“xe［0,+8)”，則的=娟(一斕不符合題意,

舍去).

［跟蹤訓(xùn)練2］已知函數(shù)/'(x)=X2—2X,XG(—8,o),若/1(xo)=3.求司的值.

解由題意可得/'(劉)=岔一2司.

Ab—2劉=3,即/一2Ab—3=0.

解得xo=3或劉=一1.

又■.,XoG(—8,0),/,Xo=-1.

題型三已知自變量的值求函數(shù)值

例5己知/'(幻=/，xGR,求：

(1)/(0),AD;

(2)f(a),Aa+D.

［解］(l)y(0)=02=0,f(l)=l2=l.

(2)VaER,a+lGR,

/.f(a)=a,Aa+l)=(a+1)2.

金版點(diǎn)睛

對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都可以求函數(shù)值(當(dāng)然函數(shù)值唯一)，本例可以直接應(yīng)用

公式：/'(x)=x2求解，實(shí)質(zhì)上就是求代數(shù)式的值，例如F(l)就是當(dāng)x=l時(shí)，代數(shù)式系的值，

而/'(a+1)就是當(dāng)x=a+l時(shí)，代數(shù)式V的值.

［跟蹤訓(xùn)練3］已知『(x)求：

(1)/(2)；

(2)當(dāng)a〉0時(shí)，f(a+l)的值.

解(l)f(2)=V2+1.

u

(2)易知/1(￡)的定義域Z=[0,+°°),

Va>0,Aa+l>l,則

1)=yla~\-1+i.

a十NQ

題型四求函數(shù)的值域

例6求下列函數(shù)的值域：

⑴y=x+l,xe{1,2,3,4,5}；

(2)y=x—2x+3,[0,3)；

［解］(1)(觀察法)因?yàn)閧1,2,3,4,5},分別代入求值，可得函數(shù)的值域?yàn)?/p>

⑵3,4,5,6).

(2)(配方法)9=3—2丫+3=5—1)2+2,由x￡［0,3),再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得

函數(shù)的值域?yàn)椋?,6).

2x+12(x—3)+77

⑶(分離常數(shù)法)y=

x~3x—3x-3'

,7

顯然所以萬(wàn)^2.

x~3

故函數(shù)的值域?yàn)?一8,2)U(2,+8).

(4)(換元法)設(shè)t—yjx—1,則x=d+l,且2力0,

所以了=2"+1)—t

由力20,再結(jié)合函數(shù)的圖象(如右圖)，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?，+-J.

金版點(diǎn)睛

求函數(shù)值域的原則及常用方法

(1)原則：①先確定相應(yīng)的定義域；②再根據(jù)函數(shù)的具體形式及運(yùn)算法則確定其值域.

(2)常用方法

①觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察法得到.

②配方法：是求“二次函數(shù)”類值域的基本方法.

③換元法：運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域.對(duì)

于/U)=ax+6+、cx+d(其中a,b,c,，為常數(shù)，且acWO)型的函數(shù)常用換元法.

④分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的

形式，便于求值域.

［跟蹤訓(xùn)練4］求下列函數(shù)的值域:

/\x

(2)y=x—4x+6,xG[1,5)；

⑶y=x+yjx+l.

左/、x(x+1)—111

解(1)*.*y—I.—v"!=1—1，且1W0，

x+1x-\-1x+1x+1

V

函數(shù)的值域?yàn)?.

XIL

(2)配方，得y=(x—2尸+2.

Vxe［1,5),

結(jié)合函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的值域?yàn)?2WjKll}.

(3)(換元法)設(shè)力則x=%2—1,且220,

所以尸t2+L1=(力+；)—I,

由力三0,再結(jié)合函數(shù)的圖象可得函數(shù)的值域?yàn)椋邸?,+-).

題型五相同函數(shù)的判斷

例7下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是()

A.f(x)=x,g(x)=(/)2

B.f(x)=x+l,g(?=d+l

x

C.f{x}=1,g{x)=~

D.F(x)=x,g(x)=|x|

［解析］A項(xiàng)中，由于F(x)=x的定義域?yàn)镽,虱王)=(、「)2的定義域?yàn)閧削方\0},它們

的定義域不相同，所以它們不是同一函數(shù).

B項(xiàng)中，函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，所以它們是同一函數(shù).

V

C項(xiàng)中，由于f(x)=l的定義域?yàn)镽,g(x)=1的定義域?yàn)閧x|x#o},它們的定義域不相

同，所以它們不是同一函數(shù).

D項(xiàng)中，兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以它們不是同一函數(shù).

［答案］B

金版點(diǎn)睛

判斷兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)的條件

(1)判斷兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)的準(zhǔn)則是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同.定義域、

對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是相同函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是

相同函數(shù).

(2)函數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒(méi)有限制

的.另外，在化簡(jiǎn)解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形.

［跟蹤訓(xùn)練5］下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x相同？

(1)/=(5-),;(2)尸羽；(3)y=W；(4)y=*.

X

解(l)p=(E)2=x(x20),y20,定義域不同且值域不同，所以不相同.

(2)y=*=x(xCR),yGR,對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，定義域和值域都相同，所以相同.

=\x,x20,

(3)y=，？=|x|=彳y20；值域不同，且當(dāng)x<0時(shí)，它的對(duì)應(yīng)關(guān)系與函數(shù)y

［一筋x<0,

=才不相同，所以不相同.

2

(4)了=十的定義域?yàn)閧.丘0},與函數(shù)y=x的定義域不相同，所以不相同.

1.下列各圖中，可能是函數(shù)y=f(