專題02 超幾何分布 (典型題型歸類訓練)解析版-2024年高考數(shù)學復習解答題解題思路訓練

專題02超幾何分布(典型題型歸類訓練)一、必備秘籍1、超幾何分布一般地，假設一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品．從件產(chǎn)品中隨機抽取件(不放回），用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布列為，其中，，，，，，，則稱隨機變量服從超幾何分布．2、公式中個字母的含義—總體中的個體總數(shù)—總體中的特殊個體總數(shù)(如次品總數(shù))—樣本容量—樣本中的特殊個體數(shù)(如次品數(shù))注意：(1)“由較明顯的兩部分組成”:如“男生、女生”，“正品、次品”；(2)不放回抽樣；(3)注意分布列的表達式中，各個字母的含義及隨機變量的取值范圍.二、典型題型題型一：超幾何分布的概率問題1．（2024上·浙江湖州·高三統(tǒng)考期末）杭州第屆亞運會，是繼年北京亞運會、年廣州亞運會之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事.年月日，杭州亞運會開幕式隆重舉行.某電商平臺亞運周邊文創(chuàng)產(chǎn)品直播間，主播為當晚點前登錄該直播間的前名觀眾設置了兩輪“慶亞運、送吉祥物”的抽獎活動.每輪抽獎都是由系統(tǒng)獨立、隨機地從這名觀眾中抽取名幸運觀眾，抽中者平臺會有亞運吉祥物玩偶贈送.而直播時這名觀眾始終在線，記兩次抽獎中被抽中的幸運觀眾總?cè)藬?shù)為（幸運觀眾總?cè)藬?shù)不重復計數(shù)，例如若某幸運觀眾兩次都被抽中，但只記為人）.(1)已知小杭是這前名觀眾中的一人，若小杭被抽中的概率為，求的值；(2)當取到最大值時，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）記“小杭被抽中”為事件，“小杭第次被抽中”為事件，可知，利用獨立事件的概率公式可得出關于的等式，解之即可；（2）求得，解不等式，解出的取值范圍，即可得解.【詳解】（1）解：記“小杭被抽中”為事件，“小杭第次被抽中”為事件.，整理可得，即，又因為且，解得.（2）解：“”表示第一次在個人中抽取個，第二次抽取的個人中，有人在第一次抽取的人以外，另外的個人在第一次抽取的人中，，記，由，解得，又，所以時，取最大值.2．（2023·上海普陀·統(tǒng)考一模）我國隨著人口老齡化程度的加劇，勞動力人口在不斷減少，“延遲退休”已成為公眾關注的熱點話題之一，為了了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度，某研究機構(gòu)對屬地所在的一社區(qū)進行了調(diào)查，并將隨機抽取的50名被調(diào)查者的年齡制成如圖所示的莖葉圖.(1)經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，投贊成票的人均年齡恰好是這50人年齡的第60百分位數(shù)，求此百分位數(shù)；(2)經(jīng)統(tǒng)計年齡在的被調(diào)查者中，投贊成票的男性有3人，女性有2人，現(xiàn)從該組被調(diào)查者中隨機選取男女各2人進行跟蹤調(diào)查，求被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）【答案】(1)44.5(2)【分析】（1）求出指數(shù)，再根據(jù)百分位數(shù)的求法即可；（2）利用組合公式結(jié)合古典概型即可得到答案.【詳解】（1）由條件得，指數(shù)，則這50人年齡的第60百分位數(shù)是將他們的年齡按從小到大的順序排列后的第30人與第31人的年齡平均值，由莖葉圖可知，第30人的年齡為44，第31人的年齡為45，則所求的第60百分位數(shù)是44.5.（2）由莖葉圖可知，年齡在的被調(diào)查者共9人，其中6名男性，3名女性，令為至少有三人投贊成票，依題意得，被選中的4人中有兩名女性一名男性投贊成票的概率是被選中的4人中有一名女性兩名男性投贊成票的概率是，被選中的4人中有兩名女性兩名男性投贊成票的概率是，則被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率為.3．（2023·全國·高二課堂例題）某商場為促銷組織了一次幸運抽獎活動．袋中裝有18個除顏色外其余均相同的小球，其中8個是紅球，10個是白球．抽獎者從中一次抽出3個小球，抽到3個紅球得一等獎，抽到2個紅球得二等獎，抽到1個紅球得三等獎，抽到0個紅球不得獎．求得一等獎、二等獎和三等獎的概率．【答案】得一等獎的概率約為0.0686，得二等獎的概率約為0.3431，得三等獎的概率約為0.4412．【分析】由題意，用X表示抽到的紅球數(shù)，則，根據(jù)超幾何分布的概率公式得解.【詳解】解：從18個小球中抽取3個時，有種等可能的結(jié)果，用X表示抽到的紅球數(shù)，則，則P（得一等獎）．P（得二等獎）．P（得三等獎）．因此，得一等獎的概率約為0.0686，得二等獎的概率約為0.3431，得三等獎的概率約為0.4412．4．（2022上·上海虹口·高二華東師范大學第一附屬中學?？计谀┠撑a(chǎn)品的次品率為2%，現(xiàn)從中任意地依次抽出3件進行檢驗.(1)當，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？(2)當，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？(3)（1）、（2）分別對應哪種分布，并結(jié)合（1）（2）探究兩種分布之間的聯(lián)系.【答案】(1)；(2)見解析；(3)見解析.【分析】（1）當時，如果放回，是二項分布，計算概率值；（2）如果不放回，是超幾何分布，分別計算概率值；（3）對超幾何分布與二項分布關系的認識從共同點、不同點和聯(lián)系三個方面進行說明．【詳解】（1）若以有回放的方式抽取，每次抽取時都是從這件產(chǎn)品中抽取，從而抽到次品的概率都為，可以把3次抽取看成是3次獨立重復試驗，這樣抽到的次品數(shù)，恰好抽到1件次品的概率為.（2）若以不回放的方式抽取，抽到的次品數(shù)是隨機變量，服從超幾何分布，的分布與產(chǎn)品的總數(shù)有關，所以需要分3種情況分別計算：①時，產(chǎn)品的總數(shù)為500件，其中次品的件數(shù)為件，合格品的件數(shù)為490件，從500件產(chǎn)品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為.②時，產(chǎn)品的總數(shù)為5000件，其中次品的件數(shù)為件，合格品的件數(shù)為4900件，從5000件產(chǎn)品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為.③時，產(chǎn)品的總數(shù)為50000件，其中次品的件數(shù)為件，合格品的件數(shù)為49000件，從50000件產(chǎn)品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為.（3）對超幾何分布與二項分布關系的認識：共同點：每次試驗只有兩種可能的結(jié)果：成功或失?。煌c：1、超幾何分布是不放回抽取，二項分布是放回抽?。?、超幾何分布需要知道總體的容量，二項分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”；聯(lián)系：當產(chǎn)品的總數(shù)很大時，超幾何分布近似于二項分布．題型二：利用超幾何分布求分布列、期望和方差1．（2024上·山東德州·高二統(tǒng)考期末）為落實“雙減”政策，提升課后服務水平，某小學計劃實行課后看護工作．現(xiàn)隨機抽取該小學三年級的個班級并調(diào)查需要課后看護的學生人數(shù)，分布如下：班級代號12345678需看護學生人數(shù)2022273025233221(1)若將上述表格中人數(shù)低于人的班級兩兩組合進行看護，求班級代號為、的兩個班合班看護的概率；(2)從已抽取的個班級中隨機抽取個班，記個班中需要課后看護的學生人數(shù)低于人的班級數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）求出將人數(shù)少于人的個班兩兩組合進行課后看護的不同組合方法種數(shù)，結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，隨機變量的可能取值有、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進而可求得的值.【詳解】（1）解：若將表中人數(shù)少于人的個班兩兩組合進行課后看護，共種不同的方法，其中班級代號為、的兩個班合班看護共種方法．記表示事件“班級代號為、的兩個班合班看護”，則其概率．（2）解：隨機變量的可能取值為、、、，可得，，，，則的分布列為：XP所以數(shù)學期望為．2．（2024上·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業(yè)了，首期共有70個攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開業(yè)，推動潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又一里程碑．為了解游客對潮州美食的滿意度，隨機對100名游客進行問卷調(diào)查（滿分100分），這100名游客的評分分別落在區(qū)間，，，，內(nèi)，統(tǒng)計結(jié)果如頻率分布直方圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名游客評分的平均值（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點值為代表）；(2)為了進一步了解游客對潮州美食的評價，采用分層抽樣的方法從滿意度評分位于分組，，的游客中抽取10人，再從中任選3人進行調(diào)查，求抽到滿意度評分位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學期望為.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖以及平均數(shù)的計算方法計算即可；（2）先由題意得到隨機變量的取值，并分別計算相應的概率，然后列出分布列，并按期望公式計算即可.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：．（2）由題意可知，和的頻率之比為：，故抽取的10人中，和分別為：2人，4人，4人，隨機變量的取值可以為，，，，，故的分布列為：0123所以.3．（2024上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）為增強學生體質(zhì)，某校高一（1）班組織全班同學參加限時投籃活動，記錄他們在規(guī)定時間內(nèi)的進球個數(shù)，將所得數(shù)據(jù)分成，，，，這5組，并得到如下頻率分布直方圖：(1)估計全班同學的平均進球個數(shù)．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）(2)現(xiàn)按比例分配的分層隨機抽樣方法，從進球個數(shù)在，，內(nèi)的同學中抽取8人進行培訓，再從中抽取3人做進一步培訓．（?。┯涍@3人中進球個數(shù)在的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望；（ⅱ）已知抽取的這3人的進球個數(shù)不全在同一區(qū)間，求這3人的進球個數(shù)在不同區(qū)間的概率．【答案】(1)(2)（ⅰ）分布列見解析，；（ⅱ）【分析】（1）每一組的中點值乘以對應的頻率即可得到平均值；（2）由頻率比得到各小組內(nèi)的人數(shù)，再利用超幾何分布得到X的分布列與數(shù)學期望，即可得到（?。┑拇鸢?；又利用條件概率即可得到（ⅱ）的答案.【詳解】（1）該班同學的平均進球個數(shù):．（2）由題意可知進球個數(shù)在，，內(nèi)的頻率分別為0.16，0.32，0.16，頻率比為；所以抽取的8人中，進球個數(shù)在，，內(nèi)的人數(shù)分別為2，4，2．（ⅰ）由題意可知，，1，2，3，所以，，，，所以X的分布列為X0123P所以．（ⅱ）記事件“抽取的3人的進球個數(shù)不全在同一區(qū)間”，事件“抽取的這3人的進球個數(shù)在不同區(qū)間”，則，，所以，即這3個人的進球個數(shù)在不同區(qū)間的概率為．4．（2023上·河南南陽·高三南陽中學校考階段練習）假設某市大約有800萬網(wǎng)絡購物者，某電子商務公司對該地區(qū)n名網(wǎng)絡購物者某年度上半年前6個月內(nèi)的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額（單位：萬元）都在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的a，b，c，d滿足，且從左到右6個小矩形依次對應第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400．(1)求a，b，c，d的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進行網(wǎng)絡購物愛好調(diào)查，①求在各組應該抽取的人數(shù)；②在前2組所抽取的人中，再隨機抽取3人，記這3人來自第一組的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望．【答案】(1)，，，(2)①各組應該抽取的人數(shù)分別為3，4，5，6；②分布列見解析，數(shù)學期望為【分析】（1）結(jié)合題意及頻數(shù)與頻率，頻率之和為1等知識建立方程組，計算即可;（2）根據(jù)分層抽樣的定義即可求得各組應該抽取的人數(shù)；根據(jù)古典概型概率公式結(jié)合組合數(shù)可求得分布列，進一步求得數(shù)學期望.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，第五小組的頻率為，又因為第五小組的頻數(shù)為2400，所以樣本容量．因為第六小組的頻率為，所以第六小組的頻數(shù)是．由頻率之和為1，得，所以．因為頻率分布直方圖中的滿足，所以．所以代入中，得，得，解得．所以．（2）①因為前4組的頻率之比為，且現(xiàn)從前4組中選出18人進行網(wǎng)絡購物愛好調(diào)查，所以在應該抽取的人數(shù)分別是．②由題意，隨機變量的所有可能取值是．則故隨機變量的分布列為0123故隨機變量的數(shù)學期望為．5．（2023上·甘肅白銀·高三甘肅省靖遠縣第一中學校聯(lián)考階段練習）某商家2023年1月至7月商品的月銷售量的數(shù)據(jù)如下圖所示，若月份與商品的月銷售量存在線性關系.

(1)求月份與商品的月銷售量的回歸直線方程；(2)若規(guī)定月銷售量大于35的月份為合格月，在合格月中月銷售量低于50的視為良好，記5分，月銷售量不低于50的視為優(yōu)秀，記10分，從合格月中任取3個月，用表示賦分之和，求的分布列和數(shù)學期望.參考公式：回歸直線方程，其中.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）由題意先分別算出，，結(jié)合已知參數(shù)即可算出，，從而即可得解.（2）合格月有5個，其中記為5分的月份有3個，記為10分的月份有2個，由超幾何分布的概率公式即可求出分布列，進一步得出數(shù)學期望.【詳解】（1），，，所以，，所以.（2）由題可知，合格月有5個，其中記為5分的月份有3個，記為10分的月份有2個，所以，所以的分布列為152025數(shù)學期望.三、專項訓練1．（2024上·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習）火車晚點是人們在旅行過程中最常見的問題之一，針對這個問題，許多人都會打電話進行投訴.某市火車站為了解每年火車的正點率對每年顧客投訴次數(shù)（單位：次）的影響，對近8年（2015年~2022年）每年火車正點率和每年顧客投訴次數(shù)的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計量的值.60059243837.293.8(1)求關于的經(jīng)驗回歸方程；若預計2024年火車的正點率為，試估算2024年顧客對火車站投訴的次數(shù)；(2)根據(jù)顧客對火車站投訴的次數(shù)等標準，該火車站這8年中有6年被評為“優(yōu)秀”，2年為“良好”，若從這8年中隨機抽取3年，記其中評價“良好”的年數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.附：經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，【答案】(1)，20次；(2)分布列見解析，.【分析】（1）應用最小二乘法求回歸直線，再代入估算2024年顧客對火車站投訴的次數(shù)；（2）根據(jù)題意寫出的可能取值，應用超幾何概率公式求對應概率，即得分布列，進而求期望.【詳解】（1）由題設，，則，所以，所以；當時，代入，得到，所以2024年顧客對該市火車站投訴的次數(shù)約為20次.（2）由題意，服從超幾何分布，可取0，1，2，，，，012所以.2．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）.(1)設其中兩只小鼠中在對照組中小鼠數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學期望；(2)測得40只小鼠體重如下（單位：）：（已按從小到大排好）對照組：17.3

18.4

20.1

20.4

21.5

23.2

24.6

24.8

25.0

25.426.1

26.3

26.4

26.5

26.8

27.0

27.4

27.5

27.6

28.3實驗組：5.4

6.6

6.8

6.9

7.8

8.2

9.4

10.0

10.4

11.214.4

17.3

19.2

20.2

23.6

23.8

24.5

25.1

25.2

26.0（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)，并完成下面列聯(lián)表：合計對照組實驗組合計（ii）根據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.附：，其中.0.100.050.0102.7063.8416.635【答案】(1)分布列見解析，期望為1(2)（i），列聯(lián)表見解析；（ⅱ）有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用【分析】（1）根據(jù)超幾何分布求分布列，進而可得期望；（2）（i）直接根據(jù)已知數(shù)據(jù)計算中位數(shù)及填寫二聯(lián)表即可；（ⅱ）利用卡方公式及對照表計算即可.【詳解】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）由所給數(shù)據(jù)可知40只小鼠體重的中位數(shù)為，填二聯(lián)表如下：合計對照組61420實驗組14620合計202040（ⅱ）由上表及卡方公式可知:，所以有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.3．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二海拉爾第二中學?？计谀┮阎凶觾?nèi)有大小相同的10個球，其中紅球有個，已知從盒子中任取2個球都是紅球的概率為.(1)求的值；(2)現(xiàn)從盒子中任取3個球，記取出的球中紅球的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）結(jié)合組合知識利用古典概型概率公式列方程求解即可；（2）由題意得到隨機變量的取值為0，1，2，3，分別求出概率，寫出分布列，求出的數(shù)學期望.【詳解】（1）已知盒子內(nèi)有大小相同的10個球，其中紅球有個，因為從盒子中任取2個球都是紅球的概率為，所以，所以，所以，解得或（舍去）；（2）由題意可能的取值為0，1，2，3，則，，，，故的分布列為：0123所以的數(shù)學期望為.4．（2023·全國·模擬預測）為落實節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對市場上兩種設備的使用壽命進行調(diào)查統(tǒng)計，隨機抽取型和型設備各臺，得到如下頻率分布直方圖．

(1)將使用壽命超過小時和不超過小時的臺數(shù)填入下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷使用壽命是否超過小時與型號有沒有關聯(lián)，說明理由．型號使用壽命合計超過小時不超過小時型型合計(2)用分層抽樣的方法從使用壽命不超過小時的型和型設備中共抽取臺，再從這臺設備中隨機抽取臺，設其中型設備有臺，求的分布列和．(3)現(xiàn)有一項工作需要臺同型號設備同時工作小時才能完成，工作期間若設備損壞，則立即更換同型號設備（更換設備的時間忽略不計）．型和型設備每臺的價格分別為萬元和萬元，型和型設備每臺每小時分別耗電度（度千瓦時）和度，電價為元/度．用頻率估計概率，只考慮設備的成本和電費，你認為應選擇哪種型號的設備？說明理由．附：，其中．【答案】(1)列聯(lián)表見解析；使用壽命是否超過小時與型號無關，理由見解析(2)分布列見解析；(3)應選擇型設備，理由見解析【分析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖可計算得到列聯(lián)表所需數(shù)據(jù)，由此可得，根據(jù)獨立性檢驗的思想可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣原則可確定抽取的型設備的臺數(shù)，進而確定的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個取值對應的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學期望計算公式可求得期望值；（3）估算出需更換的型設備的數(shù)量，從而計算出使用型設備的總費用，比較費用大小即可得到結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可補全列聯(lián)表如下：型號使用壽命合計超過小時不超過小時型型合計提出零假設：使用壽命是否超過小時與型號無關，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為成立，即使用壽命是否超過小時與型號無關．（2）由分層抽樣定義知：抽取的型設備有臺，抽取的型設備有臺，則所有可能的取值為，；；；的分布列為：.（3）由頻率分布直方圖中的頻率估計概率知：型設備每臺更換的概率為，臺型設備估計要更換臺；型設備每臺更換的概率為，臺型設備估計要更換臺．則選擇A型設備的總費用（萬元）；選擇型設備的總費用（萬元），，應選擇型設備.5．（2023·全國·高二課堂例題）一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本．用X表示樣本中黃球的個數(shù)．(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率：【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）由題意，摸出20個球，采用有放回摸球，各次試驗的結(jié)果相互獨立，；采用不放回摸球，各次試驗的結(jié)果不獨立，X服從超幾何分布，可寫出分布列．（2）利用統(tǒng)計軟件可以計算出兩個分布列具體的概率值，進而可算得，進行比較可判斷.【詳解】（1）對于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗之間的結(jié)果是獨立的，因此，X的分布列為：，，1，2，…，20．.對于不放回摸球，各次試驗的結(jié)果不獨立，X服從超幾何分布，X的分布列為：，，1，2，…，20．.（2）利用統(tǒng)計軟件可以計算出兩個分布列具體的概率值（精確到0.0001），如下表所示．kk00.000040.00001110.070990.0637610.000490.00015120.035500.0266720.003090.00135130.014560.0086730.012350.00714140.004850.0021740.034990.02551150.001290.0004150.074650.06530160.000270.0000660.124410.12422170.000040.0000170.165880.17972180.000000.0000080.179710.20078190.000000.0000090.159740.17483200.000000.00000100.117140.11924樣本中黃球的比例是一個隨機變量，根據(jù)上表，計算得有放回摸球：．不放回摸球：．因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計的結(jié)果更可靠些．兩種摸球方式下，隨機變量X分別服從二項分布和超幾何分布．雖然這兩種分布有相等的均值（都是8），但從兩種分布的概率分布圖（下圖）看，超幾何分布更集中在均值附近．

6．（2022上·上海嘉定·高二?？计谥校┮阎?5張卡牌由5張紅卡、10張其它顏色卡組成，混合后分3輪發(fā)出，每輪隨機發(fā)出5張卡．(1)求事件“第1輪無紅色卡牌”的概率；(2)求事件“第1輪有至少3張紅色卡牌”的概率；(3)求事件“每輪均有紅色卡牌”的概率．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）應用組合數(shù)，結(jié)合古典概型的概率求法求；（2）應用組合數(shù)，結(jié)合互斥事件的加法公式求；（3）討論第一輪有紅牌1、2、3張，對應第二輪出現(xiàn)紅牌可能張數(shù)的概率和，即可求.【詳解】（1）由題意，“第1輪無紅色卡牌”的概率.（2）由題意，“第1輪有至少3張紅色卡牌”的概率.（3）要使每輪都有紅色卡牌，有如下情況：第一輪抽到1張紅牌，則第二輪紅牌有1張、2張、3張，此時每輪都有紅牌的概率為，第一輪抽到2張紅牌，則第二輪紅牌有1張、2張，此時每輪都有紅牌的概率為，第一輪抽到3張紅牌，則第二輪紅牌有1張，此時每輪都有紅牌的概率為，綜上，3輪中“每輪均有紅色卡牌”的概率.7．（2022·北京·景山學校校考模擬預測）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區(qū)高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名高一學生進行在線調(diào)查，得到了這500名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從這500名學生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在內(nèi)的概率；(2)為進一步了解這500名學生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在，，三組內(nèi)的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在內(nèi)的學生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取10名學生，用表示這10名學生中恰有k名學生日平均閱讀時間在內(nèi)的概率，其中，1，2，…，10．當最大時，寫出k的值．（只需寫出結(jié)論）【答案】(1)0.20(2)的分布列見解析，數(shù)學期望為(3)5【分析】（1）由頻率分布直方圖列出方程，能求出的值，進而估計出概率；（2）先按比例抽取人數(shù)，由題意可知此分布列為超幾何分布，即可求出分布列；（3）求出的式子進行判斷.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，解得，，所以日平均閱讀時間在內(nèi)的概率為0.20；（2）由頻率分布直方圖得：這500名學生中日平均閱讀時間在，，，，，三組內(nèi)的學生人數(shù)分別為：人，人，人，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從日平均閱讀時間在，內(nèi)的學生中抽?。喝耍F(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，，，，，的分布列為：0123數(shù)學期望.（3），理由如下：由頻率分布直方圖得學生日平均閱讀時間在內(nèi)的概率為0.50，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取10名學生，恰有k名學生日平均閱讀時間在內(nèi)的分布列服從二項分布，，由組合數(shù)的性質(zhì)可得時最大.8．（2020·福建福州·統(tǒng)考模擬預測）某省年開始將全面實施新高考方案．在門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計分；思想政治、地理、化學、生物這4門科目采用等級轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為，，，，共個等級，各等級人數(shù)所占比例分別為、、、和，并按給定的公式進行轉(zhuǎn)換賦分．該省組織了一次高一年級統(tǒng)一考試，并對思想政治、地理、化學、生物這4門科目的原始分進行了等級轉(zhuǎn)換賦分．（1）某校生物學科獲得等級的共有10名學生，其原始分及轉(zhuǎn)換分如下表：原始分9190898887858382轉(zhuǎn)換分10099979594918886人數(shù)11212111現(xiàn)從這10名學生中隨機抽取3人，設這3人中生物轉(zhuǎn)換分不低于分的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）假設該省此次高一學生生物學科原始分服從正態(tài)分布．若，令，則，請解決下列問題：①若以此次高一學生生物學科原始分等級的最低分為實施分層教學的劃線分，試估計該劃線分大約為多少分？（結(jié)果保留為整數(shù)）②現(xiàn)隨機抽取了該省名高一學生的此次生物學科的原始分，若這些學生的原始分相互獨立，記為被抽到的原始分不低于分的學生人數(shù)，求取得最大值時的值．附：若，則，．【答案】（1）分布列詳見解析，數(shù)學期望為；（2）①69分；②．【分析】（1）寫出隨機變量的所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布求出的每個值對應的概率，列出分布列，求出數(shù)學期望；（2）①設該劃線分為，由求出.由，得.由題意，又，故，故，即可求出；②由題意，根據(jù)獨立重復實驗的概率計算公式，求出，代入不等式組，即求的值.【詳解】（1）隨機變量的所有可能的取值為.由題意可得：，，，，隨機變量的分布列為數(shù)學期望．（2）①設該劃線分為，由得，令，則，由題意，，即，，，，，，?。谟散儆懻摷皡⒖紨?shù)據(jù)得，即每個學生生物統(tǒng)考成績不低于分的事件概率約為，，．由即解得，，，當時，取得最大值．【點睛】本題考查超幾何分布、二項分布及正態(tài)分布，考查學生的數(shù)據(jù)處理能力和運算求解能力，屬于較難的題目．9．（2020·安徽安慶·統(tǒng)考二模）某小區(qū)為了加強對“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應.為做好甲類生活物資的供應，超市對社區(qū)居民戶每天對甲類生活物資的購買量進行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖.

（1）從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.①若將頻率視為概率，求至少有兩戶購買量在（單位：）的概率是多少？②若抽取的5戶中購買量在（單位：）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在（單位：）的戶數(shù)為，求的分布列和期望；（2）將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較，當超出平均購買量不少于時，則稱該居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值.【答案】（1）①；②詳見解析；（2）.【解析】（1）事件“從小區(qū)超市購買甲類物資的居民戶中任意選取1戶，購買量在，”發(fā)生的概率為．①記事件“從小區(qū)超市購買甲類物資的居民戶中任意選取5戶，則至少有兩戶購買量在，”為，利用獨立重復實驗的概率求解即可．②隨機變量所有可能的取值為0，1，2．求出概率得到分布列，然后求解期望．（2）每天對甲類物資的購買量平均值，求出從小區(qū)隨機抽取中隨機抽取一戶為“迫切需求戶”的概率為，判斷，通過若戶的可能性最大，列出不等式組，求解即可．【詳解】（1）由題意，事件“從小區(qū)超市購買甲類生活物資的居民戶中任意選取1戶，購買量在”發(fā)生的概率為.①記