交通大學(xué)數(shù)值分析題庫(kù)

PAGEPAGE92交通大學(xué)數(shù)值分析題庫(kù)1緒論要使的近似值的相對(duì)誤差限0.1%,應(yīng)至少取___4____位有效數(shù)字。＝0.4…10,a1=4,r10-(n-1)<0.1%，故可取n4,即4位有效數(shù)字。要使的近似值的相對(duì)誤差限0.1%,應(yīng)至少取___4___位有效數(shù)字,此時(shí)的絕對(duì)誤差限為設(shè)y=f(x1,x2)若x1,x2,的近似值分別為x1*,x2*,令y*=f(x1*,x2*)作為y的近似值,其絕對(duì)誤差限的估計(jì)式為:||f(x1*,x2*)|x1-x*1|+|f(x1*,x2*)|x2-x*2|計(jì)算f=(-1)6,?。?.4,利用下列算式，那個(gè)得到的結(jié)果最好？答：__C_____.(A),(B)(3-2)2,(C),(D)99-70要使的近似值的相對(duì)誤差限0.1%,應(yīng)至少取_________位有效數(shù)字？＝0.4…10,a1=4,r10-(n-1)<0.1%故可取n3.097,即4位有效數(shù)字。設(shè)x=3.214,y=3.213，欲計(jì)算u=,請(qǐng)給出一個(gè)精度較高的算式u=.u=設(shè)x=3.214,y=3.213，欲計(jì)算u=,請(qǐng)給出一個(gè)精度較高的算式u=.u=設(shè)y=f(x1,x2)若x1,x2,的近似值分別為x1*,x2*,令y*=f(x1*,x2*)作為y的近似值,其絕對(duì)誤差限的估計(jì)式為:||f(x1*,x2*)|x1-x*1|+|f(x1*,x2*)|x2-x*2|；2方程根設(shè)迭代函數(shù)(x)在x*鄰近有r（1）階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且x*=(x*)，并且有(k)(x*)=0(k=1,…,r-1)，但(r)(x*)0，則xn+1=(xn)產(chǎn)生的序列{xn}的收斂階數(shù)為_(kāi)__r___稱序列{xn}是p階收斂的如果用牛頓法求f(x)=0的n重根，為了提高收斂速度，通常轉(zhuǎn)化為求另一函數(shù)u(x)=0的單根，u(x)=用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0的根，取初值x0=1.5,則x1=________解x1=1.5970149用牛頓法解方程的迭代格式為_(kāi)______________解迭代過(guò)程收斂的充分條件是1.___用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0的根，取初值x0=1.5,則x1=1.5970149用牛頓法解方程的迭代格式為_(kāi)______________用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0的根，取初值x0=1.5,則x1=________解x1=1.5970149迭代公式xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a)是求a1/2的(12)階方法3方程組矩陣的LU分解中L是一個(gè)_為單位下三角陣，而U是一個(gè)上三角陣____。設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為A=,全主元消元法的第一次可選的主元素為-8，或8___，第二次可選的主元素為8+7/8或-8-7/8____.列主元消元法的第一次主元素為_(kāi)－8_________；第二次主元素為(用小數(shù)表示)7.5_____;在方陣A的LU分解中,方陣A的所有順序主子不為零,是方陣A能進(jìn)行LU分解的充分(充分,必要)條件；嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)陣能__(能,不能)進(jìn)行LU分解；非奇異矩陣___不一定___(一定，不一定)能進(jìn)行LU分解。

設(shè)A是正定矩陣，則A的cholesky的分解唯一(唯一,不唯一).設(shè)，為使A可分解為A=LLT，其中L是對(duì)角線元素為正的下三角形矩陣，則a的取值范圍是，取a=1，則L=。解，改進(jìn)的方法不會(huì)4迭代，則，，；答：4，3.6180340，5；已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法___是___收斂（填“是”或“不”）。給定方程組 記此方程組的Jacobi迭代矩陣為BJ=(aij)33，則a23=-1；,且相應(yīng)的Jacobi迭代序列是__發(fā)散_____的。設(shè)，則關(guān)于的1,，則Rn上的兩個(gè)范數(shù)||x||p,||x||q等價(jià)指的是_C,DR,_C_||x||q_||x||pD||x||q_；Rn上的兩個(gè)范數(shù)_一定____是等價(jià)的。（選填“一定”或“不一定”）。，則19,13____，____12；已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法___收斂（填“收斂”或“發(fā)散”），則，，解已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法_____________收斂（填“是”或“不”），解（3）因的Jacobi迭代矩陣，，故Jacobi迭代是收斂的，已知方程組，其雅可比法的迭代矩陣是______________，高斯-塞德?tīng)柗ǖ牡袷绞莀_______________；解已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法_____________收斂（填“是”或“不”），解因的Jacobi迭代矩陣，，故Jacobi迭代是收斂的，已知方程組，其雅可比法的迭代矩陣是______________，高斯-塞德?tīng)柗ǖ牡袷绞莀_______________；解，要使，a應(yīng)滿足___________；解則，，。，則，。解。設(shè)若,則矩陣A的1-范數(shù)4，cond1(A)=16。如果線性方程組用Jacobi迭代法，其迭代矩陣滿足。如果用Gauss-Seidel迭代法解此線性方程組，則方法一定(一定,不一定)收斂設(shè)，則2，則，，；答案：（1）19，13，12；方程組用超松馳法求解時(shí)，迭代矩陣為,要使迭代法收斂，條件0<<2是必要條件(充分條件、必要條件、充要條件)；如果是正定矩陣，用超松馳法求解，方法收斂當(dāng)且僅當(dāng)在區(qū)間(0,2)時(shí)。給定方程組 ，其Jacobi迭代格式的迭代矩陣為當(dāng)<1時(shí)，Jacobi迭代格式收斂；其Gauss-Seidel迭代格式的迭代矩陣為，當(dāng)<1時(shí)Gauss-Seideli迭代格式收斂。已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法__是__收斂（填“是”或“不”）已知,則__6___，__7__,A的譜半徑（1）.設(shè)，則關(guān)于的1,,。則，，解已知方程組，其雅可比法的迭代矩陣是______________，高斯-塞德?tīng)柗ǖ牡袷绞莀_______________；解設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為A=,列主元消元法的第一次主元素為(13)；第二次主元素為(用小數(shù)表示)(14);記此方程組的高斯-塞德?tīng)柕仃嚍锽G=(aij)44，則a23=(15),.(13)-8;(14)7.5;(15)-17/4;5插值在等式中,系數(shù)ak與函數(shù)f(x)有關(guān)。（限填“有”或“無(wú)”）設(shè)lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函數(shù)，則0m=1,2,…,n用個(gè)不同節(jié)點(diǎn)作不超過(guò)次的多項(xiàng)式插值，分別采用Lagrange插值方法與Newton插值方法所得多項(xiàng)式(相等,不相等)。函數(shù)與函數(shù)中,是三次樣條函數(shù)的函數(shù)是_f____，另一函數(shù)不是三次樣條函數(shù)的理由是_____二階導(dǎo)不連續(xù)__________。設(shè)Pk(xk,yk),k=1,2,…,5為函數(shù)y=x2-3x+1上的5個(gè)互異的點(diǎn)，過(guò)P1,…,P5且次數(shù)不超過(guò)4次的插值多項(xiàng)式是x2-3x+1。函數(shù)與函數(shù)中,是三次樣條函數(shù)的函數(shù)是，另一函數(shù)不是三次樣條函數(shù)的理由是不滿足具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。令f(x)=ax7+x4+3x+1,則f[20,21,…,27]=a；f[20,21,…,28]=0設(shè)(i=0,1,…,n)，則＝_x_____,這里（xixj,ij,n2）。牛頓插商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式為：設(shè)x0,x1,x2是區(qū)間[a,b]上的互異節(jié)點(diǎn)，f(x)在[a,b]上具有各階導(dǎo)數(shù)，過(guò)該組節(jié)點(diǎn)的2次插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為：R2(x)=在等式中,系數(shù)ak與函數(shù)f(x)__無(wú)__關(guān).高次插值容易產(chǎn)生________龍格（Runge）現(xiàn)象。設(shè)Pk(xk,yk),k=1,2,…,5為函數(shù)y=x2-3x+1上的5個(gè)互異的點(diǎn)，過(guò)P1,…,P5且次數(shù)不超過(guò)4次的插值多項(xiàng)式是___x2-3x+1___。令f(x)=x7+x4+3x+1,則f[20,21,…,28]=______0_____確定n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)所需條件個(gè)數(shù)至少需要____4n______個(gè)若f(x)充分光滑，若2n+1次多項(xiàng)式 H2n+1(x)滿足H2n+1(xi)=f(xi),,則稱H2n+1(x)是f(x)的___Hermite插值_________多項(xiàng)式，且余項(xiàng)R（x）=f(x)—H2n+1(x)=_________；設(shè)Pk(xk,yk),k=1,2,…,5為函數(shù)y=x2-3x+1上的5個(gè)互異的點(diǎn)，過(guò)P1,…,P5且次數(shù)不超過(guò)4次的插值多項(xiàng)式是______。解（4）y=x2-3x+1用個(gè)作不超過(guò)次的多項(xiàng)值插值，分別采用Lagrange插值方法與Newton插值方法所得多項(xiàng)式相等(相等,不相等)6擬合采用正交多項(xiàng)式擬合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常見(jiàn)的_法方程組病態(tài)___問(wèn)題。試確定[0,1]區(qū)間上2x3的不超過(guò)二次的最佳一致逼近多項(xiàng)式p(x),該多項(xiàng)式唯一否？答：p(x)=(3/2)x,;唯一。設(shè)f(x)C[a,b]，f(x)的最佳一致逼近多項(xiàng)式是__一定___存在的。在函數(shù)的最佳一致逼近問(wèn)題中,評(píng)價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的(10)范數(shù),在函數(shù)的最佳平方逼近問(wèn)題中,評(píng)價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的(11)范數(shù).無(wú)窮范數(shù)；||f||；2-范數(shù)若{0(x),1(x),…,n(x)}是[a,b]上的正交族。為f(x)的最佳平方逼近。系數(shù)ak=在函數(shù)的最佳一致逼近問(wèn)題中,評(píng)價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的無(wú)窮范數(shù).在函數(shù)的最佳平方逼近問(wèn)題中,評(píng)價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的2范數(shù).(無(wú)窮范數(shù)；2-范數(shù)，1-范數(shù))設(shè)f(x)=2x4在[-1,1]上的不超過(guò)3次最佳一致逼近多項(xiàng)式P(x)=2x2-1/4。采用正交多項(xiàng)式擬合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常見(jiàn)的(9)問(wèn)題.在函數(shù)的最佳一致逼近問(wèn)題中,評(píng)價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的(10)范數(shù).函數(shù)的最佳平方逼近問(wèn)題中,評(píng)價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的(11)范數(shù).函數(shù)f(x)=|x|在[-1,1]的，次數(shù)不超過(guò)一次的最佳平方逼近多項(xiàng)式是。7積分Gauss型求積公式不是插值型求積公式。（限填“是”或“不是”）n個(gè)不同節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度一定會(huì)超過(guò)n-1次設(shè)稱為柯特斯系數(shù)則=______1____為辛卜生（Simpson）公式具有___3____次代數(shù)精度。2n階Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代數(shù)精度。設(shè)公式為插值型求積公式，則,且=b-an個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度不會(huì)超過(guò)2n－1次。Gauss點(diǎn)與積分區(qū)間____無(wú)關(guān)_____但與被積函數(shù)___有關(guān)。當(dāng)常數(shù)A=，B=，時(shí)，數(shù)值積分公式是Gauss型積分公式Simpsons數(shù)值求積公式具有____3_________次代數(shù)精度，用于計(jì)算所產(chǎn)生的誤差值為_(kāi)____________；形如的插值型求積公式，其代數(shù)精度至少可達(dá)到______n____階，至多可達(dá)到__2n+1________階；勒讓德（Legendre）多項(xiàng)式是區(qū)間______[-1,1]_____上，帶權(quán)_____1_____正交的正交多項(xiàng)(3)用梯形公式計(jì)算積分9.219524E-003:此值比實(shí)際值小(大,小)用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分,要把區(qū)間[0,1]一般要等分41份才能保證滿足誤差小于0.00005的要求（這里）；如果知道，則用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分此實(shí)際值大(大，小)。若用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算積分區(qū)間應(yīng)分2129等分，即要計(jì)算個(gè)2130點(diǎn)的函數(shù)值才能使截?cái)嗾`差不超過(guò)；若改用復(fù)化Simpson公式，要達(dá)到同樣精度區(qū)間應(yīng)分12等分，即要計(jì)算個(gè)25點(diǎn)的函數(shù)值。Simpsons數(shù)值求積公式具有___3__________次代數(shù)精度，用于計(jì)算所產(chǎn)生的誤差值為_(kāi)____________；形如的插值型求積公式，其代數(shù)精度至少可達(dá)到_____n_____階，至多可達(dá)到___2n+1_______階；若用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算積分區(qū)間應(yīng)分2129等分，即要計(jì)算個(gè)2130點(diǎn)的函數(shù)值才能使截?cái)嗾`差不超過(guò)；若改用復(fù)化Simpson公式，要達(dá)到同樣精度區(qū)間應(yīng)分12等分，即要計(jì)算個(gè)25點(diǎn)的函數(shù)值在以為內(nèi)積的空間C[0,1]中，與非零常數(shù)正交的最高項(xiàng)系數(shù)為1的一次多項(xiàng)式是。Simpsons數(shù)值求積公式具有___________次代數(shù)精度，用于計(jì)算所產(chǎn)生的誤差值為_(kāi)____________；形如的插值型求積公式，其代數(shù)精度至少可達(dá)到__________階，至多可達(dá)到__________階；8微分方程歐拉預(yù)報(bào)--校正公式求解初值問(wèn)題的迭代格式(步長(zhǎng)為h)，此方法是階方法。，此方法是2階方法。稱微分方程的某種數(shù)值解法為p階方法指的是其局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)。求解微分方程數(shù)值解的Euler法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間是____(-2,0)______。歐拉預(yù)報(bào)--校正公式求解初值問(wèn)題,如取步長(zhǎng)h=0.1,計(jì)算y(0.1)的近似值為0.005000,此方法是2階方法（1）當(dāng)，時(shí)，下述形式的RK公式為二階公式歐拉預(yù)報(bào)--校正公式求解初值問(wèn)題的迭代格式(步長(zhǎng)為h)，此方法是2階方法。用Euler方法解初值問(wèn)題的近似解的最終表達(dá)式(取步長(zhǎng))；當(dāng)時(shí)，。

題庫(kù)分類填空題緒論部分設(shè)x=3.214,y=3.213，欲計(jì)算u=,請(qǐng)給出一個(gè)精度較高的算式u=.u=設(shè)y=f(x1,x2)若x1,x2,的近似值分別為x1*,x2*,令y*=f(x1*,x2*)作為y的近似值,其絕對(duì)誤差限的估計(jì)式為:||f(x1*,x2*)|x1-x*1|+|f(x1*,x2*)|x2-x*2|要使的近似值的相對(duì)誤差限0.1%,應(yīng)至少取_______位有效數(shù)字？＝0.4…10,a1=4,r10-(n-1)<0.1%故可取n4,即4位有效數(shù)字。要使的近似值的相對(duì)誤差限0.1%,應(yīng)至少取_________位有效數(shù)字？＝0.4…10,a1=4,r10-(n-1)<0.1%故可取n3.097,即4位有效數(shù)字。對(duì)于積分In=e-1xnexdx試給出一種數(shù)值穩(wěn)定的遞推公式_________。In-1=(1-In)/n,In0易知I0=1-e-1In=1-nIn-1故In-1=(1-In)/n0<In1/(n+1)0(n)取In0選擇填空計(jì)算f=(-1)6,?。?.4,利用下列算式，那個(gè)得到的結(jié)果最好？(C)(A),(B)(3-2)2,(C),(D)99-70方程的根用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0的根，取初值x0=1.5,則x1=(3)x1=1.5970149迭代公式xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a)是求a1/2的(12)階方法方程組直接解法迭代解法設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為A=,全主元消元法的第一次可選的主元素為(13)，第二次可選的主元素為(14).列主元消元法的第一次主元素為(15)；第二次主元素為(用小數(shù)表示)(16);記此方程組的高斯-塞德?tīng)柕仃嚍锽G=(aij)44，則a23=(17)；-8，或8；8+7/8或-8-7/8；-8；7.5；插值填空設(shè)Pk(xk,yk),k=1,2,…,5為函數(shù)y=x2-3x+1上的5個(gè)互異的點(diǎn)，過(guò)P1,…,P5且次數(shù)不超過(guò)4次的插值多項(xiàng)式是______。y=x2-3x+1設(shè)x0,x1,x3是區(qū)間[a,b]上的互異節(jié)點(diǎn)，f(x)在[a,b]上具有各階導(dǎo)數(shù)，過(guò)該組節(jié)點(diǎn)的2次插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為：______.R2(x)=設(shè)(i=0,1,…,n)，則＝______,這里（xixj,ij,n2）。x三次樣條插值與一般分段3次多項(xiàng)式插值的區(qū)別是_____三次樣條連續(xù)且光滑，一般分段3次連續(xù)不一定光滑。插值多項(xiàng)式與最小二乘擬合多項(xiàng)式都是對(duì)某個(gè)函數(shù)f(x)的一種逼近，二者的側(cè)重點(diǎn)分別為_(kāi)_______。用個(gè)作不超過(guò)次的多項(xiàng)值插值，分別采用Lagrange插值方法與Newton插值方法所得多項(xiàng)式相等(相等,不相等)計(jì)算題(a10分)依據(jù)下列函數(shù)值表，建立不超過(guò)3次的lagrange插值多項(xiàng)式L3(x).x0123f(x)19233解：基函數(shù)分別為l0(x)=-x3+x2-x+1l1(x)=l2(x)=l2(x)=Lagrange插值多項(xiàng)式L3(x)==.(b10分)已知由插值節(jié)點(diǎn)(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)構(gòu)造的3次插值多項(xiàng)式P3(x)的x3的系數(shù)為6，試確定數(shù)據(jù)y.解：P3(x)＝故最高次項(xiàng)系數(shù)為 帶入數(shù)值解得y=4.25.(c15分)設(shè)lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函數(shù)，證明證明：其中，wn+1(x)=故當(dāng)0jn時(shí)，=xj,當(dāng)j=n+1時(shí)，xn+1=將x=0帶入ok!(c10分)設(shè)lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函數(shù)，證明是n次多項(xiàng)式，且最高次系數(shù)為x0+…+xn,證：查--5分注意余項(xiàng)==xn+1-wn+1(x)5分ok!(c10分)設(shè)函數(shù)f(x)是k次多項(xiàng)式，對(duì)于互異節(jié)點(diǎn)x1,…,xn,，證明當(dāng)n>k時(shí)，差商f[x,x1,…,xn]0，當(dāng)nk時(shí)，該差商是k-n次多項(xiàng)式。證明：因注意到n>k時(shí)，f(n)(x)=0，n=k時(shí)，f(n)(x)=k!ak，ak為f(x)的k次項(xiàng)系數(shù)。(7f)nk-1由差分定義遞推,查n=k-1,k-2,…(3f)ok!(c10分)設(shè)g(x)和h(x)分別是f(x)關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)x1,…,xn-1以及互異節(jié)點(diǎn)x2,…,xn的插值多項(xiàng)式，試用g(x)和h(x)表示f(x)關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)x1,…,xn的插值多項(xiàng)式.解：令q(x)=Ag(x)(x-xn)+Bh(x)(x-x1)為待定n次多項(xiàng)式，A,B為待定系數(shù)，注意到g(xk)=f(xk),k=1,…,n-1h(xk)=f(xk),k=2,…,n(7f)帶入得A=1/x1-xn,B=1/xn-x1,帶入ok!(a10f)設(shè)lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函數(shù)，證明(1)m=0,1,…,n(2)0m=1,2,…,n證明：由插值唯一性定理知(1)。展開(kāi)知（2）(a10f)證明對(duì)于不超過(guò)k次的多項(xiàng)式p(x)有knlk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函數(shù)證明：由插值唯一性定理知。(a10f)設(shè)p(x)是任意首次項(xiàng)系數(shù)為1的n+1次多項(xiàng)式，lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函數(shù)證明其中證明：插值余項(xiàng)直接計(jì)算ok!(a10f)已知函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，記xk=x0+kh(k=1,2,…,n),證明證明：因(x0,x0+nh)注意到n階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，兩邊取極限ok!(c10f)用等節(jié)距分段二次插值函數(shù)在區(qū)間[0,1]上近似函數(shù)ex,如何估算節(jié)點(diǎn)數(shù)目使插值誤差10-6.解：考慮子區(qū)間[xi-1,xi]二次插值余項(xiàng)令x=xi+1/2+s(h/2)上式化簡(jiǎn)為令得h0.028413故子區(qū)間個(gè)數(shù)為N=2/h70.4,取N=71故插值節(jié)點(diǎn)數(shù)為2N+1=143(b10分)設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，P1(x)為其以a,b為節(jié)點(diǎn)的一次插值多項(xiàng)式，證明證明：利用插值余項(xiàng)結(jié)果可得線性插值多項(xiàng)式P1(x)在子區(qū)間[a,b]上的余項(xiàng)估計(jì)式，再估計(jì)最值ok!(b10分)已知s(x)是[0,2]上的已知自然邊界條件的三次樣條函數(shù)，試確定s(x)=中的參數(shù)b,c,d解：利用邊界條件s/(2-0)=0及樣條函數(shù)定義可得b=-1,c=-3,d=1(b10分)判斷下面2個(gè)函數(shù)是否是[-1,1]上以0為內(nèi)節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)。設(shè)(1)S(x)=(2)S(x)=解：(1)是，(2)否。(a10f)令f(x)=x7+x4+3x+1求f[20,21,…,27]及f[20,21,…,28]解：f[20,21,…,27]=1f[20,21,…,28]=0(a10f)證明n階均差有下列性質(zhì)：(1)若F(x)=cf(x),則F[x0,x1,…,xn]=cf[x0,x1,…,xn] (2)若F(x)=f(x)+g(x),則F[x0,x1,…,xn]=f[x0,x1,…,xn]+g[x0,x1,…,xn]證明：其中，ak=ok!(a10f)回答下列問(wèn)題：（1）什么叫樣條函數(shù)？（2）確定n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)所需條件個(gè)數(shù)至少需要多少？（3）三轉(zhuǎn)角法中參數(shù)mi的數(shù)學(xué)意義是什么？答：（1）略 （2）4n個(gè)（3）mi=S/(xi)即樣條函數(shù)在節(jié)點(diǎn)xi處的一階導(dǎo)數(shù)。(a10f)回答下列問(wèn)題：（1）何謂Hermite插值問(wèn)題？（2）Hermite插值與一般多項(xiàng)式插值有什么區(qū)別？擬合采用正交多項(xiàng)式擬合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常見(jiàn)的(9)問(wèn)題.在函數(shù)的最佳一致逼近問(wèn)題中,評(píng)價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的(10)范數(shù).在函數(shù)的最佳平方逼近問(wèn)題中,評(píng)價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的(11)范數(shù).無(wú)窮范數(shù)||f||；2-范數(shù)計(jì)算題(b10f)設(shè)f(x)[-a,a]的最佳一致逼近多項(xiàng)式為P(x),試證明f(x)是偶函數(shù)時(shí)P(x)也是偶函數(shù)；f(x)是奇函數(shù)時(shí)P(x)也是奇函數(shù)。證明：（1）令t=-x,考查|f(x)-P(x)|=|f(-t)-P(-t)|=|f(t)-P(-t)|,故P(-x)也是f(x)[-a,a]的最佳一致逼近多項(xiàng)式，由最佳一致逼近多項(xiàng)式的唯一性知P(-x)=P(x).（2）略。(a10f)試確定[0,1]區(qū)間上2x3的不超過(guò)二次的最佳一致逼近多項(xiàng)式p(x),該多項(xiàng)式唯一否？解：p(x)=(3/2)x,唯一。求f(x)=2x3+x2+2x-1在[-1,1]上的最佳二次逼近多項(xiàng)式P(x)。已知T0(x)=cos0=1T1(x)=cos=xT2(x)=cos2=2x2-1T3(x)=cos3=4x3-3xT4(x)=cos4=8x4-8x2+1解:f(x)=2x3+x2+2x-1-P(x)=2.T3(x)=T3(x)故P(x)=f(x)-T3(x)=2x3+x2+2x-1-2x3+3x=x2+x-1求f(x)=2x4在[-1,1]上的3次最佳一致逼近多項(xiàng)式P(x)。已知T0(x)=cos0=1T1(x)=cos=xT2(x)=cos2=2x2-1T3(x)=cos3=4x3-3xT4(x)=cos4=8x4-8x2+1解：P(x)=2x2-1/4求f(x)=2x4在[0,2]上的3次最佳一致逼近多項(xiàng)式P(x)。已知T0(x)=cos0=1T1(x)=cos=xT2(x)=cos2=2x2-1T3(x)=cos3=4x3-3xT4(x)=cos4=8x4-8x2+1解：令x=t+1,t[-1,1],f(x)=g(t)=(t+1)4故g(t)的3次最佳一致逼近多項(xiàng)式為P3(t)=4t3+7t2+4t+7/8故f(x)的3次最佳一致逼近多項(xiàng)式為P(x)=P3(x-1)=4x3-5x2+2x-1/8設(shè)f(x)C[a,b],,證明f(x)的最佳零次一致逼近函數(shù)為s(x)=(M+m)/2,其中M和m分別為f(x)在[a,b]上的最大與最小值。證明[a,b]上的正交函數(shù)系H={h1(x),h2(x),…,hm(x)}是線性無(wú)關(guān)的函數(shù)系。證：寫(xiě)出線性組合式子――――2分作內(nèi)積求系數(shù)―――――――――2分（10分）求f(x)=lnx,x[1,2]上的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式的法(正規(guī))方程組。（要求精確表示，即不使用小數(shù)）解：取=span{1,x,x2},[a,b]=[1,2]法方程組為計(jì)算知解之得：a0=-1.142989,a1=1.382756, a2=-0.233507最佳平方逼近多項(xiàng)式為P2(x)=-1.42+1.38x-0.233x2平方誤差為||f-P2||22=(f,f)-a0(f,0)–a1(f,1)–a2(f,2)0.410-5設(shè)f(x)在有限維內(nèi)積空間＝span{0,…,n}上的最佳平方逼近為p(x),試證明，f(x)-p(x)與中所有函數(shù)正交。證明：查(f(x)-p(x),j)=(f,j)-(p(x),j)注意到ak是法方程組的解。而法方程組兩邊的j-th分量為((j,0)(j,1)…(j,n))=(p(x),j)ok!設(shè)是在空間＝span{0,…,n}中對(duì)f(x)C[a,b]的最佳平方逼近,證明：(f-p,f-p)=(f,f)-證：注意到ak是法方程組的解。而法方程組故k=1,…n,(f(x)-p(x),k)=0,(5分)(p-f),p)=0(5分)(f-p,f-p)=(f,f)-2(f,p)+(p,p)=(f,f)-(f,p)+(p-f),p)=(f,f)-(f,p)(5分)求下列矛盾方程組的最小二乘解解：x1=-29/12,x2=-39/12寫(xiě)出相應(yīng)的法方程組ATAx=ATb――――5分求解x1=-29/12,x2=-39/12――――5分推導(dǎo)用最小二乘法解矛盾方程組Ax=b的法方程組ATAx=ATb解：給出目標(biāo)函數(shù)h(x)=||Ax-b||25=xTATAx-2xTATb+bTb5求偏導(dǎo)得到駐點(diǎn)方程組ATAx-ATb=05證明：{0,…,n}為點(diǎn)集{xi}mi=1上的線性無(wú)關(guān)族法方程GTGa=GTy有唯一解。其中證：充分性）。首先注意到若a0,a1,..,an為方程組a00+a11+…+ann=0（9）的解，則必為方程組((0,0)a0+(1,0)a1+…+(n,0)an=0(0,1)a0+(1,1)a1+…+(n,1)an=0…..(0,n)a0+(1,n)a1+…+(n,n)an=0(10)的解。事實(shí)上，令0,1,…,n分別與(9)兩端作內(nèi)積得(10)，知也！設(shè)|GTG|0（10）僅有0解(9)也僅有0解故{0,…,n}無(wú)關(guān)。證必要性）。{0,…,n}無(wú)關(guān)(9)僅有0解即a=(a0,a1,..,an)0Ga0aTGTGa=(Ga)T(Ga)=||Ga||22>0GTG正定|GTG|>0|GTG|0.若{0(x),1(x),…,n(x)}是點(diǎn)集{x1,x2,…,xm}上的離散正交族。為給定數(shù)據(jù)對(duì)(xi,yi)(i=1,2,…,m)的最小二乘擬和函數(shù)。證明：證：法方程系數(shù)矩陣為QTQ==此時(shí)法方程為故若{0(x),1(x),…,n(x)}是[a,b]上的正交族。為f(x)的最佳平方逼近。證明：證：法方程系數(shù)矩陣為QTQ==此時(shí)法方程為故求函數(shù)f(x)=|x|在[-1,1]上求關(guān)于函數(shù)族span{1,x2,x4}的最佳平方逼近多項(xiàng)式。解：由內(nèi)積(f,g)=,令0=1，1=x2,2=x4,計(jì)算知法方程得解之得：a0=15/185=0.117…a1=105/64=1.64…a2=-105/128=-0.820…最佳平方逼近多項(xiàng)式為:0.117+1.64x2-0.820x4求函數(shù)f(x)=在[1,3]上求關(guān)于函數(shù)族span{1,x}的最佳平方逼近多項(xiàng)式。解：由內(nèi)積(f,g)=,令0=1，1=x,計(jì)算法方程得解之得：a0=(13/2)ln3-6=1.14…a1=3-3ln3=0.295…最佳平方逼近多項(xiàng)式為:1.14-0.295x求a,b,c的值，使達(dá)到最小解：就是求f(x)=sinx關(guān)于函數(shù)族span{1,x,x2}在[0,]上的最佳平方逼近。由內(nèi)積(f,g)=,令0=1，1=x,2=x2計(jì)算知法方程為解之得：a0=-14/,a1=72/2,a2=-60/3求a,b,c的值，使達(dá)到最小解：由唯一性知，a=0,b=0,c=3什么是非線性最小二乘擬合問(wèn)題？回答下列問(wèn)題：求解線性最小二乘問(wèn)題遇到的主要困難是什么？用離散正交多項(xiàng)式進(jìn)行擬合的主要優(yōu)點(diǎn)是什么？回答下列問(wèn)題：什么叫最佳多項(xiàng)式平方逼近？什么叫最佳多項(xiàng)式一致逼近？回答下列問(wèn)題：最佳平方逼近多項(xiàng)式與最小二乘擬合多項(xiàng)式在計(jì)算方法上有何相似之處？二者區(qū)別是什么？數(shù)值積分微分方程數(shù)值解答案插值節(jié)點(diǎn)函數(shù)值相等最小二乘擬和乃綜合偏差最小。法方程組病態(tài)3-17/4正誤題()線性方程組的條件數(shù)與其解法無(wú)關(guān)。()設(shè)A為可逆矩陣，R則cond(A)=cond(A)。()Rn上一切向量范數(shù)都等價(jià)。()矩陣A的譜半徑不超過(guò)||A||1。()在等式中,系數(shù)ak與函數(shù)f(x)有關(guān)。()說(shuō)微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值方法是p階的，指的是其局部截?cái)嗾`差是與hp同階的無(wú)窮小,其中h為步長(zhǎng)。()Gauss點(diǎn)與積分區(qū)間無(wú)關(guān)但與被積函數(shù)有關(guān)。()微分方程初值問(wèn)題的Euler方法第一步的局部截?cái)嗾`差等于第一步的整體截?cái)嗾`差。（1）.設(shè)，則關(guān)于的1,,。(2)設(shè)A是正定矩陣，則A的cholesky的分解唯一(唯一,不唯一)(3)用梯形公式計(jì)算積分9.219524E-003:此值比實(shí)際值小(大,小)(4)用Euler方法解初值問(wèn)題的近似解的最終表達(dá)式(取步長(zhǎng))；當(dāng)時(shí)，。(5)令f(x)=3x7+x4+3x+1,則f[20,21,…,27]=3；f[20,21,…,28]=(5)在以為內(nèi)積的空間C[0,1]中，與非零常數(shù)正交的一次多項(xiàng)式是例4-2證明在[0,1]內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不大于的根要迭代多少次？解答設(shè)，則；又因，故在[0，1]上單減，因此f(x)在[0,1]上有且僅有一個(gè)根。使用二分法時(shí)，誤差限（按例4-1的編號(hào)方式）為，解得 所以需迭代14次即可。例4-3求解方程的根，要求取,分別用簡(jiǎn)單迭代法、迭代法的加速方法：，以及埃特金方法求解，要求誤差應(yīng)滿足。解答（1）簡(jiǎn)單迭代法。此時(shí)迭代公式為 計(jì)算結(jié)果如下：kk00.5100.566907210.6065306110.567277220.5452392120.567067330.5797031130.567486340.5600646140.567118850.5711721150.567157160.5648629160.567135470.5684380170.567147780.5664094180.567140790.5675596此時(shí)已滿足，故取。（2）用加速技巧來(lái)做。在附近，，故取，此時(shí)迭代式為 計(jì)算結(jié)果如下：kk00.530.56714980.567143110.60653070.566581740.56714340.567143320.56746190.5671318此時(shí)已滿足，做。（3）用埃特金方法來(lái)做。此時(shí)迭代式為 計(jì)算結(jié)果如下：k00.510.60653070.54523920.567623920.56687080.56729790.567143330.56714330.5671433此時(shí)不能再算了，因已達(dá)到精度要求，故取即可例4-4當(dāng)R取適當(dāng)值時(shí)，曲線與相切，試用迭代法求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的近似值，要求不少于4位有效數(shù)字，也不求R。分析兩曲線相切，在切點(diǎn)處曲線函數(shù)值相等，導(dǎo)數(shù)值相等，根據(jù)這些條件可列出切點(diǎn)橫坐標(biāo)應(yīng)滿足的關(guān)系式，然后用迭代法求解。解答的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)滿足，故由兩曲線相切的條件，可得 即 令，則，因此在（1，2）內(nèi)有根。又在（1，2）內(nèi)僅有一個(gè)根，構(gòu)造迭代格式 取 ，計(jì)算結(jié)果如下： 由于，故取，即可保證有4位有效數(shù)字。即兩曲線切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.438.例4-5分別用單點(diǎn)弦割法和雙點(diǎn)弦割法求的根，要求。解答因，故沒(méi)有極值點(diǎn)。由于，因此在（1，2）內(nèi)僅有一根。（1）用單點(diǎn)弦割法，迭代公式為 取，計(jì)算結(jié)果如下：kk0151.3688086441261.36880804921.36842105371.36880811531.36885126381.36880810741.368803298此時(shí)，已滿足精度要求，故取即可（2）若采用雙點(diǎn)弦割法，迭代公式為仍取，則有kk0131.3688504691241.36880810421.36842105351.368808108取，可保證。注記本題方程為L(zhǎng)eonardo方程。Leonardo于1225年研究了該方程，并得到了的結(jié)果，這在當(dāng)時(shí)是非常重要的結(jié)果，但無(wú)人知道他是用何法而得。這時(shí)。例4-6用牛頓法求解Leonardo方程 要求 。解答由上題知，在（1，2）內(nèi)有一個(gè)根，且，故應(yīng)取，利用牛頓迭代公式 計(jì)算結(jié)果如下：kk0131.36886941911.641.36880810921.38338870451.368808108 ,故取。注記由上兩題知，要達(dá)到同樣的精度，牛頓法的迭代次數(shù)不一定比弦割法少，盡管牛頓法是平方收斂的。究竟二者誰(shuí)的迭代次數(shù)少，要視問(wèn)題而定。另外就整體計(jì)算時(shí)間而言，當(dāng)牛頓法中的計(jì)算量超過(guò)的計(jì)算量的44%時(shí)，雙點(diǎn)弦割法的總計(jì)算時(shí)間較牛頓法的少，見(jiàn)參考文獻(xiàn)7.例4-10能不能用迭代法求解下列方程，如果不能時(shí)，試將方程改寫(xiě)成能用迭代法求解的形式。（1）； （2）。分析判斷方程能否用迭代法求根，最關(guān)鍵的是在根的附近能否滿足。因此可用該條件來(lái)判斷。解答 （1），對(duì)所有的x，有 故能用迭代法求根。（2）方程為。設(shè)，則，故有根區(qū)間為[1,2]，題中，故不能用來(lái)迭代。把原方程改寫(xiě)為，此時(shí)，，，故可用迭代公式 來(lái)求解。例4-11為求方程在附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改寫(xiě)為下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式： （1），迭代公式 （2），迭代公式 （3），迭代公式 試分析每種迭代公式的收斂性，并取一種公式求出具有4位有效數(shù)字的近似根。解答取的鄰域[1.3,1.6]來(lái)考察。（1），故迭代公式（1）收斂。（2），故（2）也收斂。（3），故發(fā)散。由于越小，越快地收斂于，故取第（2）式來(lái)求根。計(jì)算結(jié)果如下：kk01.551.4662430111.4812480361.4658768221.4727057371.4657102431.4688173181.4656344641.4670479791.46559999由于,故可取。例4-15設(shè)，證明迭代公式 是計(jì)算的三階方法。分析本題應(yīng)說(shuō)明的極限為a，并且才行。關(guān)于第二件事也可按定理3.3來(lái)證（下文未給出該種證明）。證明顯然，當(dāng)時(shí)，。令，則 故對(duì)，即迭代收斂，設(shè)的極限為l，則有 解得 ，由題知取。即迭代序列收斂于。 故題中迭代式確是求的三階方法。例4-18試給出簡(jiǎn)化牛頓公式（單調(diào)弦割法） 收斂的一個(gè)充分條件。又設(shè)f(x)在[a,b]內(nèi)有單根x*，證明，其中。分析這里可看作是迭代函數(shù)為的簡(jiǎn)單迭代法。因之，可用簡(jiǎn)單迭代法的充分條件來(lái)出本題方法的收斂性條件。解答令，則（在x*的鄰域內(nèi)）是收斂的一個(gè)充分條件，即 解得 因而，只要對(duì)給定的，存在,使對(duì)任何上式都能成立的話，單調(diào)弦割法就收斂。再由，有 介于與x*之間這樣 所以 例4-20已知方程f(x)=0。（1）導(dǎo)出迭代求根公式 ；（2）證明對(duì)f(x)=0的單根，（1）的公式是具有三階收斂速度；（3）討論在f(x)=0的重根附近，（1）的公式的收斂速度。分析這里要求直接導(dǎo)出迭代公式，故可先求出根x*的近似表達(dá)式，然后令其值為即可，為導(dǎo)出x*的近似表達(dá)式可考慮f(x)的泰勒展開(kāi)式。想法導(dǎo)出所求公式。解答（1）設(shè)x*為f(x)=0的單根，則，不妨設(shè)在x*的鄰域均有界，則 令x=x*，我們有 解出并乘以，得 上式右端第二項(xiàng) 所以 解出，得 即 略去高階無(wú)窮小，得 （2）討論收斂速度 故在單根附近，（1）的公式具有三階收斂速度。（3）僅就二重根的情況證明之，其余類似。利用，作泰勒展開(kāi)，得 于是 代入、、的泰勒展開(kāi)式，并化簡(jiǎn)得 故在重根附近，（1）中公式是線性收斂的。例7-2已知函數(shù)方程，（1）確定有根區(qū)間[a,b]；（2）構(gòu)造不動(dòng)點(diǎn)迭代公式使之對(duì)任意初始近似，迭代方法均收斂；（3）用所構(gòu)造的公式計(jì)算根的近似值，要求。解（1）令，由于，，因此區(qū)間[2,3]是方程f(x)=0的一個(gè)有根區(qū)間，又因，，當(dāng)時(shí)f(x)單減，故f(x)=0在內(nèi)有具僅有一根，即。（2）將等價(jià)變形為，則，由于當(dāng) 時(shí)故不動(dòng)點(diǎn)迭代法，對(duì)均收斂。（3）取，利用進(jìn)行迭代計(jì)算，結(jié)果如表7-2所示k02.512.0820849990.41791500122.1246700040.04258500532.1194723870.005819761742.1200949760.000622589此時(shí)x4已滿足誤差要求，即。例7-3考慮求解方程的迭代公式 （1）試證：對(duì)任意初始近似，該方法收斂；（2）取，求根的近似值；（3）所給方法的收斂階是多少？解（1）由迭代公式知，迭代函數(shù)。由于的值域介于與之間，且 故根據(jù)定理7.1,7.2知在內(nèi)存在惟一的不動(dòng)點(diǎn)x*，且對(duì)，迭代公式得到的序列收斂于x*。（2）取，迭代計(jì)算結(jié)果如表7-3所示。表7-3k0413.5642375870.43576241323.39199516803541248270.03787034143.3483333840.00579144353.3475299030.000803481此時(shí)已滿足差要求，即（3）由于，故根據(jù)定理7.4知方法是線性收斂的，并有有。例7-4對(duì)于迭代函數(shù)，試討論：（1）當(dāng)C為何值時(shí)，產(chǎn)生的序列收斂于；（2）C取何值對(duì)收斂最快？（3）分別取，計(jì)算的不動(dòng)點(diǎn)，要求 解（1），根據(jù)定理7.3當(dāng)，亦即時(shí)迭代收斂。（2）由定理7.4知，當(dāng)，即時(shí)迭代至少是二階收斂的，收斂最快。（3）分別取，并取迭代計(jì)算結(jié)果如表7-4所示。表7-4kk01.201.211.4811.39798989961414120505121.41420930331.414213559131.41421532741.414213562此時(shí)都達(dá)到。事實(shí)上，例7-5給定初值以及迭代公式 常數(shù)證明：（1）該迭代式是二階收斂的；（2）該迭代產(chǎn)生的序列收斂的充要條件是。解（1）顯然，迭代函數(shù)，且，即是的不動(dòng)點(diǎn)。又，所以，由定理7.4知，迭代是二階收斂的，且（2）因，令，則 然而 故 由此可知等價(jià)于，而又等價(jià)于，即。注（1）的結(jié)論也可直接用二階收斂的定義去證明，另外，本題迭代式實(shí)際上是對(duì)使用牛頓迭代法而得。例7-8曲線與在點(diǎn)（1.6,1）附近相切，試用牛頓迭代法求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的近似值，使。解兩曲線的導(dǎo)數(shù)分別為和，兩曲線相切，導(dǎo)數(shù)相等，故有 令，則f(1)<0,f(2)>0，故區(qū)間[1,2]是f(x)=0的有根區(qū)間，又當(dāng)時(shí)，，因此f(x)=0在[1,2]上有惟一實(shí)根x*，對(duì)f(x)應(yīng)用牛頓迭代法，得計(jì)算公式 由于，故取迭代計(jì)算一定收斂，計(jì)算結(jié)果如表7-6所示。表7-6kk02.031.70681528712.29305555641.70002561121.81778359251.7繼續(xù)計(jì)算仍得，故。注本題也可令，解得切點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足方程，用有重根時(shí)的牛頓迭代法（7.15）式計(jì)算，此時(shí)m=2，仍取x0=2，經(jīng)四步可得x*=1.7。9.研究求的牛頓公式 證明對(duì)一切且序列是遞減的。證法一用數(shù)列的辦法。因由知，且又由 故，即單減有下界。根據(jù)單調(diào)有界原理知，{xk}有極限。易證其極限為。證法二設(shè)。易知f(x)=0在[0,+]內(nèi)有惟一實(shí)根。對(duì)f(x)應(yīng)用牛頓迭代法，得 利用例7-9的結(jié)論知，當(dāng)時(shí)，單減有下界，且。當(dāng)時(shí)， 此時(shí)，從x1起，單減有下界，且極限仍為。13.應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求的迭代公式，并用此公式求的值。解，所以牛頓迭代公式有 易知。故取時(shí)，迭代收斂。對(duì)于，取，迭代計(jì)算，得 x1=10.33043478, x2=10.70242553, x3=10.7237414 x4=10.72380529, x5=10.72380529故。

例7用迭代法求方法的最小正根，要求精確到4位有效數(shù)字。解令,則。畫(huà)出及的圖形如圖6.1，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就為所求正根。由圖可知交點(diǎn)的橫坐標(biāo)約在0.3附近。又由 ，可取區(qū)間（0，0.5）討論，并將改寫(xiě)為 。則 ， 。計(jì)算得 因，故取.例11用迭代法的思想，給出求的迭代格式，并證明。解記，，則有 因上述迭代格式之迭代函數(shù)為，則 。故對(duì)于任意的，均有 ，迭代是收斂的。不妨設(shè)，則有 ，即。解之得I=2及I=-1，負(fù)根不合題意舍去，故 ，即 。18.設(shè)有解方程的迭代法 。（1）證明，均有（x*為方程的根）。（2）取x0=4,用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過(guò)10-3。（3）此迭代法的收斂階是多少？證明你的結(jié)論。解（1）因迭代函數(shù) ，而對(duì)一切x,均有 故迭代過(guò)程收斂，即，均有。（2）取x0=4,代入迭代式計(jì)算有 ， ， ， ， 。取即可使誤差不超過(guò).(3)因，故由推論6.1知，此迭代格式只具線性收斂。22.填空題（1）迭代過(guò)程收斂的充分條件是1.（2），要使迭代法局部收斂到，則取值范圍是。（3）用迭代法求方程的根，使迭代序列具有平方收斂，則。（3）用迭代法求方程的根，使迭代序列具有平方收斂，則。（4）迭代法收斂于，此迭代序列是階收斂的。解（1）。（2）因，由，即故的取值范圍是。（3）由于Newton迭代具有平方收斂，故取 。（4），，，，，故的收斂階是2.4.設(shè)a>1 。（1）構(gòu)造計(jì)算I的迭代公式；（2）討論迭代過(guò)程的收斂性；（3）求I的精確值。解（1）計(jì)算I的迭代公式為 （2）上述迭代公式的迭代函數(shù)為 。因 。故由知，。即該迭代對(duì)于均收斂。（3）令，則有 ，即解之得 舍去，取。例2用迭代法求方程在區(qū)間[2，3]上的根，并討論迭代的斂散性。解由于在區(qū)間[2,3]上連續(xù)，且，所以，方程在[2,3]上有根。若把方程改寫(xiě)成下列三種等價(jià)的便于迭代的形式： （1）； （2）； （3）從而可得出對(duì)應(yīng)的三個(gè)迭代格式：（1）；（2）；（3）若取相同的初值，經(jīng)分別迭代計(jì)算得到的結(jié)果列于表4-2中。表4-2k012345迭代（1）22.080842.0923512.0942172.0945012.094543迭代（2）22.1213202.0873482.0965172.0940172.094697迭代（3）21－5－125－1953005－7.449207×1018從表4-2中數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)看，迭代格式（1）和（2）得到的序列可能是收斂的，而迭代格式（3）可能是發(fā)散的。事實(shí)上，由迭代法收斂的充分條件定理4.1可知：（1）對(duì)于迭代格式（1），其迭代函數(shù)為，則在[2,3]上具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且，有，故單調(diào)增加，又，，于是，當(dāng)時(shí)，，滿足定理4.1條件（1）。又，取正值，且單調(diào)遞減，所以有即滿足定理4.1的條件（2），從而迭代格式（1）收斂。（2）對(duì)于迭代格式（2），其迭代函數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，有，故是單調(diào)減少，但，顯然不滿足定理4.1的條件（1），但若在[2,3]的子區(qū)間[2,2.5]中考察，則有，也即滿足定理4.1的條件（1），又，在[2,2.5]上取負(fù)值且單調(diào)遞增，從而有，即滿足定理4.2的條件（2），從而迭代格式（2）在區(qū)間[2,2.5]上收斂。（3）對(duì)于迭代格式（3），其迭代函數(shù)為，在區(qū)間[2,3]上有，從而。在此補(bǔ)充一個(gè)判別迭代法發(fā)散的充分條件：若存在使，而當(dāng)時(shí)，迭代發(fā)散。從而迭代格式（3）當(dāng)時(shí)，迭代發(fā)散。例3對(duì)于給定的正數(shù)c，應(yīng)用牛頓法于方程，并證明：當(dāng)初始值滿足條件：時(shí)迭代法收斂。解由，有，則其牛頓迭代公式為 這是一個(gè)求正數(shù)c的倒數(shù)的一種不用除法運(yùn)算的迭代法。下面證明其收斂性：記第k步的迭代誤差為則，從而有 。這是一個(gè)關(guān)于足標(biāo)k的遞推式，反復(fù)遞推，可得。若,則，即，則有（當(dāng)時(shí)），即，而c為常數(shù)，從而有迭代誤差，也就是當(dāng)?shù)螖?shù)時(shí)，有，即迭代法收斂。例6設(shè)法導(dǎo)出計(jì)算的牛頓法迭代公式，并要求公式中既無(wú)開(kāi)方運(yùn)算，又無(wú)除法運(yùn)算。解由于要求迭代式中既無(wú)開(kāi)方運(yùn)算，又無(wú)除法運(yùn)算，故將計(jì)算等價(jià)化為求的正根，而此時(shí)有 所以計(jì)算的牛頓法迭代公式為

例6-2如何對(duì)方程組 進(jìn)行調(diào)整，使得用Gauss-Seidel方法求解時(shí)收斂？并取初始向量X（（0）=（000）T，用該方法求近似值，使。分析Gauss-Seidel方法的收斂條件有不止一個(gè)，一般總是先考慮比較方便的充分條件。觀察方程組的系數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，有幾個(gè)系數(shù)的絕對(duì)值相對(duì)較大，這使得我們有可能調(diào)整方程組中各方程的次序后就使方程組化為主對(duì)角線嚴(yán)格占優(yōu)，從而Gauss-Seidel方法收斂。至于計(jì)算求解，只需先寫(xiě)出迭代格式，然后再依次迭代計(jì)算。解答將第三個(gè)方程調(diào)到第一行后有 這是主對(duì)角線嚴(yán)格占優(yōu)方程組，故用Gauss-Seidel迭代法求解一定收斂。迭代格式為 由，得 因?yàn)?，故取最后結(jié)果為例6-3設(shè)有迭代格式 其中 ，試證該迭代格式收斂。并取，計(jì)算分析這是簡(jiǎn)單迭代法，迭代矩陣B的-范數(shù)和1-范數(shù)顯然不小于1，于是我們考慮B的譜半徑。證明設(shè)為B的特征值，則，即 故，從而該迭代格式收斂。由，經(jīng)計(jì)算得 注記由于，我們發(fā)現(xiàn)僅三次迭代就收斂到了精確解，這和例6-1有類似之處。事實(shí)上這兩個(gè)例子隱含了一個(gè)普遍性的結(jié)論，請(qǐng)讀者看例6-17例6-5給定方程組 證明Jacobi方法發(fā)散而Gauss-Seidel方法收斂。分析觀察系數(shù)矩陣的特點(diǎn)，它既不嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，也不對(duì)稱正定，因此應(yīng)該寫(xiě)出Gauss-Seidel方法的迭代矩陣B，然后再觀察是否或或求出，看其是否小于1。而要證Jacobi方法發(fā)散，一般情況下只能想法說(shuō)明其迭代矩陣的譜半徑不小于1。證明（1）對(duì)Jacobi方法，迭代矩陣為 設(shè)其特征值為，則 ，故Jacobi方法發(fā)散。（2）對(duì)Gauss-Seidel方法，迭代矩陣為 顯然其特征值為，故Gauss-Seidel方法收斂。注記這里所說(shuō)的Jacobi方法“發(fā)散”，其具體含義應(yīng)該說(shuō)成“不是對(duì)任意初始向量都收斂”，也就是說(shuō)“對(duì)有的初始向量Jacobi方法發(fā)散，但對(duì)有些初始向量它又可能收斂”，決不是說(shuō)“對(duì)任意初始向量它都發(fā)散”，事實(shí)上，本題一定存在初始向量，使得Jacobi方法收斂，參閱例6-16.例6-6討論用Jacobi法和Gauss-Seidel方法解方程組Ax=b時(shí)的收斂性，如果收斂，并比較哪種方法收斂較快，其中 分析如果兩種方法發(fā)散，則一般應(yīng)求迭代矩陣的譜半徑，說(shuō)明它小于1；如果兩種方法收斂，但要比較收斂速度一般也應(yīng)求譜半徑?？傊?，應(yīng)該求迭代矩陣的譜半徑。解答（1）對(duì)Jacobi方法，迭代矩陣 ，方法收斂。（2）對(duì)Guass-Seidel方法，迭代矩陣 故方法收斂。因?yàn)?，故Gauss-Seidel方法較Jacobi方法收斂快。例6-7設(shè)是二階矩陣，且。試證求解方程組的Jacobi方法與Gauss-Seidel方法同時(shí)收斂或發(fā)散。分析只要說(shuō)明Jacobi迭代矩陣與Gauss-Seidel迭代矩陣有相同的譜半徑或者雖然譜半徑不同但同時(shí)小于1或大于等于1即可。證明Jacobi法的迭代矩陣為 其譜半徑為；而Gauss-Seidel法的迭代矩陣為 故其譜半徑為。雖然與同時(shí)小于1、等于或大于1，因而Jacobi法和Gauss-Seidel法具有相同的斂性。例6-8設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為 試求能使Jacobi方法收斂的a的取值范圍。分析本題實(shí)際上也就是說(shuō)a在什么范圍以外不收斂，只要涉及到發(fā)散，一般總要按收斂的充要條件去討論，因此首先求迭代矩陣的譜半徑。解答當(dāng)時(shí)，Jacobi方法的迭代矩陣為 由得，故由得，即時(shí)，Jacobi方法收斂。例6-13設(shè)求解方程組的Jacobi迭代格式為 求證：若，則相應(yīng)的Gauss-Seidel方法收斂。分析本題應(yīng)把B的元素通過(guò)A的元素表示出來(lái)，再由推出A所具有的特點(diǎn)，進(jìn)而討論Gauss-Seidel方法的收斂收。證明由于B是Jacobi方法的迭代矩陣，故 又，故，即，這說(shuō)明系數(shù)矩陣A是按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，所以由定理6.5知Gauss-Seidel方法收斂。

例3考察Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代求解方程組 的收斂性。解對(duì)于此方程組，Jacobi迭代法的迭代矩陣為 ；BJ的特征多項(xiàng)式為 ；其特征值為。故有。因而Jacobi迭代法不收斂。對(duì)于此方程組，G-S迭代法的迭代矩陣為，可見(jiàn)，的特征值為。故有，所以G-S迭代法必收斂。13.設(shè)有方程組 若用Jacobi迭代法，G-S迭代法及的SOR法求解，試求它們的漸近收斂速度；若要使誤差，其中，問(wèn)這3種迭代法各應(yīng)做多少次迭代？解由于Jacobi迭代的迭代矩陣B的譜半徑，故收斂速度為 。G-S迭代法的譜半徑，漸近收斂速度 。時(shí)SOR法的迭代矩陣為 。用Newton法可求得解，于是有，漸近收斂速度 為使，其中，迭代次數(shù)k分別為：Jacobi迭代法的，取。G-S迭代法的，取。的SOR迭代法，取。27.填空題（1）已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法_____________收斂（填“是”或“不”），它的漸近收斂速度_________。（2）用G-S迭代法解方程組，其中a為實(shí)數(shù)，方法收斂的充要條件是a滿足______。（3）給定方程組，a為實(shí)數(shù)，當(dāng)a滿足______，且時(shí)，SOR迭代法收斂。解（1）因的Jacobi迭代矩陣，，故Jacobi迭代是收斂的，且。（2）a滿足，因此時(shí)（3）a滿足，因此時(shí)A對(duì)稱正定。6.給定方程組 （1）確定a的取值范圍，使方程組對(duì)應(yīng)的jacobi迭代收斂；（2）當(dāng)a=2時(shí)，用三角分解法（不選主元）求方程組的解X*解（1）將所給方程組 改寫(xiě)成 得Jacobi迭代陣 。 。解之得 。其譜半徑。由，即， ，即。（2）當(dāng)a=2時(shí)，所給方程組的系數(shù)矩陣為 。設(shè)。由算式 得 。所以有 即原方程變形為 。解 ，得 再解 得 。故即為所求。6.用Jacobi、Gauss-Seidel迭代法求解下列方程組 問(wèn)是否收斂？為什么？若將原方程組變?yōu)? 再用上述兩種迭代法求解是否收斂？為什么？解對(duì)方程組 。其Jacobi迭代法的迭代陣是： 。由 ，知故Jacobi迭代過(guò)程發(fā)散。Gauss-Seidel迭代法的迭代陣是： 。由 ，知。故Gauss-Seidel迭代過(guò)程發(fā)散。若將方程組變?yōu)椋? 。因其系數(shù)矩陣是強(qiáng)對(duì)角占優(yōu)的，故再用上述兩種迭代均收斂。例6-10建立解線性方程組 的收斂的迭代格式。解由第一個(gè)方程的二倍加上第二個(gè)方程得 由第一個(gè)方程加上第二個(gè)方程再加第三個(gè)方程的10倍，得 由此得到與原方程組同解的新方程組： 顯然，新方程組的系數(shù)矩陣按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故可建立雅可比迭代格式與高斯-塞德?tīng)柕袷剑鴥煞N格式均收斂。其雅可比迭代格式為 其高斯-塞德?tīng)柕袷綖? 例6-11設(shè)，求解方程組，求雅可比迭代法與高斯-塞德?tīng)柕ㄊ諗砍湟獥l件。解雅可比法的迭代矩陣 故雅可比法收斂的充要條件是。高斯-塞德?tīng)柗ǖ牡仃? 故高斯-塞德?tīng)柗ㄊ諗康某湟獥l件是。例6-12給出方程組（1）研究用SOR方法求解的收斂性；（2）用高斯-塞德?tīng)柗暗腟OR法求解，取，迭代到；解（1）故A對(duì)稱正定，當(dāng)時(shí)，SOR方法收斂（2）SOR法迭代格式為 當(dāng)時(shí)，高斯-塞德?tīng)柗ǜ袷綖? 用高斯-塞德?tīng)柕?，取初值，迭代?2步，得 用SOR法，，取初值，迭代到15步，得 例6-18給定線性方程組，用迭代公式 求解，其中為實(shí)數(shù)。問(wèn)的取值在什么范圍內(nèi)可使迭代收斂？取何值時(shí)可使迭代收斂最快？解所給迭代公式的迭代矩陣為 其特征方程為 即 當(dāng)且僅當(dāng)，故取時(shí)，迭代收斂，當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值，故當(dāng)時(shí)迭代收斂最快。1.填空題（1），要使，a應(yīng)滿足___________；（2）已知方程組，其雅可比法的迭代矩陣是______________，高斯-塞德?tīng)柗ǖ牡袷绞莀_______________；（3）（2）中的雅可比迭代格式是否收斂___________，其漸近收斂速度=___________；（4）用高斯-塞德?tīng)柗ń夥匠探M，其中a為實(shí)數(shù)，方法收斂的充要條件是應(yīng)使a滿足______________；（5）給定方程組，a為實(shí)數(shù)，當(dāng)a滿足______________且時(shí)，SOR迭代法收斂。（答案：（1）；（2）；（3）是，1.4067054；（4）；（5）。）2.設(shè)方程組（a） （b）試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯-塞德?tīng)柕ǖ氖諗啃浴＝猓╝）雅可比法的迭代矩陣 ，雅可比迭代法不收斂。高斯-塞德?tīng)柗ǖ仃? 故高斯-塞德?tīng)柕ㄊ諗?。（b）雅可比法的迭代矩陣 故雅可比迭代法收斂。高斯-塞德?tīng)柗ǖ牡仃? 故高斯-塞德?tīng)柕ú皇諗俊?.證明矩陣 對(duì)于是正定的，而雅可比迭代只對(duì)是收斂的。證明當(dāng)時(shí)，由 故A是正定的。又雅可比法迭代矩陣 故，故當(dāng)時(shí)，雅可比迭代法收斂。例5-10求矩陣Q的||Q||1，||Q||2，||Q||與Cond2(Q)，其中 分析這實(shí)際上是基本概念題，只要熟悉有關(guān)范數(shù)與條件數(shù)的定義即可。解答（1）由定義，顯然||Q||1=4（2）因QTQ=4I，故（3）由定義顯知（4）因QTQ=4I，故，從而 所以 例5-12設(shè)有方程組AX=b，其中 已知它有解.如果右端有小擾動(dòng)，試估計(jì)由此引起的解的相對(duì)誤差。分析本題是討論方程組的右端項(xiàng)的小誤差所引起的解的相對(duì)誤差的估計(jì)問(wèn)題，這與系數(shù)矩陣的條件數(shù)有關(guān)，只要求出Cond(A)，再由有關(guān)誤差估計(jì)式即可算得結(jié)果。解答容易求得 ，從而Cond(A)=22.5由公式有 例5-13試證明矩陣A的譜半徑與范數(shù)有如下關(guān)系 其中||A||為A的任何一種算子范數(shù)。分析由于譜半徑是特征值的絕對(duì)值的最大者，故由特征值的定義出發(fā)論證是自然的。證明由特征值定義，對(duì)任一特征值有 AX=X（X0，特征向量）取范數(shù)有 ||AX||=||||X||由于范數(shù)||A||是一種算子范數(shù)，故有相容關(guān)系 ||AX||||A||||X||從而 ||||X||||A||||X||由于X0，故||||A||，從而 (A)||A||例5-18設(shè)A,B為n階矩陣，試證 Cond(AB)Cond(A)Cond(B)分析由條件數(shù)定義和矩陣范數(shù)的性質(zhì)即可證明。證明 例5-19設(shè)A,B為n階非奇異矩陣，||||表示矩陣的任何一種算子范數(shù)，試證（1）（2）分析由矩陣范數(shù)的基本性質(zhì)即可推證。證明（1），因?yàn)閨|||是算子范數(shù)，故 又 故 即 （2），從而 即 例5-20設(shè)A為n階非奇異矩陣，且有三角分解A=LU，其中L為單位下三角陣，U為上三角陣。求證A的所有順序主子式均不為零。分析因?yàn)橐CA的所有順序主子式均不為零，故把A=LU按分塊的形式寫(xiě)出比較好，再由A的非奇異性即可推證。證明設(shè) 將A=LU按分塊形式寫(xiě)出則有 從而由矩陣的分塊乘法有 Ak=LkUk,(k=1,2,…,n)因?yàn)?A=An=LnUn非奇異，故 從而 Ak非奇異，A的所有順序主子式不為零。例5-22非奇異矩陣不一定都有LU分解。分析這只需要舉一個(gè)例子就行了。一般舉例子盡量要簡(jiǎn)單些，而一個(gè)恰當(dāng)?shù)睦油枰?jīng)過(guò)幾次反復(fù)的“失敗—修正”后才研究下來(lái)。解答考慮矩陣 顯然A非奇異，若A有LU分解，則有 于是ae=bd=1，而ad=0，顯然矛盾。故該非奇異矩陣不存在LU分解，所以說(shuō)并非非奇異矩陣都有LU分解。

例5-4設(shè)是對(duì)稱正定矩陣，經(jīng)過(guò)高斯消去法一步后A約化為 其中，證明（1）A的對(duì)角元素aii>0,i=1,2,…,n；（2）A2也對(duì)稱正定；（3）；（4）。證明（1）因A對(duì)稱正定，故 aii=(Aei,ei)>0,i=1,2,…,n其中為第i個(gè)單位向量。（2）由A的對(duì)稱性及消元公式得 故A2也對(duì)稱。又 其中 顯然L1非奇異，從而對(duì)任意的x0，有 （由A的正定性）故正定。又，而，故A2正定。（3）因A正定，故a11>0，故由消元公式有 （4）先設(shè)，取 則，與A2正定矛盾，故 由（1），（3）有 例5-14設(shè)A是任一n階對(duì)稱正定矩陣，證明是一種向量范數(shù)。證明（1）因A正定對(duì)稱，故當(dāng)x=0時(shí)，||x||A=0，而當(dāng)x0時(shí)，。（2）對(duì)任何實(shí)數(shù)c，有 （3）因A正定，故有分解A=LLT，則 故對(duì)任意向量x和y，總有 綜上可知，是一種向量范數(shù)。例5-15設(shè)，證明是一種矩陣范數(shù)。證明（1），且。（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)c，有 （3）（4） 故||A||是一種矩陣范數(shù)。例5-19計(jì)算Cond(A)及Cond( DA);其中此結(jié)果說(shuō)明了什么？解故計(jì)算結(jié)果說(shuō)明了用對(duì)角陣左乘A可以改善其條件數(shù)。例5-20設(shè)，已知Ax=b的精確解為x=(3,-1)T.（1）計(jì)算條件數(shù)Cond(A);（2）若近似解，計(jì)算剩余向量；（3）利用事后誤差估計(jì)式計(jì)算不等式右端，并與不等式左邊比較。此結(jié)果說(shuō)明了什么？解（1） （2）（3）由事后誤差估計(jì)式，右端為 而左端 這表明當(dāng)A為病態(tài)矩陣時(shí)，盡管剩余||r||很小，誤差估計(jì)仍然較大。因此，當(dāng)A病態(tài)時(shí)，用||r||大小作為檢驗(yàn)解的準(zhǔn)確度是不可靠的。例5-21設(shè)對(duì)稱正定陣，試計(jì)算||A-1||2，||A||2和Cond(A)2,且找出b（常數(shù)）及擾動(dòng)b，使 解，故，從而 假設(shè) x+x=y,A(x+x)=b+b取b=(1,-1)T，b=(1,1)T，則解Ax=b，即 得又解 得。故 而 故 例5-22求下面兩方程組的解，并利用矩陣的條件數(shù)估計(jì) 即Ax=b 即記，，則Ax=b的解，而的解，故，從而，而 ，由誤差估計(jì)得 表明估計(jì)是符合實(shí)際的。1.