江西省鷹潭市古港中學高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析

江西省鷹潭市古港中學高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若其中，是虛數(shù)單位，則（

）A．3

B．5

C．-3

D．-5參考答案：B2.已知，為平面向量，若與的夾角為，與的夾角為，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D3.已知k≥﹣1，實數(shù)x，y滿足約束條件，且的最小值為k，則k的值為（）A． B． C． D．參考答案：C【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用直線斜率公式，結合數(shù)形結合進行求解即可．【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到定點D（0，﹣1）的斜率，由圖象知AD的斜率最小，由得，得A（4﹣k，k），則AD的斜率k=，整理得k2﹣3k+1=0，得k=或（舍），故選：C【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，結合直線的斜率公式，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．4.如果等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于

（

）

A、14

B、21

C、28

D、35參考答案：C5.若函數(shù)f（x）=lnx與函數(shù)g（x）=x2+2x+a（x＜0）有公切線，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．（ln，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣ln2，+∞）參考答案：A【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】分別求出導數(shù)，設出各自曲線上的切點，得到切線的斜率，再由兩點的斜率公式，結合切點滿足曲線方程，可得切點坐標的關系式，整理得到關于一個坐標變量的方程，借助于函數(shù)的極值和最值，即可得到a的范圍．【解答】解：f′（x）=，g′（x）=2x+2，設與g（x）=x2+2x+a相切的切點為（s，t）s＜0，與曲線f（x）=lnx相切的切點為（m，n）m＞0，則有公共切線斜率為2s+2==，又t=s2+2s+a，n=lnm，即有a=s2﹣1+ln（2s+2），設f（s）=s2﹣1﹣ln（2s+2）（﹣1＜s＜0），所以f'（s）=＜0∴f（s）＞f（0）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，∵s∈（﹣1，0），且趨近與1時，f（s）無限增大，∴a＞﹣ln2﹣1故選A．6.一個四面體的頂點在空間直角坐標系O-xyz中的坐標分別是(0,0,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，則此四面體在xOy坐標平面上的正投影圖形的面積為（

）A. B. C. D.1參考答案：B【分析】求出、在坐標平面上的投影點的坐標后可求四面體的正投影的面積.【詳解】、在坐標平面上的投影點的坐標分別為，故四面體的正投影為構成的三角形，因為，故，所以為等腰直角三角形，故，故選：B.【點睛】本題考查空間直角坐標系中的幾何圖形的面積，注意根據(jù)利用解直角三角形（有時是解三角形）的方法來求解，本題屬于容易題.7.橢圓的一個交點為，若橢圓上存在一個點，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于該線段的中點，則土元的離心率為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D8.代數(shù)式的值為

（

）A．B．

C．1

D．參考答案：B略9.如圖，等腰梯形中，且，設，，以、為焦點，且過點的雙曲線的離心率為；以、為焦點，且過點的橢圓的離心率為，則

A.當增大時，增大，為定值

B.當增大時，減小，為定值

C.當增大時，增大，增大

D.當增大時，減小，減小參考答案：B由題可知：雙曲線離心率與橢圓離心率

設則，，，

，，

時，當增大，減小，導致減小.

.故選B.10.已知為實數(shù),則“”是“且”的

（▲）（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件

（C）充要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.個正整數(shù)排列如下：

1，2，3，4，……，n

2，3，4，5，……，n+l

3，4，5，6，……，

n+2

……

n，n+l，n+2，n+3，……，2n一1

則這個正整數(shù)的和S=

．參考答案：12.（坐標系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標，曲線c的極坐標方程為，則直線l和曲線C的公共點有

個.參考答案：113.設x,y滿足約束條件,若目標函數(shù)（a、b均大于0）的最大值為8,則的最小值為.參考答案：4略14.設x，y滿足約束條件，則的最小值為_______.參考答案：－6【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案．【詳解】由約束條件作出可行域如圖，化目標函數(shù)為，由圖可知，當直線過時，有最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．15.曲線y=x2和直線x=0，x=1，y=所圍成的圖形的面積為．參考答案：【考點】定積分在求面積中的應用；定積分．【分析】求出曲線y=x2和直線：x=1的交點為（1，1），和直線y=的一個交點為（，），由此用定積分計算公式加以運算即可得到本題答案．【解答】解：∵曲線y=x2和直線：x=1的交點為（1，1），和直線y=的一個交點為（，）∴曲線y=x2和直線x=0，x=1，y=所圍成的圖形的面積為S=（）dx+dx=（x﹣x3）+（x3﹣x）=．故答案為：．16.

參考答案：答案：—1

17.表示不超過的最大整數(shù).那么

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)，且a＞0．（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值；（Ⅲ）已知a＞1，b＞0，證明：．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求導，由題意可知≥0在（1，+∞）上恒成立，則即可求得a的取值范圍；（Ⅱ）由，則g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，求得g（x）最大值；（Ⅲ）由（Ⅰ）知在（1，+∞）上是增函數(shù)，則，化簡得，由（Ⅱ）可知，即．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的導數(shù)為，因為函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，所以≥0在（1，+∞）上恒成立，即在（1，+∞）上恒成立，所以只需，又因為a＞0，所以a≥1．（Ⅱ）因為x∈[0，+∞），所以，所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，所以g（x）=ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值為g（0）=0．（Ⅲ）證明：因為a＞1，b＞0，所以，由（Ⅰ）知在（1，+∞）上是增函數(shù)，所以，即，化簡得，又因為，由第（Ⅱ）問可知，即，綜上得證．19.（12分）已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，其中a∈R（1）設函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）先求函數(shù)h（x）的定義域，求出函數(shù)h（x）的導數(shù)，從而討論判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）分類討論函數(shù)的單調(diào)性，從而化存在性問題為最值問題，從而解得．【解答】解：（1）函數(shù)h（x）=x﹣alnx+的定義域為（0，+∞），h′（x）=1﹣﹣=，①當1+a≤0，即a≤﹣1時，h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；②當1+a＞0，即a＞﹣1時，x∈（0，1+a）時，h′（x）＜0；x∈（1+a，+∞）時，h′（x）＞0；故h（x）在（0，1+a）上是減函數(shù)，在（1+a，+∞）上是增函數(shù)；（2）由（1）令h（x0）=f（x0）﹣g（x0），x0∈[1，e]，①當a≤﹣1時，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化為h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；②當﹣1＜a≤0時，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化為h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；③當0＜a≤e﹣1時，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化為h（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，無解；④當e﹣1＜a時，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化為h（e）=e﹣a+＜0，解得，a＞；綜上所述，a的取值范圍為（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【點評】本題考查了導數(shù)的綜合應用及存在性問題的應用，同時考查了分類討論的思想應用，屬于難題．20.（12分）（2015秋?哈爾濱校級月考）己知函數(shù)h（x）=lnx﹣x﹣有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2．（1）寫出函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間（用x1，x2表示，不需要說明理由）（2）如果函數(shù)F（x）=h（x）+x在（1，b）上為增函數(shù)．求b的取值范圍（3）當h（x1）+ln3+＜﹣+x2時．求h（x2）﹣x1的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導數(shù)的綜合應用．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)h（x）=lnx﹣x﹣有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，寫出函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）如果函數(shù)F（x）=h（x）+x在（1，b）上為增函數(shù)．b＜1+，確定2m＞﹣，即可求b的取值范圍；（3）當h（x1）+ln3+＜﹣+x2時．+ln（1﹣x2）+x2+ln3﹣＜0，＜x2＜1，設f（x2）=+ln（1﹣x2）+x2+ln3﹣，證明f（x2）在（，1）上單調(diào)遞減，＜x2＜1，利用h（x2）﹣x1=lnx2﹣x2，設φ（x2）=lnx2﹣x2，＜x2＜1，證明φ（x2）在（，1）上單調(diào)遞減，即可求h（x2）﹣x1的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間是（x1，x2），單調(diào)減區(qū)間是（0，x1），（x2，+∞）；（2）函數(shù)F（x）=h（x）+x=lnx﹣x﹣，∴F′（x）=∵在（1，b）上為增函數(shù)，∴b＜1+，∵函數(shù)h（x）=lnx﹣x﹣有兩個極值點x1，x2，h′（x）=，∴△=1+4m＞0，∴2m＞﹣，∴＞，∴b≤1+，∴1＜b≤1+；（3）h′（x）==0的兩個根分別為x1，x2，∴x1，x2是x2﹣x﹣m=0的兩個正實數(shù)根，∴x1+x2=1，x1x2=﹣m當h（x1）+ln3+＜﹣+x2時，lnx1﹣x1﹣+ln3+＜﹣+x2，∴+ln（1﹣x2）+x2+ln3﹣＜0．顯然＜x2＜1設f（x2）=+ln（1﹣x2）+x2+ln3﹣，∴f′（x2）=＜0，∴f（x2）在（，1）上單調(diào)遞減，∵f（）=0，∴f（x2）＜0=f（），∴＜x2＜1∴h（x2）﹣x1=lnx2﹣x2，設φ（x2）=lnx2﹣x2，＜x2＜1∵φ′（x2）=﹣1＞0，∴φ（x2）在（，1）上單調(diào)遞減∴φ（x2）∈（ln﹣，﹣1）∴h（x2）﹣x1的取值范圍是（ln﹣，﹣1）．【點評】本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，極值，考查學生分析解決問題的能力，難度大．21.（本小題滿分13分）已知點是橢圓的左頂點，直線與橢圓相交于兩點，與軸相交于點.且當時，△的面積為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設直線，與直線分別交于，兩點，試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過點？并請說明理