高中數(shù)學(xué)解題思路及全部內(nèi)容1

目錄

前言..............................................2

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法.....................3

一、配方法..................................3

二、換元法..................................7

三、待定系數(shù)法.............................14

四、定義法.................................19

五、數(shù)學(xué)歸納法............................23

六、參數(shù)法.................................28

七、反證法.................................32

八、消去法...............................

九、分析與綜合法.........................

十、特殊與一般法.........................

十一、類比與歸納法....................

十二、觀察與實驗法....................

第二章高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想.................35

一、數(shù)形結(jié)合思想..........................35

二、分類討論思想..........................41

三、函數(shù)與方程思想........................47

四、轉(zhuǎn)化（化歸）思想......................54

第三章高考熱點問題和解題策略................59

一、應(yīng)用問題..............................59

二、探索性問題............................65

三、選擇題解答策略........................71

四、填空題解答策略........................77

附錄...........................................

一、高考數(shù)學(xué)試卷分析.....................

二、兩套高考模擬試卷.....................

三、參考答案.............................

..a..

刖a

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時遇到一個

新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理

解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數(shù)學(xué)思想方法的考

2

查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識

地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦

和眼光。

高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查：

①常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等：

②數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

③數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演

繹等；

④常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。

數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以

用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學(xué)思想

方法則是一種數(shù)學(xué)意識，只能夠領(lǐng)會和運用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處

理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識忘記了，

數(shù)學(xué)思想方法也還是對你起作用。

數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性

的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在

學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識的同時獲得。

可以說，“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提

高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和運用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。

為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)基

本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜

合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實驗法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)

與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)策

略和高考中的幾個熱點問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。

在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對方法或者問題進(jìn)行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)

性題組是一組簡單的選擇填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行詳細(xì)的解答和分析，對方

法和問題進(jìn)行示范。鞏固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個題組中習(xí)題的

選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、兒何兒個部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識。

編者：東升高中高建彪

fggjb@163.net

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法

一、配方法

配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和

3

未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運用“裂項”與“添

項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。

最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：己知或者未知中

含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線

的平移變換等問題。

配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a+b)=a+2ab+b，將這個公式靈活

運用，可得到各種基本配方形式，如：

a+b=(a+b)—2ab=(a—b)+2ab：

a+ab+b=(a+b)—ab=(a—b)+3ab=(a+)+(b)；

a+b+c+ab+bc+ca=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]

a+b+c=(a+b+c)-2(ab+bc+ca)=(a+b—c)—2(ab—be-ca)=---

結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：

1+sin2a=]+2sinacosa=(sina+cosa)；

x+—(x+)-2=(x—)+2；...等等。

I、再現(xiàn)性題組：

1.在正項等比數(shù)列｛a｝中，aa+2aa+aa=25,PHIa+a=。

2.方程x+y-4kx-2y+5k=0表示圓的充要條件是。

A.<k<lB.k<或k>lC.kGR口4=或14=1

3.已知sina+cosa=1,則sina+cosa的值為?

A.1B.-1C.1或一1D.0

4.函數(shù)y=log(—2x+5x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是。

A.(-8,]B.[,+8)C.(-,]D.[,3)

5.已知方程x+(a-2)x+a-l=0的兩根x、x,則點P(x,x)在圓x+y=4上，則實數(shù)a=?

【簡解】1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)aa=a,將已知等式左邊后配方(a+a)易求。

答案是：5。

2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x—a)+(y-b)=r,解r>0即可，選B。

3小題：已知等式經(jīng)配方成(sina+cosa)—2sinacosa=1,求出sinacosa,然后求

出所求式的平方值，再開方求解。選C。

4小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。

5小題：答案3一。

II、示范性題組：

例1.已知長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24,則這個長方體的一條對角線長

為O

A.2B.C.5D.6

【分析】先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z,則，而欲求對角線長，將其

配湊成兩已知式的組合形式可得。

【解】設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z,由已知“長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和

為24”而得：。

長方體所求對角線長為：===5

4

所以選B。

【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個已知和一個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個

數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這

也是我們使用配方法的一種解題模式。

例2.設(shè)方程x+kx+2=0的兩實根為p、q,若()+()W7成立，求實數(shù)k的取值范圍。

【解】方程x+kx+2=0的兩實根為p、q.由韋達(dá)定理得：p+q=-k,pq=2,

()+()====W7,解得kW一或k)。

又：p、q為方程x+kx+2=0的兩實根，A=k一8三0即kN2或kW—2

綜合起來，k的取值范圍是：-Wk<一或者<kWo

【注】關(guān)于實系數(shù)?元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“△”：已知方程有兩根時，

可以恰當(dāng)運用韋達(dá)定理。木題由韋達(dá)定理得到p+q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征

聯(lián)想到先通分后配方，表示成p+q與pq的組合式。假如本題不對“△”討論，結(jié)果將出錯，

即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點我

們要尤為注意和重視。

例3.設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a+ab+b=0,求()+()。

【分析】對已知式可以聯(lián)想：變形為()+()+1=0,貝=3(3為1的立方虛根)；或

配方為(a+b)=ab。則代入所求式即得。

【解】由a+ab+b=0變形得：()+()+1=0,

設(shè)3=,則3+3+1=0,可知3為1的立方虛根，所以：=,3==1。

又由a+ab+b=0變形得：(a+b)=ab,

所以()+()=()+()=()+()=3+=2o

【注】本題通過配方，簡化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用3的性質(zhì)，計算表達(dá)

式中的高次器。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。

【另解】由a+ab+b=0變形得：()+()+1=0，解出=后，化成三角形式，代入所

求表達(dá)式的變形式()+()后，完成后面的運算。此方法用于只是未聯(lián)想到3時進(jìn)行解題。

假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由a+ab+b=0解出：a=b,直接代入所

求表達(dá)式，進(jìn)行分式化簡后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計算。

III、鞏固性題組：

1.函數(shù)y=(x—a)+(x—b)(a、b為常數(shù))的最小值為。

A.8B.C.D.最小值不存在

2.a、B是方程x—2ax+a+6=0的兩實根，則(a-1)+(P-1)的最小值是。

A.-B.8C.18D.不存在

3.已知x、yGR,且滿足x+3y—1=0,則函數(shù)t=2+8有。

A.最大值2B.最大值C.最小值2B.最小值

4.橢圓x—2ax+3y+a—6=0的一個焦點在直線x+y+4=0上，貝!Ja=?

A.2B.-6C.-2或一6D.2或6

5.化簡：2+的結(jié)果是。

A.2sin4B.2sin4—4cos4C.—2sin4D.4cos4—2sin4

6.設(shè)F和F為雙曲線一y=1的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足NFPF=90°,則4F

5

PF的面積是。

7.若x>—1,則f(x)=x+2x+的最小值為o

8.已知〈加，cos(a-B)=,sin(a+B)=—,求sin2a的值。(92年高考題)

9.設(shè)二次函數(shù)f(x)=Ax+Bx+C,給定m、n(m<n)，且滿足A[(m+n)+mn]+2A[B(m+n)

—Cmn]+B+C=0。

①解不等式f(x)>0：

②是否存在一個實數(shù)t,使當(dāng)tG(m+t,n-t)時，f(x)<0?若不存在，說出理由；若存在，指出

t的取值范圍。

10.設(shè)s>l,t>],mGR,x=logt+logs,y=logt+logs+m(logt+logs),

①將y表示為x的函數(shù)y=f(x),并求出f(x)的定義域：

②若關(guān)于x的方程f(x)=0有且僅有一個實根，求m的取值范圍

二、換元法

解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫

換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究

對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單

化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱

含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計算和推

證簡化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、

不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者

未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變

形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4+2-220,先變形為設(shè)2=t(t>0),而變?yōu)槭煜さ囊辉?/p>

二次不等式求解和指數(shù)方程的問題。

三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識

中有某點聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)丫=+的值域時，易發(fā)現(xiàn)xe[0,l],設(shè)*=而a,ae

[0,],問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域

的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件x+y=r(r>0)時，則可作三角代換

x=rcos9、y=rsin0化為三角問題。

均值換元，如遇到*+丫=$形式時，設(shè)*=+t,y=-t等等。

我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的

選取，一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大.如上幾例中的

t>0和aG[0,]?

I、再現(xiàn)性題組：

l.y=sinx?cosx+sinx+cosx的最大值是。

2.設(shè)f(x+l)=log(4-x)(a>l),則f(x)的值域是?

3.已知數(shù)列｛a｝中，a=-1,a,a—a—a,則數(shù)列通項a=。

4.設(shè)實數(shù)x、y滿足x+2xy-1=0,則x+y的取值范圍是。

6

5.方程=3的解是。

6.不等式log(2-1)?log(2-2)〈2的解集是o

【簡解】1小題：設(shè)sinx+cosx=te[—,]，則y=+t—，對稱軸t=-1,當(dāng)1=,y=+；

2小題：設(shè)x+l=t(t^l),則f(t)=log[?(t?l)+4],所以值域為(-8,log4]；

3小題：已知變形為—=—1,設(shè)b=，則b=—l,b=—l+(n—1)(-1)=-n,所以a=

—??

4小題：設(shè)x+y=k,則x—2kx+1=0,A=4k—420,所以k21或kW—1；

5小題：設(shè)3=y，則3y+2y—1=0,解得y=,所以x=-1；

6小題：設(shè)log(2—l)=y,則y(y+l)<2,解得一2<y<l,所以xC(logJog3)。

n、示范性題組：

例1.實數(shù)x、y滿足4x—5xy+4y=5(①式)，設(shè)S=x+y,求+的值。(93

年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

【分析】由S=x+y聯(lián)想到cosa+sina=1,于是進(jìn)行三角換元，設(shè)代入①式求S和S

的值。

【解】設(shè)代入①式得：4S—5S?sinacosa=5

解得S=；

；-lWsin2aW13W8-5sin2aW13WW

+=+==

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2a=的有界性而求，即解不等式：||W1。

這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的“有界法”。

【另解】由S=x+y,設(shè)x=+t,y=-t,te[—,],

則xy=±代入①式得：4S±5=5,

移項平方整理得100t+39S-160S+100=0。

39S-160S+100^0解得：WSW

二+=+==

【注】此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S=x+y與三角公式cos

a+sina=1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題。第二

種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式S=x+y而按照均值換元的思路，設(shè)*=+t、

y=-t,減少了元的個數(shù)，問題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、

不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。

和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變量x、y時，可以設(shè)x=a

+b,y=a—b,這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡化代數(shù)式。本題設(shè)x=a+b,y=a

-b,代入①式整理得3a+13b=5,求得aG[0,],所以S=(a-b)+(a+b)=2(a+b)

=+ae[,],再求+的值。

例2.AABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B,+=一,求cos的值。(96年

全國理)

【分析】由已知"A+C=2B”和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得：由"A+C

=120°”進(jìn)行均值換元，則設(shè)，再代入可求cosa即cos。

7

【解】由AABC中已知A+C=2B,可得，

由A+C=120°,設(shè),代入已知等式得：

+=+=+===—2,

解得：cosa=,即：cos=o

【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以+=一

=-2,設(shè)=—+m,=——m,

所以cosA=,cosC=,兩式分別相加、相減得：

cosA+cosC=2coscos=cos=,

cosA—cosC=_2sinsin=_sin=,

即：sin=—,=—,代入sin+cos=1整理得：3m—16m—12=0,解出m=6,代入

cos==o

【注】本題兩種解法由“A+C=120°”、“+=-2”分別進(jìn)行均值換元，隨后結(jié)合三

角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運算，除由已知想到均值換元外，還要求對三角公式的運用相

當(dāng)熟練。假如未想到進(jìn)行均值換元，也可由三角運算直接解出：由A+C=2B,得A+C=120

°,B=60°c所以+=—=—2,HPcosA+cosC=-2cosAcosC,和枳互化得：

2coscos=—[cos(A+C)+cos(A-C),即cos=-cos(A-C)=—(2cos—1),整理得：4cos

+2cos-3=0,

解得：cos=

y

，，

-X

例3.設(shè)a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx?cosx—2a的最大值和最小值。

【解】設(shè)sinx+cosx=t,貝由(sinx+cosx)=1+2sinx*cosx得：sinx,cosx=

f(x)=g(t)=—(t—2a)+(a>0)，tG[-,]

t=-時，取最小值：~2a—2a—

當(dāng)2aN時，t=,取最大值：-2a+2a—；

當(dāng)0<2aW時，t=2a,取最大值：。

f(x)的最小值為一2a—2a—,最大值為。

【注】此題屬于局部換元法，設(shè)sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx與sinx,cosx的內(nèi)在聯(lián)

系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換元過

程中?定要注意新的參數(shù)的范圍(t￡[-,])與sinx+cosx對應(yīng)，否則將會出錯。本題解法中

還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)

分兩種情況進(jìn)行討論。

一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最

小值的題型時.，即函數(shù)為f(sinx±cosx,sinxcsox),經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉

區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。

例4.設(shè)對所于有實數(shù)x,不等式xlog+2xlog+Iog>0恒成立，求a的取值范圍。(87

年全國理)

【分析】不等式中l(wèi)og、log、log三項有何聯(lián)系？進(jìn)行對數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn),

8

再實施換元法。

【解】設(shè)log=3則log=log=3+log—3—log=3—t,log=21og=-2t,

代入后原不等式簡化為（3—t）x+2tx-2t>0,它對-切實數(shù)x恒成立，所以：

,解得t<0即log<0

0<<1,解得

【注】應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會想到換元及如何設(shè)元,

關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og、log、log三項之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問題

時，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對數(shù)運算十分熟練。一般地，解指數(shù)與對數(shù)的

不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時也可能要對所給的已知條件進(jìn)行適當(dāng)變形，

發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一點。

例5.已知=，且+=（②式），求的值。

【解】設(shè)==k,則sin。=kx,cos。=ky,且sin。+cos?=k（x+y）=1,代入②式得：

+==即：+=

設(shè)=t,貝ijt+=,解得：t=3或=±或±

【另解】由==tgO,將等式②兩邊同時除以,再表示成含tgO的式子：1+tg0==

tg設(shè)tg。=t,貝ij3t—10t+3=0,

；.t=3或,解得=±或±。

【注】第一種解法由=而進(jìn)行等量代換，進(jìn)行換元，減少了變量的個數(shù)。第二種解法將已

知變形為=,不難發(fā)現(xiàn)進(jìn)行結(jié)果為tg0,再進(jìn)行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較

熟練。在解高次方程時，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。

例6.實數(shù)x、y滿足+=1,若x+y-k>0恒成立，求k的范圍。

【分析】由已知條件+=1,可以發(fā)現(xiàn)它與a+b=1有相似之處，于是實施三角換元。

【解】由+=1,設(shè)=coso,=sin9,

即：代入不等式x+y—k>0得：

3cos0+4sin0—k>0,即k<3cos9+4sin6=5sin（。+W）

所以k<-5時不等式恒成立。

【注】本題進(jìn)行三角換元，將代數(shù)問題（或者是解析幾何問題）化為了含參三角不等式恒成

立的問題，再運用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍。一般地,

在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問

題時，經(jīng)常使用“三角換元法”。

y

x+y-k>0

k平面區(qū)域

本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等式aX+by+c>0

（a>0）所表示的區(qū)域為直線ax+by+c=0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題

9

不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點始終位于平面上x+y—k>0的區(qū)域。即當(dāng)直線

x+y—k=0在與橢圓下部相切的切線之下時。當(dāng)直線與橢圓相切時，方程組有相等的一組

實數(shù)解，消元后由△=()可求得k=-3,所以k<-3時原不等式恒成立。

III、鞏固性題組：

1.已知f(x)=lgx(x>0),則f(4)的值為。

A.2lg2B.Ig2C.Ig2D.Ig4

2.函數(shù)y=(x+l)+2的單調(diào)增區(qū)間是。

A.[2+8)B.[-1,4-00)D.(-8,+8)C.(-8,-1]

3.設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差d=,且S=145,則a+a+a+……+a的值為。

A.85B.72.5C.60D.52.5

4.已知x+4y=4x,則x+y的范圍是。

5.已知a20,b>0,a+b=l,則+的范圍是。

6.不等式>ax+的解集是(4,b),則a—,b=。

7.函數(shù)y=2x+的值域是。

8.在等比數(shù)列｛a｝中，a+aH---Fa—2,a+ad------Fa=12,求a+aH------Fa>)

yDC

AB

0x

9.實數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值，對任意實數(shù)x,不等式sinx+2mcosx+4m—1<0恒成立。

10.已知矩形ABCD,頂點C(4,4),A點在曲線x+y=2(x>0,y>0)上移動，且AB、AD

始終平行x軸、y軸，求矩形ABCD的最小面積。

三、待定系數(shù)法

要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方

法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件是：

對于一個任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數(shù)對應(yīng)相等。

待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某

種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個問題

是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果

具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、

解析兒何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法

求解。

使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：

第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；

第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；

第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。

如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析：

①利用對應(yīng)系數(shù)相等列方程；

10

②由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；

③利用定義本身的屬性列方程；

④利用幾何條件列方程。

比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，其中

含有待定的系數(shù)：再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的

方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲

線的方程。

I、再現(xiàn)性題組：

1.設(shè)f(x)=+m,Rx)的反函數(shù)f(x)=nx—5,那么m、n的值依次為。

A.,-2B.-,2C.,2D.-,-2

2.二次不等式ax+bx+2>0的解集是(一,),則a+b的值是。

A.10B.-10C.14D.-14

3.在(l-x)(1+x)的展開式中，x的系數(shù)是。

A.-297B.-252C.297D.207

4.函數(shù)y=a—bcos3x(b<0)的最大值為，最小值為一，則y=-4asin3bx的最小正周期是

5.與直線L：2x+3y+5=0平行且過點A(l,-4)的直線L'的方程是。

6.與雙曲線x-=1有共同的漸近線，且過點Q,2)的雙曲線的方程是。

【簡解】1小題：由f(x)=+m求出f(x)=2x—2m,比較系數(shù)易求，選C；

2小題：由不等式解集(一,),可知一、是方程ax+bx+2=0的兩根，代入兩根，列出關(guān)

于系數(shù)a、b的方程組，易求得a+b,選D；

3小題：分析x的系數(shù)由C與(一l)C兩項組成，相加后得x的系數(shù)，選D；

4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案；

5小題：設(shè)直線L'方程2x+3y+c=0,點A(l,-4)代入求得C=10,即得2x+3y+10=0；

6小題：設(shè)雙曲線方程x-=入，點(2,2)代入求得入=3,即得方程一=1。

II、示范性題組：

例1.已知函數(shù)丫=的最大值為7,最小值為一1,求此函數(shù)式。

【分析】求函數(shù)的表達(dá)式，實際上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實際是就

是已知函數(shù)的值域，對分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法”。

【解】函數(shù)式變形為：(y—m)x—4x+(y—n)=0,xGR,由已知得y—mWO

△=(—4)—4(y—m)(y—n)^0即：y—(m+n)y+(mn—12)W0①

不等式①的解集為(-1,7),則一1、7是方程y—(m+n)y+(mn-12)=0的兩根，

代入兩根得：解得：或

/.y=或者y=

此題也可由解集(-1,7)而設(shè)(y+l)(y-7)<0,即y-6y-7W0,然后與不等式①比較系數(shù)而

得：，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng)。

【注】在所求函數(shù)式中有兩個系數(shù)m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數(shù)值域問題,

得到了含參數(shù)m、n的關(guān)于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n。兩種方

法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫出不等

11

式，比較含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對一元二次不等式的解集概

念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的“判別式法”：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y

的關(guān)于x的一元二次方程，可知其有解，利用△》(),建立了關(guān)于參數(shù)y的不等式，解出y的

范圍就是值域，使用“判別式法”的關(guān)鍵是否可以將函數(shù)化成?個一元二次方程。

例2.設(shè)橢圓中心在它的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸較近的

端點距離是一，求橢圓的方程。

yB'

AFO'F'A'

B

【分析】求橢圓方程，根據(jù)所給條件，確定幾何數(shù)據(jù)a、b、c之值，問題就全部解決了。設(shè)

a、b、c后，由已知垂直關(guān)系而聯(lián)想到勾股定理建立一個方程，再將焦點與長軸較近端點的

距離轉(zhuǎn)化為a-c的值后列出第二個方程。

【解】設(shè)橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c,則|BF'|=a

,解得：

所求橢圓方程是：+=1

也可有垂直關(guān)系推證出等腰Rt^BB'F'后，由其性質(zhì)推證出等腰RtaB'O'F',再進(jìn)行

如下列式：，更容易求出a、b的值。

【注】圓錐曲線中，參數(shù)(a、b、c、e、p)的確定，是待定系數(shù)法的生動體現(xiàn)；如何確定，

要抓住已知條件，將其轉(zhuǎn)換成表達(dá)式。在曲線的平移中，幾何數(shù)據(jù)(a、b、c、e)不變，本

題就利用了這一特征，列出關(guān)于a-c的等式。

一般地，解析幾何中求曲線方程的問題，大部分用待定系數(shù)法，基本步驟是：設(shè)方程(或幾

何數(shù)據(jù))一幾何條件轉(zhuǎn)換成方程一求解一已知系數(shù)代入。

例3.是否存在常數(shù)a、b、c,使得等式1，2+2*3H------Fn(n+1)=(an+bn+c)對一切

自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論。(89年全國高考題)

【分析】是否存在，不妨假設(shè)存在。由已知等式對一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n=l、2、

3列出關(guān)于a、b,c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對所

有自然數(shù)n都成立。

【解】假設(shè)存在a、b、c使得等式成立，令：n=l,得4=(a+b+c)；n=2,得22=(4a+

2b+c)；n=3,得70=9a+3b+c。整理得：

，解得，

于是對n=l、2、3,等式2+2*3H------Fn(n+1)=(3n+lln+10)成立，下面用數(shù)學(xué)

歸納法證明對任意自然數(shù)n,該等式都成立：

假設(shè)對n=k時等式成立，即2+2*3+…+k(k+l)=(3k+llk+10)；

當(dāng)n=k+l時，1?2+2?3+…+k(k+l)+(k+l)(k+2)=(3k+llk+10)+(k+l)(k

+2)=(k+2)(3k+5)+(k+l)(k+2)=(3k+5k+12k+24)=[3(k+l)+ll(k+l)

+10],

12

也就是說，等式對n=k+l也成立。

綜上所述，當(dāng)a=8、b=ll、c=10時，題設(shè)的等式對--切自然數(shù)n都成立。

【注】建立關(guān)于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個特殊值代入而得到。此種解法中，也體現(xiàn)了

方程思想和特殊值法。對于是否存在性問題待定系數(shù)時，可以按照先試值、再猜想、最后歸

納證明的步驟進(jìn)行。本題如果記得兩個特殊數(shù)列1+2+…+n、1+2+…+n求和的公

式，也可以抓住通項的拆開,運用數(shù)列求和公式而直接求解：由n(n+l)=n+2n+!1得$=

1?2+2?3H-----l-n(n+l)=(1+2H------|-n)+2(1+2H------|-n)+(l+2H------|-n)=+2

義+=(3n+lln+10),綜上所述，當(dāng)a=8、b=ll、c=10時，題設(shè)的等式對一切自然

數(shù)n都成立。

例4.有矩形的鐵皮，其長為30cm,寬為14cm,要從四角上剪掉邊長為xcm的四個小正方

形，將剩余部分折成一個無蓋的矩形盒子，問x為何值時一，矩形盒子容積最大，最大容積是

多少？

【分析】實際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標(biāo)函數(shù),

將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的研究。

【解】依題意，矩形盒子底邊邊長為(30-2x)cm,底邊寬為(14-2x)cm,高為xcm。

盒子容積V=(30—2x)(14—2x)x=4(15—x)(7—x)x,

顯然:15—x>0,7—x>0,x>0?

設(shè)丫=(15a-ax)(7b-bx)x(a>0,b>0)

要使用均值不等式，則

解得：a—,b=,x=3。

從而V=(-)(-x)xW()=X27=576o

所以當(dāng)x=3時，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm。

【注】均值不等式應(yīng)用時要注意等號成立的條件，當(dāng)條件不滿足時要湊配系數(shù)，可以用“待

定系數(shù)法”求。本題解答中也可以令V=(15a-ax)(7-x)bx或(15—x)(7a-ax)bx,再由使

用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項該進(jìn)行湊配的系數(shù)，本題也體現(xiàn)了“湊配

法”和“函數(shù)思想”。

III、鞏固性題組：

1.函數(shù)y=logx的X6[2,+8)上恒向y|>i,則a的取值范圍是。

A.2>a>且aWlB.0<a<或l<a<2C.l<a<2D.a>2或0<a<

2.方程x+px+q=0與x+qx+p=0只有一個公共根，則其余兩個不同根之和為。

A.1B.-1C.p+qD,無法確定

3.如果函數(shù)丫=如2*+2?cos2x的圖像關(guān)于直線x=一對稱，那么a=。

A.B.-C.1D.-1

4.滿足C+卜C+2?C+“?+n?C<500的最大正整數(shù)是。

A.4B.5C.6D.7

5.無窮等比數(shù)列｛a｝的前n項和為S=a—，則所有項的和等于。

A.-B.1C.D.與a有關(guān)

6.(1+kx)=b+bx+bx+…+bx，若b+b+b+…+b=—1,則k=。

13

7.經(jīng)過兩直線llx—3y-9=0與12x+y—19=0的交點，且過點(3,-2)的直線方程為

8.正三棱錐底面邊長為2,側(cè)棱和底面所成角為60°,過底面一邊作截面，使其與底面

成30°角，則截面面積為。

9.設(shè)y=f(x)是一次函數(shù)，已知f(8)=15,且耳2)、1(5)、(口4)成等比數(shù)列,求fU)+f(2)+…+

f(m)的值。

10.設(shè)拋物線經(jīng)過兩點G1,6)和(-1,-2),對稱軸與x軸平行，開口向右，直線y=2x+7和拋物

線截得的線段長是4,求拋物線的方程。

四、定義法

所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義

和公理推演出來。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬

性來明確概念。

定義是千百次實踐后的必然結(jié)果，它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點。簡單

地說，定義是基本概念對數(shù)學(xué)實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我

們回到定義中去。

I、再現(xiàn)性題組：

1.已知集合A中有2個元素，集合B中有7個元素，AUB的元素個數(shù)為n,則。

A.2WnW9B.7WnW9C.5WnW9D.5WnW7

2.設(shè)MP、OM、AT分別是46°角的正弦線、余弦線和正切線，則。

A.MP<OM<ATB.OM<MP<ATC.AT?OM<MPD.OM<AT<MP

3.復(fù)數(shù)z=a+2i,z=-2+i,如果|z|<|z|,則實數(shù)a的取值范圍是。

A,—l<a<lB.a>lC.a>0D.a<—1或a>l

4.橢圓+=1上有一點P,它到左準(zhǔn)線的距離為，那么P點到右焦點的距離為o

A.8C.7.5C.D.3

5.奇函數(shù)f(x)的最小正周期為T,則f(一)的值為?

A.TB.0C.D.不能確定

6.正三棱臺的側(cè)棱與底面成45°角，則其側(cè)面與底面所成角的正切值為o

【簡解】1小題：利用并集定義，選B；

2小題：利用三角函數(shù)線定義，作出圖形，選B；

3小題：利用復(fù)數(shù)模的定義得〈，選A；

4小題：利用橢圓的第二定義得到=e=,選A；

5小題：利用周期函數(shù)、奇函數(shù)的定義得到f(一)=”)=—f(一),選B；

6小題：利用線面角、面面角的定義，答案2。

H、示范性題組：

例1.已知z=l+i,①設(shè)w=z+3—4,求w的三角形式；②如果=1-i,求

實數(shù)a、b的值。(94年全國理)

【分析】代入z進(jìn)行運算化簡后，運用復(fù)數(shù)三角形式和復(fù)數(shù)相等的定義解答。

【解】由z—1+i,有w=z+3—4=(1+i)+3—4—2i+3(1—i)—4=-1—i,w

的三角形式是(cos+isin)；

14

由z=l+i,有===(a+2)—(a+b)i。

由題設(shè)條件知：(a+2)—(a+b)i=1+i；

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得：，

解得。

【注】求復(fù)數(shù)的三角形式，一般直接利用復(fù)數(shù)的三角形式定義求解。利用復(fù)數(shù)相等的定義，

由實部、虛部分別相等而建立方程組，這是復(fù)數(shù)中經(jīng)常遇到的。

例2.已知f(x)=—x+cx,f(2)=-14,f(4)=—252,求y=logf(x)的定義域，判定在(，1)上

的單調(diào)性。

【分析】要判斷函數(shù)的單調(diào)性，必須首先確定n與c的值求出函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的

單調(diào)性定義判斷。

【解】解得：

f(x)=—x+x解f(x)>0得：0<x<l

設(shè)<x<x<1,貝IIf(x)—f(x)=—X+x-(-X+x)=(x-x)[l-(x+x)(X+x)],

X+x>,X+x>>'.(x+x)(X+x)〉X=1

...f(x)-f(x)>0即f(x)4(,1)上是減函數(shù)

<1y=k?g[x)在(，1)上是增函數(shù)。

A'A

D

c，c

OH

B

【注】關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性的判斷，一般都是直接應(yīng)用定義解題。本

題還在求n、c的過程中，運用了待定系數(shù)法和換元法。

例3.如圖，已知A'B'C'—ABC是正三棱柱，D是AC中點。

①證明：AB'〃平面DBC'；

②假設(shè)AB'LBC',求二面角D—BC'—C的度數(shù)。(94年全國理)

【分析】山線面平行的定義來證①問，即通過證AB'平行平面DBC'內(nèi)的一條直線而得；

由二面角的平