專(zhuān)題33直線與圓錐曲線綜合問(wèn)題（教師版）

專(zhuān)題33【提升專(zhuān)題02】直線與圓錐曲線綜合問(wèn)題（核心考點(diǎn)精講精練）類(lèi)型一、直線與橢圓的位置關(guān)系類(lèi)型二、直線與雙曲線的位置關(guān)系類(lèi)型三、直線與拋物線的位置關(guān)系類(lèi)型四、弦長(zhǎng)問(wèn)題類(lèi)型五、圓錐曲線中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題類(lèi)型六、圓錐曲線中的范圍最值問(wèn)題類(lèi)型七、圓錐曲線在新情景中應(yīng)用直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題常常涉及到一些重要的數(shù)學(xué)思想和解題方法，比如方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等。以下是一些常見(jiàn)的問(wèn)題：

1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：包括直線與圓錐曲線的相交、相切、相離等位置關(guān)系，可以通過(guò)聯(lián)立方程組，利用判別式、韋達(dá)定理等方法求解。

2、弦長(zhǎng)問(wèn)題：包括弦長(zhǎng)最值、弦長(zhǎng)的定值、弦長(zhǎng)之間的關(guān)系等問(wèn)題，可以通過(guò)聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系等方法求解。

3、圓錐曲線中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：圓錐曲線中的一些對(duì)稱(chēng)問(wèn)題也常常作為綜合問(wèn)題出現(xiàn)，比如圓錐曲線中的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、線對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)等問(wèn)題，可以通過(guò)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)進(jìn)行求解。

4、圓錐曲線中的范圍最值問(wèn)題：圓錐曲線中的范圍最值問(wèn)題也是常見(jiàn)的綜合問(wèn)題之一，可以通過(guò)聯(lián)立方程組，利用函數(shù)思想等方法進(jìn)行求解。

以上只是直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題中的一部分，這些問(wèn)題的解決需要掌握一定的數(shù)學(xué)思想和解題方法，同時(shí)需要具備靈活的思維和敏銳的觀察能力類(lèi)型一、直線與橢圓的位置關(guān)系1．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn)，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去）.2．已知橢圓方程為，其右焦點(diǎn)為F（4，0），過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓與A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用點(diǎn)差法求解即可．【詳解】設(shè)，代入橢圓的方程可得，．兩式相減可得：．由，，代入上式可得：＝0，化為．又，，聯(lián)立解得．∴橢圓的方程為：．3．若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】若直線軸，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則直線的中點(diǎn)在軸，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)點(diǎn)、，則，所以，，兩式作差可得，即，即，可得直線的斜率為，所以，直線的方程為，即.4．（2023年內(nèi)蒙古模擬理科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓，直線依次交軸、橢圓軸于點(diǎn)四點(diǎn)．若，且直線斜率．則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分析可知：的中點(diǎn)即為弦的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)直線：，可得，設(shè)的中點(diǎn)為，連接OM，則，，因?yàn)?，則，即為弦的中點(diǎn)，設(shè)，則，因?yàn)?，可得，兩式相減得，整理得，可得，即，可得，所以橢圓的離心率為.5．（2024屆安徽省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C：（）的左焦點(diǎn)為，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程可得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而結(jié)合求解離心率.【詳解】設(shè)，，，過(guò)點(diǎn)所作直線的傾斜角為，所以該直線斜率為，所以直線方程可寫(xiě)為，聯(lián)立方程，可得，，根據(jù)韋達(dá)定理：，，因?yàn)椋?，所以，所以，即，所以，?lián)立，可得，.6．（2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試及加試試題（A卷））平面直角坐標(biāo)系中，已知圓與軸、軸均相切，圓心在橢圓內(nèi)，且與有唯一的公共點(diǎn).則的焦距為.【答案】10【分析】先求出的方程，從而求出公切線，再聯(lián)立公切線方程和橢圓方程后利用判別式為零可得，結(jié)合在橢圓上可求基本量，故可求焦距.【詳解】因?yàn)榕c有唯一的公共點(diǎn)且與軸、軸均相切，故圓心在第一象限，故設(shè)圓心為，故的方程為：，所以，解得或.因?yàn)樵趦?nèi)，故，故原的方程為，因?yàn)榕c有唯一的公共點(diǎn)，且圓心在橢圓內(nèi)，故與在處有公切線，故，故，故的方程為：，由可得，整理得到：，故，整理得到：，而，解得，，從而的焦距為.7．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由離心率公式可得，進(jìn)而可得，即可得解；（2）必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得，進(jìn)而可得，即可得解.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過(guò)點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.8．（2023年江蘇省模擬數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C：的焦距為，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為，求l的斜率.【答案】(1)；(2)；【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）利用點(diǎn)差法、或設(shè)直線方程、或設(shè)直線方程、或齊次化的方法來(lái)求得的斜率.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C的焦距為，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，，又，解得，，；故橢圓C的方程為.（2）法一：（點(diǎn)差法）設(shè)，，則，兩式相減，得，所以l的斜率.因?yàn)橹本€AP，AQ的斜率之和為0，所以，整理得①由得，所以，同理，因?yàn)樗?，整理得②②①，得，，所以，即l的斜率為.法二：（設(shè)線）設(shè)l：，，，（討論斜率不存在不給分，因?yàn)榇朔N情況明顯不符），消去y，整理得，所以，，因?yàn)橹本€AP，AQ的斜率之和為0，所以，所以，所以，所以，若，則直線l：過(guò)點(diǎn)A，不合題意，故舍去，所以，即l的斜率為.法三：設(shè)AP：，AQ：，，，，消去y，整理得，所以，因?yàn)?，所以，同理，所以，，所以l的斜率.方法四：（齊次化巧解圓錐曲線問(wèn)題）因?yàn)镻Q不過(guò)，所以設(shè)PQ：C：，（‘1’的代換）化簡(jiǎn)得，所以，所以l的斜率為.【點(diǎn)睛】求解橢圓方程的幾種方法:方法一：定義法，根據(jù)橢圓的定義直接求解，一般用題中所給的橢圓長(zhǎng)短軸，焦點(diǎn)等信息就能直接算出橢圓方程.方法二：待定系數(shù)法，根據(jù)橢圓焦點(diǎn)位置，長(zhǎng)短軸，先設(shè)出對(duì)應(yīng)的橢圓方程，然后再代入已知條件求系數(shù).方法三：共焦點(diǎn)系方程：等等.類(lèi)型二、直線與雙曲線的位置關(guān)系1．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得，對(duì)于A、B、D：通過(guò)聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設(shè)，則的中點(diǎn)，可得，因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，所以.對(duì)于選項(xiàng)A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；2．（2023屆河南省仿真測(cè)試三模理科數(shù)學(xué)試題）已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，（不重合），的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的垂直平分線的方程，即可求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，最后利用離心率公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)橹本€，所以，由題可知的垂直平分線的方程為，將與聯(lián)立可得，即的中點(diǎn)坐標(biāo)為．設(shè)，，則，且，，兩式作差可得，即，所以，則雙曲線的離心率為．3．（2023屆四川省診斷性檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題）雙曲線C：的離心率為，直線與C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)滿(mǎn)足，則（

）A．或0 B．－2 C．或0 D．3【答案】C【分析】由雙曲線離心率及參數(shù)關(guān)系確定漸近線方程，聯(lián)立直線方程求坐標(biāo)，進(jìn)而求其中點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)及斜率兩點(diǎn)式求參數(shù)，注意討論、兩種情況.【詳解】由離心率為，有．由得：A的坐標(biāo)為；由得：B的坐標(biāo)為．設(shè)線段AB中點(diǎn)為P，則，且P的坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，，解出．當(dāng)時(shí)，符合條件．綜上所述，或．4．（2023年黑龍江省模擬數(shù)學(xué)試題）雙曲線與直線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2【答案】C【分析】根據(jù)已知直線和雙曲線的漸近線的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，當(dāng)時(shí)，直線與漸近線重合，此時(shí)直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn).5．（2023年浙江省名校聯(lián)盟五科聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過(guò)的直線與的右支交于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在圓上，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，雙曲線的右頂點(diǎn)為，連接，則可得，然后在中利用余弦定理求得，則，從而可表示出，代入雙曲線方程化簡(jiǎn)可求出離心率.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，雙曲線的右頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在圓上，所以，所以≌，所以，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，過(guò)作軸于，則，所以，所以，得，所以，，所以，所以離心率，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查求雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由題意求得，然后在中利用余弦定理求出，從而可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計(jì)算能力，屬于較難題.6．（2024屆陜西省一模文科數(shù)學(xué)試題）設(shè)，為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得，對(duì)于A、B、C：通過(guò)聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)于D：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設(shè)，則的中點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，可得，因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，所以.對(duì)于選項(xiàng)A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)差法得到，然后逐個(gè)分析判斷，考查計(jì)算能力，屬于較難題.7．已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)作直線交雙曲線于，，若線段的中點(diǎn)在直線上，求直線的斜率．【答案】【分析】設(shè)的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到韋達(dá)定理，解方程，再檢驗(yàn)即得解.【詳解】由題意可設(shè)的方程為，聯(lián)立，消去整理得．顯然，設(shè)，，則，解得，由解得，顯然不適合，適合，所以．8．（2023屆四川省二診模擬理科數(shù)學(xué)試題）雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為2，過(guò)斜率為的直線交雙曲線于A，B，則.【答案】/【分析】根據(jù)雙曲線的離心率為2得，根據(jù)過(guò)的直線的斜率為，得到，然后分別在和中，利用余弦定理求得，然后在中，利用余弦定理求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為2，則，因?yàn)檫^(guò)斜率為，所以，則，在中，設(shè)，則，由，解得，則，在中，設(shè)，則，由，解得，則，則，在中.9．（2023屆河北省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，已知過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，雙曲線的右支上一點(diǎn)滿(mǎn)足，若直線的斜率為3，則雙曲線的離心率為.【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，先求得直線的斜率，然后利用點(diǎn)差法求得，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，所以直線的斜率為.設(shè)，則.由，得到.，所以，所以，則.故答案為：10．（2023屆河北省模擬數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，其一漸近線的傾斜角為，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程．(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)，直線、與軸分別交于點(diǎn)、，若四邊形存在外接圓，求直線的方程．【答案】(1)；(2)；【分析】（1）由雙曲線過(guò)焦點(diǎn)以及漸近線的傾斜角列出的等量關(guān)系，求解的值，從而求出雙曲線方程；（2）設(shè)直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立，韋達(dá)定理表示兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示并計(jì)算兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入等式，化簡(jiǎn)并計(jì)算可求出的取值，從而求出直線的方程.【詳解】（1）由題意知：，解得∴雙曲線的方程為（2）設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程得設(shè)，則，直線為令，得∴點(diǎn)為同理，為∵四邊形存在外接圓需，即即得得∴直線為即類(lèi)型三、直線與拋物線的位置關(guān)系1．（20232024學(xué)年四川省模擬文科數(shù)學(xué)試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P（2，0）的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，直線AF，BF分別于拋物線交于點(diǎn)C，D．設(shè)直線AB，CD的斜率分別為，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意設(shè)直線的方程和直線的方程，分別與拋物線方程聯(lián)立得到，，，然后求即可.【詳解】

由題意得，設(shè)直線的方程為，，，，,聯(lián)立得，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，同理可得，所以.2．（2023屆河北省二模數(shù)學(xué)試題）已知拋物線，直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為M，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義以及正弦定理得出結(jié)果.【詳解】如圖，拋物線C的準(zhǔn)線，直線n與x軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線n的垂線，垂足為Q，由拋物線的性質(zhì)可得，所以，又，所以，故，即．3．（2024屆廣東省次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）過(guò)向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別為,又點(diǎn)在直線上的射影為，則焦點(diǎn)與連線的斜率取值范圍是.【答案】.【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，進(jìn)而得到直線的方程為，進(jìn)而得到點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，得到方程，過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線的斜率為，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)，不妨設(shè)，由，可得，可得，則，可得切線的方程為因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，可得，同理可得：，所以直線的方程為，可得直線過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)樵谥本€上的射影為，可得且，所以點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，其方程為，當(dāng)與相切時(shí)，由拋物線，可得，設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線的斜率為，可得切線方程為，則，解得或，所以實(shí)數(shù)的范圍為.故答案為：.4．（2023年山西省模擬數(shù)學(xué)試題）已知拋物線，過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則直線的方程為.【答案】【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)以及點(diǎn)差法即可求解斜率，進(jìn)而由點(diǎn)斜式求直線方程.【詳解】因?yàn)樵趻佄锞€內(nèi)部，又，所以是的中點(diǎn).設(shè)，所以，即，又在拋物線上，所以，兩式作差，得，所以，所以直線的方程為，即.故答案為：5．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿(mǎn)足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【分析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，據(jù)此整理可得點(diǎn)的軌跡方程為，所以直線的斜率，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，直線的斜率的最大值為.[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為．設(shè)直線的方程為，則當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為．設(shè)直線的斜率為k，則．令，則的對(duì)稱(chēng)軸為，所以．故直線斜率的最大值為．[方法四]：參數(shù)+基本不等式法由題可設(shè)．因?yàn)?，所以．于是，所以則直線的斜率為．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以直線斜率的最大值為．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點(diǎn)法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率關(guān)于的表達(dá)式，然后利用分類(lèi)討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值，為最優(yōu)解；方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線的斜率k的平方關(guān)于的表達(dá)式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進(jìn)而得到直線斜率的最大值；方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)，求得x,y關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式，得到直線的斜率關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線斜率的最大值.6．（20232024學(xué)年河南省一模數(shù)學(xué)試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過(guò)的直線垂直于，且交拋物線于兩點(diǎn)，則（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】方法1：聯(lián)立直線與，設(shè)，，得出韋達(dá)定理，代入坐標(biāo)求解即可；方法2：設(shè)點(diǎn)，在準(zhǔn)線上的射影分別為點(diǎn)，，根據(jù)幾何關(guān)系可證得，可得即可.【詳解】（方法1）易知焦點(diǎn)，故，則，故直線的方程為，代入得，，設(shè)，，則，，.（方法2）設(shè)點(diǎn)，在準(zhǔn)線上的射影分別為點(diǎn)，，如圖，易知，，，則，則，同理，則，又，由此可得，故.類(lèi)型四、弦長(zhǎng)問(wèn)題1．（2023年四川省模擬數(shù)學(xué)（理）試題）已知拋物線的方程為，過(guò)其焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，（

）A． B．3 C． D．2【答案】C【分析】設(shè)出直線方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和焦點(diǎn)弦公式代入計(jì)算可求得.【詳解】如下圖所示：易知，不妨設(shè)；設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立消去得，,由韋達(dá)定理可知；由可得；聯(lián)立解得，即；根據(jù)焦點(diǎn)弦公式可得；代入計(jì)算可得.2．過(guò)點(diǎn)作兩條直線與拋物線相切于點(diǎn)A，B，則弦長(zhǎng)等于（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】利用直線與拋物線相切設(shè)直線方程求切點(diǎn)，利用兩點(diǎn)距離公式計(jì)算即可.【詳解】由題意直線斜率存在，可設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：，所以，解之得，如圖所示，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以.3．（2022年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為．【答案】【分析】令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；【詳解】[方法一]：弦中點(diǎn)問(wèn)題：點(diǎn)差法令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；解：令的中點(diǎn)為，因?yàn)椋裕O(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點(diǎn)既為線段的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)直線，，，則，，，因?yàn)?，所以?lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得其中，∴AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo),又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直線，即4．（2024屆福建省質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，.若，則.【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合拋物線的定義求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的方程，再與拋物線方程聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo)作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性不妨令，如圖，顯然，而，則，，于是直線的方程為，由得，解得，所以.5．（2024屆內(nèi)蒙古質(zhì)量監(jiān)測(cè)理科數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線C：，若雙曲線C的一條弦的中點(diǎn)為，則這條弦所在直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】運(yùn)用點(diǎn)差法，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】設(shè)該弦為，設(shè)，則有，兩式相減，得，因?yàn)殡p曲線C的一條弦的中點(diǎn)為，所以，因此由，即這條弦所在直線的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因?yàn)?，所以該弦存?6．（2023屆四川省名校高全真模擬考試（二）理科數(shù)學(xué)試題）已知直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線與雙曲線的另外一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在軸上，，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出輔助線，設(shè)，根據(jù)點(diǎn)差法得到，由垂直關(guān)系得到，結(jié)合求出，由得到方程，求出，求出漸近線方程.【詳解】根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，如圖所示．因?yàn)椋訠、N、M三點(diǎn)共線．設(shè)線段BM的中點(diǎn)為，連接OQ，根據(jù)題意，顯然可得點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，所以，設(shè)，，，．因?yàn)辄c(diǎn)B，M都在雙曲線上，則兩式相減，得，即．而，，所以，即．又因?yàn)?，則，即，所以，即，所以．又，則，即，故，所以．而，故，即，則雙曲線的漸近線方程為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線相交涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題，常用點(diǎn)差法，該法計(jì)算量小，模式化強(qiáng)，易于掌握，若相交弦涉及的定比分點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，也可以用點(diǎn)差法的升級(jí)版—定比點(diǎn)差法，解法快捷.7．（2023屆重慶市適應(yīng)性月考（六）數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P為線段AB的中點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】由可得點(diǎn)P，求得,由點(diǎn)差法得,可求得離心率.【詳解】如圖:,由,,可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則直線OP斜率為,直線AB斜率為，另一方面，設(shè)則,兩式相減得,整理得,即，故．故答案為:8．（2024屆安徽省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為.【答案】【分析】分析可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，由，可得出，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，求出以及原點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】易知，拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，則，故，，又，即，即，所以，，可得，，解得.此時(shí)，又因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，故的面積為.9．（2023屆湖北省壓軸卷數(shù)學(xué)試題（二））已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)，并且滿(mǎn)足，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，用弦長(zhǎng)公式表示出，用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合點(diǎn)在橢圓上的條件表示出，代入題干條件即可求解.【詳解】設(shè)，則，由，消去，得，注意到，則.于是，同理，.因此.的傾斜角為，∴直線的斜率，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，可得.由，可得，故.．10．（2023年湖南省模擬數(shù)學(xué)試題）直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),若的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則弦長(zhǎng)的值.【答案】【分析】利用點(diǎn)差法可構(gòu)造關(guān)于斜率的方程，求得斜率；將直線方程代入橢圓方程可得韋達(dá)定理的結(jié)論，利用弦長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，中點(diǎn)為，在直線上，；由得：，，即，解得：，直線方程為，由得：，，，.11．已知直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且.求直線的方程．【答案】或.【分析】設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可以求出.【詳解】設(shè)，由消去y并化簡(jiǎn)得，所以,由，得，所以，所以，即，化簡(jiǎn)得，所以，所以.故直線方程為或.類(lèi)型五、圓錐曲線中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題1．雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，則.【答案】4【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性及定義即可求解.【詳解】由題意.如圖，連接，，則點(diǎn)Q在雙曲線C的左支上，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性知，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以由雙曲線的定義得.2．（2023年陜西省模擬理科數(shù)學(xué)試題）已知拋物線：與圓：在第一象限交于，兩點(diǎn)，設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】聯(lián)立方程求出兩點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)斜率公式求解即可.【詳解】聯(lián)立消去y得，又，，又，所以，所以，因?yàn)殛P(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以，所以直線的斜率為.3．（2023屆上海市模擬數(shù)學(xué)試題）不與軸重合的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，雙曲線：上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱(chēng)，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，若，則的值為.【答案】【分析】由點(diǎn)差法得，結(jié)合得，代入斜率公式化簡(jiǎn)并利用可求得.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得，即，即，所以，因?yàn)槭茿B垂直平分線，有，所以，即，化簡(jiǎn)得，故，則.4．（20232024學(xué)年四川省“零診”考試數(shù)學(xué)試題（文科））拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則．【答案】【分析】由題意求出B點(diǎn)坐標(biāo)，繼而求出直線BC的方程，聯(lián)立拋物線方程，求得點(diǎn)C坐標(biāo)，即可求得答案.【詳解】如圖，由題意可知軸，，將代入中得，即,又，則，故的方程為，聯(lián)立，可得，解得，或（此時(shí)C與B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，不合題意），則，故.5．（2023屆貴州省統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知拋物線上兩點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則直線AB的斜率為.【答案】2【分析】根據(jù)點(diǎn)差法求得直線AB的斜率，并驗(yàn)證判別式大于零.【詳解】設(shè)，代入拋物線，得，則①，因?yàn)閮牲c(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，所以由①得，直線AB的斜率為2.則直線AB：與代入拋物線聯(lián)立，得，，解得.所以直線AB的斜率為2.6．已知是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且的垂心恰是拋物線的焦點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合拋物線的對(duì)稱(chēng)性，得到關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)直線的方程為，由的垂心恰好是拋物線的焦點(diǎn)，得到，根據(jù)，列出方程，即可求解.【詳解】由點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn)，且，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，可得關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)直線的方程為，則，因?yàn)榈拇剐那『檬菕佄锞€的焦點(diǎn)，所以，可得，即，解得，即直線的方程為.7．（20232024學(xué)年四川省模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）已知A、B是橢圓與雙曲線的公共頂點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，PA，PB交橢圓于M，N．若MN過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F，且，則雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】由直線斜率公式結(jié)合點(diǎn)在曲線上可得，再由正切的和角的公式得到，結(jié)合雙曲線離心率公式即可得解.【詳解】由題意可知：如圖，設(shè)，可得直線的斜率分別為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，整理得，所以，設(shè)點(diǎn)，可得直線的斜率，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，整理得，所以，即，可得，所以直線與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，又因?yàn)闄E圓也關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且過(guò)焦點(diǎn)，則軸，令，則，因?yàn)?，，則，解得，所以雙曲線的離心率.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.類(lèi)型六、圓錐曲線中的范圍最值問(wèn)題1．（2023年內(nèi)蒙古模擬理科數(shù)學(xué)試題）在橢圓上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)在第三象限且橢圓在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取得最大值，可設(shè)切線方程為，將切線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出的值，利用平行線間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：根據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)在第三象限且橢圓在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取得最大值，可設(shè)切線方程為，聯(lián)立，消去整理可得，，因?yàn)?，解得，所以，橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，因此，點(diǎn)到直線的距離的最大值為,聯(lián)立，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.2．（20232024學(xué)年江蘇省學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，則．【答案】/【分析】將直線方程與橢圓方程聯(lián)立后可得韋達(dá)定理的結(jié)論，結(jié)合韋達(dá)定理可求得結(jié)果.【詳解】由橢圓方程得：右焦點(diǎn)，則直線方程為：，由得：，則，，，.3．（2023年高三數(shù)學(xué)（理科）押題卷四試題）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的取值范圍為．【答案】【分析】先求出雙曲線方程，然后聯(lián)立直線和雙曲線方程表示出，然后判斷出直線和雙曲線一定交于兩支后進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由題知，解得，即雙曲線的方程為：.直線的斜率若不存在，則垂直于軸，由于雙曲線頂點(diǎn)為，斜率不存在的直線和雙曲線有交點(diǎn)，則兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)相等且均大于，與點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1矛盾；直線的斜率也不會(huì)為，否則根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，的橫坐標(biāo)為，矛盾.故直線斜率存在且非零.設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得到，由.設(shè)，由題意，，即，的縱坐標(biāo)為，即.根據(jù)雙曲線的范圍可知，若直線和雙曲線交于同一支，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)均大于或小于，與的橫坐標(biāo)為矛盾，故直線和雙曲線交于兩支.由，得到，顯然滿(mǎn)足判別式條件：.由，于是4．（20232024學(xué)年湖南省模擬數(shù)學(xué)試題）已知直線：與拋物線：交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由可知：，因?yàn)橹本€在縱軸的截距為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，因?yàn)橹本€：與拋物線：交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以，設(shè)，則有，所以，所以，，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用一元二次方程求出的取值范圍.5．（2023屆江西省模擬文科數(shù)學(xué)試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，，設(shè)直線的斜率分別為，則．【答案】0【分析】當(dāng)直線l的斜率時(shí)，設(shè)直線l的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得出.【詳解】由題意，設(shè)其傾斜角為，,故，則，故l的方程為，與的方程聯(lián)立得，顯然，設(shè)，則，所以，6．（20232024學(xué)年江蘇省診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試題）過(guò)點(diǎn)能作雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率的取值范圍為.【答案】【分析】分析可知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，將切線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，由可得出關(guān)于的方程，可知方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求出的取值范圍，即可求得該雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，由可得，故直線與雙曲線相交，不合乎題意；當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，聯(lián)立可得，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)能作雙曲線的兩條切線，則，可得，由題意可知，關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以，，可得，又因?yàn)?，即，因此，關(guān)于的方程沒(méi)有的實(shí)根，所以，且，解得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，該雙曲線的離心率的取值范圍是.7．（2023屆江蘇省八校聯(lián)盟適應(yīng)性檢測(cè)（三模）數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線，過(guò)其右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，已知，若這樣的直線有條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】記，分析可知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和通徑長(zhǎng)不可能同時(shí)為，可知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得出關(guān)于的方程由四個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】記，若直線與軸重合，此時(shí)，；若直線軸時(shí)，將代入雙曲線方程可得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，；當(dāng)，可得，則，所以，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和通徑長(zhǎng)不可能同時(shí)為；當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，記，則點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，由題意可得，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，即，所以，關(guān)于的方程由四個(gè)不等的實(shí)數(shù)解.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，可得，可得，整理可得，因?yàn)?，解得；?dāng)時(shí)，即當(dāng)，可得，可得，整理可得，可得.綜上所述，.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問(wèn)題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.類(lèi)型七、圓錐曲線在新情景中應(yīng)用1．（2023屆貴州省數(shù)學(xué)（理科）樣卷（二）試題）加斯帕爾蒙日是1819世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家．如圖，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱(chēng)為“蒙日?qǐng)A”．若長(zhǎng)方形的四邊均與橢圓相切，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．橢圓的離心率為 B．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為C．若為正方形，則的邊長(zhǎng)為 D．長(zhǎng)方形的面積的最大值為18【答案】D【分析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得后再求得，從而可得離心率，利用特殊的長(zhǎng)方形（即邊長(zhǎng)與橢圓的軸平行）求得蒙日?qǐng)A方程，從而可得長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)的關(guān)系，結(jié)合基本不等式得面積最大值，并得出長(zhǎng)方形為正方形時(shí)的邊長(zhǎng)．【詳解】由橢圓方程知，，則，離心率