甘肅省武威市第六中學(xué)高三下學(xué)期第六次診斷考試數(shù)學(xué)（理）試題

武威六中20172018學(xué)年度高三第六次診斷考試數(shù)學(xué)（理科）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號等填寫在答題卡上.2．本試卷滿分150分，考試用時120分鐘.答題全部在答題卡上完成，試卷上答題無效.第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A．B． C． D．22.若A.0B.1C.3D.53.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長五尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重四斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金箠由粗到細(xì)是均勻變化的，則金箠的重量為（）A．15斤 B．14斤 C．13斤 D．12斤4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）A．6B．9C．12D．185.設(shè)滿足約束條件，則的最小是（）A．B．C．D．6.從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊,要求其中男、女醫(yī)生都有,則不同的組隊方案共有（）A．70種 B．80種 C．100種 D．140種7.設(shè)曲線在處的切線方程為，則()A.0 B.1 C.2 D.3A．0 B．1C．2 D．39.已知數(shù)列滿足,則的前10項和等于()A. B.C. D.10.已知甲、乙、丙三人中，一人是軍人，一人是工人，一人是農(nóng)民.若乙的年齡比農(nóng)民的年齡大；丙的年齡和工人的年齡不同；工人的年齡比甲的年齡小，則下列判斷正確的是（）A.甲是工人，乙是農(nóng)民，丙是軍人B.甲是農(nóng)民，乙是軍人，丙是工人C.甲是農(nóng)民，乙是工人，丙是軍人D.甲是軍人，乙是工人，丙是農(nóng)民11.已知點在雙曲線上，A，B分別為雙曲線的左右頂點，離心率為，若為等腰三角形，且頂角為，則（）A.B.C.3D.212.定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)與的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為（）A．2B．4C.6D．8第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.13.二項式的展開式中的系數(shù)為；14.函數(shù)的最小值是；15.已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為_________；16.已知直線交拋物線于兩點.若該拋物線上存在點,使得為直角,則的取值范圍為_____.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題12分）如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求面積的最大值.18.（本小題12分）某學(xué)校舉行了一次安全教育知識競賽，競賽的原始成績采用百分制.已知高三學(xué)生的原始成績均分布在內(nèi)，發(fā)布成績使用等級制，各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)見表.原始成績85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級優(yōu)秀良好及格不及格為了解該校高三年級學(xué)生安全教育學(xué)習(xí)情況，從中抽取了名學(xué)生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計，按照的分組作出頻率分布直方圖如圖所示，其中等級為不及格的有5人，優(yōu)秀的有3人.（Ⅰ）求和頻率分布直方圖中的的值；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅲ）在選取的樣本中，從原始成績在80分以上的學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生進行學(xué)習(xí)經(jīng)驗介紹，記表示抽取的3名學(xué)生中優(yōu)秀等級的學(xué)生人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.19.（本小題12分）如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，,,,是上的中點.（Ⅰ）求證：平面⊥平面；（Ⅱ）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．20.（本小題12分）已知橢圓過點，離心率.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點，過點作斜率為直線，與橢圓交于，兩點，若軸平分，求的值．21.（本小題12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（Ⅱ）設(shè)，若對任意的，都有，求整數(shù)的最大值．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時請寫清題號22．（本題滿分10分）[選修44：極坐標(biāo)與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中，直線過點，傾斜角為.以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線交于兩點.（Ⅰ）求直線的參數(shù)方程（設(shè)參數(shù)為）和曲線的普通方程；（Ⅱ）求的值.23．（本題滿分10分）[選修4—5：不等式選講]已知函數(shù)的最小值為4．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若．一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.題號123456789101112答案CAABBADCCDBB二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.13．—1014．15．16．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（1）在中，由余弦定理得，解得，（4分）注意到，可得.（6分）（2）在中，由余弦定理得，即，∵，∴，即.（10分）∴.當(dāng)且僅當(dāng)，△BCD為等腰三角形時等號成立，即面積的最大值為.（12分）18.（1）由題意可知，樣本容量，，∴.（4分）（2）不及格的概率為0.1，設(shè)至少有1人成績是及格以上等級為事件，∴，故至少有1人成績是及格以上等級的概率為；（8分）（3）原始成績在80分以上的學(xué)生有人，優(yōu)秀等級的學(xué)生有3人，∴的取值可為0,1,2,3；∴，，，，∴的分布列為0123.（12分）19．19.解:（Ⅰ）證明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．……5分（Ⅱ）如圖，以C為原點，取AB中點F，、、分別為x軸、y軸、z軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．設(shè)P（0，0，a）（a＞0），則E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），則?=?=0，為面PAC的法向量．設(shè)=（x，y，z）為面EAC的法向量，則?=?=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，則=（a，﹣a，﹣2），依題意，|cos＜，＞|===，則a=2．……………9分于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|==，即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為．………12分20．解：（Ⅰ）因為橢圓的焦點在軸上，過點（0，1），離心率，所以，……2分所以由，得……3分所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是……4分（Ⅱ）因為過橢圓的右焦點F作斜率為k直線l，所以直線l的方程是.聯(lián)立方程組消去，得顯然設(shè)點，，所以，……7分因為軸平分，所以.所以……9分所以所以所以所以所以所以……11分所以因為，所以……12分

21．1）當(dāng)時，，定義域為．，令，可得．·······2分列表：所以，函數(shù)的最小值為．·······5分（2）由題意對任意的恒成立，可得對任意的恒成立．即對任意的恒成立．記，得，·······6分設(shè)，，則在是單調(diào)增函數(shù)，又，，且在上的圖象是不間斷的，所以，存在唯一的實數(shù)，使得，·······8分當(dāng)時，，，在上遞減；當(dāng)時，，，在上遞增．所以當(dāng)時，有極小值，即為最小值，·······10分又，故，所以，由知，，又，，所以整數(shù)的最大值為3．·······12分22.解：（Ⅰ）∵直線過點，傾斜角為∴直線以為參數(shù)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）......................3分∵曲線的極坐標(biāo)方程為∴曲線的普通方程為........................................5分（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，得.............6分設(shè)兩點對應(yīng)的參數(shù)為∵點在曲線的左下方∴.....................................................8分∴..