廣東省茂名市信宜市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)本試卷共6頁，22小題，滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)填寫在答題卡指定的位置上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案涂黑；如需改動(dòng)，擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的斜率為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將直線方程化成斜截式即可得直線的斜率.【詳解】解：因?yàn)橹本€方程為，化為斜截式為：，所以直線的斜率為：.故選：D.2.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為，直接可得答案.【詳解】由拋物線方程，得，故拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為，故選：B.【點(diǎn)睛】拋物線方程中，字母的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離．牢記它對解題非常有益．3.已知兩條直線：，：，且，則的值為()A.－2 B.1 C.－2或1 D.2或－1【答案】B【解析】【分析】兩直線平行，傾斜角相等，斜率均不存在或斜率存在且相等，據(jù)此即可求解.【詳解】：，：斜率不可能同時(shí)不存在，∴和斜率相等，則或，∵m＝－2時(shí)，和重合，故m＝1.另解：，故m=1.故選：B.4.信宜市是廣東省首個(gè)“中國慈孝文化之鄉(xiāng)”．為弘揚(yáng)傳統(tǒng)慈孝文化，信宜某小學(xué)開展為父母捶背活動(dòng)，要求同學(xué)們在某周的周一至周五任選兩天為父母捶背，則該校的同學(xué)甲連續(xù)兩天為父母捶背的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出周一至周五任選兩天的試驗(yàn)的樣本空間，再求出連續(xù)兩天的事件含有的樣本點(diǎn)，進(jìn)而求出古典概率.【詳解】令周一至周五的5天依次為1，2，3，4，5，則周一至周五任選兩天的樣本空間，共10個(gè)樣本點(diǎn)，連續(xù)兩天的事件，共4個(gè)樣本點(diǎn)，所以該校的同學(xué)甲連續(xù)兩天為父母捶背的概率為.故選：C5.若，則“”是“方程表示橢圓”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)方程表示橢圓求出實(shí)數(shù)的取值范圍，再利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得或，因?yàn)榛颍虼?，“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：D.6.平行六面體中，，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由以及條件中系數(shù)對應(yīng)相等可得答案.【詳解】由平行六面體可得，又，所以，則.故選：B.7.若動(dòng)點(diǎn)P在直線上，動(dòng)點(diǎn)Q在曲線上，則|PQ|的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)與直線平行的直線的方程為，當(dāng)直線與曲線相切，且點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)間的距離最小，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線的方程，再利用平行線間的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為，∴當(dāng)直線與曲線相切，且點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)間的距離最小，設(shè)切點(diǎn)，，所以，，，，點(diǎn)，直線的方程為，兩點(diǎn)間距離的最小值為平行線和間的距離，兩點(diǎn)間距離的最小值為.故選：.8.已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，，202及2，8，14，，200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為（）A.1678 B.1666 C.1472 D.1460【答案】B【解析】【分析】求出新數(shù)列的公差，確定新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，利用前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】第一個(gè)數(shù)列的公差為4，第二個(gè)數(shù)列的公差為6，故新數(shù)列的公差是4和6的最小公倍數(shù)12，則新數(shù)列的公差為12，首項(xiàng)為2，其通項(xiàng)公式為，令，得，故，則，故選：B.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由向量的加減乘除運(yùn)算，垂直，平行的的性質(zhì)逐項(xiàng)運(yùn)算即可.【詳解】A：，所以，A正確；B：，所以，B錯(cuò)誤；C：，，所以，C正確；D：，不存實(shí)數(shù)，使得，故與不平行，D錯(cuò)誤．故選：AC．10.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列說法中正確的是（）A.邊BC與直線平行B.邊BC上的高所在的直線的方程為C.過點(diǎn)C且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為D.過點(diǎn)A且平分△ABC面積的直線與邊BC相交于點(diǎn)D(3，5)【答案】BD【解析】【分析】由直線斜率判斷A，求出相應(yīng)的直線方程判斷BC，求出邊中點(diǎn)坐標(biāo)判斷D．【詳解】直線的斜率為，而直線的斜率為，兩直線不平行，A錯(cuò)；邊上高所在直線斜率為，直線方程為，即，B正確；過且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線不過原點(diǎn)時(shí)方程為，過原點(diǎn)時(shí)方程為，C錯(cuò)；過點(diǎn)A且平分△ABC面積的直線過邊BC中點(diǎn)，坐標(biāo)為，D正確．故選：BD．11.若雙曲線的實(shí)軸長為6，焦距為10，右焦點(diǎn)為F，則下列結(jié)論正確的是（）A.過點(diǎn)F的最短的弦長為 B.雙曲線C的離心率為C.雙曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)F距離的最小值為2 D.雙曲線C的漸近線為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題中條件求得雙曲線方程，再根據(jù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.【詳解】依題知，，則，所以雙曲線的方程為，且對于A，當(dāng)直線的斜率為零時(shí)，該直線截雙曲線的弦長為，故A錯(cuò)誤；對于B，雙曲線的離心率，故B正確；對于C，設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)，則，則，又的對稱軸為，故當(dāng)時(shí)，，故C正確；對于D，雙曲線方程知，漸近線方程為，故D正確；故選：BCD.12.材料：在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且法向量的平面的方程為，經(jīng)過點(diǎn)且方向向量的直線方程為．閱讀上面材料，并解決下列問題：平面的方程為，平面的方程為，直線的方程為，直線的方程為，則（）A.平面與垂直B.平面與所成角的余弦值為C.直線與平面平行D.直線與是異面直線【答案】AD【解析】【分析】首先確定平面的法向量和直線的方向向量；由可知A正確；利用線面角的向量求法可知B錯(cuò)誤；由及直線所過點(diǎn)在平面內(nèi)，可知，得C錯(cuò)誤；由與不平行及直線方程構(gòu)成的方程組無解可知兩直線異面，則D正確.【詳解】由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直線的方向向量，直線的方向向量；對于A，，，則平面與垂直，A正確；對于B，，平面與所成角的余弦值為，B錯(cuò)誤；對于C，，，直線平面或直線平面，直線過點(diǎn)，又滿足，直線平面，C錯(cuò)誤；對于D，與不平行，直線與直線相交或異面，由得：，此時(shí)無解，直線與直線無交點(diǎn)，直線與直線是異面直線，D正確.故選：AD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知等比數(shù)列滿足，，則______．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】等比數(shù)列滿足，，由，得.故答案為：1214.長方體中，，，點(diǎn)F是底面的中心，則直線與直線所成角的余弦值為______．【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，建立如下空間直角坐標(biāo)系，依題可得，,則,所以,故直線與直線所成角的余弦值為,故答案為：.15.寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程___________.【答案】（答案不唯一，或均可以）【解析】【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，再分情況依次求解可得.【詳解】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，如圖，有三條切線，易得切線的方程為；因?yàn)?，且，所以，設(shè)，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以；可知和關(guān)于對稱，聯(lián)立，解得在上，在上取點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，解得，則，所以直線，即，綜上，切線方程為或或.故答案為：（答案不唯一，或均可以）16.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為T，延長FT交橢圓C于點(diǎn)A，若T為線段AF的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為_________．【答案】##【解析】【分析】利用圖中的幾何關(guān)系及橢圓的定義即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,連接，,由幾何關(guān)系可知，則，即，由橢圓的定義可知，即且，整理得，解得，.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線與垂直,且經(jīng)過點(diǎn).（1）求的方程;（2）若與圓相交于兩點(diǎn),求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得直線的斜率為，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用直線與圓的弦長公式，即可求解.【小問1詳解】解：由直線，可得斜率，因?yàn)椋灾本€的斜率為，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】解：由圓，可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，又由圓的弦長公式，可得弦長.18.記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【解析】【分析】(1)由題意首先求得值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.19.“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項(xiàng)活動(dòng)，出現(xiàn)在宋朝．南宋時(shí)，首都臨安每逢元宵節(jié)時(shí)制迷，猜謎的人眾多．開始時(shí)是好事者把謎語寫在紙條上，貼在五光十色的彩燈上供人猜．因?yàn)橹i語既能啟迪智慧又饒有興趣，所以流傳過程中深受社會(huì)各階層的歡迎．在一次元宵節(jié)猜燈謎活動(dòng)中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨(dú)立競猜，甲同學(xué)猜對了12道，乙同學(xué)猜對了8道，丙同學(xué)猜對了n道．假設(shè)每道燈謎被猜對的可能性都相等．（1）任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對的概率；（2）任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人猜對的概率為，求n的值．【答案】（1）（2）10【解析】【分析】（1）設(shè)出相應(yīng)事件后，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式進(jìn)行求解即可；（2）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式即可求出n的值.【小問1詳解】設(shè)“甲猜對燈謎”為事件A，“乙猜對燈謎”為事件B，“任選一道燈謎，恰有一個(gè)人猜對”為事件C，由題意得，，，且事件A、B相互獨(dú)立，則，所以任選一道燈謎，恰有一個(gè)人猜對的概率為；【小問2詳解】設(shè)“丙猜對燈謎”為事件D，“任選一道燈謎，甲、乙、丙三個(gè)人都沒有猜對”為事件E，則由題意，，解得．20.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，E是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)F．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的大小．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）解法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明即可；解法二：首先證明平面，得到，再由，得到平面，從而得到，再由，即可得證；（2）解法一：利用空間向量法計(jì)算可得；解法二：由（1）可得為平面與平面所成角，利用銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.小問1詳解】解法一：因?yàn)榈酌媸钦叫?，?cè)棱底面，以D為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，依意得，，，，所以，，因?yàn)椋?，由已知，且，平面，平面，所以平面．解法二：底面是正方形，，底面，且平面，，，平面，平面，平面，平面，，，E為中點(diǎn)，，，平面，平面，平面，平面，，由已知，且，平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解法一：依題意得，且，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即取，因?yàn)椋?，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則即取，設(shè)平面與平面的夾角為，則，又，所以，所以平面與平面的夾角為．解法二：由（1）知平面，，又，平面，平面，為平面與平面所成角，，E為中點(diǎn)，，，平面，平面，，直角三角形中，，所以，所以平面與平面的夾角為21.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）利用推得，從而利用等比數(shù)列的定義即可證明，進(jìn)而求得；（2）利用錯(cuò)位相減法結(jié)合分組求和法即可求出.【小問1詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得得；當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，即，則，即，又，故，所以，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以．【小問2詳解】由（1）得，所以,所以，則，兩式相減，得，所以．22.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，且.過右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，的周長為.