專題08 解直角三角形（3大易錯點分析+13個易錯點+易錯題通關(guān)）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)考試易錯題（江蘇專用）（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages2727頁專題08解直角三角形勾股定理專題易錯點：1.審題不清：例如，在解決與勾股定理相關(guān)的問題時，學(xué)生可能會忽視題目中的關(guān)鍵信息，如是否明確指出某個角是直角，或者是否給出了直角三角形的兩條直角邊的長度。這可能導(dǎo)致錯誤的解題方向。2.概念理解不透徹：例如，對于勾股定理及其逆定理的理解不透徹。勾股定理說的是在直角三角形中，直角邊的平方和等于斜邊的平方。而其逆定理是，如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。學(xué)生可能會在應(yīng)用這些定理時發(fā)生混淆或錯誤。3.運算錯誤：在進行勾股定理的計算時，學(xué)生可能會因為運算錯誤（如加法、減法、乘法、除法等）而得出錯誤的結(jié)果。4.忽視特殊情況：例如，當(dāng)直角三角形的兩條直角邊長度相等時，它同時也是一個等腰直角三角形。這種情況下，學(xué)生可能會忽視這個特殊性質(zhì)，導(dǎo)致解題錯誤。5.無法靈活運用：勾股定理的應(yīng)用并不僅限于求解三角形的邊長，還可以應(yīng)用于其他領(lǐng)域，如計算物體的斜拋距離等。學(xué)生如果不能靈活運用勾股定理，就可能在一些實際問題中無法正確應(yīng)用。易錯點1：趙爽弦圖例：“趙爽弦圖”巧妙的利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕做，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的長直角邊是，小正方形的面積是，則大正方形的面積是（

）A．121 B．144 C．169 D．196【答案】C【分析】本題考查了勾股定理和求正方形的面積，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，則，小正方形的面積為，則，可得，則大正方形的面積為，即可求解．【詳解】設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，則，又∵小正方形的面積為，則，解得，∴大正方形的面積為，故選：C．變式1：如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，如果圖1中的直角三角形的長直角邊為6，短直角邊為2，圖3中陰影部分的面積為S，那么S的值為．【答案】32【分析】本題主要考查了勾股定理中趙爽弦圖模型，關(guān)鍵在于正確找出勾股關(guān)系，利用轉(zhuǎn)換面積作差求解．利用勾股定理，求出空白部分面積，通過間接作差得出陰影部分面積．【詳解】解：如圖，由題意得，，是直角三角形，則大正方形面積，面積，陰影部分的面積，故答案為：32變式2：數(shù)學(xué)家波利亞說過：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量用兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立等量關(guān)系．”類似的，我們可以用兩種不同的方法來表示同一個圖形的面積，從而得到一個等式．(1)如圖，大正方形是由兩個小正方形和兩個形狀大小完全相同的長方形拼成，請用兩種不同的方法表示圖中大正方形的面積．方法：______；方法：______；根據(jù)以上信息，可以得到的等式是______；(2)如圖，大正方形是由四個邊長分別為的直角三角形（為斜邊）和一個小正方形拼成，請用兩種不同的方法分別表示小正方形的面積，并推導(dǎo)得到之間的數(shù)量關(guān)系；(3)在（）的條件下，若，求斜邊的值．【答案】(1)，，；(2)；(3)．【分析】（）用整體法和分割法分別表示即可，進而得到等式；（）用整體法和分割法分別表示即可，進而得到；（）把代入到（）中的關(guān)系式中計算即可求解；本題考查了完全平方公式和勾股定理的幾何背景，學(xué)會用兩種方法表示同一個圖形的面積是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：方法：，方法：，可以得到的等式是：，故答案為：，，；（2）解：方法：，方法：，∴，∴；（3）解：把代入得，，∴．易錯點2：勾股定理的折疊問題例：如圖，在矩形中，，點F是的中點，M是上一點，N是上一點，將矩形沿著折疊，點落在點E處，點C恰好落在點F處，若，則（）A．2.5cm B．cm C．cm D．3cm【答案】B【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．設(shè)，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得四邊形和四邊形關(guān)于對稱，然后根據(jù)勾股定理可得，進而即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴設(shè)，則，∵四邊形是矩形，，∴，，由折疊可知：四邊形和四邊形關(guān)于對稱，∴，，，，∵是的中點，∴，在和中，根據(jù)勾股定理得：，，∴，∴，解得（負值舍去），∴．故選：B．變式1：王同學(xué)用長方形紙片折紙飛機，前三步分別如圖，圖，圖，

第一步：將長方形紙片沿對稱軸對折后展開，折出折痕；第二步：將和分別沿，翻折，，重合于折痕上；第三步：將和分別沿，翻折，，重合于折痕上．已知，，則的長是．【答案】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)．由矩形的性質(zhì)得到，，，圖①由折疊的性質(zhì)得到：，，推出四邊形是矩形，圖②由折疊的性質(zhì)得到四邊形是正方形，因此，圖③由折疊的性質(zhì)得到，由平行線的性質(zhì)得到，因此，推出，由求解即可．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，圖①由折疊的性質(zhì)得到：，，，∵，，四邊形是矩形，圖②由折疊的性質(zhì)得到：，，，四邊形是正方形，，，圖③由折疊的性質(zhì)得到：，四邊形是矩形，∴，，，，．故答案為：．變式2：（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知矩形的對角線的垂直平分線與邊，分別交于點E、F．求證：四邊形是菱形；（2）【類比應(yīng)用】如圖②，直線分別交矩形的邊、于點E、F，將矩形沿翻折，使點C的對稱點與點A重合，點D的對稱點為，若，，求四邊形的周長；（3）【拓展延伸】如圖③，直線分別交平行四邊形的邊、于點E、F，將平行四邊形沿翻折，使點C的對稱點與點A重合，點D的對稱點為，若，，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）利用矩形和垂直平分線的性質(zhì)，證明，得到，可證四邊形為平行四邊形，再由，即可證平行四邊形為菱形；（2）過點F作于H，利用折疊的性質(zhì)和勾股定理，求出，，再由平行線的性質(zhì)和等角對等邊的性質(zhì)，得到，證明四邊形是矩形，得到，再利用勾股定理，求出，即可得出四邊形的周長；（3）過點A作，交的延長線于N，過點F作于M，先求得，得出，由折疊的性質(zhì)可知：，，再由等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，得出，證明四邊形是矩形，通過勾股定理，，再在中，求出的長即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵垂直平分，∴，，∴，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴平行四邊形為菱形；（2）解：如圖，過點F作于H，由折疊可知：，，，，，在中，，即，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴四邊形的周長+；（3）解：過點A作，交的延長線于N，過點F作于M，∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴，∵，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可知：，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴，在中，，∴，在中，．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)等知識，熟練掌握特殊的四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．易錯點3：勾股定理的證明例：勾股定理的驗證方法很多，用面積（拼圖）證明是最常見的一種方法，如圖所示，一個直立的長方體在桌面上慢慢地倒下，啟發(fā)人們想到勾股定理的證明方法，設(shè)，，，證明中用到的面積相等關(guān)系是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理的證明，等腰直角三角形的判定，表示出圖形面積的不同表達形式，建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．通過用兩種方法計算梯形的面積即可證明勾股定理．【詳解】解：矩形旋轉(zhuǎn)得出矩形，，，，，，，，是等腰直角三角形，由題意知：，，，，故選：C．變式1：人們很早就發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊滿足的關(guān)系，我國漢代“趙爽弦圖”（如圖）就巧妙的利用圖形面積證明了這一關(guān)系．下列幾何圖形中，可以正確的解釋直角三角形三邊這一關(guān)系的圖有．（直接填寫圖序號）【答案】③④/④③【分析】本題考查了勾股定理的證明方法，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握利用等面積法進行證明．分別求出①②③④的面積，進行化簡即可得．【詳解】解：①長方形的面積：，②，③，整理，得，④，整理，得，故答案為：③④．變式2：綜合與實踐勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明頗感興趣，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．(1)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖1所示的用4個全等的直角三角形拼成的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．在中，，若，，，請你利用這個圖形說明．(2)業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的和按如圖2所示的方式放置，，，，，連接，，用a，b，c分別表示出梯形，四邊形，的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，從而證明勾股定理．請你補充該證明過程．【答案】(1)說明見解析；(2)補充證明見解析．【分析】本題考查了勾股定理的證明方法，全等三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式；（2）先證明，然后分別表示出出梯形，四邊形，的面積，再根據(jù)四邊形的面積-四邊形的面積的面積即可求解．【詳解】（1）∵大正方形面積為，直角三角形面積為，小正方形面積為，∴，即；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∵直角梯形的面積，四邊形的面積，的面積，∵四邊形的面積－四邊形的面積的面積∴，化簡得：．易錯點4：勾股定理的平方關(guān)系例：如圖，在中，，，與相交于點P，于Q．則與的關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理及全等三角形的判定及性質(zhì)等知識點的綜合運用能力，證明是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴是等邊三角形．∴∵∴（SAS），∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴，∵，∴，∴∴故選：B．變式1：如圖，己知是正方形，P是對角線上一點，（填“>”、“=”或“<”），延長，與于點Q，與的延長線交于點G，H為的中點，連接，則、、的數(shù)量關(guān)系為．

【答案】【分析】利用正方形的性質(zhì)，證明，得到，根據(jù)為的中點，得到，，繼而證明，得到，即可推出，根據(jù)勾股定理得到，等量代換即可得解．【詳解】解：四邊形是正方形，，，在與中，，，，為的中點，，，，，在中，，在與中，，，，，，，∵，，，故答案為：，．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等邊對等角．變式2：綜合與實踐問題情境：小華發(fā)現(xiàn)這么一類四邊形，有一組對角之和為直角的四邊形，小華將這類四邊形命名為對余四邊形．猜想證明：(1)若四邊形是對余四邊形，則與的度數(shù)之和為__________．(2)如圖1，在上有A，B，C三點，是的直徑，，相交于點D．四邊形是對余四邊形嗎？若是，請給出證明；若不是，請說明理由，拓展探究：(3)如圖2，在對余四邊形中，，，，則線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出你的猜想，并說明理由．【答案】(1)或；(2)是，證明見詳解；(3)，理由見詳解．【分析】（1）對余四邊形的定義即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)對余四邊形的定義，由圓周角定理得出，說明即可；（3）將繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，利用已知條件得出，利用勾股定理可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵四邊形是對余四邊形，或時，．∴或．故答案為或．（2）證明：是的直徑，點A，B，C在上，．即．∴四邊形是對余四邊形．（3）猜想：線段和之間的數(shù)量關(guān)系為：．理由如下：，∴將繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，如圖，

則，．．為等邊三角形．．，．∴∠BFA+∠ADB=30°．，．．．．．【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了對余四邊形的定義、圓周角定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理等知識；熟練掌握對余四邊形的定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．銳角三角函數(shù)專題易錯點：1.理解意義不清：對于銳角三角函數(shù)的概念理解不夠深入，例如誤認為銳角三角函數(shù)的值與邊的長度有關(guān)，而實際上，銳角三角函數(shù)值與角的大小有關(guān)，與邊的長度無關(guān)。2.邊角關(guān)系對應(yīng)出錯：在解題過程中，學(xué)生可能會誤把某個邊當(dāng)作某個角的鄰邊或?qū)沁?，?dǎo)致計算錯誤。因此，在解題時，需要明確每個角和每條邊的對應(yīng)關(guān)系。3.利用勾股定理解題漏解：當(dāng)題目中沒有明確哪個角為直角時，學(xué)生可能會忽略分類討論的可能性，導(dǎo)致漏解。因此，在解題時，需要全面考慮所有可能的情況。4.利用勾股定理弄錯第三邊：在利用勾股定理計算時，學(xué)生可能會誤認為第三邊為斜邊，其實第三邊可能是斜邊，也可能是直角邊。因此，在解題時，需要明確每個邊的角色和屬性。易錯點1：特殊角的三角函數(shù)值例：在中，若三個內(nèi)角，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及三角形內(nèi)角和．熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．先求出、的度數(shù)，即可計算得到結(jié)論．【詳解】解：∵的度數(shù)之比為，，∴，，∴，，∴，故選：B．變式1：如果直線和直線所夾的銳角為，那么的值為．【答案】【分析】本題考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的構(gòu)建圖形是解本題的關(guān)鍵，先畫圖求解，再利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可．【詳解】解：如圖，直線與兩函數(shù)的交點分別為，，與軸的交點為，∴，，∴，，∴，即，．故答案為：變式2：（1）計算：；（2）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1）；（2）；4【分析】此題考查了實數(shù)的混合運算、絕對值、分式的化簡求值及特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是熟練各部分的運算，一定要細心運算．（1）先計算零指數(shù)冪，二次根式，絕對值及特殊角的三角函數(shù)值，再計算加減即可；（2）先根據(jù)分式的混合運算法則化簡，再將代入計算即可．【詳解】解：（1）；（2）；當(dāng)時，原式．易錯點2：銳角三角函數(shù)的增減性例：s，，的大小關(guān)系是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知：和都小于，大于，故最大；只需比較和，又，再根據(jù)正弦值隨著角的增大而增大，進行比較．【詳解】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知，，．又，正弦值隨著角的增大而增大，．故選D．變式1：若是銳角，，則應(yīng)滿足．【答案】【分析】首先明確，再根據(jù)余弦函數(shù)隨角增大而減小即可得出答案．【詳解】解：∵，余弦函數(shù)隨角增大而減小，∴，故答案為：．【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值，了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．變式2：（1）如圖，銳角的正弦和余弦都隨著銳角的確定而確定，也隨著其變化而變化，試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的正弦值和余弦值的變化規(guī)律；（2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試比較，，，，，這些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比較大?。海ㄔ诳崭裉幪顚憽埃肌被颉?gt;”或“=”）若，則___________；若，則__________；若，則__________；（4）利用互余的兩個角的正弦和余弦的關(guān)系，比較下列正弦值和余弦值的大小：，，，．【答案】（1）見解析；（2）；；（3）=，＜，>；（4）【分析】（1）在圖（1）中，令，于點，于點，于點，有，．利用正弦公式求得；依據(jù)余弦公式得到；（2）由（1）得，當(dāng)角度越大時，正弦值越大；當(dāng)角度越大時，余弦值越小，即可得到答案；（3）利用概念分別得到、、的正弦值和余弦值，比較即可得到答案；（4）由，，利用（1）的結(jié)論解答即可．【詳解】（1）在圖（1）中，令，于點，于點，于點，顯然有：，．∵，，，而．∴．在圖（2）中，中，，，，，∵，∴．即．（2）由（1）得，當(dāng)角度越大時，正弦值越大；當(dāng)角度越大時，余弦值越小，∴；．（3）∵，，∴若，則；∵，，∴若，則；∵，，∴若，則．故答案為：=，<，>；（4）∵，，且，∴．【點睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的概念，掌握銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律以及正余弦的轉(zhuǎn)換方法是解題的關(guān)鍵．易錯點3：同角三角函數(shù)關(guān)系例：我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題利用三角函數(shù)間的關(guān)系和面積相等進行變形解題即可．【詳解】解：∵，，∴即，，，故選：A．【點睛】本題考查等式利用等式的性質(zhì)解題化簡，熟悉是解題的關(guān)鍵．變式1：已知，則的值為．【答案】【分析】分子分母同時除以，化成正切代入即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴故答案為：．變式2：同學(xué)們，在我們進入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：，；，．例：．(1)試仿照例題，求出的值；(2)若已知銳角α滿足條件，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把化為直接代入三角函數(shù)公式計算即可；（2）把化為直接代入三角函數(shù)公式計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，α為銳角，解得，∴．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于新題型，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給信息結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值來求解．易錯點4：胡不歸例：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，若P是x軸上一動點，，連接，則的最小值是（

）A．6 B．8 C． D．【答案】A【分析】連接，過點P作垂足為H，過點Q作垂足為，先求出A，C，B的坐標(biāo)，得到為等腰直角三角形，求出，得到，利用垂線段最短可知，的最小值為，進而得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接，過點P作，垂足為H，過點Q作，垂足為，令，即，解得：或，，，當(dāng)時，，，，，，.，即，根據(jù)垂線段最短可知，的最小值為的長度，，，，即的最小值為6．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)中的線段最值問題，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，特殊三角函數(shù)的應(yīng)用，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵得到的最小值為的長度．變式1：如圖，在中，，，，點D是邊上的動點，連接，則的最小值為．【答案】/【分析】本題考查利用軸對稱求最小值問題，涉及解直角三角形、勾股定理等知識．作點關(guān)于的對稱點，連接，作，垂足為，利用勾股定理求得，利用三角函數(shù)求得，將轉(zhuǎn)化為，當(dāng)共線時，有最小值，最小值為的長，據(jù)此求解即可．【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，連接，作，垂足為，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵點與點關(guān)于對稱，∴，∴，當(dāng)共線時，有最小值，最小值為的長．在中，，∴，∴，即的最小值為．故答案為：．變式2：如圖，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點C，連接．(1)點P在下方的拋物線上，連接，若，求點P的坐標(biāo)；(2)點N在線段上，若存在最小值n，求點N的坐標(biāo)及n的值．【答案】(1)或；(2)．【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積、垂線段最短等知識，綜合性很強，難度適宜．（1）可分別得到點和點的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式，求解得函數(shù)關(guān)系式，過點作軸的平行線，交于點，設(shè)點P的坐標(biāo)為，則點D的坐標(biāo)為，再求解即可；（3）作，垂足為點E，先證得為等腰直角三角形．可得．．當(dāng)點A，N，E共線時，有最小值．最小值n為線段的長．再求解鄧可．【詳解】（1）將坐標(biāo)代入拋物線解析式得，，解得，拋物線的解析式為：，令,得，則,設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，如圖，過點P作軸，交于點D．設(shè)點P的坐標(biāo)為，則點D的坐標(biāo)為．∴．由，得．解得，．∴點P的坐標(biāo)為或；（2）如圖，作，垂足為點E．，，，為等腰直角三角形．∴．∴．當(dāng)點A，N，E共線時，有最小值．最小值n為線段的長．為等腰直角三角形．，，為等腰直角三角形．，△為等腰直角三角形．∴，即點N的坐標(biāo)為．∴．∴n的值是．解直角三角形及其應(yīng)用專題易錯點：1.混淆概念：對于初學(xué)者來說，混淆“對邊”、“鄰邊”和“斜邊”的概念是很常見的錯誤。在直角三角形中，這些邊有特定的定義和關(guān)系，必須清楚理解。2.誤用三角函數(shù)：學(xué)生可能會錯誤地使用三角函數(shù)，例如，將正弦函數(shù)用于計算余弦值，或者將余弦函數(shù)用于計算正弦值。此外，混淆度數(shù)和弧度也是常見的錯誤。3.計算錯誤：在計算過程中，可能會由于四舍五入、筆誤或其他原因產(chǎn)生計算錯誤。因此，建議在計算過程中進行多次檢查，以確保準(zhǔn)確性。4.忽視題目條件：在解決實際問題時，學(xué)生可能會忽視題目中給出的條件，從而導(dǎo)致錯誤的答案。因此，在解決問題時，必須仔細閱讀題目，確保理解并考慮了所有的條件。5.不恰當(dāng)?shù)慕疲涸谀承┣闆r下，可能需要使用近似值來簡化計算。然而，如果不恰當(dāng)?shù)厥褂媒浦?，可能會?dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確。因此，必須明確何時可以使用近似值，何時需要保持精確。6.忽視單位：在處理實際問題時，單位是非常重要的。忽視單位或者錯誤地轉(zhuǎn)換單位都可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。因此，必須確保在計算過程中始終考慮單位。易錯點1：解非直角三角形例：如圖，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，將△AOB繞原點O旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是（

）A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）【答案】C【分析】先求出點A的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換中，坐標(biāo)的變換特征求解；或根據(jù)題意畫出圖形旋轉(zhuǎn)后的位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定對應(yīng)點A′的坐標(biāo)．【詳解】過點A作于點C．在Rt△AOC中，．在Rt△ABC中，．∴．∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，∴．∴．∴點A的坐標(biāo)是．根據(jù)題意畫出圖形旋轉(zhuǎn)后的位置，如圖，∴將△AOB繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°時，點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為；將△AOB繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°時，點A的對應(yīng)點A′′的坐標(biāo)為．故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形、旋轉(zhuǎn)中點的坐標(biāo)變換特征及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．（a，b）繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的坐標(biāo)為（b，-a），繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的坐標(biāo)為（－b，a）．變式1：如圖，在和中，，，，且點B，C，E在同一條直線上，與交于點F，連接、，若，．則的長為．【答案】/【分析】先證明，由此得到，可見的、邊AC、都是確定的，因此可通過解求出AD長．【詳解】解：如圖，分別過點A、D作，，則，在和中，由，，可得：，，∵，，∴，∴，在中，，∴，在中，，∴，分別解和，可得，，∴，又，∴四邊形AMND是平行四邊形，∴，∴，解，過點D作，由于，，故可設(shè)，則，，，由于，故得到，解得，∴．【點睛】本題重點考查了解直角三角形的相關(guān)知識．在直角三角形中，知道了除直角外的兩個元素（至少有一個元素是邊），就可以求出這個直角三角形的其他三個元素．如果沒有直角三角形，有時需要構(gòu)造直角三角形．本題中的的、邊AC、經(jīng)過分析可知都是確定的，故可“化斜為直”，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．變式2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB上一點．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如圖3，若AC=BC，點H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）證出，證明∽，得出，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)，則（），同（1）得，則，在中，，過作于，易證，求出，再由平行線分線段成比例定理即可得出答案；（3）過點作于，設(shè)，則（），，證明∽，得出，，求出，證明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函數(shù)定義即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴∽，∴，∴；（2）解：∵，∴設(shè)，則（），∵，，同（1）得：，∴，在中，，過作于，如圖2所示：則，在中，，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴；（3）解：過點作于，如圖3所示：∵，∴設(shè)，則（），∴，∵，，∴，∴又∵，∴∽，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題是相似形綜合題,主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)定義、平行線分線段成比例定理等知識；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì),證明三角形相似是解題的關(guān)鍵。易錯點2：仰角、俯角問題例：如圖，在200米高的峭壁上端A處，測得塔的塔頂C與塔基D的俯角分別為和，那么塔高是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查仰角、俯角的概念，以及解直角三角形方法．構(gòu)造為斜邊的直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)及相應(yīng)的三角函數(shù)求得，長，進而求解．【詳解】解：延長交過A的水平線于點E．

∵在高的峭壁上測得一塔的塔基的俯角分別為．∴．∵在高的峭壁上測得一塔的塔頂?shù)母┙欠謩e為，且，∴，∴．故選B．變式1：如圖，河旁有一座小山，從山頂處測得河對岸點C的俯角為，測得岸邊點D的俯角為，通過測量可知河的寬度為．現(xiàn)需從山頂?shù)胶訉Π饵c拉一條筆直的纜繩，則．（計算結(jié)果用含根號的式子表示）．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義．根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形；利用公共邊構(gòu)造等量關(guān)系，進而可求出答案．【詳解】解：作交的延長線于點，在中，，，，，設(shè)，則，，，，，，解得：，（米）．答：纜繩的長為米．故答案為：變式2：信號山公園位于青島老城區(qū)的中心位置，山頂有幢紅色蘑菇樓，取意于古代通信的柄火炬，其中旋轉(zhuǎn)觀景樓高共層，樓內(nèi)鑲嵌著反映人類通信發(fā)展史的大型彩色釉畫某校數(shù)學(xué)社團登上信號山開展實踐活動，他們利用無人機在點處測得觀景樓頂端的俯角為，測得觀景樓底端的俯角為，此時無人機到山頂?shù)孛娴拇怪本嚯x為米，求旋轉(zhuǎn)觀景樓的高度(結(jié)果保留整數(shù))．(參考數(shù)據(jù)：，，，，)【答案】旋轉(zhuǎn)觀景樓的高度約為米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，延長交于點，根據(jù)題意可得：米，，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答．【詳解】解：延長交于點，由題意得：米，，在中，，(米)在中，，(米)(米)旋轉(zhuǎn)觀景樓的高度約為米．易錯點3：方位角問題例：現(xiàn)在手機導(dǎo)航極大方便了人們的出行，如圖，嘉琪一家自駕到風(fēng)景區(qū)游玩，到達地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西方向行駛4千米至地，再沿北偏東方向行駛一段距離到達風(fēng)景區(qū)，嘉琪發(fā)現(xiàn)風(fēng)景區(qū)在地的北偏東方向，那么B，C兩地的距離為（

）

A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形性質(zhì)和計算，方位角的表示，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵；過點B作于點D，根據(jù)，，利用三角形內(nèi)角和定理求出，在得出長度，，利用勾股定理求出，即再次利用勾股定理求出的長．【詳解】如圖所示：過點B作于點D，

由題意得：，，，，，，，（千米），，（千米），（千米），故選：A變式1：某輪船由西向東航行，在處測得小島的方位是北偏東，又繼續(xù)航行海里后，在處測得小島的方位是北偏東，若輪船繼續(xù)向正東方向行駛，則輪船與小島的最短距離海里．【答案】【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題，正確證明是等腰三角形是解決本題的關(guān)鍵．先過作的垂線，在直角中可以求得，證明是等腰三角形，即可求解．【詳解】解：如圖，過作的垂線，即為所求，，，，，，（海里），（海里），故答案為：．變式2：2021年5月7日，“雪龍2”船返回上海國內(nèi)基地碼頭，標(biāo)志著中國第37次南極考察圓滿完成．已知“雪龍2”船上午9時在B市的北偏西方向上的點A處，且在C島的南偏西方向上，已知B市在C島的南偏西方向上，且距離C島116km．此時，“雪龍2”船沿著方向以24km/h的速度航行．請你計算“雪龍2”船大約幾點鐘到達C島？（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】“雪龍2”船大約13點鐘到達C島【分析】本題考查解直角三角形，方向角問題．根據(jù)題意過點A作，設(shè)，，列方程計算出，，繼而得到本題答案．【詳解】解：過點A作，，由題意知，，，km，∵，，∴設(shè)，，則，∴，解得：，∴，∵，∴，，，答：“雪龍2”船大約13點鐘到達C島．易錯點4：坡角、坡比問題例：為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過點作，垂足為，根據(jù)題意可得：，，再根據(jù)已知可設(shè)米，則米，然后在中，利用勾股定理求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，最后進行計算即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，由題意得：，，斜面的坡度，，設(shè)米，則米，在中，（米，在中，，米，（米，米，，解得：，（米，斜坡的長約為10米．故選：B變式1：如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿，從辦公大樓頂端A測得旗桿頂端E的俯角是，旗桿低端D到大樓前梯坎底邊的距離是20米，梯坎坡長是12米，梯坎坡度，米．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度、俯角問題，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出的長．【詳解】解：如下圖，延長交于H，作于G，則米，，梯坎坡度，，設(shè)米，則米，在中，米，由勾股定理得：，解得：，米，米，（米），米，，，是等腰直角三角形，米，米，故答案為：．變式2：在學(xué)習(xí)解直角三角形以后，某班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)測量了旗桿的高度，如圖，某一時刻，旗桿的影子一部分落在平臺上，另一部分落在斜坡上，測得落在平臺上的影長為6米，落在斜坡上的影長為4米，，點A、B、F三點共線，且，同一時刻，光線與旗桿的夾角為，斜坡CE的坡比為，旗桿的高度為多少米？（結(jié)果保留根號）

【答案】米【分析】本題考查了與坡度、坡比有關(guān)的解直角三角形的實際應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵；作于G，于H；設(shè)米，由坡比得，由勾股定理即可求得x的值，進而求得的長度；在中，由正切關(guān)系求出，則由即可求解．【詳解】解：作于G，于H，則四邊形為矩形，∴，設(shè)米，∵斜坡的坡比為，∴，由