專題08 解直角三角形（3大易錯(cuò)點(diǎn)分析+13個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)+易錯(cuò)題通關(guān)）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（江蘇專用）（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages2727頁(yè)專題08解直角三角形勾股定理專題易錯(cuò)點(diǎn)：1.審題不清：例如，在解決與勾股定理相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忽視題目中的關(guān)鍵信息，如是否明確指出某個(gè)角是直角，或者是否給出了直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)度。這可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的解題方向。2.概念理解不透徹：例如，對(duì)于勾股定理及其逆定理的理解不透徹。勾股定理說(shuō)的是在直角三角形中，直角邊的平方和等于斜邊的平方。而其逆定理是，如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。學(xué)生可能會(huì)在應(yīng)用這些定理時(shí)發(fā)生混淆或錯(cuò)誤。3.運(yùn)算錯(cuò)誤：在進(jìn)行勾股定理的計(jì)算時(shí)，學(xué)生可能會(huì)因?yàn)檫\(yùn)算錯(cuò)誤（如加法、減法、乘法、除法等）而得出錯(cuò)誤的結(jié)果。4.忽視特殊情況：例如，當(dāng)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度相等時(shí)，它同時(shí)也是一個(gè)等腰直角三角形。這種情況下，學(xué)生可能會(huì)忽視這個(gè)特殊性質(zhì)，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。5.無(wú)法靈活運(yùn)用：勾股定理的應(yīng)用并不僅限于求解三角形的邊長(zhǎng)，還可以應(yīng)用于其他領(lǐng)域，如計(jì)算物體的斜拋距離等。學(xué)生如果不能靈活運(yùn)用勾股定理，就可能在一些實(shí)際問(wèn)題中無(wú)法正確應(yīng)用。易錯(cuò)點(diǎn)1：趙爽弦圖例：“趙爽弦圖”巧妙的利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕做，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的長(zhǎng)直角邊是，小正方形的面積是，則大正方形的面積是（

）A．121 B．144 C．169 D．196【答案】C【分析】本題考查了勾股定理和求正方形的面積，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，則，小正方形的面積為，則，可得，則大正方形的面積為，即可求解．【詳解】設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，則，又∵小正方形的面積為，則，解得，∴大正方形的面積為，故選：C．變式1：如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，如果圖1中的直角三角形的長(zhǎng)直角邊為6，短直角邊為2，圖3中陰影部分的面積為S，那么S的值為．【答案】32【分析】本題主要考查了勾股定理中趙爽弦圖模型，關(guān)鍵在于正確找出勾股關(guān)系，利用轉(zhuǎn)換面積作差求解．利用勾股定理，求出空白部分面積，通過(guò)間接作差得出陰影部分面積．【詳解】解：如圖，由題意得，，是直角三角形，則大正方形面積，面積，陰影部分的面積，故答案為：32變式2：數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：“為了得到一個(gè)方程，我們必須把同一個(gè)量用兩種不同的方法表示出來(lái)，即將一個(gè)量算兩次，從而建立等量關(guān)系．”類似的，我們可以用兩種不同的方法來(lái)表示同一個(gè)圖形的面積，從而得到一個(gè)等式．(1)如圖，大正方形是由兩個(gè)小正方形和兩個(gè)形狀大小完全相同的長(zhǎng)方形拼成，請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖中大正方形的面積．方法：______；方法：______；根據(jù)以上信息，可以得到的等式是______；(2)如圖，大正方形是由四個(gè)邊長(zhǎng)分別為的直角三角形（為斜邊）和一個(gè)小正方形拼成，請(qǐng)用兩種不同的方法分別表示小正方形的面積，并推導(dǎo)得到之間的數(shù)量關(guān)系；(3)在（）的條件下，若，求斜邊的值．【答案】(1)，，；(2)；(3)．【分析】（）用整體法和分割法分別表示即可，進(jìn)而得到等式；（）用整體法和分割法分別表示即可，進(jìn)而得到；（）把代入到（）中的關(guān)系式中計(jì)算即可求解；本題考查了完全平方公式和勾股定理的幾何背景，學(xué)會(huì)用兩種方法表示同一個(gè)圖形的面積是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：方法：，方法：，可以得到的等式是：，故答案為：，，；（2）解：方法：，方法：，∴，∴；（3）解：把代入得，，∴．易錯(cuò)點(diǎn)2：勾股定理的折疊問(wèn)題例：如圖，在矩形中，，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，M是上一點(diǎn)，N是上一點(diǎn)，將矩形沿著折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)E處，點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)F處，若，則（）A．2.5cm B．cm C．cm D．3cm【答案】B【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．設(shè)，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得四邊形和四邊形關(guān)于對(duì)稱，然后根據(jù)勾股定理可得，進(jìn)而即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴設(shè)，則，∵四邊形是矩形，，∴，，由折疊可知：四邊形和四邊形關(guān)于對(duì)稱，∴，，，，∵是的中點(diǎn)，∴，在和中，根據(jù)勾股定理得：，，∴，∴，解得（負(fù)值舍去），∴．故選：B．變式1：王同學(xué)用長(zhǎng)方形紙片折紙飛機(jī)，前三步分別如圖，圖，圖，

第一步：將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)稱軸對(duì)折后展開，折出折痕；第二步：將和分別沿，翻折，，重合于折痕上；第三步：將和分別沿，翻折，，重合于折痕上．已知，，則的長(zhǎng)是．【答案】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)．由矩形的性質(zhì)得到，，，圖①由折疊的性質(zhì)得到：，，推出四邊形是矩形，圖②由折疊的性質(zhì)得到四邊形是正方形，因此，圖③由折疊的性質(zhì)得到，由平行線的性質(zhì)得到，因此，推出，由求解即可．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，圖①由折疊的性質(zhì)得到：，，，∵，，四邊形是矩形，圖②由折疊的性質(zhì)得到：，，，四邊形是正方形，，，圖③由折疊的性質(zhì)得到：，四邊形是矩形，∴，，，，．故答案為：．變式2：（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知矩形的對(duì)角線的垂直平分線與邊，分別交于點(diǎn)E、F．求證：四邊形是菱形；（2）【類比應(yīng)用】如圖②，直線分別交矩形的邊、于點(diǎn)E、F，將矩形沿翻折，使點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為，若，，求四邊形的周長(zhǎng)；（3）【拓展延伸】如圖③，直線分別交平行四邊形的邊、于點(diǎn)E、F，將平行四邊形沿翻折，使點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為，若，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）利用矩形和垂直平分線的性質(zhì)，證明，得到，可證四邊形為平行四邊形，再由，即可證平行四邊形為菱形；（2）過(guò)點(diǎn)F作于H，利用折疊的性質(zhì)和勾股定理，求出，，再由平行線的性質(zhì)和等角對(duì)等邊的性質(zhì)，得到，證明四邊形是矩形，得到，再利用勾股定理，求出，即可得出四邊形的周長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于N，過(guò)點(diǎn)F作于M，先求得，得出，由折疊的性質(zhì)可知：，，再由等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，得出，證明四邊形是矩形，通過(guò)勾股定理，，再在中，求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵垂直平分，∴，，∴，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴平行四邊形為菱形；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作于H，由折疊可知：，，，，，在中，，即，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴四邊形的周長(zhǎng)+；（3）解：過(guò)點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于N，過(guò)點(diǎn)F作于M，∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴，∵，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可知：，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴，在中，，∴，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握特殊的四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．易錯(cuò)點(diǎn)3：勾股定理的證明例：勾股定理的驗(yàn)證方法很多，用面積（拼圖）證明是最常見的一種方法，如圖所示，一個(gè)直立的長(zhǎng)方體在桌面上慢慢地倒下，啟發(fā)人們想到勾股定理的證明方法，設(shè)，，，證明中用到的面積相等關(guān)系是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理的證明，等腰直角三角形的判定，表示出圖形面積的不同表達(dá)形式，建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．通過(guò)用兩種方法計(jì)算梯形的面積即可證明勾股定理．【詳解】解：矩形旋轉(zhuǎn)得出矩形，，，，，，，，是等腰直角三角形，由題意知：，，，，故選：C．變式1：人們很早就發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊滿足的關(guān)系，我國(guó)漢代“趙爽弦圖”（如圖）就巧妙的利用圖形面積證明了這一關(guān)系．下列幾何圖形中，可以正確的解釋直角三角形三邊這一關(guān)系的圖有．（直接填寫圖序號(hào)）【答案】③④/④③【分析】本題考查了勾股定理的證明方法，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握利用等面積法進(jìn)行證明．分別求出①②③④的面積，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得．【詳解】解：①長(zhǎng)方形的面積：，②，③，整理，得，④，整理，得，故答案為：③④．變式2：綜合與實(shí)踐勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明頗感興趣，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．(1)我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖1所示的用4個(gè)全等的直角三角形拼成的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．在中，，若，，，請(qǐng)你利用這個(gè)圖形說(shuō)明．(2)業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的和按如圖2所示的方式放置，，，，，連接，，用a，b，c分別表示出梯形，四邊形，的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，從而證明勾股定理．請(qǐng)你補(bǔ)充該證明過(guò)程．【答案】(1)說(shuō)明見解析；(2)補(bǔ)充證明見解析．【分析】本題考查了勾股定理的證明方法，全等三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，列出等式化簡(jiǎn)即可得出勾股定理的表達(dá)式；（2）先證明，然后分別表示出出梯形，四邊形，的面積，再根據(jù)四邊形的面積-四邊形的面積的面積即可求解．【詳解】（1）∵大正方形面積為，直角三角形面積為，小正方形面積為，∴，即；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∵直角梯形的面積，四邊形的面積，的面積，∵四邊形的面積－四邊形的面積的面積∴，化簡(jiǎn)得：．易錯(cuò)點(diǎn)4：勾股定理的平方關(guān)系例：如圖，在中，，，與相交于點(diǎn)P，于Q．則與的關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理及全等三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力，證明是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴是等邊三角形．∴∵∴（SAS），∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴，∵，∴，∴∴故選：B．變式1：如圖，己知是正方形，P是對(duì)角線上一點(diǎn)，（填“>”、“=”或“<”），延長(zhǎng)，與于點(diǎn)Q，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，H為的中點(diǎn)，連接，則、、的數(shù)量關(guān)系為．

【答案】【分析】利用正方形的性質(zhì)，證明，得到，根據(jù)為的中點(diǎn)，得到，，繼而證明，得到，即可推出，根據(jù)勾股定理得到，等量代換即可得解．【詳解】解：四邊形是正方形，，，在與中，，，，為的中點(diǎn)，，，，，在中，，在與中，，，，，，，∵，，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角．變式2：綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：小華發(fā)現(xiàn)這么一類四邊形，有一組對(duì)角之和為直角的四邊形，小華將這類四邊形命名為對(duì)余四邊形．猜想證明：(1)若四邊形是對(duì)余四邊形，則與的度數(shù)之和為__________．(2)如圖1，在上有A，B，C三點(diǎn)，是的直徑，，相交于點(diǎn)D．四邊形是對(duì)余四邊形嗎？若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由，拓展探究：(3)如圖2，在對(duì)余四邊形中，，，，則線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出你的猜想，并說(shuō)明理由．【答案】(1)或；(2)是，證明見詳解；(3)，理由見詳解．【分析】（1）對(duì)余四邊形的定義即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)對(duì)余四邊形的定義，由圓周角定理得出，說(shuō)明即可；（3）將繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，利用已知條件得出，利用勾股定理可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵四邊形是對(duì)余四邊形，或時(shí)，．∴或．故答案為或．（2）證明：是的直徑，點(diǎn)A，B，C在上，．即．∴四邊形是對(duì)余四邊形．（3）猜想：線段和之間的數(shù)量關(guān)系為：．理由如下：，∴將繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，如圖，

則，．．為等邊三角形．．，．∴∠BFA+∠ADB=30°．，．．．．．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了對(duì)余四邊形的定義、圓周角定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握對(duì)余四邊形的定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．銳角三角函數(shù)專題易錯(cuò)點(diǎn)：1.理解意義不清：對(duì)于銳角三角函數(shù)的概念理解不夠深入，例如誤認(rèn)為銳角三角函數(shù)的值與邊的長(zhǎng)度有關(guān)，而實(shí)際上，銳角三角函數(shù)值與角的大小有關(guān)，與邊的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。2.邊角關(guān)系對(duì)應(yīng)出錯(cuò)：在解題過(guò)程中，學(xué)生可能會(huì)誤把某個(gè)邊當(dāng)作某個(gè)角的鄰邊或?qū)沁?，?dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。因此，在解題時(shí)，需要明確每個(gè)角和每條邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系。3.利用勾股定理解題漏解：當(dāng)題目中沒(méi)有明確哪個(gè)角為直角時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忽略分類討論的可能性，導(dǎo)致漏解。因此，在解題時(shí)，需要全面考慮所有可能的情況。4.利用勾股定理弄錯(cuò)第三邊：在利用勾股定理計(jì)算時(shí)，學(xué)生可能會(huì)誤認(rèn)為第三邊為斜邊，其實(shí)第三邊可能是斜邊，也可能是直角邊。因此，在解題時(shí)，需要明確每個(gè)邊的角色和屬性。易錯(cuò)點(diǎn)1：特殊角的三角函數(shù)值例：在中，若三個(gè)內(nèi)角，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及三角形內(nèi)角和．熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．先求出、的度數(shù)，即可計(jì)算得到結(jié)論．【詳解】解：∵的度數(shù)之比為，，∴，，∴，，∴，故選：B．變式1：如果直線和直線所夾的銳角為，那么的值為．【答案】【分析】本題考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的構(gòu)建圖形是解本題的關(guān)鍵，先畫圖求解，再利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，直線與兩函數(shù)的交點(diǎn)分別為，，與軸的交點(diǎn)為，∴，，∴，，∴，即，．故答案為：變式2：（1）計(jì)算：；（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】（1）；（2）；4【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、絕對(duì)值、分式的化簡(jiǎn)求值及特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是熟練各部分的運(yùn)算，一定要細(xì)心運(yùn)算．（1）先計(jì)算零指數(shù)冪，二次根式，絕對(duì)值及特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算加減即可；（2）先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再將代入計(jì)算即可．【詳解】解：（1）；（2）；當(dāng)時(shí)，原式．易錯(cuò)點(diǎn)2：銳角三角函數(shù)的增減性例：s，，的大小關(guān)系是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知：和都小于，大于，故最大；只需比較和，又，再根據(jù)正弦值隨著角的增大而增大，進(jìn)行比較．【詳解】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知，，．又，正弦值隨著角的增大而增大，．故選D．變式1：若是銳角，，則應(yīng)滿足．【答案】【分析】首先明確，再根據(jù)余弦函數(shù)隨角增大而減小即可得出答案．【詳解】解：∵，余弦函數(shù)隨角增大而減小，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值，了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．變式2：（1）如圖，銳角的正弦和余弦都隨著銳角的確定而確定，也隨著其變化而變化，試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的正弦值和余弦值的變化規(guī)律；（2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試比較，，，，，這些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比較大?。海ㄔ诳崭裉幪顚憽埃肌被颉?gt;”或“=”）若，則___________；若，則__________；若，則__________；（4）利用互余的兩個(gè)角的正弦和余弦的關(guān)系，比較下列正弦值和余弦值的大小：，，，．【答案】（1）見解析；（2）；；（3）=，＜，>；（4）【分析】（1）在圖（1）中，令，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，有，．利用正弦公式求得；依據(jù)余弦公式得到；（2）由（1）得，當(dāng)角度越大時(shí)，正弦值越大；當(dāng)角度越大時(shí)，余弦值越小，即可得到答案；（3）利用概念分別得到、、的正弦值和余弦值，比較即可得到答案；（4）由，，利用（1）的結(jié)論解答即可．【詳解】（1）在圖（1）中，令，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，顯然有：，．∵，，，而．∴．在圖（2）中，中，，，，，∵，∴．即．（2）由（1）得，當(dāng)角度越大時(shí)，正弦值越大；當(dāng)角度越大時(shí)，余弦值越小，∴；．（3）∵，，∴若，則；∵，，∴若，則；∵，，∴若，則．故答案為：=，<，>；（4）∵，，且，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的概念，掌握銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律以及正余弦的轉(zhuǎn)換方法是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)點(diǎn)3：同角三角函數(shù)關(guān)系例：我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個(gè)結(jié)論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對(duì)的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題利用三角函數(shù)間的關(guān)系和面積相等進(jìn)行變形解題即可．【詳解】解：∵，，∴即，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等式利用等式的性質(zhì)解題化簡(jiǎn)，熟悉是解題的關(guān)鍵．變式1：已知，則的值為．【答案】【分析】分子分母同時(shí)除以，化成正切代入即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴故答案為：．變式2：同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：，；，．例：．(1)試仿照例題，求出的值；(2)若已知銳角α滿足條件，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把化為直接代入三角函數(shù)公式計(jì)算即可；（2）把化為直接代入三角函數(shù)公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，α為銳角，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于新題型，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給信息結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值來(lái)求解．易錯(cuò)點(diǎn)4：胡不歸例：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，，連接，則的最小值是（

）A．6 B．8 C． D．【答案】A【分析】連接，過(guò)點(diǎn)P作垂足為H，過(guò)點(diǎn)Q作垂足為，先求出A，C，B的坐標(biāo)，得到為等腰直角三角形，求出，得到，利用垂線段最短可知，的最小值為，進(jìn)而得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為H，過(guò)點(diǎn)Q作，垂足為，令，即，解得：或，，，當(dāng)時(shí)，，，，，，.，即，根據(jù)垂線段最短可知，的最小值為的長(zhǎng)度，，，，即的最小值為6．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)中的線段最值問(wèn)題，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，特殊三角函數(shù)的應(yīng)用，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵得到的最小值為的長(zhǎng)度．變式1：如圖，在中，，，，點(diǎn)D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為．【答案】/【分析】本題考查利用軸對(duì)稱求最小值問(wèn)題，涉及解直角三角形、勾股定理等知識(shí)．作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，作，垂足為，利用勾股定理求得，利用三角函數(shù)求得，將轉(zhuǎn)化為，當(dāng)共線時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，作，垂足為，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，當(dāng)共線時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)．在中，，∴，∴，即的最小值為．故答案為：．變式2：如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接．(1)點(diǎn)P在下方的拋物線上，連接，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)N在線段上，若存在最小值n，求點(diǎn)N的坐標(biāo)及n的值．【答案】(1)或；(2)．【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積、垂線段最短等知識(shí)，綜合性很強(qiáng)，難度適宜．（1）可分別得到點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式，求解得函數(shù)關(guān)系式，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，再求解即可；（3）作，垂足為點(diǎn)E，先證得為等腰直角三角形．可得．．當(dāng)點(diǎn)A，N，E共線時(shí)，有最小值．最小值n為線段的長(zhǎng)．再求解鄧可．【詳解】（1）將坐標(biāo)代入拋物線解析式得，，解得，拋物線的解析式為：，令,得，則,設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)D．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．∴．由，得．解得，．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；（2）如圖，作，垂足為點(diǎn)E．，，，為等腰直角三角形．∴．∴．當(dāng)點(diǎn)A，N，E共線時(shí)，有最小值．最小值n為線段的長(zhǎng)．為等腰直角三角形．，，為等腰直角三角形．，△為等腰直角三角形．∴，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為．∴．∴n的值是．解直角三角形及其應(yīng)用專題易錯(cuò)點(diǎn)：1.混淆概念：對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，混淆“對(duì)邊”、“鄰邊”和“斜邊”的概念是很常見的錯(cuò)誤。在直角三角形中，這些邊有特定的定義和關(guān)系，必須清楚理解。2.誤用三角函數(shù)：學(xué)生可能會(huì)錯(cuò)誤地使用三角函數(shù)，例如，將正弦函數(shù)用于計(jì)算余弦值，或者將余弦函數(shù)用于計(jì)算正弦值。此外，混淆度數(shù)和弧度也是常見的錯(cuò)誤。3.計(jì)算錯(cuò)誤：在計(jì)算過(guò)程中，可能會(huì)由于四舍五入、筆誤或其他原因產(chǎn)生計(jì)算錯(cuò)誤。因此，建議在計(jì)算過(guò)程中進(jìn)行多次檢查，以確保準(zhǔn)確性。4.忽視題目條件：在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忽視題目中給出的條件，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的答案。因此，在解決問(wèn)題時(shí)，必須仔細(xì)閱讀題目，確保理解并考慮了所有的條件。5.不恰當(dāng)?shù)慕疲涸谀承┣闆r下，可能需要使用近似值來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。然而，如果不恰當(dāng)?shù)厥褂媒浦担赡軙?huì)導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確。因此，必須明確何時(shí)可以使用近似值，何時(shí)需要保持精確。6.忽視單位：在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，單位是非常重要的。忽視單位或者錯(cuò)誤地轉(zhuǎn)換單位都可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。因此，必須確保在計(jì)算過(guò)程中始終考慮單位。易錯(cuò)點(diǎn)1：解非直角三角形例：如圖，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，將△AOB繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（

）A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）【答案】C【分析】先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換中，坐標(biāo)的變換特征求解；或根據(jù)題意畫出圖形旋轉(zhuǎn)后的位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)．【詳解】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)C．在Rt△AOC中，．在Rt△ABC中，．∴．∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，∴．∴．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是．根據(jù)題意畫出圖形旋轉(zhuǎn)后的位置，如圖，∴將△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為；將△AOB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′′的坐標(biāo)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、旋轉(zhuǎn)中點(diǎn)的坐標(biāo)變換特征及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．（a，b）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的坐標(biāo)為（b，-a），繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的坐標(biāo)為（－b，a）．變式1：如圖，在和中，，，，且點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，與交于點(diǎn)F，連接、，若，．則的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】先證明，由此得到，可見的、邊AC、都是確定的，因此可通過(guò)解求出AD長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，分別過(guò)點(diǎn)A、D作，，則，在和中，由，，可得：，，∵，，∴，∴，在中，，∴，在中，，∴，分別解和，可得，，∴，又，∴四邊形AMND是平行四邊形，∴，∴，解，過(guò)點(diǎn)D作，由于，，故可設(shè)，則，，，由于，故得到，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了解直角三角形的相關(guān)知識(shí)．在直角三角形中，知道了除直角外的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)元素是邊），就可以求出這個(gè)直角三角形的其他三個(gè)元素．如果沒(méi)有直角三角形，有時(shí)需要構(gòu)造直角三角形．本題中的的、邊AC、經(jīng)過(guò)分析可知都是確定的，故可“化斜為直”，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．變式2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如圖3，若AC=BC，點(diǎn)H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）證出，證明∽，得出，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)，則（），同（1）得，則，在中，，過(guò)作于，易證，求出，再由平行線分線段成比例定理即可得出答案；（3）過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，則（），，證明∽，得出，，求出，證明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函數(shù)定義即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴∽，∴，∴；（2）解：∵，∴設(shè)，則（），∵，，同（1）得：，∴，在中，，過(guò)作于，如圖2所示：則，在中，，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴；（3）解：過(guò)點(diǎn)作于，如圖3所示：∵，∴設(shè)，則（），∴，∵，，∴，∴又∵，∴∽，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題,主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)定義、平行線分線段成比例定理等知識(shí)；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì),證明三角形相似是解題的關(guān)鍵。易錯(cuò)點(diǎn)2：仰角、俯角問(wèn)題例：如圖，在200米高的峭壁上端A處，測(cè)得塔的塔頂C與塔基D的俯角分別為和，那么塔高是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查仰角、俯角的概念，以及解直角三角形方法．構(gòu)造為斜邊的直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)及相應(yīng)的三角函數(shù)求得，長(zhǎng)，進(jìn)而求解．【詳解】解：延長(zhǎng)交過(guò)A的水平線于點(diǎn)E．

∵在高的峭壁上測(cè)得一塔的塔基的俯角分別為．∴．∵在高的峭壁上測(cè)得一塔的塔頂?shù)母┙欠謩e為，且，∴，∴．故選B．變式1：如圖，河旁有一座小山，從山頂處測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)C的俯角為，測(cè)得岸邊點(diǎn)D的俯角為，通過(guò)測(cè)量可知河的寬度為．現(xiàn)需從山頂?shù)胶訉?duì)岸點(diǎn)拉一條筆直的纜繩，則．（計(jì)算結(jié)果用含根號(hào)的式子表示）．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義．根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形；利用公共邊構(gòu)造等量關(guān)系，進(jìn)而可求出答案．【詳解】解：作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，，，，，設(shè)，則，，，，，，解得：，（米）．答：纜繩的長(zhǎng)為米．故答案為：變式2：信號(hào)山公園位于青島老城區(qū)的中心位置，山頂有幢紅色蘑菇樓，取意于古代通信的柄火炬，其中旋轉(zhuǎn)觀景樓高共層，樓內(nèi)鑲嵌著反映人類通信發(fā)展史的大型彩色釉畫某校數(shù)學(xué)社團(tuán)登上信號(hào)山開展實(shí)踐活動(dòng)，他們利用無(wú)人機(jī)在點(diǎn)處測(cè)得觀景樓頂端的俯角為，測(cè)得觀景樓底端的俯角為，此時(shí)無(wú)人機(jī)到山頂?shù)孛娴拇怪本嚯x為米，求旋轉(zhuǎn)觀景樓的高度(結(jié)果保留整數(shù))．(參考數(shù)據(jù)：，，，，)【答案】旋轉(zhuǎn)觀景樓的高度約為米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：米，，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意得：米，，在中，，(米)在中，，(米)(米)旋轉(zhuǎn)觀景樓的高度約為米．易錯(cuò)點(diǎn)3：方位角問(wèn)題例：現(xiàn)在手機(jī)導(dǎo)航極大方便了人們的出行，如圖，嘉琪一家自駕到風(fēng)景區(qū)游玩，到達(dá)地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西方向行駛4千米至地，再沿北偏東方向行駛一段距離到達(dá)風(fēng)景區(qū)，嘉琪發(fā)現(xiàn)風(fēng)景區(qū)在地的北偏東方向，那么B，C兩地的距離為（

）

A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形性質(zhì)和計(jì)算，方位角的表示，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵；過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D，根據(jù)，，利用三角形內(nèi)角和定理求出，在得出長(zhǎng)度，，利用勾股定理求出，即再次利用勾股定理求出的長(zhǎng)．【詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D，

由題意得：，，，，，，，（千米），，（千米），（千米），故選：A變式1：某輪船由西向東航行，在處測(cè)得小島的方位是北偏東，又繼續(xù)航行海里后，在處測(cè)得小島的方位是北偏東，若輪船繼續(xù)向正東方向行駛，則輪船與小島的最短距離海里．【答案】【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題，正確證明是等腰三角形是解決本題的關(guān)鍵．先過(guò)作的垂線，在直角中可以求得，證明是等腰三角形，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)作的垂線，即為所求，，，，，，（海里），（海里），故答案為：．變式2：2021年5月7日，“雪龍2”船返回上海國(guó)內(nèi)基地碼頭，標(biāo)志著中國(guó)第37次南極考察圓滿完成．已知“雪龍2”船上午9時(shí)在B市的北偏西方向上的點(diǎn)A處，且在C島的南偏西方向上，已知B市在C島的南偏西方向上，且距離C島116km．此時(shí)，“雪龍2”船沿著方向以24km/h的速度航行．請(qǐng)你計(jì)算“雪龍2”船大約幾點(diǎn)鐘到達(dá)C島？（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】“雪龍2”船大約13點(diǎn)鐘到達(dá)C島【分析】本題考查解直角三角形，方向角問(wèn)題．根據(jù)題意過(guò)點(diǎn)A作，設(shè)，，列方程計(jì)算出，，繼而得到本題答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作，，由題意知，，，km，∵，，∴設(shè)，，則，∴，解得：，∴，∵，∴，，，答：“雪龍2”船大約13點(diǎn)鐘到達(dá)C島．易錯(cuò)點(diǎn)4：坡角、坡比問(wèn)題例：為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長(zhǎng)度為20米，，求斜坡的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：，，再根據(jù)已知可設(shè)米，則米，然后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，，斜面的坡度，，設(shè)米，則米，在中，（米，在中，，米，（米，米，，解得：，（米，斜坡的長(zhǎng)約為10米．故選：B變式1：如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿，從辦公大樓頂端A測(cè)得旗桿頂端E的俯角是，旗桿低端D到大樓前梯坎底邊的距離是20米，梯坎坡長(zhǎng)是12米，梯坎坡度，米．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度、俯角問(wèn)題，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出的長(zhǎng)．【詳解】解：如下圖，延長(zhǎng)交于H，作于G，則米，，梯坎坡度，，設(shè)米，則米，在中，米，由勾股定理得：，解得：，米，米，（米），米，，，是等腰直角三角形，米，米，故答案為：．變式2：在學(xué)習(xí)解直角三角形以后，某班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)測(cè)量了旗桿的高度，如圖，某一時(shí)刻，旗桿的影子一部分落在平臺(tái)上，另一部分落在斜坡上，測(cè)得落在平臺(tái)上的影長(zhǎng)為6米，落在斜坡上的影長(zhǎng)為4米，，點(diǎn)A、B、F三點(diǎn)共線，且，同一時(shí)刻，光線與旗桿的夾角為，斜坡CE的坡比為，旗桿的高度為多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】米【分析】本題考查了與坡度、坡比有關(guān)的解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵；作于G，于H；設(shè)米，由坡比得，由勾股定理即可求得x的值，進(jìn)而求得的長(zhǎng)度；在中，由正切關(guān)系求出，則由即可求解．【詳解】解：作于G，于H，則四邊形為矩形，∴，設(shè)米，∵斜坡的坡比為，∴，由