2015年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷(文科)

2015年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）

一.選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求（每小題5分，共60分）

1.（5分）（2015?陜西）設(shè)集合M={x*=x},N={x|lgx<0},則MUN=（）

A.|0,1]B.（0,1]C.[0,1）D.（…，i]

2.（5分）（2015?陜西）某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比

A.93B.123C.137D.167

3.(5分)(2015?陜西)已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(-1,1),則該拋物線

焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)

T一《，x>0

4.(5分)(2015?陜西)設(shè)f(x)=/，則f(f(-2))=()

2X,x<0

A.-1B.1C.1D.心

422

5.（5分）（2015?陜西）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

左視圖

俯視圖

A.3nB.4nC.2n+4D.3n+4

6.（5分）（2015?陜西）〃sina=cosa〃是〃cos2a=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.（5分）（2015?陜西）根據(jù)如圖框圖，當(dāng)輸入x為6時(shí)，輸出的y=（）

開始

/輸入X/

x=x-3

y=X2+l

/輸此/

結(jié)束

A.1B.2C.5D.10

8.（5分）（2015?陜西）對任意向量』、b-下列關(guān)系式中不恒成立的是（）

A.ia-bi<idibiB._-g<nd-1Wl

C.（a+b）2=la+bl2D.（a+b）?（；_,）="?-f

9.（5分）（2015?陜西）設(shè)f（x）=x-sinx>則f（x）（）

A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)

C.是有零點(diǎn)的減函數(shù)D.是沒有零點(diǎn)的奇函數(shù)

10.（5分）（2015?陜西）設(shè)f（x）=lnx,0<a<b,若p=f（J^）,q=f（空空），r=l（f（a）

22

+f（b））,則下列關(guān)系式中正確的是（）

A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q

11.（5分）（2015?陜西）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A、B兩種原料.已知生產(chǎn)1

噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產(chǎn)一噸甲、乙產(chǎn)品可獲得利潤

分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（）

甲乙原料限額

A（噸）3212

B（噸）128

A.12萬元B.16萬元C.17萬元D.18萬元

12.（5分）（2015?陜西）設(shè)復(fù)數(shù)z=（x-1）+yi（x,yGR）,若|z|Vl,貝ijy>x的概率為（

A.B.1+-LC.1--1-D.1--1.

42兀27T42兀2兀

二.填空題：把答案填寫在答題的橫線上（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（5分）（2015?陜西）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015,則該數(shù)列

的首項(xiàng)為

14.（5分）（2015?陜西）如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水渠變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin

m）的最大值為

15.（5分）（2015?陜西）函數(shù)y=xeX在其極值點(diǎn)處的切線方程為

16.（5分）（2015?陜西）觀察下列等式：

1-3

22

1」+：工工+工

23434

1」+?！?工3+型

23456456

據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為.

三.解答題：解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（共5小題，共70分）

17.（12分）（2015?陜西）△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量六（a,

^/^b)與n=(cosA,sinB)平行.

（I）求A：

（II）若a=J7，b=2.求^ABC的面積.

18.（12分）（2015?陜西）如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZBAD=—,AB=BC=』AD=a,

22

E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到如圖2中△AiBE的位置,

得到四棱錐AI-BCDE.

（I）證明：CD_L平面AiOC；

（II）當(dāng)平面AiBEJ_平面BCDE時(shí)，四棱錐Ai-BCDE的體積為36a,求a的值.

19.（12分）（2015?陜西）隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),

結(jié)果如下：

（I）在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率；

（n）西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動會，估計(jì)運(yùn)動會期間不

下雨的概率.

日期12345678910Hl2131415

k氣；M|兩帆|明鬲鬲方除|晴|明；噫|晴卜心

日期161718192021222324252627282930

天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨

22

20.（12分）（2015?陜西）如圖，橢圓E：A_+2^=l（a>b>0）經(jīng)過點(diǎn)A（0,-1）,且離

2,2

ab

心率為強(qiáng).

2

（I）求橢圓E的方程；

（H）經(jīng)過點(diǎn)（1,1）,且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P,Q（均異于點(diǎn)A）,

證明：直線AP與AQ斜率之和為2.

21.（12分）（2015?陜西）設(shè)fn（x）=x+x2+...+xn-1,x>0,n€N,n>2.

（I）求fn'（2）；

（II）證明：fn（X）在（0,2）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為an）,且OVan-［〈工（2）。

233

三.請?jiān)?2、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分［選修4-1：幾

何證明選講］

22.（10分）（2015?陜西）如圖，AB切。O于點(diǎn)B,直線AO交。。于D,E兩點(diǎn)，BC_LDE,

垂足為C.

（I）證明：NCBD=/DBA；

（II）若AD=3DC,BC=V2-求。O的直徑.

OCID

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

X=3+Q

23.（2015?陜西）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線1的參數(shù)方程為,（t為參數(shù)），以原

點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，0c的極坐標(biāo)方程為p=2j$ine.

(I)寫出OC的直角坐標(biāo)方程；

(H)P為直線1上一動點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo).

［選修4-5：不等式選講］

24.(2015?陜西)已知關(guān)于x的不等式|x+a|<b的解集為{x［2<x<4}

(I)求實(shí)數(shù)a,b的值；

(II)求“at+12+Ubt的最大值一

2015年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）

參考答案與試題解析

一.選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求（每小題5分，共60分）

1.（5分）（2015?陜西）設(shè)集合M={x|x?=x},N={x|lgx<0},則MUN=（）

A.[0,1]B.（0,1]C.[0,1）D.（-8,1]

【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算.

【專題】集合.

【分析】求解一元二次方程化簡M,求解對數(shù)不等式化簡N,然后利用并集運(yùn)算得答案.

【解答】解：由乂=汽*=*}={0,I},

N={x|lgx<0}=（0,1],

得MUN={0,1}U（0,1]=[0,1].

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了并集及其運(yùn)算，考查了對數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2015?陜西）某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比

例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（）

A.93B.123C.137D.167

【考點(diǎn)】收集數(shù)據(jù)的方法.

【專題】計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】利用百分比，可得該校女教師的人數(shù).

【解答】解：初中部女教師的人數(shù)為110x70%=77；高中部女教師的人數(shù)為150x40%=60,

該校女教師的人數(shù)為77+60=137,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查該校女教師的人數(shù)，考查收集數(shù)據(jù)的方法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基

礎(chǔ).

3.（5分）（2015?陜西）已知拋物線y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)（-1,1）,則該拋物線

焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（-1,0）B.（1,0）C.（0,-1）D.（0,1）

【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】利用拋物線y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)（-1,1）,求得E=l,即可求出拋物線

2

焦點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：；拋物線y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)（-1,1）,

.?3,

2

該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，考查拋物線的性質(zhì)，比較基礎(chǔ).

1-Vx?

4.(5分)(2015?陜西)設(shè)f(x)=1v，貝I」f(f(-2))=()

,2X,x<0

A.-1B.Ac.AD.衛(wèi)

422

【考點(diǎn)】函數(shù)的值.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答】解：”，

l2x,x<0

：.f(-2)=2-2=工，

4_

f(f(-2))=f(1)=1-2

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分段函數(shù)的性質(zhì)的合

理運(yùn)用.

5.(5分)(2015?陜西)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()

左視圖

俯視圖

A.3nB.4nC.2R+4D.3n+4

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離.

【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是圓柱體的一部分，利用圖中數(shù)據(jù)求出它的表

面積.

【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；

該幾何體是圓柱體的一半，

???該幾何體的表面積為

S幾何體+nxlx2+2x2

=3n+4.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了利用空間幾何體的三視圖求表面積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

6.（5分）（2015?陜西）“sina=cosa"是"cos2a=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

【專題】簡易邏輯.

【分析】cos2a=cos2a-sin2a,即可判斷出.

【解答】解:由cosZayos%-sin%,

r."sina=cosa"是"cos2a=0"的充分不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了倍角公式、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.（5分）（2015?陜西）根據(jù)如圖框圖，當(dāng)輸入x為6時(shí)，輸出的y=（）

開始

/輸入x/

y=x2+l

/輸心?/

A.1B.2C.5D.10

【考點(diǎn)】循環(huán)結(jié)構(gòu).

【專題】圖表型；算法和程序框圖.

【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的x的值，當(dāng)x=-3時(shí)不滿足條件公0,

計(jì)算并輸出y的值為10.

【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得

x=6

x=3

滿足條件x>0,x=0

滿足條件x>0,x=-3

不滿足條件xZO,y=10

輸出y的值為10.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確寫出每次循環(huán)得到的x的值是解題的關(guān)

鍵，屬于基礎(chǔ)題.

8.(5分)(2015?陜西)對任意向量W、b.下列關(guān)系式中不恒成立的是()

A.la-USldlWB.lZ-正信-詢

C.(a+b)2-\a+bl2D.(a+b)?-b-

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

【專題】平面向量及應(yīng)用.

【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得.

【解答】解:選項(xiàng)A恒成立，Via-W=ldlbl|cos<a，b>b

又Icosvg5>區(qū)1,???N?認(rèn)?西恒成立；

選項(xiàng)B不恒成立，由三角形的三邊關(guān)系和向量的幾何意義可得域-32后-IUI；

選項(xiàng)C恒成立，由向量數(shù)量積的運(yùn)算可得(W+E)2=|之+與2；

選項(xiàng)D恒成立，由向量數(shù)量積的運(yùn)算可得G+E)?<a-p

故選：B

【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積，屬基礎(chǔ)題.

9.(5分)(2015?陜西)設(shè)f(x)=x-sinx,則f(x)()

A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)

C.是有零點(diǎn)的減函數(shù)D.是沒有零點(diǎn)的奇函數(shù)

【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；正弦函數(shù)的奇偶性；正弦函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷f(x)為奇函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，

從而得出結(jié)論.

【解答】解：由于f(x)=x-sinx的定義域?yàn)镽,且滿足f(-x)=-x+sinx=-f(x),

可得f(x)為奇函數(shù).

再根據(jù)f>(x)=1-cosx>0,可得f(x)為增函數(shù)，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

10.(5分)(2015?陜西)設(shè)f(x)=lnx,0<a<b>#p=f(x/ab),q=fr=A(f(a)

22

+f(b)),則下列關(guān)系式中正確的是()

A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q

【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式.

【專題】不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】由題意可得p=』(Ina+lnb),q=ln(@小)>ln(Vab)=p,r=』(Ina+lnb),可得大

222

小關(guān)系.

【解答】解：由題意可得若p=f(J瓦)=1n瓦)=inab=-1(Ina+lnb),

q=f(=ln(HD)>|n=p,

r=A(f(a)+f(b))=A(Ina+lnb),

22

p=r<q,

故選：B

【點(diǎn)評】本題考查不等式與不等關(guān)系，涉及基本不等式和對數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

11.(5分)(2015?陜西)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A、B兩種原料.已知生產(chǎn)1

噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產(chǎn)一噸甲、乙產(chǎn)品可獲得利潤

分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為()

甲乙原料限額

A(噸)3212

B(噸)128

A.12萬元B.16萬元C.17萬元D.18萬元

【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用.

【專題】不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】設(shè)每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為x,y噸，利潤為z元，然后根據(jù)題目條件建立約

束條件，得到目標(biāo)函數(shù)，畫出約束條件所表示的區(qū)域，然后利用平移法求出z的最大值.

【解答】解：設(shè)每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為x,y噸，利潤為z元，

3x+2yC12

則,x+2y^8,

x>0,y>0

目標(biāo)函數(shù)為z=3x+4y.

作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域(陰影部分)即可行域.

由z=3x+4y得y=-衛(wèi)x+Z,

44

平移直線y=-且+Z由圖象可知當(dāng)直線y=-且+Z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線y=-2+Z的截距最大,

444444

此時(shí)z最大,

解方程組儼+2廠12,解得卜=2,

[x+2y=8[y=3

即B的坐標(biāo)為x=2,y=3,

=

zmax3x+4y=6+12=18.

即每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為2,3噸，能夠產(chǎn)生最大的利潤，最大的利潤是18萬元，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，建立約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本

題的關(guān)鍵.

12.(5分)(2015?陜西)設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,yGR),若|z區(qū)1,貝!Iy>x的概率為()

A.B.1+A.C.1--L.D.1-J-

42兀2冗42兀2冗

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；幾何概型.

【專題】開放型；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

【分析】判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)圖形，利用幾何概型求解即可.

【解答】解：復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,yeR),若憶日,它的幾何意義是以(1,0)為圓心,

1為半徑的圓以及內(nèi)部部分.ywx的圖形是圖形中陰影部分，如圖：

.興Jxixi11

復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y€R),若憶區(qū)1,則y2x的概率：-.....----------±

兀42兀

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，幾何概型的求法，考查計(jì)算能力以及數(shù)形結(jié)合的能力.

二.填空題：把答案填寫在答題的橫線上(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.(5分)(2015?陜西)中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015,則該數(shù)列

的首項(xiàng)為5.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列.

【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】由題意可得首項(xiàng)的方程，解方程可得.

【解答】解：設(shè)該等差數(shù)列的首項(xiàng)為a,

由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得2015+a=1010x2

解得a=5

故答案為：5

【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)，涉及中位數(shù)，屬基礎(chǔ)題.

14.（5分）（2015?陜西）如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水渠變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin

（?Lx+巾）+k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為8.

6

【考點(diǎn)】由y=Asin（3x+（j））的部分圖象確定其解析式.

【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】由圖象觀察可得：ymin=-3+k=2,從而可求k的值，從而可求ymax=3+k=3+5=8.

【解答】解：,??由題意可得：ymin=-3+k=2,

???可解得：k=5,

?*?ymax=34-k=3+5=8,

故答案為：8.

【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查.

15.（5分）（2015?陜西）函數(shù)v=xeX在其極值點(diǎn)處的切線方程為y=-工.

e

【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.

【分析】求出極值點(diǎn)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的方程.

【解答】解：依題解：依題意得y'=eX+xeX,

令y'=0,可得x=-L

因此函數(shù)y=xeX在其極值點(diǎn)處的切線方程為y=-1.

e

故答案為：y=-1.

e

【點(diǎn)評】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力.屬于基礎(chǔ)題.

16.（5分）（2015?陜西）觀察下列等式:

1-1=1

22

l-LLU+工

23434

23456456

11

據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為1-工」-1+...+=^--++...+A.

—234-2n-12n-n+1n+2-2n—

【考點(diǎn)】歸納推理；數(shù)列的概念及簡單表示法.

【專題】開放型；推理和證明.

【分析】由已知可得：第n個(gè)等式含有2n項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)為二偶數(shù)項(xiàng)為-工.其等

2n-12n

式右邊為后n項(xiàng)的絕對值之和.即可得出.

【解答】解：由己知可得：第n個(gè)等式含有2n項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)為」偶數(shù)項(xiàng)為其

2n~12n

等式右邊為后n項(xiàng)的絕對值之和.

第n個(gè)等式為：1-2J--1+...+1-U1,1+...+A.

2^42n-l2nn+l\^+22n

【點(diǎn)評】本題考查了觀察分析猜想歸納求數(shù)列的通項(xiàng)公式方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

三.解答題：解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(共5小題，共70分)

17.(12分)(2015?陜西)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量/(a,

V3b)與n=(cosA,sinB)平行.

(I)求A；

(II)若a=W，b=2,求4ABC的面積.

【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用；平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示.

【專題】解三角形.

【分析】(I)利用向量的平行，列出方程，通過正弦定理求解A；

(0)利用A,以及a=b，b=2,通過余弦定理求出c,然后求解△ABC的面積.

【解答】解：(I)因?yàn)橄蛄繌V(a,V3b)與nF(cosA,sinB)平行，

所以asinB-J"^bcosA=0,由正弦定理可知：sinAsinB-J^sinBcosA=0,因?yàn)閟inBwO,

所以tanA=J^,可得A=工；

3

(II)a=ff,b=2,由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA,可得7=4+c2-2c,解得c=3,

△ABC的面積為：-^bcsinA=--

【點(diǎn)評】本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，三角形的面積的求法，考查計(jì)算能力.

18.（12分）（2015?陜西）如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZBAD=—,AB=BC=1AD=a,

22

E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到如圖2中△AiBE的位置,

得到四棱錐Ai-BCDE.

（I）證明：CD_L平面AiOC；

（II）當(dāng)平面A]BE_L平面BCDE時(shí)，四棱錐A1-BCDE的體積為36a,求a的值.

【考點(diǎn)】平面與平面垂直的性質(zhì)；直線與平面垂直的判定.

【專題】空間位置關(guān)系與距離.

【分析】（I）運(yùn)用E是AD的中點(diǎn)，判斷得出BE,AC,BElffiAiOC,考慮CD〃DE,即

可判斷CDJ_面AQC.

（II）運(yùn)用好折疊之前，之后的圖形得出AiO是四棱錐A,-BCDE的高，平行四邊形BCDE

的面積S=BC?AB=a2,運(yùn)用體積公式求解即可得出a的值.

因?yàn)锳B=BC=￡AD=a,E是AD的中點(diǎn)，

TT

ZBAD=—,

2

所以BE1AC,

即在圖2中，BE±A,O,BE±OC,

從而BE_L面A,OC,

由CD#BE,

所以CDJ_面A,OC,

（II）即AQ是四棱錐Ai-BCDE的高，

根據(jù)圖i得出NO=&Q=&，

22

二平行四邊形BCDE的面積S=BC?AB=a~,

V==XSXA10=得X2X^=冬）

a

J1oZb

由a=?3=36&,得出a=6.

6

【點(diǎn)評】本題考查了平面立體轉(zhuǎn)化的問題，運(yùn)用好折疊之前，之后的圖形，對于空間直線平

面的位置關(guān)系的定理要很熟練.

19.（12分）（2015?陜西）隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，

結(jié)果如下：

（I）在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率；

（II）西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動會，估計(jì)運(yùn)動會期間不

下雨的概率.

【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用.

【專題】應(yīng)用題；概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】（I）在4月份任取一天，不下雨的天數(shù)是26,即可估計(jì)西安市在該天不下雨的概

率；

（H）求得4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個(gè)，其中后一天不下雨的有14個(gè)，

可得晴天的次日不下雨的概率，即可得出結(jié)論.

【解答】解：（I）在4月份任取一天，不下雨的天數(shù)是26,以頻率估計(jì)概率，估計(jì)西安市

在該天不下雨的概率為必；

15

（H）稱相鄰的兩個(gè)日期為“互鄰日期對"，由題意，4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對

有16個(gè)，其中后一天不下雨的有14個(gè)，所以晴天的次日不下雨的概率為工，

8

從而估計(jì)運(yùn)動會期間不下雨的概率為工

8

【點(diǎn)評】本題考查概率的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定基本事件的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵.

22

20.（12分）（2015?陜西）如圖，橢圓E：-1（a>b>0）經(jīng)過點(diǎn)A（0,-1）,且離

2,2

ab

心率為強(qiáng).

2

（I）求橢圓E的方程；

（II）經(jīng)過點(diǎn)（1,1）,且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P,Q（均異于點(diǎn)A）,

證明：直線AP與AQ斜率之和為2.

【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題.

【專題】開放型；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】（I）運(yùn)用離心率公式和a,b,c的關(guān)系，解方程可得a,進(jìn)而得到橢圓方程;

2

(II)由題意設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-1)+1(kxO),代入橢圓方程三-+y2=1,運(yùn)用韋

2

達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡計(jì)算即可得到結(jié)論.

【解答】解：(I)由題設(shè)知，與運(yùn)，b=l,

_a2

結(jié)合a2=b?+c2,解得a=&,

2

所以工+y2=l；

2

(II)證明：由題意設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-1)+1(kwO),

2

代入橢圓方程Jy2=l,

2

可得(1+21?)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,

由已知得(1,1)在橢圓外，

設(shè)P(xpyi),Q(X2，y2)，x1x2*0,

,4k(k-1)2k(k-2)

則milX]+X2=--------------——，XjX2=--------------——，

l+2k2l+2k2

且4-16k2(k-1)2-8k(k-2)(1+21?)>0,解得k>0或k<-2.

則有直線AP,AQ的斜率之和為kAP+kAQ=Hi+空

X1x2

kxi+2-kkxn+2-kiix<+x

=—i---------+—----------=2k+(2-k)=2k+(2-k)——9

X[x2XjX2Xjx2

=2k+(2-k)?孰(k-1).=2k-2(k-1)=2.

2k(k-2)

即有直線AP與AQ斜率之和為2.

【點(diǎn)評】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程,

運(yùn)用韋達(dá)定理，考查直線的斜率公式，屬于中檔題.

21.(12分)(2015?陜西)設(shè)片(x)=x+x2+...+xn-1,x>0,n6N,n>2.

(I)求fn'(2)；

n

(II)證明：fn(x)在(0,2)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為an),且OVan-1〈工(2).

3233

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則；數(shù)列與不等式的綜合.

【專題】開放型；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.

【分析】(I)將已知函數(shù)求導(dǎo)，取x=2,得至Ijfn'(2):

(II)只要證明fn(X)在(0,2)內(nèi)有單調(diào)遞增，得到僅有一個(gè)零點(diǎn)，然后fn(an)變形

3

得到所求.

2n1

【解答】解：(I)由已知，fn(x)=1+2x+3x+...+nx,

所以*n(2)=1+2x2+3x22+-+n-2n-1)①

貝Ij2f/n(2)=2+2x22+3x23+...+n2n,②，

23n1n

①-②得-fn(2)=l+2+2+2+...+2-'-n.21」-2n-n，(i-n)2-1,

1-2

所以*n⑵=(n-l)2n+l-

2

（n）因?yàn)閒（。）=-i<0,fn（2）”號，1=1-2x(.2)氏1-2x(.2)

3T33

>0,

所以fn（X）在（0,2）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，

3

又fn（x）=l+2x+3x2+...+nxn1>0,所以fn（x）在(0,2）內(nèi)單調(diào)遞增,

3

9T-vn+1

所以fn（X）在（0,工）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)an，由于fn（x）=』~—-1，

31-x

_n+1

anan?

所以0=fn(an)

所以a二Jan+l>l,故工<<1,

n22an22n3

n+1

所以0<~~a<Ax（-2）"I,（2）,

n22n2333

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)求導(dǎo)、錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和、函數(shù)的零點(diǎn)判斷等知識，計(jì)算比較

復(fù)雜，注意細(xì)心.

三.請?jiān)?2、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分［選修4-1：幾

何證明選講］

22.（10分）（2015?陜西）如圖，AB切。O于點(diǎn)B,直線AO交。O于D,E兩點(diǎn)，BC1DE,

垂足為C.

（I）證明：NCBD=NDBA；

（II）若AD=3DC,BC=V2>求。O的直徑.

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】直線與圓.

【分析】（I）根據(jù)直徑的性質(zhì)即可證明：ZCBD=ZDBA;

（II）結(jié)合割線定理進(jìn)行求解即可求。O的直徑.

【解答】證明：（I）;DE是。。的直徑，

則/BED+/EDB=90°,

VBC±DE,

，/CBD+NEDB=90。，即NCBD=/BED,

：AB切。O于點(diǎn)B,

.".ZDBA=ZBED,即NCBD=/DBA；

（II）由（I）知BD平分NCBA,

則空/5=3,

BC-CD

VBC=V2>

AB=3A/2>AC=dAB2—Bc2=4,

則AD=3,

由切割線定理得AB?=AD?AE,

即AE=A^_-c,

AD0

故DE=AE-AD=3,

即可。。的直徑為3.

【點(diǎn)評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用和證明，根據(jù)相應(yīng)的定理是解決本題的關(guān)

鍵.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

，1

x=3+9t

23.（2015?陜西）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線1的參數(shù)方程為1j-（t為參數(shù)），以原

理t

點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，0C的極坐標(biāo)方程為p=2丑in。.

（I）寫出。C的直角坐標(biāo)方程；

（n）P為直線1上一動點(diǎn)，當(dāng)P到圓心c的距離最小時(shí)，求p的直角坐標(biāo).

【考點(diǎn)】點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.

【專題】坐標(biāo)系和參數(shù)方程.

__f222

【分析】（I）由OC的極坐標(biāo)方程為p=2丑ine.化為p2=2我PsinB，把P=x+y

y=Psin8

代入即可得出；.

（II）設(shè)P（3+^t,亨t），又C（0,行）.利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得

|PC|=VtM2,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出.

【解答】解：（I）由。C的極坐標(biāo)方程為p=2j^in6.

P2=2A/3Psin?,化為x?+y2=2V^V，

配方為X?+（y_?）2=3-

（ID設(shè)P（3+^t,乎t），又C（0,V3）.

??/PCI，（3有）2+（爭-?）之必必愿,

因此當(dāng)t=0時(shí)，|PC|取得最小值此時(shí)P（3,0）.

【點(diǎn)評】本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、兩點(diǎn)之間的距離公式、二

次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

［選修4-5：不等式選講］

24.（2015?陜西）已知關(guān)于x的不等式|x+a|〈b的解集為{x|2Vx<4}

（I）求實(shí)數(shù)a,b的值；

（II）求］at+12+&7的最大值?

【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式.

【專題】不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】（1）由不等式的解集可得ab的方程組，解方程組可得；

（11）原式五71萬+人=在巧=7+人，由柯西不等式可得最大值.

【解答】解：（I）關(guān)于x的不等式|x+a|Vb可化為-b-a<x<b-a,

又??,原不等式的解集為{x|2<x<4},

.f-b-a=2解方程組可得卜二-3；

b-a=41b=l

（II）由（［）可得4at+12+V^T={一3t+］2+人

［（a）2+冒］［（7^77）2+（yP7

=2,4_t+t=4,

當(dāng)且僅當(dāng)亞三近即t=l時(shí)取等號，

V31

所求最大值為4

【點(diǎn)評】本題考查不等關(guān)系與不等式，涉及柯西不等式求最值，屬基礎(chǔ)題.

參與本試卷答題和審題的老師有:SXS123；劉長柏；zlzhan；742048；沂蒙松；W3239003；

lincy；caoqz；maths；qiss；sdpyqzh；雙曲線；changq（排名不分先后）

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2016年6月8日

考點(diǎn)卡片

1.并集及其運(yùn)算

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作AUB.

符號語言:AUB={x|x€A或x€B}.

圖形語言：

AUB實(shí)際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素.

運(yùn)算形狀：

①AUB=BUA.②AU0=A.③AUA=A.④AUBNA,

AUB2B.⑤AUB=B=AUB.⑥AUB=0,兩個(gè)集合都是空集.⑦AU(CuA)=U.⑧Cu

(AUB)=(CUA)n(CUB).

【解題方法點(diǎn)撥】解答并集問題，需要注意并集中："或"與"所有"的理解.不能把"或"與"且"

混用；注意并集中元素的互異性.不能重復(fù).

【命題方向】掌握并集的表示法，會求兩個(gè)集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，

也可以與函數(shù)的定義域，值域聯(lián)合命題.

2.必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

正確理解和判斷充分條件、必要條件、充要條件和非充分非必要以及原命題、逆命題否

命題、逆否命題的概念是本節(jié)的重點(diǎn)；掌握邏輯推理能力和語言互譯能力，對充要條件概念

本質(zhì)的把握是本節(jié)的難點(diǎn).

1.充分條件：對于命題"若p則q"為真時(shí)，即如果p成立，那么q一定成立，記作"p=q",

稱p為q的充分條件.意義是說條件p充分保證了結(jié)論q的成立，換句話說要使結(jié)論q成立,

具備條件p就夠了當(dāng)然q成立還有其他充分條件.如p：x>6,q：x>2,p是q成立的充分

條件，而r：x>3,也是q成立的充分條件.

必要條件：如果q成立，那么p成立，即"q=p",或者如果p不成立，那么q一定不成立，

也就是“若非p則非q”,記作"「pn-V，這是就說條件p是q的必要條件，意思是說條件p

是q成立的必須具備的條件.

充要條件：如果既有"pnq",又有"q=p",則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是

p成立的充要條件，記作"poq".

2.從集合角度看概念：

如果條件p和結(jié)論q的結(jié)果分別可用集合P、Q表示，那么

①"pnq",相當(dāng)于"PUQ".即：要使x€Q成立，只要x€P就足夠了--有它就行.

②"q=p",相當(dāng)于"P?Q",即：為使X6Q成立，必須要使xep--缺它不行.

③"poq",相當(dāng)于"P=Q",即：互為充要的兩個(gè)條件刻畫的是同一事物.

3.當(dāng)命題“若p則q"為真時(shí)，可表示為，則我們稱p為q的充分條件，q是p的必要條件.這

里由，得出p為q的充分條件是容易理解的.但為什么說q是p的必要條件呢？事實(shí)上，與

""等價(jià)的逆否命題是它的意義是：若q不成立，則p一定不成立.這就是說，q對于p

是必不可少的，所以說q是p的必要條件.

4."充要條件”的含義，實(shí)際上與初中所學(xué)的"等價(jià)于"的含義完全相同.也就是說，如果命

題p等價(jià)于命題q，那么我們說命題p成立的充要條件是命題q成立；同時(shí)有命題q成立的

充要條件是命題p成立.

【解題方法點(diǎn)撥】

1.借助于集合知識加以判斷，若PUQ,則P是Q的充分條件，Q是的P的必要條件；若

P=Q,則P與Q互為充要條件.

2.等價(jià)法："PnQ"Q/'-'Qn-'P",即原命題和逆否命題是等價(jià)的；原命題的逆命題和原命

題的否命題是等價(jià)的.

3.對于充要條件的證明，一般有兩種方法：其一，是用分類思想從充分性、必要性兩種情

況分別加以證明；其二，是逐步找出其成立的充要條件用連接.

【命題方向】

充要條件主要是研究命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，它是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)概念之

一，它是今后的高中乃至大學(xué)數(shù)學(xué)推理學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).在每年的高考中，都會考查此類問題.

3.函數(shù)的值

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

函數(shù)不等同于方程，嚴(yán)格來說函數(shù)的值應(yīng)該說成是函數(shù)的值域.函數(shù)的值域和定義域

一樣，都是?？键c(diǎn)，也是易得分的點(diǎn).其概念為在某一個(gè)定義域內(nèi)因變量的取值范圍.

【解題方法點(diǎn)撥】

求函數(shù)值域的方法比較多，常用的方法有一下幾種：

①基本不等式法：如當(dāng)x>0時(shí)，求2x+§的最小值，有2x+竺2.

②轉(zhuǎn)化法：如求|x-5|+|x-3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點(diǎn)到x=5和x=3的距離

之和，易知最小值為2；

③求導(dǎo)法：通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出極值，再結(jié)合端點(diǎn)的值最后進(jìn)行比較

例題：求f（x）=lnx-x在（0,+8）的值域

解：f（x）=1-\=^—1

XX

...易知函數(shù)在（0,1］單調(diào)遞增，（1,+8）單調(diào)遞減

二最大值為：Ini-1=-1,無最小值；

故值域?yàn)椋?8,-J）

【命題方向】

函數(shù)的值域如果是單獨(dú)考的話，主要是在選擇題填空題里面出現(xiàn)，這類題難度小，方

法集中，希望同學(xué)們引起高度重視，而大題目前的趨勢主要還是以恒成立的問題為主.

4.導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則

【知識點(diǎn)的知識】

K

①基本函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

z

②C=0(C為常數(shù))

(xn)'=nxnT(nGR)

③

/=

④(sinx)cosx

/=

⑤(cosx)-sinx

(ex)z=ex

⑥

x

(a)'=(a、)*lna(a>0且axl)?[logax)['=1*(logae)(a>0且awl)⑧[lnx]'=1.

xx

2、和差積商的導(dǎo)數(shù)

①[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)

②[f(x)-g(x)],=f(x)-g*(x)

③[f(x)g(x)]'=f(x)g(x)+f(x)g