專題：勾股定理折疊問題

勾股定理折疊問題中應(yīng)用12024/5/101.如圖，Rt⊿ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D為BC上一點(diǎn)，將AC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在AB上，求CD的長。ACBDC′一、三角形的折疊22024/5/102.如圖，Rt⊿ABC中，∠C=90°，D為AB上一點(diǎn)，將⊿ABC沿DE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，①若AC=4，BC=8，求CE的長。②若AC=24，BC=32，求折痕DE的長。ACBDE32024/5/103、已知一個(gè)直角三角形紙片OAB，其∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D。（Ⅰ）若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

解：（Ⅰ）如圖（1），折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，連接AC，

則△ACD≌△BCD，

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m）（m>0），

則BC=OB-OC=4-m，

于是AC=BC=4-m，

在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2，

即（4-m）2=m2+22，解得m=

，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為

；

42024/5/103、已知一個(gè)直角三角形紙片OAB，其∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D。（Ⅱ）若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′，設(shè)OB′=x，OC=y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍；如圖（2），折疊后點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)為B′連接B′C，B′D，

則△B′CD≌△BCD，

由題設(shè)OB′=x，OC=y，

則B′C=BC=OB-OC=4-y，

在Rt△B′OC中，由勾股定理，

得B′C2=OC2+OB′2，52024/5/10二、矩形的折疊１．如圖，折疊矩形紙片ABCD，先折出折痕（對角線）BD，再折疊，使AD落在對角線BD上，得折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG。GA′DABC62024/5/102.為了向建國六十周年獻(xiàn)禮，某校各班都在開展豐富多彩的慶?；顒?dòng)，八年級（3）班開展了手工制作競賽，每個(gè)同學(xué)都在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成一件手工作品．陳莉同學(xué)在制作手工作品的第一、二個(gè)步驟是：①先裁下了一張長寬，的矩形紙片ABCD，②將紙片沿著直線AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處，……請你根據(jù)①②步驟解答下列問題：（1）找出圖中∠FEC的余角；（2）計(jì)算EC的長．DAECFB72024/5/10ＡＢＣＤＥＦＤ′３．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，現(xiàn)將A、C重合，使紙片折疊壓平，設(shè)折痕為EF，①求DF的長；②求重疊部分△AEF的面積；③求折痕EF的長。④著色部分的面積為多少？82024/5/10例3：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它對折，折痕為EF，展開后再沿BG折疊，使A落在EF上的A1，求第二次折痕BG的長。ABCDEFA1G提示：先證明正三角形AA1B92024/5/104、如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B′處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，(1)求證：B′E=BF；(2)設(shè)AE=a，AB=b,BF=c,試猜想a、b、c之間有何等量關(guān)系，并給予證明。ABCDEFA′B′102024/5/10如圖，矩形ABCD的邊長AB=6，BC=8，將矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則折痕EF長為______．112024/5/105、動(dòng)手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3,AD=5.如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的E處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng).若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)E在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為

.BACEPQD122024/5/106、把圖一的矩形紙片ABCD折疊，B，C兩點(diǎn)恰好重合落在AD邊上的點(diǎn)P處（如圖二），已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形紙片ABCD的面積為_______。132024/5/107、如圖，長方形ABCD中，O，F(xiàn)分別為AD，CD的中點(diǎn)，且點(diǎn)O是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，AB=2，沿BO將△ABO折疊，點(diǎn)A恰好落在BF上

.（1）求AD的長度；

（2）如圖，若把△BCF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△B′C′F′，求B′的坐標(biāo)．142024/5/108、（2011?內(nèi)江）如圖．在直角坐標(biāo)系中，矩形ABC0的邊OA在x軸上，邊0C在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對角線AC翻折，B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E．那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）152024/5/10三、正方形的折疊EA′DABCNM１．將邊長為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在F處，折痕為MN，①求線段CN的長②求AM③求折痕MN的長總結(jié)：①折疊的規(guī)律是，折疊部分的圖形，折疊前后，關(guān)于折痕成軸對稱，兩圖形全等。

②注意利用線段關(guān)系和勾股定理列方程計(jì)算162024/5/102、如圖，ABCD為正方形，E為BC上一點(diǎn)，將正方形折疊，使A點(diǎn)與E點(diǎn)重合，折痕為MN，若EB：AB=13，DC+CE=10．（1）求△ANE的面積；（2）求sin∠ENB的值．

172024/5/103、某班甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行了一次用正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學(xué)問題的課題學(xué)習(xí)活動(dòng).

活動(dòng)情境：

如圖2，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊(折痕EG分別與AB、DC交于點(diǎn)E、G)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，F(xiàn)N與DC交于點(diǎn)M處，連接BF與EG交于點(diǎn)P．

所得結(jié)論：

當(dāng)點(diǎn)F與AD的中點(diǎn)重合時(shí)：（如圖1）甲、乙、丙三位同學(xué)各得到如下一個(gè)正確結(jié)論（或結(jié)果）：

甲：△AEF的邊AE=

cm，EF=

cm；

乙：△FDM的周長為16cm；

丙：EG=BF.

你的任務(wù)：

小題1:填充甲同學(xué)所得結(jié)果中的數(shù)據(jù)；

小題2:

寫出在乙同學(xué)所得結(jié)果的求解過程；

小題3:當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上除點(diǎn)A、D外的任何一處（如圖2）時(shí)：

①試問乙同學(xué)的結(jié)果是否發(fā)生變化？請證明你的結(jié)論；

②丙同學(xué)的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請說明理由，若你認(rèn)為成立，先證明EG=BF，再求出S（S為四邊形AEGD的面積）與x（AF=x）的函數(shù)關(guān)系式，并問當(dāng)x為何值時(shí)，S最大？最大值是多少？182024/5/10192024/5/10202024/5/10212024/5/10222024/5/10母題（2014成都）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是______．232024/5/10242024/5/10如圖1，連接CM，過M點(diǎn)作MH⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)H，則由已知可得，在Rt△DHM中，DM=1，∠HDM=60°，又∵根據(jù)翻折對稱的性質(zhì)，A′M=AM=1，最小，此時(shí)點(diǎn)A′落在MC上，如圖2.∵M(jìn)A′=NA=1，252024/5/10變式：（2015?自貢）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是（）262024/5/10解：當(dāng)∠BFE=∠EFD，點(diǎn)B′在FD上時(shí)，根據(jù)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)B′D的值最小，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，△EBF≌△EB′F，

∴EB′⊥FD，

∴EB′=EB

∵E是AB邊的中點(diǎn)，

∴AE=EB′

在Rt△EAD和Rt△EB′D中，

∴Rt△EAD和Rt△EB′D

∴B′D=AD=6．

分析：當(dāng)∠BFE=∠EFD，點(diǎn)B′在FD上時(shí)，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)B′D的值最小，易證△AED≌△B′ED，B′D=AD=6．

點(diǎn)評：本題主要考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短的綜合運(yùn)用，確定點(diǎn)B′在何位置時(shí)，B′D的值最小，是解決問題的關(guān)鍵．

272024/5/10282024/5/10292024/5/10302024/5/10312024/5/10322024/5/10332024/5/10342024/5/10352024/5/10362024/5/103