新高考藝術生40天突破數學90分講義第21講三角函數的性質(原卷版+解析)

第21講三角函數的性質【知識點總結】1.“五點法”作圖原理在確定正弦函數的圖像時，起關鍵作用的5個點是.在確定余弦函數的圖像時，起關鍵作用的5個點是.2.三角函數的圖像與性質在上的圖像定義域值域（有界性）最小正周期（周期性）奇偶性（對稱性）奇函數偶函數單調增區(qū)間單調減區(qū)間對稱軸方程對稱中心坐標最大值及對應自變量值時時最小值及對應自變量值時時函數正切函數圖像定義域值域周期性奇偶性奇函數，圖像關于原點對稱單調性在上是單調增函數對稱軸無對稱中心3.與的圖像與性質（1）最小正周期：.（2）定義域與值域：，的定義域為R，值域為[-A,A].（3）最值假設.①對于，②對于，（4）對稱軸與對稱中心.假設.①對于，②對于，正、余弦曲線的對稱軸是相應函數取最大（小）值的位置.正、余弦的對稱中心是相應函數與軸交點的位置.（5）單調性.假設.①對于，②對于，（6）平移與伸縮（，）的圖象，可以用下面的方法得到：=1\*GB3①畫出函數的圖象；=2\*GB3②把的圖象向左（）或向右（）平移個單位長度，得到函數的圖象；=3\*GB3③把圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數的圖象；=4\*GB3④把圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標不變），得到函數的圖象.【典型例題】例1．（2018·福建省泉州市泉港區(qū)第一中學高三期中（文））函數的部分圖象如圖示，則下列說法不正確的是A．B．的圖象關于點成中心對稱C．在R上單調遞增D．已知函數的圖象向右平移個單位后得到的函數圖象關于原點對稱例2．（2022·全國·高三專題練習（理））若函數的定義域為（）A．（）B．（）C．（）D．（）例3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(ω>0)，若f(x)在上恰有兩個零點，則ω的取值范圍是（）A． B． C． D．例4．（2022·全國·高三專題練習）若在上是減函數，則的最大值是（）A． B． C． D．例5．（2022·全國·高三專題練習）已知函數f(x)＝2sin是偶函數，則θ的值為（）A．B．C． D．（多選題）例6．（2022·全國·高三專題練習）若關于的方程在區(qū)間上有且只有一個解，則的值可能為（）A． B． C．0 D．1例7．（2022·全國·高三專題練習）將函數的圖像向右平移個單位，可得下列哪些函數（）A． B．C． D．例8．（2021·安徽·蕪湖一中高三階段練習（理））已知函數.xf(x)（1）求函數在區(qū)間上的值域；（2）用五點法在網格紙中作出在區(qū)間上的大致圖象.例9．（2021·全國·高三專題練習）已知，函數．（Ⅰ）若，求的單調遞增區(qū)間；（Ⅱ）若的最大值是，求的值．例10．（2021·江蘇高郵·高三階段練習）已知函數的部分圖象如圖.（1）求函數的解析式;（2）將函數的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，當時，求值域.【技能提升訓練】一、單選題1．（2021·江西·豐城九中高三階段練習（理））設點是函數的圖象C的一個對稱中心，若點到圖象C的對稱軸上的距離的最小值，則的最小正周期是（）A． B． C． D．2．（2021·全國·高三階段練習（文））已知函數在區(qū)間上的圖象大致如下，且；則圖象的一條對稱軸方程可以是（）A． B． C． D．3．（2021·河南·高三階段練習（理））的圖象向左平移個單位，恰與的圖象重合，則的取值可能是（）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習）下列函數中，周期為，且在區(qū)間單調遞增的是（）A． B． C． D．5．（2022·全國·高三專題練習）將函數的圖象上每一個點向左平移個單位，得到函數的圖象，則函數的單調遞增區(qū)間為A． B．C． D．6．（2022·全國·高三專題練習）若函數的定義域為（）A． B．C． D．7．（2022·全國·高三專題練習）將函數的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象對應的函數在上的值域為（）A． B． C． D．8．（2021·北京市第五中學高三階段練習）已知，則的值域為（）A． B． C． D．9．（2021·全國·高三專題練習）函數的最大值為（）A． B．3C． D．410．（2022·全國·高三專題練習）設函數，，若，函數是偶函數，則的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或11．（2022·全國·高三專題練習）將函數的圖象向右平移個單位后得到一個奇函數的圖象，則該函數的解析式可能為（）A． B．C． D．12．（2022·全國·高三專題練習）設函數（且）．若，，則（）A．1 B．2 C．3 D．413．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為，若將函數的圖象向左平移后得到偶函數的圖象，則函數在下列區(qū)間上是單調遞減的是（）A． B． C． D．14．（2022·全國·高三專題練習（文））下列函數中，周期為π，且在區(qū)間上單調遞增的是（）A． B． C． D．15．（2022·江蘇·高三專題練習）已知函數（）的圖象經過點，一條對稱軸方程為.則函數的周期可以是（）A． B． C． D．16．（2022·全國·高三專題練習（文）），是函數的兩個相鄰零點.則（）A．3 B．2 C．1 D．17．（2022·全國·高三專題練習）函數圖像向右平移個單位后所得函數圖像與函數的圖像關于軸對稱，則最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．618．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的最小正周期為，則該函數的圖象（）A．關于點對稱 B．關于直線對稱C．關于點對稱 D．關于直線對稱19．（2022·全國·高三專題練習（文））設函數，則下列結論中不正確的是（）A．的圖象關于點，對稱B．的圖象關于直線對稱C．在，上單調遞減D．在，上的最小值為020．（2022·全國·高三專題練習）將函數的圖象沿軸向左平移個單位后得到的圖象關于原點對稱，則的值為（）A． B． C． D．21．（2022·全國·高三專題練習（文））已知函數（）的圖象關于點對稱，則的取值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．1222．（2022·全國·高三專題練習（理））下列區(qū)間是函數的單調遞減區(qū)間的是（）A． B． C． D．23．（2022·全國·高三專題練習）如果函數y=3cos(2x+φ)的圖象關于點對稱，那么|φ|的最小值為（）A． B．C． D．24．（2022·全國·高三專題練習（理））將函數y＝sin2x的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，則等于（）A． B． C． D．25．（2022·全國·高三專題練習）要得到函數的圖象，則（）A．可將函數的圖象向右平移個單位得到B．可將函數的圖象向左平移個單位得到C．可將函數的圖象縱坐標不變，橫坐標縮短到原來倍得到D．可將函數的圖象縱坐標不變，橫坐標擴大到原來2倍得到26．（2022·全國·高三專題練習）要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（）A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度27．（2022·全國·高三專題練習）將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將它的圖象向右平移個單位長度，得到了一個奇函數的圖象，則的最小值為（）A． B．C． D．28．（2022·全國·高三專題練習（理））將函數圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，然后將所得圖象向左平移個單位，可得函數的圖象，則（）A．2 B．0 C． D．29．（2022·全國·高三專題練習）如圖，一個大風車的半徑為8m，12min旋轉一周，它的最低點P0離地面2m，風車翼片的一個端點P從P0開始按逆時針方向旋轉，則點P離地面的距離h(m)與時間t(min)之間的函數關系式是（）A．h(t)＝－8sint＋10 B．h(t)＝－cost＋10C．h(t)＝－8sint＋8 D．h(t)＝－8cost＋1030．（2022·全國·高三專題練習）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環(huán)保，至今還在農業(yè)生產中使用．假設在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動．現將筒車抽象為一個幾何圖形，如圖所示，圓的半徑為4米，盛水筒從點處開始運動，與水平面的所成角為，且2分鐘恰好轉動1圈，則盛水筒距離水面的高度（單位：米）與時間（單位：秒）之間的函數關系式是（）A． B．C． D．31．（2021·廣西·高三階段練習（理））函數（，）的部分圖象如圖所示，的圖象與軸交于點，與軸交于點，點在的圖象上，點?關于點對稱，則下列說法中正確的是（）A．函數在區(qū)間上單調遞減B．函數的最小正周期是C．函數的圖象關于直線對稱D．函數的圖象向右平移后，得到函數的圖象，則為偶函數32．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習（理））已知的一段圖象如圖所示，則（）A．B．的圖象的一個對稱中心為C．的單調遞增區(qū)間是D．函數的圖象向左平移個單位后得到的是一個奇函數的圖象二、多選題33．（2021·湖北·高三階段練習）已知函數了（）在上有且僅有6個零點，則實數的值可能為（）A． B． C．3 D．34．（2021·江蘇省濱海中學高三階段練習）函數的部分圖像如圖所示，下列結論中正確的是（）A．直線是函數圖像的一條對稱軸B．函數的圖像關于點對稱C．函數的單調遞增區(qū)間為D．將函數的圖像向右平移個單位得到函數的圖像35．（2022·全國·高三專題練習）已知三角函數，以下對該函數的說法正確的是（）A．該函數周期為 B．該函數在上單調遞增C．為其一條對稱軸 D．將該函數向右平移個單位得到一個奇函數36．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的圖象關于直線對稱，則（）A．函數為奇函數B．函數在上單調遞增C．若，則的最小值為D．函數的圖象關于中心對稱37．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）設函數的圖像，下面結論正確的是（）A．函數的最小正周期為B．函數在區(qū)間上是增函數C．函數圖像關于對稱D．函數圖像可由右移個單位得到38．（2022·重慶市育才中學模擬預測）已知函數（其中，，）的部分圖像，則下列結論正確的是（）A．函數的圖像關于直線對稱B．函數的圖像關于點對稱C．將函數圖像上所有的點向右平移個單位，得到函數，則為奇函數D．函數在區(qū)間上單調遞增39．（2021·江蘇如皋·高三期中）已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則下列說法正確的是（）A．B．C．函數為奇函數D．函數在區(qū)間上單調遞減三、填空題40．（2021·北京景山學校遠洋分校高三階段練習）己知函數部分圖象如圖所示，則圖中的值為___________.41．（2022·全國·高三專題練習）函數的定義域為________.42．（2022·全國·高三專題練習）函數的單調遞增區(qū)間是_______________.43．（2022·全國·高三專題練習）已知，則的最大值為________．44．（2022·全國·高三專題練習（文））函數在上的最小值是________．45．（2022·浙江·高三專題練習）函數的值域為________．46．（2021·湖南·模擬預測）函數的最大值為__________.47．（2022·全國·高三專題練習）設當時，函數取得最大值，則______.48．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數，若的圖象向右平移個單位后與的圖象重合，當最小時，給出下列結論：①的最小值為4②在上單調遞增③在上單調遞減④的圖象關于直線對稱⑤的圖象關于點中心對稱其中，正確結論的編號是__________（填寫所有正確結論的編號）．49．（2022·全國·高三專題練習）設函數．若的圖象關于直線對稱，則的取值集合是__________．50．（2022·全國·高三專題練習）已知函數在處取得最小值，則_________四、解答題51．（2021·江西·寧岡中學高三開學考試（理））已知函數（）.（1）請結合所給表格，在所給的坐標系中作出函數一個周期內的簡圖；（2）求函數的單調遞增區(qū)間；（3）求的最大值和最小值及相應的取值.52．（2021·西藏·拉薩中學高三階段練習（文））函數的部分圖象如圖：（1）求其解析式（2）寫出函數在上的單調遞減區(qū)間．53．（2022·全國·高三專題練習）已知函數．（I）若是第一象限角，且．求的值；（II）求使成立的x的取值集合．54．（2021·全國·高三專題練習）已知函數的周期是.（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）求在上的最值及其對應的的值.55．（2022·全國·高三專題練習）已知向量，函數（）的最小正周期是.（1）求的值及函數的單調遞減區(qū)間；（2）當時，求函數的值域.56．（2022·浙江·高三專題練習）已知函數的部分圖象如圖所示.（1）求函數的解析式；（2）求函數在區(qū)間上的值域.57．（2022·全國·高三專題練習）已知函數．（1）求函數的最小正周期；（2）當，時，求的值域．58．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，（1）求函數的定義域和最小正周期；（2）若將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，然后再向右平移()個單位長度，所得函數的圖象關于軸對稱，求的最小值.59．（2021·福建省福州第一中學高三期中）已知函數的圖象如圖所示.（1）求函數的解析式；（2）首先將函數的圖象上每一點橫坐標縮短為原來的，然后將所得函數圖象向右平移個單位，最后再向上平移個單位得到函數的圖象，求函數在內的值域.第21講三角函數的性質【知識點總結】1.“五點法”作圖原理在確定正弦函數的圖像時，起關鍵作用的5個點是.在確定余弦函數的圖像時，起關鍵作用的5個點是.2.三角函數的圖像與性質在上的圖像定義域值域（有界性）最小正周期（周期性）奇偶性（對稱性）奇函數偶函數單調增區(qū)間單調減區(qū)間對稱軸方程對稱中心坐標最大值及對應自變量值時時最小值及對應自變量值時時函數正切函數圖像定義域值域周期性奇偶性奇函數，圖像關于原點對稱單調性在上是單調增函數對稱軸無對稱中心3.與的圖像與性質（1）最小正周期：.（2）定義域與值域：，的定義域為R，值域為[-A,A].（3）最值假設.①對于，②對于，（4）對稱軸與對稱中心.假設.①對于，②對于，正、余弦曲線的對稱軸是相應函數取最大（?。┲档奈恢?正、余弦的對稱中心是相應函數與軸交點的位置.（5）單調性.假設.①對于，②對于，（6）平移與伸縮（，）的圖象，可以用下面的方法得到：=1\*GB3①畫出函數的圖象；=2\*GB3②把的圖象向左（）或向右（）平移個單位長度，得到函數的圖象；=3\*GB3③把圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數的圖象；=4\*GB3④把圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標不變），得到函數的圖象.【典型例題】例1．（2018·福建省泉州市泉港區(qū)第一中學高三期中（文））函數的部分圖象如圖示，則下列說法不正確的是A．B．的圖象關于點成中心對稱C．在R上單調遞增D．已知函數的圖象向右平移個單位后得到的函數圖象關于原點對稱【答案】D【詳解】根據函數的部分圖象，，其中，，，再根據五點法作圖可得，，故，故A正確．當時，，即的圖象關于點成中心對稱，故B正確．，，故函數在R上單調遞增，故C正確．把函數的圖象向右平移個單位后，得到函數的圖象，由于函數為非奇非偶函數，故它的圖象不關于原點對稱，故D錯誤，故選D．例2．（2022·全國·高三專題練習（理））若函數的定義域為（）A．（）B．（）C．（）D．（）【答案】B【詳解】解：要使函數有意義，則，即，即，，得，，即函數的定義域為（）.故選：B例3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(ω>0)，若f(x)在上恰有兩個零點，則ω的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：因為，且ω>0，所以，又f(x)在上恰有兩個零點，所以且，解之得.故選：A.例4．（2022·全國·高三專題練習）若在上是減函數，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，的最大值是.故選：B例5．（2022·全國·高三專題練習）已知函數f(x)＝2sin是偶函數，則θ的值為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由f(x)是偶函數，可得θ＋＝＋kπ，k∈Z，即θ＝＋kπ，k∈Z.令k＝0，得θ＝.故選：B．（多選題）例6．（2022·全國·高三專題練習）若關于的方程在區(qū)間上有且只有一個解，則的值可能為（）A． B． C．0 D．1【答案】AC【詳解】整理可得，令，因為，則.所以在區(qū)間上有且只有一個解，即的圖象和直線只有1個交點.由圖可知，或，解得或.故選：AC.例7．（2022·全國·高三專題練習）將函數的圖像向右平移個單位，可得下列哪些函數（）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】將函數的圖像向右平移個單位，得到，而，.故選：BC.例8．（2021·安徽·蕪湖一中高三階段練習（理））已知函數.xf(x)（1）求函數在區(qū)間上的值域；（2）用五點法在網格紙中作出在區(qū)間上的大致圖象.【詳解】（1）依題意，，當時，，，故，故，故函數在上的值域為；（2）當時，，，列表如下：000作出圖形如下所示：例9．（2021·全國·高三專題練習）已知，函數．（Ⅰ）若，求的單調遞增區(qū)間；（Ⅱ）若的最大值是，求的值．【詳解】（Ⅰ）由題意由，得．所以單調的單調遞增區(qū)間為，.（Ⅱ）由題意，由于函數的最大值為，即，從而，又，故．例10．（2021·江蘇高郵·高三階段練習）已知函數的部分圖象如圖.（1）求函數的解析式;（2）將函數的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，當時，求值域.【解析】（1）由圖象可知，的最大值為，最小值為，又，故，周期，，，則，從而，代入點，得，則，，即，，又，則..（2）將函數的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，故可得；再將所得圖象向左平移個單位，得到函數的圖象故可得；，，，.【技能提升訓練】一、單選題1．（2021·江西·豐城九中高三階段練習（理））設點是函數的圖象C的一個對稱中心，若點到圖象C的對稱軸上的距離的最小值，則的最小正周期是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】點到圖像的對稱軸的水平距離的最小值就是函數最小正周期的，故可得函數的最小正周期.【詳解】因為對稱中心與對稱軸水平的最近距離為，由題意得，所以.故選：C.2．（2021·全國·高三階段練習（文））已知函數在區(qū)間上的圖象大致如下，且；則圖象的一條對稱軸方程可以是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖象知求關于k的表達式，又確定的范圍，即可求的值，進而求對稱軸方程，結合選項判斷符合要求的對稱軸方程.【詳解】由圖，知：，即，于是得，解得①．又，且，則有，即得②；綜合①②知，當且僅當時，得．即，令，得圖象的對稱軸方程為，當時，得為圖象的一條對稱軸方程．故選：B.3．（2021·河南·高三階段練習（理））的圖象向左平移個單位，恰與的圖象重合，則的取值可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得到平移后的解析式，再將轉化為正弦型函數，然后根據兩函數圖象重合，由求解.【詳解】的圖象向左平移個單位得到，，因為的圖象平移后與的圖象重合，所以，解得，當時，，故選：D4．（2022·全國·高三專題練習）下列函數中，周期為，且在區(qū)間單調遞增的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據正余弦函數及正切函數的性質，判斷函數的周期及其區(qū)間單調性即可.【詳解】A：的周期為，單調遞減，不合要求；B：的周期為，、單調遞增，不合要求；C：的周期為，單調遞增，符合要求；D：的周期為，不單調，不合要求；故選：C.5．（2022·全國·高三專題練習）將函數的圖象上每一個點向左平移個單位，得到函數的圖象，則函數的單調遞增區(qū)間為A． B．C． D．【答案】D【分析】首先確定平移后的函數解析式，在求函數的遞增區(qū)間.【詳解】由題意可知平移后的解析式：函數的單調遞增區(qū)間：解得：【點睛】本題考查了三角函數平移變換及三角函數性質，意在考查學生的變換能力、用算能力，三角函數平移變換前一定要分清變換前的函數和變換后的函數.6．（2022·全國·高三專題練習）若函數的定義域為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由被開方式非負，解三角不等式可得答案【詳解】由題意，得，則．故選：B．7．（2022·全國·高三專題練習）將函數的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象對應的函數在上的值域為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用三角函數圖像變換規(guī)律求出，然后由，求得，再利用三角函數的性質可求得其值域【詳解】解：由題意可得，當時，，所以，所以函數在上的值域為．故選：B8．（2021·北京市第五中學高三階段練習）已知，則的值域為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式轉化為二次函數問題求解最值即可.【詳解】解：由設，，，，，，即的值域為，.故選：B．9．（2021·全國·高三專題練習）函數的最大值為（）A． B．3C． D．4【答案】C【分析】令，則，將原函數變形為，再根據的取值范圍及二次函數的性質計算可得；【詳解】解：根據題意，設，則，則原函數可化為，，所以當時，函數取最大值.故選：C.10．（2022·全國·高三專題練習）設函數，，若，函數是偶函數，則的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】根據正余弦函數的奇偶性結合誘導公式即可得出答案.【詳解】解：因為是偶函數，所以，.，又，所以或.故選：C.11．（2022·全國·高三專題練習）將函數的圖象向右平移個單位后得到一個奇函數的圖象，則該函數的解析式可能為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】將各選項所給函數按條件平移，判斷平移后的函數奇偶性，即得出結果.【詳解】A選項，將函數的圖象向右平移個單位后得到的圖象，函數顯然不是奇函數，故A錯；B選項，將函數的圖象向右平移個單位后得到的圖象，函數顯然是偶函數，故B錯；C選項，將函數的圖象向右平移個單位后得到的圖象，函數顯然是偶函數，故C錯；D選項，將函數的圖象向右平移個單位后得到的圖象，函數顯然是奇函數，故D正確.故選：D.12．（2022·全國·高三專題練習）設函數（且）．若，，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設，可證明為奇函數，結合奇函數的性質即可得解.【詳解】設，則，因為的定義域為R，，所以為奇函數，所以，所以.故選：B.13．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為，若將函數的圖象向左平移后得到偶函數的圖象，則函數在下列區(qū)間上是單調遞減的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】兩個對稱中心之間的距離為半個周期，可得T和ω，由圖像平移的知識點可得g(x)＝sin(2xθ)，由偶函數的性質，，求得，得出，然后求出單調減區(qū)間即可得到結果.【詳解】函數f(x)＝sin(ωx+θ)(ω＞0，)的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為，則T＝π，所以ω＝2，將函數f(x)的圖象向左平移后，得到g(x)＝sin(2xθ)是偶函數，故，解得，由于，所以當k＝0時．則，令，解得，當k＝0時，單調遞減區(qū)間為，由于，故選：D.14．（2022·全國·高三專題練習（文））下列函數中，周期為π，且在區(qū)間上單調遞增的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦函數、余弦函數的周期以及單調性逐一判斷即可.【詳解】A，，，由余弦函數的單調遞增區(qū)間可得，解得，當時，，故A正確；B，，，由正弦函數的單調遞增區(qū)間可得，解得，顯然在區(qū)間上不單調，故B錯誤；C，，，故C錯誤；D，當時，，當時，，所以周期不是，故D錯誤；故選：A15．（2022·江蘇·高三專題練習）已知函數（）的圖象經過點，一條對稱軸方程為.則函數的周期可以是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根據對稱中心和對稱軸之間的距離即可求解結論．【詳解】由題意，為函數的一個對稱中心，所以，則，，當時，故選B【點睛】小題主要考查三角函數的圖象和性質、正弦型函數f（x）=sin（ωx+φ）圖象和性質等基本知識,是基礎題.16．（2022·全國·高三專題練習（文）），是函數的兩個相鄰零點.則（）A．3 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】從極值點可得函數的周期，結合周期公式可得.【詳解】由題意知，的周期，得．故選:B．【點睛】本題考查三角函數的極值、最值和周期，滲透了直觀想象、邏輯推理和數學運算素養(yǎng)．采取公式法，利用方程思想解題．17．（2022·全國·高三專題練習）函數圖像向右平移個單位后所得函數圖像與函數的圖像關于軸對稱，則最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】由函數圖象可得與周期的關系，解得，再由，得最小值.【詳解】由題意知，得，又，則最小值為4.故選：C.【點睛】函數圖象向左(右)平移個單位所得函數圖象與原函數圖象關于軸對稱；函數圖象向左(右)平移個單位所得函數圖象與原函數圖象重合.18．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的最小正周期為，則該函數的圖象（）A．關于點對稱 B．關于直線對稱C．關于點對稱 D．關于直線對稱【答案】B【分析】根據周期可計算出的值，然后根據余弦型函數的對稱中心和對稱軸對應的函數值的特點判斷各選項的正誤．【詳解】解：∵函數的最小正周期為，∴，∴令，求得，且不是最值，故A、D錯誤；令，求得，為最大值，故函數的圖象關于直線對稱，故B正確，C錯誤；故選：B．19．（2022·全國·高三專題練習（文））設函數，則下列結論中不正確的是（）A．的圖象關于點，對稱B．的圖象關于直線對稱C．在，上單調遞減D．在，上的最小值為0【答案】D【分析】先利用三角函數公式對函數化簡變形可得，然后根據正弦函數的圖像和性質逐個分析判斷即可【詳解】解：，因為，所以對稱中心，正確，故正確；因為，所以函數達到最大值，所以正確；，時，，，顯然函數單調遞減，所以正確；，時，，，顯然函數單調遞增，所以函數的最小值為：時，函數取最小值，且為，所以不正確；故選：D.20．（2022·全國·高三專題練習）將函數的圖象沿軸向左平移個單位后得到的圖象關于原點對稱，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出平移后的函數解析式，根據已知條件可得出關于的等式，結合的取值范圍可求得的值.【詳解】將函數的圖象沿軸向左平移個單位后得到的圖象對應的函數解析式為，由題意可知，函數為奇函數，則，所以，，，因此，.故選：B.21．（2022·全國·高三專題練習（文））已知函數（）的圖象關于點對稱，則的取值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】根據正弦函數的性質計算可得；【詳解】解：因為函數（）的圖象關于點對稱，所以，解得故故選：B22．（2022·全國·高三專題練習（理））下列區(qū)間是函數的單調遞減區(qū)間的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將變形為，結合函數的單調遞減區(qū)間，整體代入即可求出的單調遞減區(qū)間，結合選項判斷即可求出結果.【詳解】因為，且函數在上單調遞減，所以，所以函數的單調遞減區(qū)間的是，當，函數的單調遞減區(qū)間的是，結合選項知，D選項符合，故選：D.23．（2022·全國·高三專題練習）如果函數y=3cos(2x+φ)的圖象關于點對稱，那么|φ|的最小值為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用余弦函數的對稱中心及給定條件列式，再經推理計算即可得解.【詳解】因函數y=3cos(2x+φ)的圖象關于點對稱，則有，于是得，顯然對于是遞增的，而時，，，當時，，，所以|φ|的最小值為.故選：A24．（2022·全國·高三專題練習（理））將函數y＝sin2x的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據題意得到，向左平移個單位長度后得到，從而得到，再結合的范圍求解即可.【詳解】.將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數，由題意知，則，又，所以.故選：C25．（2022·全國·高三專題練習）要得到函數的圖象，則（）A．可將函數的圖象向右平移個單位得到B．可將函數的圖象向左平移個單位得到C．可將函數的圖象縱坐標不變，橫坐標縮短到原來倍得到D．可將函數的圖象縱坐標不變，橫坐標擴大到原來2倍得到【答案】C【分析】對于A選項由于函數名不同，需要利用誘導公式變成同名函數，然后根據四種基本圖象變換可以直接得出結果；對于C選項也是函數名不同，可以先根據四種基本圖象變換，再利用誘導公式變成同名函數判斷是否一樣即可；對于B、D選項函數名相同，則可以直接利用四種基本函數圖象變換得出結果.【詳解】對于A選項：變換后，故A錯誤；對于B選項：變換后，故B錯誤；對于C選項：變換后，故C正確；對于D選項：變換后，故D錯誤.故選：C.【點睛】對于函數名不同的函數，可以先利用誘導公式變成同名函數再根據四種基本圖象變換進行變換，也可以先根據四種基本圖象變換進行變換再結合誘導公式判斷是否一致即可；對于同名函數則可根據四種基本圖象變換直接得結果.26．（2022·全國·高三專題練習）要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（）A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【答案】B【分析】將異名三角函數化為同名三角函數，在根據平移規(guī)則，再求解出答案.【詳解】因為，所以，要得到函數，只需要將函數得圖象向右平移個單位長度即可.故選：B.27．（2022·全國·高三專題練習）將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將它的圖象向右平移個單位長度，得到了一個奇函數的圖象，則的最小值為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圖象平移可得，根據為奇函數并結合三角函數的性質有，進而可得的最小值.【詳解】由題設，經過圖像平移后的解析式為且為奇函數，∴，即，又，則最小值.故選：C28．（2022·全國·高三專題練習（理））將函數圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，然后將所得圖象向左平移個單位，可得函數的圖象，則（）A．2 B．0 C． D．【答案】C【分析】逆用三角恒等變換，由的圖象變換得到，即可得到.【詳解】先將向右移個單位得，然后縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得，故，.故選：C29．（2022·全國·高三專題練習）如圖，一個大風車的半徑為8m，12min旋轉一周，它的最低點P0離地面2m，風車翼片的一個端點P從P0開始按逆時針方向旋轉，則點P離地面的距離h(m)與時間t(min)之間的函數關系式是（）A．h(t)＝－8sint＋10 B．h(t)＝－cost＋10C．h(t)＝－8sint＋8 D．h(t)＝－8cost＋10【答案】D【分析】由題意得出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出、、的值，再將點代入函數解析式求出的值，由此可得出與之間的函數關系式.【詳解】設，由題意可得，，，，，，，當時，，得，可取，所以.故選：D.30．（2022·全國·高三專題練習）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環(huán)保，至今還在農業(yè)生產中使用．假設在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動．現將筒車抽象為一個幾何圖形，如圖所示，圓的半徑為4米，盛水筒從點處開始運動，與水平面的所成角為，且2分鐘恰好轉動1圈，則盛水筒距離水面的高度（單位：米）與時間（單位：秒）之間的函數關系式是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】有題意設，根據最高、最低高度，周期和初始高度，可得結果.【詳解】設距離水面的高度H與時間t的函數關系式為，周期為120s，，最高點的縱坐標為，最低點的縱坐標為，所以，當t=0時，H=0，，所以.故選：A.31．（2021·廣西·高三階段練習（理））函數（，）的部分圖象如圖所示，的圖象與軸交于點，與軸交于點，點在的圖象上，點?關于點對稱，則下列說法中正確的是（）A．函數在區(qū)間上單調遞減B．函數的最小正周期是C．函數的圖象關于直線對稱D．函數的圖象向右平移后，得到函數的圖象，則為偶函數【答案】A【分析】先根據點，關于點對稱求出點的坐標，則函數的周期可求，可得的值，結合五點法作圖，求出，可得函數解析式，然后利用正弦函數的圖象和性質，逐一判斷即可．【詳解】點?關于點對稱，則，，所以B錯誤；由，可得，代入，可得，解得，，，則，即，因為，所以的圖象關于點對稱，故C錯誤；由圖象可得在，遞減，則在遞減，所以A正確；函數的圖象向右平移后，可得，是奇函數，D錯誤.故選：A32．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習（理））已知的一段圖象如圖所示，則（）A．B．的圖象的一個對稱中心為C．的單調遞增區(qū)間是D．函數的圖象向左平移個單位后得到的是一個奇函數的圖象【答案】C【分析】首先根據函數圖像求出函數解析式，即可判斷A，再根據正弦函數的性質一一判斷即可；【詳解】解：由圖可知，，所以，解得，所以，又函數過點，即，所以，解得，因為，所以，所以，故A錯誤；因為，所以函數關于對稱，故B錯誤；令，解得，故函數的單調遞增區(qū)間為，故C正確；將函數的圖象向左平移個單位得為偶函數，故D錯誤；故選：C二、多選題33．（2021·湖北·高三階段練習）已知函數了（）在上有且僅有6個零點，則實數的值可能為（）A． B． C．3 D．【答案】BC【分析】根據正弦函數的零點得，可得函數的零點，建立不等式可得選項.【詳解】令，即，故（），所以第1個零點為，而第6個零點為，第7個零點為，故，解得.故選：BC.34．（2021·江蘇省濱海中學高三階段練習）函數的部分圖像如圖所示，下列結論中正確的是（）A．直線是函數圖像的一條對稱軸B．函數的圖像關于點對稱C．函數的單調遞增區(qū)間為D．將函數的圖像向右平移個單位得到函數的圖像【答案】BC【分析】首先根據函數的圖像得到，再依次判斷選項即可得到答案。【詳解】由圖知：，所以，因為，，即，。所以.又因為，所以，，.又因為，所以，所以.對選項A，，故A錯誤.對選項B，令，解得，.所以函數的對稱中心為,，故B正確.對選項C，，，解得，所以函數的增區(qū)間為,，故C正確.對選項D，，故D錯誤.故選：BC35．（2022·全國·高三專題練習）已知三角函數，以下對該函數的說法正確的是（）A．該函數周期為 B．該函數在上單調遞增C．為其一條對稱軸 D．將該函數向右平移個單位得到一個奇函數【答案】AD【分析】逐一考查各選項中的說法的正確性而得解.【詳解】中，，周期，A正確；因，而，原函數在上不單調，B錯誤；又，不是的對稱軸，C錯誤；把向右平移個單位得，所得函數是奇函數，D正確；故選：AD36．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的圖象關于直線對稱，則（）A．函數為奇函數B．函數在上單調遞增C．若，則的最小值為D．函數的圖象關于中心對稱【答案】ACD【分析】首先求出的值，即可得到函數解析式，再利用正弦函數的圖象和性質，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結論．【詳解】解：函數的圖象關于直線對稱，，，因為，所以，所以．函數為奇函數，故正確；當，，函數沒有單調性，故錯誤；若，因為，所以或，則的最小值，故正確；，所以函數的圖象關于中心對稱，故正確故選：．37．（2022·上海·高三專題練習）設函數的圖像，下面結論正確的是（）A．函數的最小正周期為B．函數在區(qū)間上是增函數C．函數圖像關于對稱D．函數圖像可由右移個單位得到【答案】BC【分析】直接利用正弦型函數的圖象與性質，函數的周期，單調性和三角的圖象變換進行判定，即可求解.【詳解】由函數，可得函數的最小正周期為，所以A不正確；由，可得，此時函數在單調遞增，所以函數在區(qū)間上是增函數，所以B正確；令，可得，所以函數圖像關于對稱，所以C正確；函數右移個單位，可得，所以D不正確.故選：BC.38．（2022·重慶市育才中學模擬預測）已知函數（其中，，）的部分圖像，則下列結論正確的是（）A．函數的圖像關于直線對稱B．函數的圖像關于點對稱C．將函數圖像上所有的點向右平移個單位，得到函數，則為奇函數D．函數在區(qū)間上單調遞增【答案】ACD【分析】根據函數圖象求得解析式，再根據三角函數圖象性質及伸縮平移變換分別判斷各個選項.【詳解】由圖象得函數最小值為，故，，故，，故函數，又函數過點，故，解得，又，即，故，對稱軸：，解得，當時，，故A選項正確；對稱中心：，解得，對稱中心為，故B選項錯誤；函數圖像上所有的點向右平移個單位，得到函數，為奇函數，故C選項正確；的單調遞增區(qū)間：，解得，又，故D選項正確；故選：ACD.39．（2021·江蘇如皋·高三期中）已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則下列說法正確的是（）A．B．C．函數為奇函數D．函數在區(qū)間上單調遞減【答案】BCD【分析】根據圖象可得，，，然后求出的解析式，然后逐一判斷即可.【詳解】，則，，，∴，，，，，∴，A錯.，，，B對.奇函數，C對.，即，在上單調遞減，而，∴D對.故選：BCD.三、填空題40．（2021·北京景山學校遠洋分校高三階段練習）己知函數部分圖象如圖所示，則圖中的值為___________.【答案】【分析】由圖象可知，可求出的值，再由結合函數圖象可求得結果【詳解】由圖象可知，所以，，因為，所以，因為，所以，所以，所以，由圖象可知，所以，故答案為：41．（2022·全國·高三專題練習）函數的定義域為________.【答案】【分析】由題意得，解得即可.【詳解】由題意，要使函數有意義，則，即，解得，所以所以函數的定義域為.故答案為：.【點睛】本題考查了三角函數的圖象與性質，屬于中檔題.42．（2022·全國·高三專題練習）函數的單調遞增區(qū)間是_______________.【答案】【分析】求出函數的所有定義域上的單調遞增區(qū)間,即可分析出的單調遞增區(qū)間.【詳解】由得,當時,得,,且僅當時符合題意,所以函數的單調遞增區(qū)間是,故答案為.【點睛】本題主要考查了正弦函數的單調性,意在考查對基礎知識的掌握與應用，屬于基礎題.43．（2022·全國·高三專題練習）已知，則的最大值為________．【答案】【分析】由輔助角公式結合正弦函數的性質得出最大值.【詳解】，其中故答案為：44．（2022·全國·高三專題練習（文））函數在上的最小值是________．【答案】1【分析】利用二倍角正余弦公式、輔助角公式可得，結合給定區(qū)間及正弦函數的性質求最小值即可.【詳解】，∴，則，∴，故在上的最小值是1.故答案為：145．（2022·浙江·高三專題練習）函數的值域為________．【答案】【分析】設，則函數化成，其中，．然后根據二次函數在閉區(qū)間上的最值，即可求出函數的值域．【詳解】解：設，則，，當時，；當時，；因此，函數的值域是，．故答案為：，．46．（2021·湖南·模擬預測）函數的最大值為__________.【答案】4【分析】利用配方法將函數表達式進行配方，然后結合的取值范圍以及二次函數的性質，求得函數的最大值.【詳解】，且，∴當時，取最大值，.故答案為：47．（2022·全國·高三專題練習）設當時，函數取得最大值，則______.【答案】；【詳解】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，當x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時，函數f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ時，函數f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.48．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數，若的圖象向右平移個單位后與的圖象重合，當最小時，給出下列結論：①的最小值為4②在上單調遞增③在上單調遞減④的圖象關于直線對稱⑤的圖象關于點中心對稱其中，正確結論的編號是__________（填寫所有正確結論的編號）．【答案】①⑤【分析】的圖象向右平移個單位后與的圖象重合，從而可得，，求出，從而可求出，然后求解其單調區(qū)間和對稱軸，對稱中心進行判斷即可【詳解】解析：因為的圖象向右平移個單位后與的圖象重合，所以是一個周期，又，所以，，所以，的最小值為，所以①正確；進而，由，解得，當時，的單調增區(qū)間為，當時，的單調增區(qū)間為，所以②③錯誤，而，所以④錯誤，，所以⑤正確，故答案為：①⑤．49．（2022·全國·高三專題練習）設函數．若的圖象關于直線對稱，則的取值集合是__________．【答案】【分析】由正弦型函數的對稱性知，，即可求解.【詳解】由題意，，得，，故答案為：．50．（2022·全國·高三專題練習）已知函數在處取得最小值，則_________【答案】【分析】由求得，結合的取值范圍求得的值.【詳解】∵函數在處取得最小值，∴，∴，又，令解求得.故答案為：四、解答題51．（2021·江西·寧岡中學高三開學考試（理））已知函數（）.（1）請結合所給表格，在所給的坐標系中作出函數一個周期內的簡圖；（2）求函數的單調遞增區(qū)間；（3）求的最大值和最小值及相應的取值.【答案】（1）詳見解析；（2）（）；（3），此時，（）；，此時，（）.【分析】（1）利用列表法，結合五點作圖法進行取值作圖．（2）根據正弦函數的圖象和性質進行求解即可．【詳解】（1）列表：2x0π2πxy020﹣20描點，連線可得對應的圖象為：（2）由，解得，（）所以的單調遞增區(qū)間為（）.（3）由正弦函數的圖象和性質可得函數f（x）＝2sin（2x）的最大值為2．取得最大值2時滿足2x得到自變量x的集合為：{x|x＝k，k∈Z}．最小值為-2．取得最小值-2時滿足2x自變量x的集合為：{x|x＝，k∈Z}．【點睛】本題主要考