新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)90分講義第15講等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合運用(原卷版+解析)

第15講等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合運用【知識點總結(jié)】【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè){an}為等比數(shù)列，{bn}為等差數(shù)列，且b1=0，cn=an+bn，若數(shù)列{cn}是1，1，2，…，則數(shù)列{cn}的前10項和為（）A．978 B．557 C．467 D．979例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知首項為最小正整數(shù)，公差不為零的等差數(shù)列中，，，依次成等比數(shù)列，則的值是（）A． B． C． D．58例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是正項等比數(shù)列，若，，則（）A． B． C． D．例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列，滿足，，，則數(shù)列的前n項和為（）A． B． C． D．例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，且a1，a3，a4成等比數(shù)列，則Sn取最大值時n的值為（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或6例6．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，求．例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知各項均為整數(shù)的數(shù)列滿足，，前6項依次成等差數(shù)列，從第5項起依次成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求出所有的正整數(shù)m，使得．【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項等差數(shù)列和正項等比數(shù)列}，，是，的等差中項，是，的等比中項，則下列關(guān)系成立的是（）A． B．C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，中滿足，，，若前項之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)是（）.A．8 B．9 C．11 D．103．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）2013年9月7日，習(xí)近平總書記在哈薩克斯坦納扎爾巴耶夫大學(xué)發(fā)表演講并回答學(xué)生們提出的問題，在談到環(huán)境保護問題時他指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山.寧要綠水青山，不要金山銀山，而且綠水青山就是金山銀山.”“綠水青山就是金山銀山”這一科學(xué)論斷，成為樹立生態(tài)文明觀、引領(lǐng)中國走向綠色發(fā)展之路的理論之基.某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，從2020年開始每年投入資金比上一年增加10%，到2024年底該市生態(tài)環(huán)境建設(shè)投資總額大約為（）A．2655萬元 B．2970萬元 C．3005萬元 D．3040萬元4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，若，，成等比數(shù)列，則（）A．11 B．13 C．15 D．175．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知各項均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足，，成等差數(shù)列．其前項和為，且，則（）A． B．C． D．6．（2019·山東·青島二中高三階段練習(xí)（文））已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，其公比且，若，，則（）A． B．C． D．或7．（2021·廣東·紅嶺中學(xué)二模）已知等差數(shù)列的公差為，且、、成等比數(shù)列，則（）A．2 B．3 C．4 D．58．（2021·北京育英中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的值是（）A． B． C．或 D．9．（2020·寧夏·銀川二中一模（理））設(shè)等比數(shù)列的前項和為,已知成等差數(shù)列,且,則（）A．3 B．6 C．8 D．9二、多選題10．（2020·江蘇南通·高三期中）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個選項中不正確的有（）A．若數(shù)列的前項和，，為常數(shù)）則數(shù)列為等差數(shù)列B．若數(shù)列的前項和，則數(shù)列為等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，為前項和，則，，，仍為等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，為前項和，則，，，仍為等比數(shù)列；11．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項為1，公差，前n項和為，則下列結(jié)論成立的有A．?dāng)?shù)列的前10項和為100B．若成等比數(shù)列，則C．若，則n的最小值為6D．若，則的最小值為三、填空題12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則其公比q等于________．13．（2019·江蘇·無錫市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)等比數(shù)列的前項和為.若，，成等差數(shù)列，且，則的值為________．14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中公比，若，，記數(shù)列的前n項和為，則的最大值為_______15．（2021·內(nèi)蒙古·赤峰二中高三階段練習(xí)（理））設(shè)數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則________.16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則_______.17．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）為公差不為0的等差數(shù)列，且恰為等比數(shù)列，其中，則為_______．18．（2021·全國·高三專題練習(xí)）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列，記是數(shù)列的前n項和，則________.19．（2021·河南·高三階段練習(xí)（理））設(shè)為等比數(shù)列的前n項和，若，且成等差數(shù)列，則_________.20．（2021·甘肅省民樂縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若數(shù)列是等差數(shù)列，，滿足，且，則數(shù)列的通項公式為______.四、解答題21．（2021·河南·濮陽一高高三階段練習(xí)（理））已知Sn是等差數(shù)列的前n項和，從以下3個條件中任選一條，回答問題.①，，②公差，③，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若等比數(shù)列滿足公比，，求數(shù)列的前n項和.22．（2021·黑龍江·牡丹江一中高三期中（理））已知等比數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，其中.（1）分別求數(shù)列和的通項公式；（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.23．（2021·廣東惠州·一模）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，.（1）求和的通項公式；（2）數(shù)列和中的所有項分別構(gòu)成集合，，將的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個新數(shù)列，求數(shù)列的前60項和.24．（2021·江蘇·高三開學(xué)考試）已知集合，，將中所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項和為．（1）若，求m的值；（2）求的值．25．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知正項等差數(shù)列的前項和為，若構(gòu)成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證:26．（2022·河北·高三專題練習(xí)）已知正項等差數(shù)列滿足，且、、成等比數(shù)列，數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．27．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，=1，且，，成等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項公式.第15講等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合運用【知識點總結(jié)】【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè){an}為等比數(shù)列，{bn}為等差數(shù)列，且b1=0，cn=an+bn，若數(shù)列{cn}是1，1，2，…，則數(shù)列{cn}的前10項和為（）A．978 B．557 C．467 D．979【答案】A【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，等差數(shù)列{bn}的公差為d.∵cn=an+bn，解得，∴cn=2n-1+(1-n).∴{cn}的前10項和為．故選：A例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知首項為最小正整數(shù)，公差不為零的等差數(shù)列中，，，依次成等比數(shù)列，則的值是（）A． B． C． D．58【答案】A【詳解】設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的公差為d，則有，因為，，依次成等比數(shù)列，，所以有，即，整理得，因為，所以，，因此，故選：A.例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是正項等比數(shù)列，若，，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，，圖象中的孤立的點在一條直線上，而等比數(shù)列的通項公式是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)形式，圖象中孤立的點在指數(shù)函數(shù)圖象上，如圖所示當(dāng)時，如下圖所示，當(dāng)公差時，如下圖所示，如圖可知當(dāng)時，，，，.故選：D例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列，滿足，，，則數(shù)列的前n項和為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，數(shù)列，滿足，，，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差是2，是等比數(shù)列，且公比是2，又因為，所以所以，設(shè)，所以，則，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為4，首項為4．由等比數(shù)列的前n項和的公式，可得數(shù)列前n項的和為故選：B.例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，且a1，a3，a4成等比數(shù)列，則Sn取最大值時n的值為（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或6【答案】C【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，成等比數(shù)列，即，則，，所以當(dāng)或時，取得最大值.故選：C.例6．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，求．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，所以．所以．又，即，所以所以．（2）由（1），即是數(shù)列中的第項．設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，因為，，所以數(shù)列的前100項是由數(shù)列的前107項去掉數(shù)列的前7項后構(gòu)成的，所以．例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知各項均為整數(shù)的數(shù)列滿足，，前6項依次成等差數(shù)列，從第5項起依次成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求出所有的正整數(shù)m，使得．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列前項的公差為，則，(為整數(shù))又∵，，成等比數(shù)列，∴，即，得或（舍去），當(dāng)時，，6分∴，，數(shù)列從第項起構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為，∴當(dāng)時，，故，（2）由（1）知，當(dāng)時等式成立，即，當(dāng)時等式成立，即，當(dāng)或時等式不成立，當(dāng)時，，若，則，∴，，，從而方程無解，∴.故所求或．【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項等差數(shù)列和正項等比數(shù)列}，，是，的等差中項，是，的等比中項，則下列關(guān)系成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，等比數(shù)列公比為q，由題意可得：，進而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，等比數(shù)列公比為q，由題意可得：A.,故A不正確；B.，故B正確；C.，故C不正確；D.，故D不正確.故選：B2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，中滿足，，，若前項之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)是（）.A．8 B．9 C．11 D．10【答案】D【分析】由可求得數(shù)列的通項公式，進而求得數(shù)列，表示出，令，即可得到滿足不等式的最小整數(shù).【詳解】解：由題意可知：，即，即，又，，即數(shù)列是以首項為9，公比為的等比數(shù)列，，即，，，則，即，又，滿足不等式的最小整數(shù)，即.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項公式.3．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）2013年9月7日，習(xí)近平總書記在哈薩克斯坦納扎爾巴耶夫大學(xué)發(fā)表演講并回答學(xué)生們提出的問題，在談到環(huán)境保護問題時他指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山.寧要綠水青山，不要金山銀山，而且綠水青山就是金山銀山.”“綠水青山就是金山銀山”這一科學(xué)論斷，成為樹立生態(tài)文明觀、引領(lǐng)中國走向綠色發(fā)展之路的理論之基.某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，從2020年開始每年投入資金比上一年增加10%，到2024年底該市生態(tài)環(huán)境建設(shè)投資總額大約為（）A．2655萬元 B．2970萬元 C．3005萬元 D．3040萬元【答案】C【分析】根據(jù)年每年的投資額成等差數(shù)列、年每年的投資額成等比數(shù)列，利用等差和等比數(shù)列求和公式即可求得結(jié)果.【詳解】年每年的投資額成等差數(shù)列，首項為，公差為，則年的投資總額為：（萬元），年的投資額為：（萬元）年每年的投資額成等比數(shù)列，首項為，公比為，則年的投資總額為：（萬元）；年的投資總額約為（萬元）故選：C.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，若，，成等比數(shù)列，則（）A．11 B．13 C．15 D．17【答案】A【分析】先根據(jù)題意求出等差數(shù)列的首項和公差，再根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式求出，再由，，成等比數(shù)列，列出式子求解即可.【詳解】解：由，解得：，又，，，，，，成等比數(shù)列，，即，解得：.故選：A．5．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知各項均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足，，成等差數(shù)列．其前項和為，且，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)，，成等差數(shù)列以及單調(diào)遞減，求出公比，再由即可求出，再根據(jù)等比數(shù)列通項公式以及前項和公式即可求出.【詳解】解：由，，成等差數(shù)列，得：，設(shè)的公比為，則，解得：或，又單調(diào)遞減，，，解得：，數(shù)列的通項公式為：，.故選：C．6．（2019·山東·青島二中高三階段練習(xí)（文））已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，其公比且，若，，則（）A． B．C． D．或【答案】A【分析】由基本不等式可得，由等號取不到可得答案.【詳解】由題意可得四個正數(shù)滿足，，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，由基本不等式可得，又公比，故，上式取不到等號，，即.故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.7．（2021·廣東·紅嶺中學(xué)二模）已知等差數(shù)列的公差為，且、、成等比數(shù)列，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計算得到答.【詳解】由成等比數(shù)列得，即，已知，解得.故選：C.【點睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本量的計算.8．（2021·北京育英中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的值是（）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】利用已知等差等比數(shù)列中的項求得公差公比，再計算比值即可.【詳解】由題意可知：數(shù)列成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則4=1+3d，解得d=1，∴a1=1+1=2，a2=1+2d=3.∵數(shù)列成等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則4=q4,解得q2=2，∴b2=q2=2.則.故選：A.【點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題.9．（2020·寧夏·銀川二中一模（理））設(shè)等比數(shù)列的前項和為,已知成等差數(shù)列,且,則（）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】C【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為,分與結(jié)合成等差數(shù)列利用等比數(shù)列求和公式求得,再根據(jù)等比數(shù)列各項間的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,首項是,當(dāng)時,有、、,不滿足成等差數(shù)列；當(dāng)時,因為成等差數(shù)列,所以,化簡得,解得或（舍去）,則,故,即,故.故選：C【點睛】本題考查等比數(shù)列的前項和公式、通項公式,分類討論思想,使用等比數(shù)列的前項和公式時需要對公比與1的關(guān)系進行討論.同時也考查了等比數(shù)列各項間的關(guān)系,屬于中檔題.二、多選題10．（2020·江蘇南通·高三期中）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個選項中不正確的有（）A．若數(shù)列的前項和，，為常數(shù)）則數(shù)列為等差數(shù)列B．若數(shù)列的前項和，則數(shù)列為等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，為前項和，則，，，仍為等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，為前項和，則，，，仍為等比數(shù)列；【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)依次分析選項，綜合即可得的答案.【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項：對于，若數(shù)列的前項和，若，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列為等差數(shù)列，若，則數(shù)列從第二項起為等差數(shù)列，故不正確；對于，若數(shù)列的前項和，可得，，，則，，成等比數(shù)列，則數(shù)列不為等差數(shù)列，故不正確；對于，數(shù)列是等差數(shù)列，為前項和，則，，，，即為，，，，即為為常數(shù)，仍為等差數(shù)列，故正確；對于，數(shù)列是等比數(shù)列，為前項和，則，，，不一定為等比數(shù)列，比如公比，為偶數(shù)，，，，，均為0，不為等比數(shù)列.故不正確.故選：.【點睛】本題考查等差、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于?？碱}.11．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項為1，公差，前n項和為，則下列結(jié)論成立的有A．?dāng)?shù)列的前10項和為100B．若成等比數(shù)列，則C．若，則n的最小值為6D．若，則的最小值為【答案】AB【分析】由已知可得:,,,則數(shù)列為等差數(shù)列通過公式即可求得前10項和;通過等比中項可驗證B選項;因為,通過裂項求和可求得;由等差的性質(zhì)可知利用基本不等式可驗證選項D錯誤.【詳解】由已知可得:,,,則數(shù)列為等差數(shù)列,則前10項和為.所以A正確;成等比數(shù)列,則,即,解得故B正確;因為所以,解得,故的最小值為7,故選項C錯誤;等差的性質(zhì)可知,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,即時取等號,因為,所以不成立,故選項D錯誤.故選:AB.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查裂項求和,等比中項,和基本不等式求最值,難度一般.三、填空題12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則其公比q等于________．【答案】【分析】由，，成等差數(shù)列，根據(jù)等差中項的定義結(jié)合等比數(shù)列的通項列出方程，求出q即可.【詳解】∵，，成等差數(shù)列，∴，即，∴，∴，∴或(舍)．∴.故答案為：.13．（2019·江蘇·無錫市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)等比數(shù)列的前項和為.若，，成等差數(shù)列，且，則的值為________．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列列式，代入等比數(shù)列前項和公式，計算得，從而求解.【詳解】∵，，成等差數(shù)列，∴，由題意，∴，可得，所以∴.故答案為：.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中公比，若，，記數(shù)列的前n項和為，則的最大值為_______【答案】18【分析】根據(jù)題意和等比數(shù)列的性質(zhì)，求得，，進而求得等比數(shù)列的通項公式，得到，在由等差數(shù)列的求和公式，得到，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】因為為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比，由，可得，為方程的兩根，又由，所以，，得，即，所以，由，所以為等差數(shù)列，所以，則，即數(shù)列也為等差數(shù)列，所以，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當(dāng)或9時，最大，最大值為18．故答案為：18．15．（2021·內(nèi)蒙古·赤峰二中高三階段練習(xí)（理））設(shè)數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則________.【答案】【分析】由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式可得，再由等比數(shù)列的前n項和公式即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：，，所以故答案為：16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則_______.【答案】【分析】根據(jù)三項成等差數(shù)列可構(gòu)造方程求得等比數(shù)列的公比滿足，將所求式子化為和的形式，化簡可得結(jié)果.【詳解】，，成等差數(shù)列即：，解得：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠求解出等比數(shù)列的基本量，屬于基礎(chǔ)題.17．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）為公差不為0的等差數(shù)列，且恰為等比數(shù)列，其中，則為_______．【答案】【分析】設(shè)數(shù)列為，利用等比中項運算可求出等差數(shù)列的首項以及通項公式，進而由求出的公比，再用可得．【詳解】設(shè)數(shù)列為，則，∵，∴即，∴，∴，∴，設(shè)的公比為q，則，∴即，∴．故答案為：18．（2021·全國·高三專題練習(xí)）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列，記是數(shù)列的前n項和，則________.【答案】126【分析】設(shè)等比數(shù)列公比為,再根據(jù),,成等差數(shù)列以及基本量法求解,再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為,因為,,成等差數(shù)列,故,又,故,即,因為,故.故.故答案為：【點睛】本題主要考查了等差等比數(shù)列的綜合運用,包括基本量的用法以及等比數(shù)列求和公式等.屬于中檔題.19．（2021·河南·高三階段練習(xí)（理））設(shè)為等比數(shù)列的前n項和，若，且成等差數(shù)列，則_________.【答案】【分析】由題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進而可得，由等比數(shù)列的通項公式即可得解.【詳解】，，成等差數(shù)列，即，，等比數(shù)列的公比，.故答案為：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.20．（2021·甘肅省民樂縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若數(shù)列是等差數(shù)列，，滿足，且，則數(shù)列的通項公式為______.【答案】或【分析】設(shè)數(shù)列的公差為，則，根據(jù)，可得，再聯(lián)立，即可求得，即可求出數(shù)列的通項公式.【詳解】解：設(shè)數(shù)列的公差為，則解得代入已知條件得整理得解得或或當(dāng)時；當(dāng)時故答案為：或【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式的計算，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題21．（2021·河南·濮陽一高高三階段練習(xí)（理））已知Sn是等差數(shù)列的前n項和，從以下3個條件中任選一條，回答問題.①，，②公差，③，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若等比數(shù)列滿足公比，，求數(shù)列的前n項和.【答案】答案見解析.【分析】（Ⅰ）直接利用關(guān)系式的變換求出數(shù)列的首項和公差，進一步求出數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）利用等比數(shù)列的關(guān)系式的變換求出通項公式，進一步利用錯位相減，求出數(shù)列的和.【詳解】解;（Ⅰ）選①時，設(shè)數(shù)列的公差為d，則，，整理得，解，故.選②時，公差，所以，解得，故.選③時，由，.得，故，所以（Ⅱ）等比數(shù)列滿足公比，，所以，解得（舍）或，所以，故.設(shè)，所以①，②，①﹣②得，所以.【點睛】本題的核心是考查錯位相減求和.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差整理求解．22．（2021·黑龍江·牡丹江一中高三期中（理））已知等比數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，其中.（1）分別求數(shù)列和的通項公式；（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用，和等比數(shù)列的定義即可得出；利用已知條件和累乘法即可得出的通項公式；（2）先利用已知條件得到，，再利用錯位相減法求解即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，可得，兩式相減可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比數(shù)列的通項公式為；由得：，那么，以上個式子相乘，可得，，又滿足上式，所以的通項公式.（2）若在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，則，即為，整理得，所以，，兩式相減得：，所以.【點睛】方法點睛：由數(shù)列前項和求通項公式時，一般根據(jù)求解；數(shù)列求和的方法：（1）等差等比公式法；（2）裂項相消法；（3）錯位相減法；（4）分組（并項）求和法；（5）倒序相加法.23．（2021·廣東惠州·一模）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，.（1）求和的通項公式；（2）數(shù)列和中的所有項分別構(gòu)成集合，，將的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個新數(shù)列，求數(shù)列的前60項和.【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，∴，，∴，.（2）當(dāng)?shù)那?0項中含有的前6項時，令，此時至多有項（不符）.當(dāng)?shù)那?0項中含有的前7項時，令，且，，是和的公共項，則的前60項中含有的前7項且含有的前56項，再減去公共的三項.∴.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是分析新數(shù)列是由和中的哪些選項構(gòu)成的，還要注意去掉公共項.24．（2021·江蘇·高三開學(xué)考試）已知集合，，將中所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項和為．（1）若，求m的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）2282.【分析】（1）由，則數(shù)列中前m項中含有A中的元素為2，4，6，…，26，共有13項，有B中的元素為3，9，27，共有3項，從而得出答案.（2）根據(jù)題意可得數(shù)列中前50項中含有B中的元素為3，9，27，81共有4項，數(shù)列中前50項中含有A中的元素為，共有46項，分組可求和.【詳解】解：（1）因為，所以數(shù)列中前m項中含有A中的元素為2，4，6，…，26，共有13項，