2021年河南專升本《高數(shù)》真題(含答案)

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復習解讀2021年河南省普通高等學校?？飘厴I(yè)生進入本科階段學習考試高等數(shù)學題號分數(shù)

一50

二30

三50

四14

五6

總分150注意事項：答題前：考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上本卷的試題答案必須答在答題卡上，答在卷上無效選題分析：易（42分）選擇：1/2/4/6/8/9/10/12/15/18/21填空：26/28/30/32/37計算：41/43應用：證明：

中（73分）選擇：3/5/7/11/13/14/16/17/20/22/23/24/25填空：27/29/31/34/35/36/38/39計算：42/44/46/48/50應用：證明：

難（35分）選擇：19填空：33/40計算：45/47/49應用：51/52證明：53一、選擇題（每小題2分，共50分）在每小題的四個備選答案中選一個正確答案，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.1.對稱區(qū)間上f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（A.f(x4)第1頁，共18頁

）

2/25考點詳解電子資料獨家秘笈精準分析解題技巧精準押題復習解讀B.g(x)+f(x)C.g(x)f(x)D.?g(?x)2.極限limx→03A.22B.3

tan3x2x

=（

）C.0D.∞3.當x→+∞時，下列變量不是無窮大量的是（

）A.

x2+12x3+4B.lgxC.3xD.arctanx4.

sinx2x+f(x)=xxcosx,

,x>0x<0

，則x=0處是f(x)的（

）A.無窮間斷點B.可去間斷點C.跳躍間斷點D.振蕩間斷點5.極限lim(x→2

1x?2

?

x

42?4

)的值為（

）.第2頁，共18頁

2/25考點詳解

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復習解讀A.B.

1412C.?D.∞

146.下列關于函數(shù)y=f(x)在點x的命題不正確的是（0A.可導必連續(xù)B.可微必可導C.可導必可微D.連續(xù)必可導

）.7.設函數(shù)=B.n!C.0D.n!an

xn+axn?1+axn?2+???+a，則y(n)=（12n

）.A.an8.設f=(x)A.2B.11C.21D.4

ln1+x，則f′(1)=（

）.9.設函數(shù)y=f(x)在點x=1處可導，且limx→1

f(x)?f(1)x2?1

=3，則f′(1)=（

）.A.2B.3C.6D.12第3頁，共18頁

2/25yy考點詳解電子資料獨家秘笈精準分析解題技巧精準押題復習解讀10.曲線y=x3(x?4)在區(qū)間(?∞,?4)內的特性是（A.單調遞減且為凸B.單調遞減且為凹C.單調遞增且為凸D.單調遞增且為凹11.下列等式中正確的是（

）.）.A.

1?11?1

1+x2dx=

π2C.

1?1

1?x2dx=

π2D.

1?1

(sinx+cosx)dx=012.已知

∫f(x)dx=F(x)+C，則∫1f(lnx)dx=（x

）.A.F(lnx)B.F(lnx)+CC.xF(lnx)+CD.

1x

F(lnx)+C13.下列式子正確的是（

）.A.

ddx

∫f(x)dx=f(x)B.d(∫f(x)dx)=f(x)C.

ddx

∫f′(x=)dx

f(x)+CD.

∫f′(x)dx=f(x)14.平面2x+y?3=0的位置是（A.平行于xOy面

）.第4頁，共18頁

2/25∫2dx=2B.∫∫∫∫2dx=2B.∫∫∫考點詳解電子資料獨家秘笈精準分析解題技巧精準押題復習解讀B.平行于z軸，但不通過z軸C.垂直于z軸D.通過z軸15.方程

x2a2

+

y2b2

=

z2c2

所表示的曲面為（

）.A.橢圓拋物面B.橢圓錐面C.橢球面D.橢圓柱面16.下列廣義積分中發(fā)散的是（

）.A.

2dx?2xB.

1?1

dx1?xC.

∫

+∞

e?xdx0D.

+∞2

1x(lnx)2

dx17.常數(shù)a>0，

∫

a

(x2+xa2?x2)dx=（

）.?aA.0B.a3C.D.

3223

a3a318.下列方程中為一階線性微分方程的是（A.(y+xy′)2=xy′

）.第5頁，共18頁

2/25∫∫∫∫∫∫考點詳解電子資料獨家秘笈精準分析解題技巧精準押題復習解讀B.xy′+(y′)2+y=0C.x2y′+y=xD.y′′?2y′+y=019.已知y=2x是y′′+y=2x的解，y=e?x是y′′+y=2e?x的解，則微分方程12y′′+y=2x+2e?x的通解是（

）.A.2x+e?xB.Ccosx+Csinx+2x+e?x12C.Ccosx+Csinx+e?x12D.Ccosx+Csinx+2x1220.若函數(shù)f(x,y)在點(x,y)處具有一階及二階偏導數(shù)且取極小值，則（00

）.A.f=′(x,y)x00

f=′(x,y)0y00B.若(x,y)是D內唯一極值點，則必為最小值點00C.f′′(x,y)?f′′(x,y)?[f′′(x,y)]2>0，且f′′(x,y)>0xx00yy00xy00xx00D.f′′(x,y)?f′′(x,y)?[f′′(x,y)]2>0，且f′′(x,y)<0xx00yy00xy00xx0022

?2z?x?y

=（

）.(1,2)A.1B.2C.?2D.?1→

(2,?1)方向的變化率為（

）.第6頁，共18頁

2/2521.設z21.設z=x?2xy?y，則22.函數(shù)f(x,y)=2xy在點(?1,2)沿=l考點詳解電子資料獨家秘笈精準分析解題技巧精準押題復習解讀A.25B.?10C.?25D.1023.二次積分

∫

3

dy∫3?yf(x,y)dx=（

）.0

0A.

∫

3

dx∫3f(x,y)dy0

3?xB.

∫

3

dx∫3f(x,y)dy0

0C.

∫

3

dx∫3?xf(x,y)dy0

0D.

∫

3?y

dx∫3?xf(x,y)dy0

024.下列級數(shù)中絕對收斂的是（

）.∞n=1

(?1)n+1nnB.

n=1

∞nn+1∞n=1

(?1)n?1n+1D.

∞n=1

n+1

n(n+1)(n+3)

25.下列說法正確的是（

）.A.一個收斂的級數(shù)添加有限項后仍收斂，且其和不變B.一個發(fā)散的級數(shù)減少有限項后可能收斂C.一個收斂的級數(shù)加上另外一個發(fā)散的級數(shù)一定收斂D.一個收斂的級數(shù)減去另外一個發(fā)散的級數(shù)一定發(fā)散第7頁，共18頁

2/25A.∑∑(?1)C.∑∑(A.∑∑(?1)C.∑∑(?1)考點詳解電子資料獨家秘笈精準分析解題技巧精準押題復習解讀二、填空題（每小題2分，共30分）26.函數(shù)=y

19?x2

+ln(x+1)的連續(xù)區(qū)間是

.27.若f(x)為可導的奇函數(shù)，且f′(2)=3，則f′(?2)=

.28.曲線y=lnx在點129.lim(1?)x+2021=x→∞x

.

時切線與連接曲線上兩點(1,0)，(e,1)的弦平行.30.曲線y=

2x2+1x?1

的垂直漸近線是

.=x31.設曲線方程

2cosθ+sin2θ2sinθ+cos2θ

（

θ為參數(shù)），求

dydx

θ=0

=

.32.不定積分∫xsinxdx=

.33.

∫

2

max{x,2?x}dx=

.034.

ddx0

.35.函數(shù)=y

4ex+e?x的極值點坐標是

.36.曲面ez?5z+xy=3在點(2,1,0)處切平面方程是

.37.設二元函數(shù)=z

2xy+y2，則dz

=

.(3,1)38.函數(shù)

π2π33

.39.L為正向圓周(x?1)2+y2=4，

(2y+x3)dx+(x?y3)dy=L

.40.將函數(shù)f(x)=

4x2?6x+5

展開為x的冪級數(shù)為

.三、計算題（每小題5分，共50分）41.求極限limx→0

ln(1+5xsinx)1?cosx

.

第8頁，共18頁

2/25=y∫x2costdt(x>0)=y=lnsinx在區(qū)間[，]上滿足羅爾定理的ξ的值是∫=y∫x2costdt(x>0)=y=lnsinx在區(qū)間[，]上滿足羅爾定理的ξ的值是∫考點詳解電子資料獨家秘笈精準分析解題技巧精準押題復習解讀42.若極限lim(x→∞

x2+3x?1

?ax+b)=0，求a,b的值.43.設函數(shù)y=arctan

x，求

dydx

及

dydx

x=1

.44.求曲線y=3+ln(x2+1)的拐點及凹凸區(qū)間.45.計算不定積分

∫

3

1x+1+1

dx.46.設f(x)=

π2

x,x≥0

21+x2,

x<0

?147.過點(?3,?2,0)且與直線L=:

x1

y?2=1

z?1?1

垂直相交的直線方程.48.設二元函數(shù)=z

x23y

?arcsin(xy)，求xy

?z?x

?y2

?z?y

.yD50.判斷級數(shù)

∞n=1

5nn!四、應用題（每小題7分，共14分）51.過坐標原點作曲線y=e?x的切線，求：（1）該切線的方程；（2）由曲線、切線及y軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體的體積.52.質量為1g的質點受外力作用作直線運動，該外力和時間成正比，與質點運動的速度成反比.在t=10s時，速度v=100cm/s，外力F=

2g?cm/s2，問t=30s時，質點的速度是多少？（65≈8.062，計算結果取整數(shù)，注：F=ma，a為加速度）五、證明題（每小題6分，共6分）第9頁，共18頁

2/25cos，∫f(x?1)dx.49.計算二重積分I=∫∫exdxdycos，∫f(x?1)dx.49.計算二重積分I=∫∫exdxdy，其中積分區(qū)域D由直線y=x，y=0，x=3圍成.∑1?3?3?5???(2n?1)的收斂性.考點詳解電子資料獨家秘笈精準分析解題技巧精準押題復習解讀53.證明多項式f(x)=2x3?6x+a在區(qū)間[?1,1]上至多有一個零點，其中a為任意實數(shù).2021年河南省普通高等學校專科畢業(yè)生進入本科階段學習考試高等數(shù)學【參考答案】一、選擇題（每小題2分，共50分）1.【答案】C【解析】由函數(shù)奇偶性結論可得，奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)，故選C.2.【答案】A【解析】本題考察求“

00

tan3x”型極限，利用等價代換可得：lim=x→02x

3xlimx→02x

32

.3.【答案】D【解析】limarctanx=x→+∞4.【答案】C

π2

≠∞，根據(jù)無窮大量的定義知，故選D.【解析】=limf(x)x→0+

limxcosxx→0+

0，limf(x)x→0?

lim(2x+x→0?

sinxx

)1，在x=0左右極限存在且limf(x)≠limf(x)，所以x=0為跳躍間斷點，故選C.x→0?5.【答案】A

x→0+【解析】本題考察求“∞?∞”型極限，lim(x→2

1x?2

?

4x2?4

)=limx→2

x?2x2?4

=limx→2

1x+2

=

14

，故選A.6.【答案】D【解析】根據(jù)可微可導連續(xù)的關系，知連續(xù)不一定可導，故選D.7.【答案】B【解析】本題考查高階導數(shù)，由結論知，y(n)=n!，故選B.8.【答案】D【解析】f′(x)=

11?1+x21+x

=

12(1+x)

，f′(1)=

14

，故選D.第10頁，共18頁

2/25====考點詳解電子資料獨家秘笈精準分析解題技巧精準押題復習解讀9.【答案】C【解析】limx→1

f(x)?f(1)=x2?1

limx→1

f(x)?f(1)=(x?1)(x+1)

1=f′(1)3，所以f′(1)=6，故選C.210.【答案】B【解析】y=x3(x?4)=x4?4x3，=y′

4x3?12x2，在(?∞,?4)內y′<0，所以曲線在(?∞,?4)內單調遞減；=y′′12x2?24x，在(?∞,?4)內y′′>0，所以曲線在(?∞,?4)內是凹函數(shù)，故選B.11.【答案】C【解析】根據(jù)定積分幾何意義，由被積函數(shù)y=1?x2(y≥0)知定積分

∫

1

1?x2dx表示以?1原點為圓心、1為半徑的上半圓面積，即

1?1

1?x2dx=

1S=2圓

π2

，故選C.12.【答案】B【解析】根據(jù)已知條件，由不定積分第一換元法得：∫1f(ln=x)dx∫f(lnx)d=(lnx)x13.【答案】A

F(lnx)+C，故選B.【解析】利用微積分互逆運算：選項d(∫f(x)dx)=f(x)dx，選項

ddx

∫f′(x)dx=f′(x)，D選項

∫f′(x=)dx

f(x)+C，故選A.14.【答案】B→→→→面2x+y?3=0與z軸平行；代入原點，得2?0+0?3≠0，即平面不經(jīng)過z軸；故選B.15.【答案】B【解析】方程

x2a2

+

y2b2

=

z2c2

為橢圓錐面的方程式，故選B.16.【答案】A【解析】

2dx?2x

dx?2x

+∫20

dxx

=lnx

0?2

+lnx2，不存在，即發(fā)散，故選A.017.【答案】D第11頁，共18頁

2/25∫BC【解析】平面2x+y?3=0法向量n=(2,1,0)，z軸方向向量s=(0,0,1)，∫BC【解析】平面2x+y?3=0法向量n=(2,1,0)，z軸方向向量s=(0,0,1)，n?s=0，即平∫=∫0考點詳解電子資料獨家秘笈精準分析解題技巧精準押題復習解讀【解析】

a?a

(x2+xa2?x2)=dx

a?a

x2dx+∫axa2?x2=dx?a

23

x3a+=00

23

a3，故選D.18.【答案】C【解析】根據(jù)微分方程階和線性的定義，可得x2y′+y=x為一階線性微分方程，故選C.19.【答案】B【解析】根據(jù)二階線性微分微分方程的性質可得，y+y=2x+2e?x為微分方程12y′′+y=2x+2e?x的解；設二階線性齊次微分方程為y′′+y=0，特征方程為r2+1=0，r=±i，得二階線性齊次微分方程的通解為：y

Ccosx+Csinx，故微分方程12y′′+y=2x+2e?x的通解為Ccosx+Csinx+2x+e?x，故選B.1220.【答案】C【解析】f(x,y)在點(x,y)處有一階、二階偏導數(shù)，且取得極小值，根據(jù)二元極值的充分00條件知選項C正確，故選C.21.【答案】C?z【解析】=?x

2x?2y，

?2z?x?y

=?2，

?2z?x?y

=?2，故選C.(1,2)22.【答案】A→

→

25

,

?15

)，又因為f′(?1,2)=4，f′(?1,2)=?2，xy故

?f(x,y)?l

=(2,?1)

25

?4+

?15

?(?2)=25，故選A.23.【答案】C30

3?y0

0≤y≤3

，交換積分次序后積分區(qū)域

0≤x≤3D可表示為：0≤y≤3?x

33?y00

f(x,y)dx=∫3dx∫3?xf(x,y)dy，故選C.0024.【答案】A第12頁，共18頁

2/25∫∫【解析】與=l(2,?1)同向的單位向量e=(【解析】由∫dy∫f(x,y)dx知積分區(qū)域∫∫【解析】與=l(2,?1)同向的單位向量e=(【解析】由∫dy∫f(x,y)dx知積分區(qū)域D表達式為：0≤x≤3?y，即∫dy∫考點詳解

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復習解讀【解析】根據(jù)交錯P級數(shù)結論，A選項為絕對收斂；B、C、D選項為條件收斂；故選A.25.【答案】D【解析】根據(jù)級數(shù)的性質：收斂級數(shù)加減發(fā)散級數(shù)，結果為發(fā)散，選項D正確，選項C錯誤；選項A：改變收斂級數(shù)的有限項，不會改變數(shù)列的收斂性和極限值，但級數(shù)的和會發(fā)生變化；選項B：增加、減少級數(shù)的有限項不改變級數(shù)的斂散性，故一個發(fā)散的級數(shù)減少有限項后仍為發(fā)散；故選D.二、填空題（每小題2分，共30分）26.【答案】(?1,3)9?x2>0【解析】定義域：x+1>0故連續(xù)區(qū)間為(?1,3).27.【答案】3

?3<x<3

，x∈(?1,3)，初等函數(shù)在其定義域內都連續(xù)，【解析】求導后奇偶性發(fā)生改變，即f′(x)為偶函數(shù)，則f′(?=28.【答案】(e?1,ln(e?1))

f′(2)3.【解析】由題意知曲線在該點的斜率為=：k

1?0=e?1

1e?1

，所以y=′

1=x

1e?1

，解得x=e?1，代入y=lnx得=y29.【答案】e?1

ln(e?1)；故該點(e?1,ln(e?1)).【解析】應用第二重要極限，原式

1lim[1+(?)]?x?(?x)?(x+2021)x→∞x

x+2021elim?=

e?1.30.【答案】x=1【解析】limx→1

2x2+1x?1

=∞，故x=1為函數(shù)y=

2x2+1x?1

垂直漸近線.31.【答案】1【解析】

dydx

dy/dθ=dx/dθ

2cosθ?2sin2θ?2sinθ+2cos2θ

，

dydx

=θ=0

2=1.232.【答案】?xcosx+sinx+C第13頁，共18頁

2/25，x>?12)=1=x→∞x=，x>?12)=1=x→∞x=考點詳解電子資料獨家秘笈精準分析解題技巧精準押題復習解讀【解析】∫xsinxdx=?∫xdcosx=?xcosx+∫cosxdx=?xcosx+sinx+C.33.【答案】3【解析】x≥1時，=f(x)

max{x,2=?x}x；x<1時，f(x)=max{x,2?x}=2?x.2

0012

10

1?x2

2

21

=3.34.【答案】2xcosx【解析】變限積分求導，

d2dx0

(=x2)′cosx2

2xcosx.35.【答案】(?ln2,4)【解析】x∈R，y′=4ex?e?x=

4e2x?1ex

=0，解得：x=?ln2，?∞<x<?ln2，y′<0，則y在(?∞,?ln2)單調遞減；x>?ln2，y′>0，則y在(?ln2,+∞)單調遞增；所以x=?ln2為極小值點，y=4e?ln2+e?(?ln2)=4?故極值點坐標是(?ln2,4).36.【答案】x+2y?4z?4=0

12

+2=4，【解析】令F(x,y,z)=ez?5z+xy?3，F(xiàn)′=y，F(xiàn)′=x，F(xiàn)=′xyz

ez?5，則曲面在(2,1,0)→x+2y?4z?4=0.37.【答案】dz=(3,1)

(1,2,?4)，切平面方程為(x?2)+2(y?1)?4(z?0)=0，即2dx+8dy第14頁，共18頁

2/25∫max{x,2?x}dx=∫1∫max{x,2?x}dx=∫1(2?x)dx+∫2xdx=(2x?1x2)=∫xcostdt處法向量為=n考點詳解電子資料獨家秘笈精準分析解題技巧精準押題復習解讀【解析】=z

2xy+y2，z′=2y，z=′xy

2x+2y，即dz=2ydx+(2x+2y)dy，故dz=(3,1)

2dx+8dy.38.【答案】

π2【解析】令f=′(x)

cosx=sinx

π2π33

π2

，則ξ=

π2

.39.【答案】?4π【解析】由格林公式得，

(2y+x3)dx+(x?y3)dy=∫∫(?Q??P)dxdy=∫∫(1?2)dxdyL?x?yDD=?∫∫dxdy=?S=?4π.圓D∞n=0

15n+1

)xn，x∈(?1,1)【解析】f(x)=

4x2?6x+5

=

4(x?5)(x?1)

=

1x?5

?

11=x?11?x

?

15?x=

∞∞n0=n0

xn5n+1∞n=0

15n+1

)xn，x∈(?1,1).三、計算題（每小題5分，共50分）41.【解析】原式

5xsinxlim=x→01?cosx

limx→0

5x21x22

10.42.【解析】lim(x→∞

x2+3x?1

?ax+b)=limx→∞

x2+3?ax2+ax+bx?bx?1limx→∞

(1?a)x2+(a+b)x+3?bx?1

0，根據(jù)有理分式結論，得1?a=0，a+b=0，即a=1，b=?1.第15頁，共18頁

2/250，又因為x∈[，]，解得x=∫40.【答案】∑(1?=∑xn?∑∑(1?==0，又因為x∈[，]，解得x=∫40.【答案】∑(1?=∑xn?∑∑(1?==考點詳解

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復習解讀143.【解=析】

dydx

=2x1+(x)2

12x(1+x)

，

dydx

x=1

=

14

.44.【解析】函數(shù)定義域為R，對函數(shù)求導=y′=

2xx2+1

，y′′

2(x2+1)?2x?2x=(x2+1)2

2?2x2(x2+1)2

，令y′′=0，即2?2x2=0，得x=?1，x=1，12綜上所述：凹區(qū)間為(?1,1)，凸區(qū)間為(?∞,?1)，(1,+∞)；拐點(?1,3+ln2)，(1,3+ln2).45.【解析】令31+x=t，則x=t3?1，dx=3t2dt，原式

2t+1

3∫

t2?1+1t+1

dt

3(∫

t2?1t+1

dt+∫

1t+1

dt)3[∫(t?1)dt+∫

1t+1

d(t+1)]1=3(t2?t+lnt+1)+C=2

32

211(1+x)3?3(1+x)3+3ln(1+x)3+1)+C.46.【解析】令x?1=t，當x=?1，t=?2；x=2，t=1；2?1

f(x?1)dx=∫1f(t)dt=∫0(1+t2)dt+∫1cos?2?20

π2

tdt=+(t

13

t3)

0?2

+

2π

sin

π2

t

10

=

143

+

2π.第16頁，共18頁

2/25∫3tdt∫∫3tdt∫考點詳解電子資料獨家秘笈精準分析解題技巧精準押題復習解讀47.【解析】令

x1

y?2=1

z?1=?1

x=t

=

x1

y?2=1

z?1?1

與所求直線的→

(t+3,t+4,?t+1)，直線=

x1

y?2=1

z?1?1

→1

→→→→

11→x+3t+3+t+4+t?1=0，t=?2，所以s=(1,2,3)，故所求直線方程為=1

y+2=2

z3

.?z48.【解析】=?x

2x3y

+

y1?(xy)

2

，

?z?y

=?

x23y2

+

x1?(xy)

2

，則xy

?z?x

?z?y2=?y

xy(

2x3y

+

y1?(xy)2

)?y2(?

x23y2

+

x1?(xy)2

)2x23

+

xy21?(xy)2

+

x23

?

xy21?(xy)2

x2.49.【解析】

D

yyy

0000x02

3092

(e?1).

1?3?3?5???(2n?1)?(2n+1)50.【解析】由比值判別=法得ρ

limn→∞

un+1un

limn→∞

5n+1(n+1)!1?3?3?5???(2n?1)5nn!=limn→∞

1?3?3?5???(2n?1)?(2n+1)5n+1(n+1)!

?

5nn!1?3?3?5???(2n