第五節(jié)最大值與最小值,極值的應(yīng)用問題

微積分講義設(shè)計(jì)制作5/11/2024§4.5最大值與最小值，（一）最大值與最小值

（二）極值應(yīng)用問題舉例極值的應(yīng)用問題5/11/2024（一）最大值與最小值第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，該區(qū)間上必取得最大值與最小值。則函數(shù)在函數(shù)的最大（?。┲蹬c函數(shù)的極大（?。┲凳遣煌母拍?。是區(qū)間上的最大（?。┲?，是指是區(qū)間上所有函數(shù)值中最大（?。┱叨菂^(qū)間上的極大（?。┲?，是指5/11/2024第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用者?？梢娮畲螅ㄐ。┲凳菂^(qū)間上的全局中的所有函數(shù)值中的最大（?。└拍?，是包含在內(nèi)的一個的鄰域個鄰域的局部概念。而極大（?。┲祫t是區(qū)間內(nèi)的一5/11/2024第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用大值與最小值的步驟：（1）求出函數(shù)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)；（2）計(jì)算這些點(diǎn)的函數(shù)值及區(qū)間端點(diǎn)的（3）比較它們的大小，函數(shù)值；一般而言，其中最大（?。┱呒磪^(qū)間上的最大（?。┲?。求連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的最5/11/2024第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用內(nèi)可導(dǎo)，而無極小值，則此極大值即最大值。特別的，若在上連續(xù)，在若在內(nèi)有且僅有一個極大值而無極大值，則此極小值即最小值。若在內(nèi)有且僅有一個極小值，5/11/2024第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

例1求在區(qū)間上的最大值與最小值。

解在§4.4例2中已求出在駐點(diǎn)處取到極小值，在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處取得極大值。計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值5/11/2024第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用比較這些值的大?。旱迷谏咸幦〉米钚≈翟诩疤幦〉米畲笾?/11/2024

（二）極值應(yīng)用問題舉例

第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四角各截去一個大小相同的小正方形，然后將四邊折起做成一個無蓋方盒，問截掉的小正方形邊長為多大時，所得方盒的容積最大？例2將邊長為的一塊正方形鐵皮，方盒的容積為解設(shè)小正方形的邊長為，5/11/2024第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求得令得因?yàn)橹挥悬c(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，所以只需對進(jìn)行檢驗(yàn)。當(dāng)時，當(dāng)時，也是最大值所以函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，即當(dāng)截去的小正方形的邊長等于所給正方形鐵皮邊長的時，所做成的方盒容積最大。5/11/2024第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

例3要做一個容積為的圓柱形罐頭筒，怎樣設(shè)計(jì)才能使所用材料最省？

解顯然要材料最省，就是要罐頭筒的總表面積最小。設(shè)罐頭筒的底面半徑為，高為，總表面積為由體積公式有所以5/11/2024第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用得此時高為也是最小值令又因此在點(diǎn)處為極小值，即當(dāng)罐頭筒的高和底直徑相等時，用料最省。5/11/2024第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

例4在§1.5的例2中，曾求得一年中庫存費(fèi)與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的和與每批產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系為其中為年產(chǎn)量，為每批次的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，為每臺產(chǎn)品的庫存費(fèi)，問在不考慮生產(chǎn)能力的條件下，每批生產(chǎn)多少臺時，最??？5/11/2024第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

解因?yàn)槿〉脴O小值，也是最小值。（舍去）即要使庫存費(fèi)與生令有所以又因因此當(dāng)時產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)之和最小的最優(yōu)批量應(yīng)為。5/11/2024內(nèi)容小結(jié)連續(xù)函數(shù)的最值最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找作業(yè)P19620---31第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用應(yīng)用題可根據(jù)問題的實(shí)際意義判別5/11/2024備用題第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.設(shè)函數(shù)試求在上的最大值和

解令得內(nèi)唯一的駐點(diǎn)5/11/2024第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用最大值為也是最大值點(diǎn)。故是極大值點(diǎn)，5/11/2024第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

2.設(shè)在內(nèi)的駐點(diǎn)為并求最小值。問為何值時，