河北省廊坊市2021年中考數(shù)學(xué)真題模擬試卷含答案(附解析)

河北省廊坊市2021年中考數(shù)學(xué)真題模擬試卷含答案（附解析）

一、單選題

1、如圖，在小正三角形組成的網(wǎng)格中，已有6個(gè)小正三角形涂黑，還需涂黑n個(gè)小正三角形，使它們與原來涂

黑的小正三角形組成的新圖案恰有三條對(duì)稱軸，則n的最小值為（）

W

A.10B.6C.3D.2

【分析】由等邊三角形有三條對(duì)稱軸可得答案.

【解答】解：如圖所示，n的最小值為3,

XXW

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是掌握常見圖形的性質(zhì)和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì).

2、如圖，正方形ABCD的邊長為4,延長CB至E使EB=2,以EB為邊在上方作正方形EFGB,延長FG交DC于M,

連接AM,AF,H為AD的中點(diǎn)，連接FH分別與AB,AM交于點(diǎn)N、K：則下列結(jié)論：①△ANHgaGNF；②NAFN

=NHFG；③FN=2NK；@S：S=1：4.其中正確的結(jié)論有（）

△AFNAADM

【分析】由正方形的性質(zhì)得到FG=BE=2,ZFGB=90O,AD=4,AH=2,ZBAD=90O,求得NHAN=/FGN,

AH=FG,根據(jù)全等三角形的定理定理得到△ANH絲Z\GNF（AAS）,故①正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NAHN

=NHFG,推出NAFHW/AHF,得到/AFNWNHFG,故②錯(cuò)誤；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AN=LAG=1,根據(jù)

2

相似三角形的性質(zhì)得到NAHN=NAMG,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NHAK=/AMG,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到FN

=2NK；故③正確；根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DM=AG=2,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：???四邊形EFGB是正方形，EB=2,

，F(xiàn)G=BE=2,ZFGB=90O,

???四邊形ABCD是正方形，H為AD的中點(diǎn),

；.AD=4,AH=2,

ZBAD=90°,

AZHAN=ZFGN,AH=FG,

VNANH=NGNF,

.".△ANH^AGNF(AAS),故①正確；

...ZAHN=ZHFG,

：AG=FG=2=AH,

/.AF=5y2FGAH,

二NAFHWNAHF,

.?.NAFNWNHFG,故②錯(cuò)誤；

?.,△ANH^AGNF,

.*.AN=—AG=1,

2

GM=BC=4,

.AH=GM=2

?'ANAG，

,/ZHAN=ZAGM=90°,

.-.△AHN^AGMA,

NAHN=/AMG,

?.?AD〃GM,

.\ZHAK=ZAMG,

/.ZAHK=Z11AK,

.?.AK=HK,

.\AK=HK=NK,

VFN=HN,

.\FN=2NK；故③正確;

:延長FG交DC于M,

四邊形ADMG是矩形，

；.DM=AG=2,

VS=-i_AN*FG=-LV2X1=1,S=_i_AD?DM=_i_X4X2=4,

△AFN22△ADM22

AS：S=1：4故④正確，

△AFN△ADM

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì),

直角三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

3、如圖，MBCD中，AB=2,AD=4,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,且E,F,G,H分別是AO,BO,CO,DO的中點(diǎn)，

A.EH=HG

B.四邊形EFGH是平行四邊形

C.AC±BD

D.aABO的面積是△EFO的面積的2倍

【分析】根據(jù)題意和圖形，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否成立，本題得以解決.

【解答】解：：E,F,G,H分別是AO,BO,CO,DO的中點(diǎn)，在^ABCD中，AB=2,AD=4,

.?.EH=.1-AD=2,HG=1.CD=1.AB=1,

.?.EHWHG,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

???E,F,G,H分別是AO,BO,CO,DO的中點(diǎn),

AEH=yAD=yBC=FG?

...四邊形EFGH是平行四邊形，故選項(xiàng)B正確；

由題目中的條件，無法判斷AC和BD是否垂直，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

?.?點(diǎn)E、F分別為0A和0B的中點(diǎn)，

/.EF=-^AK，EF〃AB,

2

.-.△OEF^AOAB,

.Sa國,跖、21

?.—()二f

S/kOAB"4

即aABO的面積是△EFO的面積的4倍，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的面積、三角形的相似、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)

合的思想解答.

4、如圖是由一個(gè)長方體和一個(gè)球組成的幾何體，它的主視圖是()

【分析】從正面看幾何體，確定出主視圖即可.

【解答】解：幾何體的主視圖為：

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了簡單組合體的三視圖，主視圖即為從正面看幾何體得到的視圖.

5、若點(diǎn)(-1,y),(2,y),(3,y)在反比例函數(shù)y=K(k<0)的圖象上，則y,y,y的大小關(guān)系是()

123X123

A.y>y>yB.y>y>yC.y>y>yD.y>y>y

12332113223i

【分析1k<0,y隨x值的增大而增大，(-1,y)在第二象限，(2,y),(3,y)在第四象限，即可解題；

123

【解答】解：???kVO,

.?.在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x值的增大而增大，

.,.當(dāng)x=-1時(shí)，y>0,

1

V2<3,

Ay<y<y

231

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比函數(shù)圖象及性質(zhì)；熟練掌握反比函數(shù)的圖象及X與y值之間的關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.6、下列各式中，計(jì)算正確的是（）

A.8a-3b=5abB.（a：）3=a>C.as-i-ai=a2D.a>,a=a）

【分析】分別根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則、同底數(shù)累的乘法法則、暴的乘方法則以及同底數(shù)基除法法則解答即可.

【解答】解：A、8a與3b不是同類項(xiàng)，故不能合并，故選項(xiàng)A不合題意；

B、（92）3=9故選項(xiàng)B不合題意；

C、as-j-ai=ai,故選項(xiàng)C不符合題意；

D、a!?a=a）,故選項(xiàng)D符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了幕的運(yùn)算性質(zhì)以及合并同類項(xiàng)的法則，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

7、式子QW在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，貝lx的取值范圍是（）

A.x>0B.X。-1C.x》lD.xWl

【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，可得答案.

【解答】解：由題意，得

x-120,

解得x》l,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，利用被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)得出不等式組是解題關(guān)

鍵.8、計(jì)算a,?（-a）的結(jié)果是（）

A.3aB.-&C.D.-H-i

【分析】直接利用同底數(shù)募的乘法運(yùn)算法則求出答案.

【解答］解：a>*（-a）=-a）*a=-

ai.故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同底數(shù)基的乘法運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指

數(shù)相加.

9、如圖，已知AB〃CD,AF交CD于點(diǎn)E,且BELAF,ZBED=40°,則/A的度數(shù)是（）

/F

c—g—口

B

A.40°B.50°C.80°D.90°

【分析】直接利用垂線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案.

【解答】解:VBE±AF,NBED=40°,

AZFED=50°,

?.?AB〃CD,

/.ZA=ZFED=

50°.故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，正確得出NFED的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

10、懷化是一個(gè)多民族聚居的地區(qū)，民俗文化豐富多彩.下面是幾幅具有濃厚民族特色的圖案，其中既是軸對(duì)稱

圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

【分析】直接利用軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；

D、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)

誤.故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的概念：軸對(duì)稱的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，兩邊圖象折疊后可重合，中心

對(duì)稱是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合.

二、填空題

1、一個(gè)猜想是否正確，科學(xué)家們要經(jīng)過反復(fù)的實(shí)驗(yàn)論證.下表是幾位科學(xué)家“擲硬幣”的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：

實(shí)驗(yàn)者德?摩根蒲豐費(fèi)勒皮爾遜羅曼諾夫斯基

擲幣次數(shù)61404040100003600080640

出現(xiàn)“正面朝3109204849791803139699

上”的次數(shù)

頻率0.5060.5070.4980.5010.492

請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)硬幣出現(xiàn)“正面朝上”的概率為0.5_（精確到0.1）.

【分析】由于表中硬幣出現(xiàn)“正面朝上”的頻率在0.5左右波動(dòng)，則根據(jù)頻率估計(jì)概率可得到硬幣出現(xiàn)“正面

朝上”的概率.

【解答】解：因?yàn)楸碇杏矌懦霈F(xiàn)“正面朝上”的頻率在0.5左右波動(dòng)，

所以估計(jì)硬幣出現(xiàn)“正面朝上”的概率為0.5.

故答案為0.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)

的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事

件的概率.用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確.

2、如圖，菱形ABCD頂點(diǎn)A在函數(shù)y=3(x>0)的圖象上，函數(shù)y=k(k>3,x>0)的圖象關(guān)于直線AC對(duì)稱，

XK

且經(jīng)過點(diǎn)B、D兩點(diǎn)，若AB=2,ZBAD=30°,則k=6+2畬.

【分析】連接OC,AC過A作AE，x軸于點(diǎn)E,延長DA與x軸交于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DG，x軸于點(diǎn)G,得0、A、C

在第一象限的角平分線上，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得D點(diǎn)坐標(biāo)，便可求得結(jié)果.

【解答】解：連接0C,AC過A作AEJ_X軸于點(diǎn)E,延長DA與x軸交于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DGj_x軸于點(diǎn)G,

?.?函數(shù)y=2￡(k>3,x>0)的圖象關(guān)于直線AC對(duì)稱,

...0、A、C三點(diǎn)在同直線上，且NC0E=45°,

.,.0E=AE,

不妨設(shè)0E=AE=a,則A(a,a),

?.?點(diǎn)A在在反比例函數(shù)y=|>(x>0)的圖象上，

a2=3,

?-a==A/-3，

.,.AE=0E=Y^,

VZBAD=30°,

二N0AF=NCAD=l-NBAD=15°,

2

VZ0AE=ZA0E=45°,

.,.ZEAF=30°,

AAF=_^_-2，EF=AEtan30°=1,

cos30

,.*AB=AD=2,AE〃DG,

EF=EG=1,DG=2AE=2\/^,

.,.0G=0E+EG=-^3+l,

AD(遮+1,2vj),

故答案為：6+2^3，

【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，菱形

的性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是確定A點(diǎn)第一象限的角平分線上.

3、在一個(gè)不透明布袋里裝有3個(gè)白球、2個(gè)紅球和a個(gè)黃球，這些球除顏色不同其它沒有任何區(qū)別.若從該布袋

里任意摸出1個(gè)球，該球是黃球的概率為工，則a等于5.

2-----

【分析】根據(jù)概率公式列出關(guān)于a的方程，解之可得.

【解答】解：根據(jù)題意知」_=工，

3+2+a2

解得a=5,

經(jīng)檢驗(yàn)：a=5是原分式方程的解，

??3.^—5,

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

4、如圖，某校教學(xué)樓AC與實(shí)驗(yàn)樓BD的水平間距CD=15啟米，在實(shí)驗(yàn)樓頂部B點(diǎn)測(cè)得教學(xué)樓頂部A點(diǎn)的仰角是

30°,底部C點(diǎn)的俯角是45°,則教學(xué)樓AC的高度是（15+15JW）_米（結(jié)果保留根號(hào)）.

【分析】首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形.本題涉及到兩個(gè)直角三角形△BEC、AABE,進(jìn)而可解即可

求出答案.

【解答】解：過點(diǎn)B作BEJ_AB于點(diǎn)E,

在RtZ\BEC中，ZCBE=45°,BE=150j；可得CE=BEXtan45°=15遙米.

在Rt/XABE中，NABE=30°,BE=15j^,可得AE=BExtan30°=15米.

故教學(xué)樓AC的高度是AC=15jj+15米.

答：教學(xué)樓AC的高度是（156+15）米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查俯角、仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯角、仰角構(gòu)造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直

角三角形.

5、勘測(cè)隊(duì)按實(shí)際需要構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)示了A,B,C三地的坐標(biāo)，數(shù)據(jù)如圖（單位：km）.筆直鐵路

經(jīng)過A,B兩地.

（1）A,B間的距離為20km；

（2）計(jì)劃修一條從C到鐵路AB的最短公路1,并在1上建一個(gè)維修站D,使D到A,C的距離相等，則C,D

間的距離為13km.

?ce:

【分析】(1)由垂線段最短以及根據(jù)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同即可求出AB的長度；

(2)根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可求出CE與AE的長度，設(shè)CD=x,根據(jù)勾股定理即可求出x的值.

【解答】解：(1)由A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同可知：AB〃x軸，

.,.AB=12-(-8)=20；

(2)過點(diǎn)C作1LAB于點(diǎn)E,連接AC,作AC的垂直平分線交直線1于點(diǎn)D,

由(1)可知：CE=1-(-17)=18,

AE=12,

設(shè)CD=x,

AD=CD=x,

由勾股定理可知：Xz=(18-x)2+122,

解得:x=13,

ACD=13,

故答案為：(1)20；(2)13；

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)求出相關(guān)線段的長度，本題屬于中等題型.

6、-工x/y是3次單項(xiàng)式.

2

【分析】根據(jù)單項(xiàng)式次數(shù)的定義進(jìn)行解答即可.

【解答】解：..?單項(xiàng)式-Lx2y中所有字母指數(shù)的和=2+1=3,

2

,此單項(xiàng)式的次數(shù)是

3.故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是單項(xiàng)式，熟知一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)是解答此題的關(guān)鍵

三、解答題（難度：中等）

1、計(jì)算：（-工）-2+（2019-Ji）o-返tan60°-|-3|.

23

【分析】本題涉及零指數(shù)累、負(fù)整數(shù)指數(shù)暴、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值等4個(gè)考點(diǎn).在計(jì)算時(shí)，需要針對(duì)

每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果.

【解答】解：原式=4+l-gx而-3，

3

=1.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

2、為宣傳6月6日世界海洋日，某校九年級(jí)舉行了主題為“珍惜海洋資源，保護(hù)海洋生物多樣性”的知識(shí)競(jìng)賽

活動(dòng).為了解全年級(jí)500名學(xué)生此次競(jìng)賽成績（百分制）的情況，隨機(jī)抽取了部分參賽學(xué)生的成績，整理并繪

制出如下不完整的統(tǒng)計(jì)表（表1）和統(tǒng)計(jì)圖（如圖）.請(qǐng)根據(jù)圖表信息解答以下問題：

（1）本次調(diào)杳一共隨機(jī)抽取了50個(gè)參賽學(xué)生的成績:

（2）表1中a=8:

（3）所抽取的參賽學(xué)生的成績的中位數(shù)落在的“組別”是C；

（4）請(qǐng)你估計(jì)，該校九年級(jí)競(jìng)賽成績達(dá)到80分以上（含80分）的學(xué)生約有32（）

人.表1知識(shí)競(jìng)賽成績分組統(tǒng)計(jì)表

組別分?jǐn)?shù)/分頻數(shù)

A60Wx<70a

B70Wx<8010

C80Wx<9014

D90Wx<10018

【分析】（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取學(xué)生：18?36%=50（人）；

（2）a=50-18-14-10=8；

（3）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取50名學(xué)生，中位數(shù)落在C組；

（4）該校九年級(jí)競(jìng)賽成績達(dá)到80分以上（含80分）的學(xué)生有500xlM2.=320（人）.

50

【解答】解：(1)本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取學(xué)生：18936%=50(人)，

故答案為50；

(2)a=50-18-14-10=8,

故答案為8；

(3)本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取50名學(xué)生，中位數(shù)落在C組，

故答案為C；

(4)該校九年級(jí)競(jìng)賽成績達(dá)到80分以上(含80分)的學(xué)生有500X144-18^320(人)，

50

故答案為320.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用.讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是

解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大

小.3、如圖，點(diǎn)E在QABCD內(nèi)部，AF〃BE,DF〃CE.

(1)求證：Z\BCE經(jīng)Z\ADF；

(2)設(shè)口ABCD的面積為S,四邊形AEDF的面積為T,求§的值.

T

【分析】（1）根據(jù)ASA證明：4BCE義AADF；

（2）根據(jù)點(diǎn)E在口ABCD內(nèi)部，可知：S+S=Ls，可得結(jié)論.

△BECAAEDg°ABCD

【解答】解：（1）???四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.AD=BC,AD〃BC,

AZABC+ZBAD=180°,

VAF//BE,

/.ZEBA+ZBAF=180°,

NCBE=NDAF,

同理得NBCE=/ADF,

在aBCE和^ADF中，

"NCBE=/DAT

?JBC=AD,

,ZBCE=ZADF

AABCE^AADF(ASA)；

(2)?.?點(diǎn)E在口ABCD內(nèi)部，

/.s+s=ls,

△BECAAE?ge'BCO

由(1)知：ABCE^AADF,

/.S=S,

AKBAAPF

/.s=s+s=s+s=_l_s,

四邊形AEDF△ADFAAEDABECAAED2^ABCD

???□ABCD的面積為S,四邊形AEDF的面積為T,

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練利用三角形和平行四邊形邊的關(guān)

系得出面積關(guān)系是解題關(guān)鍵.

4、如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)(與點(diǎn)A、D不重合)，射線PE與

BC的延長線交于點(diǎn)Q.

(1)求證：ZkPDE0Z\QCE；

(2)過點(diǎn)E作EF〃BC交PB于點(diǎn)F,連結(jié)AF,當(dāng)PB=PQ時(shí)，

①求證：四邊形AFEP是平行四邊形；

②請(qǐng)判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說明理由.

【分析】(1)由四邊形ABCD是正方形知ND=NECQ=90°,由E是CD的中點(diǎn)知DE=CE,結(jié)合NDEP=NCEQ

即可得證；

(2)①由PB=PQ知NPBQ=NQ,結(jié)合AD〃BC得NAPB=NPBQ=NQ=NEPD,由4PDE絲△QCE知PE=QE,再

由EF〃BQ知PF=BF,根據(jù)Rt^PAB中AF=PF=BF知NAPF=/PAF,從而得/PAF=/EPD,據(jù)此即可證得PE

〃AF,從而得證；

②設(shè)PD=x,則AP=l-x,由(1)知4PDE絲4aCE,據(jù)此得CQ=PD=x,BQ=BC+CQ=l+x,由EF是的

中位線知EF=LBQ=上也，根據(jù)AP=EF求得X=.寺，從而得出PD=-1,AP^|,再求出PE=^pD2+DE2=2/11

22

即可作出判斷.

【解答】解：(1)???四邊形ABCD是正方形，

，ND=NECQ=90°,

YE是CD的中點(diǎn)，

DE=CE,

又?.?/DEP=NCEQ,

.,.△PDE^AQCE(ASA)；

(2)①???PB=PQ,

二ZPBQ=ZQ,

VAD^BC,

ZAPB=ZPBQ=ZQ=ZEPD,

VAPDE^AQCE,

PE=QE,

?.?EF〃BQ,

.".PF=BF,

...在RSPAB中，AF=PF=BF,

二ZAPF=ZPAF,

；./PAF=/EPD,

，PE〃AF,

,.,EF〃BQ〃AD,

，四邊形AFEP是平行四邊形；

②四邊形AFEP不是菱形，理由如下：

設(shè)PD=x,貝ijAP=1-x,

由(1)可得4PDE會(huì)aacE,

CQ=PD=x,

.-.BQ=BC+CQ=l+x,

???點(diǎn)E、F分別是PQ、PB的中點(diǎn),

，EF是△PBQ的中位線，

.?,EF=^-BQ=^,,

22

由①知AP=EF,即1-x=工+x,

2

解得x=L,

3

.-.PD=X,AP=2,

33

在RtZsPDE中，DE=L,

2

；?PE=VPD2+DE2=^p-'

.?.APWPE,

四邊形AFEP不是菱形.

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的

性質(zhì)、平行四邊形與菱形的判定、性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).

5、如圖，點(diǎn)A、B、C在半徑為8的。0上，過點(diǎn)B作BD〃AC,交0A延長線于點(diǎn)D.連接BC,且/BCA=/OAC=

30°.

①求證：BD是。0的切線；

0求圖中陰影部分的面積.

【分析】（1）連接OC,根據(jù)圓周角定理求出NCOA,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NOCA,根據(jù)切線的判定推出

即可；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/=30°,解直角三角形求出BD,分別求出ABOD的面積和扇形AOB的面積，即

可得出答案.

【解答】⑴證明：連接0B,交CA于E,

VZC=30°,NC=L/B0A,

2

AZBOA=60°,

VZBCA=Z0AC=30O,

ZAE0=90°,

即()B±AC,

VBD//AC,

ZDBE=ZAE0=90°,

.?.BD是。0的切線；

(2)解：VAC/7BD,Z0CA=90°,AZD=ZCA0=30°,

VZ0BD=90°,0B=8,

/.BD=&\/31

9

AS=S-S=kx8X8^3-6Q，，：TX8-32^3-

陰影ABDO扇形AOBg360J

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)

用，題目比較好，難度適中.

6、如圖①是圖②是其側(cè)面示意圖（臺(tái)燈底座高度忽略不計(jì)），其中燈臂AC=40cm,燈罩CD=30cm,燈臂與底座

構(gòu)成的NCAB=60°.CD可以繞點(diǎn)C上下調(diào)節(jié)一定的角度.使用發(fā)現(xiàn)：當(dāng)CD與水平線所成的角為30。時(shí)，臺(tái)

燈光線最佳.現(xiàn)測(cè)得點(diǎn)D到桌面的距離為49.6cm.請(qǐng)通過計(jì)算說明此時(shí)臺(tái)燈光線是否為最佳？（參考數(shù)據(jù)：板

1.73).

圖①

【分析】如圖，作CELAB于E,DHLAB于H,CF，DH于F.解直角三角形求出NDCF即可判斷.

【解答】解：如圖，作CE_LAB于E,DHJ_AB于H,CF_LDH于F.

D

c■■■■

AE_何

圖②

NCEH=NCFH=NFHE=90°,

四邊形CEHF是矩形，

.?.CE=FH,

在Rt/XACE中，：AC=40cm,ZA=60°,

.-.CE=AC?sin60°=34.6(cm),

FH=CE=34.6(cm)

VDH=49.6cm,

ADF=DH-FH=49.6-34.6=15(cm),

在RtZ\CDF中，sinZDCF=^-=-l^,=A.,

CD302

AZDCF=30°,

...此時(shí)臺(tái)燈光線為最佳.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線面構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中

考?？碱}型.

7、如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,以BC為直徑的。。交AB于點(diǎn)D,切線DE交AC于點(diǎn)E.

(1)求證：ZA=ZADE；

(2)若AD=8,DE=5,求BC的長.

【分析】(1)只要證明/A+NB=90°,NADE+/B=90°即可解決問題；

(2)首先證明AC=2DE=