專題10 三角形壓軸題綜合（解析版）

2/2專題10三角形壓軸題綜合目錄熱點(diǎn)題型歸納 1題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換 1題型02三角形與平移變換 15題型03三角形與翻折變換 19題型04三角形類比探究問題 37中考練場 52題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換【解題策略】三角形全等和三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法?！镜淅治觥坷?（2023·四川·中考真題）如圖1，已知線段，，線段繞點(diǎn)在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長；(3)如圖3，若，，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求此時的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）在中，，，且，，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）延長交于點(diǎn)，如圖所示，在中，求得，進(jìn)而求得的長，根據(jù)（1）的結(jié)論，得出，在中，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．（3）如圖所示，以為邊在上方作，且，，連接，，，同（1）可得，進(jìn)而得出在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時，的值最大，進(jìn)而求得，，根據(jù)得出，過點(diǎn)作，于點(diǎn)，分別求得,然后求得，最后根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，且，，∴，，∴，，∴∴∴，故答案為：．（2）∵，且，，∴，，延長交于點(diǎn)，如圖所示，

∵，∴，∴在中，，，∴，由（1）可得，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，以為邊在上方作，且，，連接，，，

同（1）可得則，∵，則，在中，，，∴在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，∴當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時，的值最大，此時如圖所示，則，

在中，∴,，∵，∴，過點(diǎn)作，于點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，中，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定義，求圓外一點(diǎn)到圓的距離的最值問題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式演練】1．（2023·貴州貴陽·二模）在中，，在中，，已知和有公共頂點(diǎn)A，連接和．(1)如圖①，若，，當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，和的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)如圖②，若，當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，（1）中和的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是否依然成立，判斷并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C，B，D三點(diǎn)共線時，請直接寫出的長度．【答案】(1)，(2)，，理由見解析(3)或【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識：（1）根據(jù)證明得，再證明，可得；（2）延長交于H，與交于O，證明可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論：運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出，，由勾股定理求出，在中，運(yùn)用勾股定理求出，從而可求出．【詳解】（1）證明：如圖，延長交于H，與交于O∵和是等腰直角三角形，∴，，又∴，∴，∴，，∵，∴，∴，故答案為：，；（2）解：，，理由如下：延長交于H，與交于O，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴綜上，（3）解：①如圖：由（2）知，，且，∵，∴，在中，由勾股定理得，∵，∴在中，由勾股定理得，∵C，B，D三點(diǎn)共線，且∴在中，由勾股定理得即∴∴；②如圖：由（2）知，，且，∵，∴，由勾股定理得，∵，∴，在中，，∵C，B，D三點(diǎn)共線，且，∴在中，由勾股定理得，即，∴

，∴；綜上，當(dāng)C，B，D三點(diǎn)共線時，的長度為或．2．（2023·廣西桂林·一模）在數(shù)學(xué)活動課上，小麗將兩副相同的三角板中的兩個等腰直角三角形按如圖1方式放置，使的頂點(diǎn)D與的頂點(diǎn)C重合，在繞點(diǎn)C的旋轉(zhuǎn)過程中，邊、始終與的邊分別交于M、N兩點(diǎn)．(1)老師提了一個問題：試證明．小麗開動腦筋，作了如下思考：考慮到且，可將繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)至位置，連結(jié)，若能證明、分別等于的另兩邊則可以解決問題．請幫小麗繼續(xù)完成證明過程．證明：將繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)至位置，連結(jié)；(2)如圖2，小昆另取一塊與相同的三角板，放在位置，邊與邊相交于點(diǎn)H，連、．①小昆猜想：，請幫他給出證明；②圖2中始終與相等的線段有；③請?zhí)剿?、、之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論：．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②；③【分析】（1）①由“”可證，可得，根據(jù)直角三角形中運(yùn)用勾股定理，即可得結(jié)論；（2）①證明A，C，N，H四點(diǎn)共圓即可解題；②證明，得到，然后根據(jù)等角對等邊得到即可得到結(jié)論③連接，推導(dǎo)，則可得到，然后根據(jù)即可證明結(jié)論．【詳解】（1）由旋轉(zhuǎn)可知：，，，，∵，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴；（2）①證明：∵，，∴，∴A，C，N，H四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴；②解：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，由①可知，又∵，∴，∴．故答案為：、；③連接，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．3．（2023·吉林·一模）如圖，和是有公共頂點(diǎn)的直角三角形，，點(diǎn)為射線，的交點(diǎn)．(1)如圖1，若和是等腰三角形，求證：；(2)如圖2，若，問：（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．(3)在（1）的條件下，，，若把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，請直接寫出的長度．【答案】(1)見解析(2)成立，見解析(3)或【分析】（1）依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，依據(jù)同角的余角相等得到，然后依據(jù)可證明，最后，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到；（2）先判斷出，即可得出結(jié)論；（3）分為點(diǎn)在上和點(diǎn)在的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）解：和是等腰直角三角形，，，，．．．（2）（1）中結(jié)論成立，理由：在中，，，在中，，，．，，．；（3）①當(dāng)點(diǎn)在上時，．，．同（1）可證．．，．．．．②當(dāng)點(diǎn)在延長線上時，．，．同（1）可證．．，．．．．綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，分類討論，屬于壓軸題．題型02三角形與平移變換【解題策略】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論．【典例分析】例．（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖1，在中，，沿方向向左平移得到，A、對應(yīng)點(diǎn)分別是、．點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至線段，使得，連接．

(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，求的長；(2)如圖2，連接、．在點(diǎn)的運(yùn)動過程中：①和是否總是相等？若是，請你證明；若不是，請說明理由；②當(dāng)?shù)拈L為多少時，能構(gòu)成等腰三角形？【答案】(1)(2)①；②的長為14或11或8或0【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得四邊形、四邊形是平行四邊形，再由已知推導(dǎo)出是的平分線，由等腰三角形的性質(zhì)可得，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，求出，再由，所以；（2）①證明，則；②過點(diǎn)作交于，由等積法可得，求出，分三種情況討論：當(dāng)時，；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，此時，當(dāng)時，，在中，，可得；當(dāng)時，，過點(diǎn)作交于，所以，能求出，，則；當(dāng)時，，當(dāng)點(diǎn)在上時，，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，由平移可知，，，四邊形、四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，是的平分線，，，如圖1，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

，，，，；（2）解：①，理由如下：如圖2，，，，，；②如圖2，過點(diǎn)作交于，

由①可知，，當(dāng)時，，，，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，此時，當(dāng)時，，在中，，；當(dāng)時，，，，過點(diǎn)作交于，，，，，，，，；當(dāng)時，，，，，當(dāng)點(diǎn)在上時，，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合，；綜上所述：的長為14或11或8或0．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式演練】1．（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測）如圖，中，經(jīng)過點(diǎn)A，且，垂足為E，．(1)以點(diǎn)E為中心，逆時針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的的邊恰好經(jīng)過點(diǎn)A，求此時旋轉(zhuǎn)角的大??；(2)在（1）的情況下，將沿向右平移．設(shè)平移后的圖形與重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)旋轉(zhuǎn)角為度或度；(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時，．【分析】（1）如圖，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知是等邊三角形，則，易求，即旋轉(zhuǎn)角為；或C'點(diǎn)與A重合；（2）需要分類討論：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角不是為時，分和兩種情況進(jìn)行解答．①當(dāng)時．如圖2，作，垂足為．設(shè)，則．由相似三角形的面積之比等于相似比的平方得到，，則．②當(dāng)時，如圖3，作，垂足為．設(shè)，則．由得到．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時，分兩種情形求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，由旋轉(zhuǎn)過程知，是等邊三角形，．，即旋轉(zhuǎn)角為；C'點(diǎn)與A重合，即旋轉(zhuǎn)角為度；綜上，旋轉(zhuǎn)角為或；（2）解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角是為時：①當(dāng)時．如圖2，設(shè)與分別相交于點(diǎn)與相交于點(diǎn)P．作，垂足為．設(shè)，則，由平移過程知，．由知，，即．，，∴，．②當(dāng)時，如圖3，設(shè)與分別相交于點(diǎn)．作，垂足為．設(shè)，則．，即，則．．即．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時，如圖4中，當(dāng)時，重疊部分是五邊形，，如圖5中，當(dāng)時，重疊部分是四邊形，，所以，．綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角不是為時，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換綜合題．需要學(xué)生熟練掌握旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)關(guān)系式是求法．解答（2）題時，一定要分類討論，以防漏解或錯解．2.（2023·四川成都·一模）如圖1，在中，，以為底邊作等腰，連接，作，使得，且．

(1)如圖2，若，請按題意補(bǔ)全圖形，并寫出畫圖步驟；(2)將線段沿的方向平移得到線段，連接，①如圖3，若，求的長；②若，直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）根據(jù)題意，作等邊△CPD即可；（2）①連接，證明，得，由，知，可推得，在中，，即可得答案；②連接，作角平分線交于F，證明，得，而，可推得，，得，設(shè)，則，列出方程，即得．【詳解】（1）解：如圖所示：

畫圖步驟：①連接，②分別以P、C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，③連接；（2）①連接，如圖：

∵，∴，又∵，∴），∴，∵，∴，即，∴，即，而，∴，∵將線段沿的方向平移得到線段，∴，在中，；②連接，作角平分線交于F，如圖：

∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，而，∴，∵將線段沿的方向平移得到線段，∴，∴，∵平分，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合應(yīng)用，涉及旋轉(zhuǎn)變換、三角形全等判定及性質(zhì)、三角形相似判定及性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形解決問題．題型03三角形與翻折變換【解題策略】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊幾何性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論．【典例分析】例．（2023·湖北武漢·中考真題）問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，交于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當(dāng)時，直接寫出的大?。?2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)時，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）延長過點(diǎn)F作，證明即可得出結(jié)論．（2）在上截取，使，連接，證明，通過邊和角的關(guān)系即可證明．（3）過點(diǎn)A作的垂線交的延長線于點(diǎn)，設(shè)菱形的邊長為，由（2）知，，通過相似求出，即可解出．【詳解】（1）延長過點(diǎn)F作，∵，，∴，在和中∴，∴，，∴，∴，∴．

故答案為：．（2）解：在上截取，使，連接．，，．，．．，．．

（3）解：過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，設(shè)菱形的邊長為，．在中，，．，由（2）知，．．，，，在上截取，使，連接，作于點(diǎn)O．由（2）知，，∴，∵，∴，．∵，∴，∵，∴．．

【點(diǎn)睛】此題考查菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似．【變式演練】1．（2024·安徽阜陽·一模）（1）如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，沿直線將矩形折疊，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)處．求的長；（2）如圖2，展開后，將沿線段向右平移，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合，得到，與交于點(diǎn)F，求線段的長；（3）在圖1中，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至A，，E三點(diǎn)共線時，請直接寫出的長．【答案】（1）3；（2）1；（3）或【分析】（1）本題利用折疊和矩形的性質(zhì)得出，，再利用勾股定理即可解題；（2）本題利用平移的性質(zhì)證得，設(shè)長為，利用勾股定理算出，推出，再利用相似三角形的性質(zhì)得到，算出，從而求得的長；（3）本題根據(jù)A，，E三點(diǎn)共線，分以下兩種情況討論，①當(dāng)旋轉(zhuǎn)到左側(cè)時，②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到右側(cè)時，根據(jù)以上兩種情況作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、以及勾股定理進(jìn)行分析求解，即可解題．【詳解】（1）解：為矩形，，，，，；（2）解：為平移后的圖形，，，，，，設(shè)長為，，，解得：，，，，，，；（3）解：將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至A，，E三點(diǎn)共線，分以下兩種情況：①當(dāng)旋轉(zhuǎn)到左側(cè)時，如圖所示：作，交的延長線于點(diǎn)，由（2）可知，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，，，，四邊形為矩形，，，，②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到右側(cè)時，如圖所示：作，交的延長線于點(diǎn)，由（2）可知，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，，，四邊形為矩形，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理、平移的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用，即可解題．2．（2023·陜西榆林·一模）【問題背景】（1）如圖1，在矩形中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，若，則______（2）如圖2，在正方形中，，點(diǎn)在邊上，將沿翻折至，連接，求周長的最小值；【問題解決】（3）如圖3，某植物園在一個足夠大的空地上擬修建一塊四邊形花圃，點(diǎn)是該花圃的一個入口，沿和分別鋪兩條小路，且，，，．管理員計(jì)劃沿邊上種植一條綠化帶（寬度不計(jì)），為使美觀，要求綠化帶的長度盡可能的長，那么管理員是否可以種植一條滿足要求的長度最大的綠化帶？若可以，求出滿足要求的綠化帶的最大長度（用含的式子表示）；若不可以，請說明理由．【答案】（1）36；（2）；（3）管理員可以種植一條滿足要求的長度最大的綠化帶，綠化帶的最大長度為【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）連接，根據(jù)翻折，得到，得到的周長，進(jìn)而得到當(dāng)?shù)闹底钚r，的周長最小，進(jìn)行求解即可；（3）將沿著翻折得到，將沿著翻折得到，連接，推出當(dāng)、、三條線段共線時，有最大值，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）解：∵在矩形中，，∴，∵，∴，∴；故答案為：36．（2）連接，如圖1∵沿翻折至，∴，∴，，∴的周長，∵，∴當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時，最小，即的周長最小，此時，∵，∴，∴的周長最小為；（3）管理員可以種植一條滿足要求的長度最大的綠化帶．如圖2，將沿著翻折得到，將沿著翻折得到，連接∴，，，，，，∴，∵，∴，∴，∴；∵，∴當(dāng)、、三條線段共線時，有最大值，此時，故管理員可以種植一條滿足要求的長度最大的綠化帶，綠化帶的最大長度為．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理．本題的綜合性強(qiáng)，屬于常見的中考壓軸題．熟練掌握折疊的性質(zhì)，勾股定理，是解題的關(guān)鍵．題型04三角形類比探究問題【解題策略】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論。【典例分析】例．（2023·浙江湖州·中考真題）【特例感知】（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)P在邊的延長線上，連接，過點(diǎn)D作，交的延長線于點(diǎn)M．求證：．【變式求異】（2）如圖2，在中，，點(diǎn)D在邊上，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P在邊的延長線上，連接，過點(diǎn)Q作，交射線于點(diǎn)M．已知，，，求的值．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，點(diǎn)P在邊的延長線上，點(diǎn)Q在邊上（不與點(diǎn)A，C重合），連接，以Q為頂點(diǎn)作，的邊交射線于點(diǎn)M．若，（m，n是常數(shù)），求的值（用含m，n的代數(shù)式表示）．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）證明，得出，根據(jù)勾股定理，根據(jù)，得出，求出，得出，求出；（3），作于點(diǎn)N，證明，得出．證明，得出，求出．【詳解】（1）證明：在正方形中，，，∴，∵，∴，∴，∴．（2）如圖1，作于點(diǎn)N，如圖所示：

∵，，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）∵，，∴，∴．∵，∴，如圖2，作于點(diǎn)N，

∵，∴，∴．∵，∴，∴，∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．【變式演練】1．（2023·河南洛陽·三模）在中，，點(diǎn)是直線上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，在的右側(cè)以為斜邊作等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時，線段與的數(shù)量關(guān)系是_________，位置關(guān)系是__________．【猜想證明】（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在邊上且不是的中點(diǎn)時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請僅就圖（2）中的情況給出證明；若不成立，請說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）若，其他條件不變，連接，．當(dāng)是等邊三角形時，直接寫出的面積．【答案】（1），（2）結(jié)論仍然成立，見詳解（3）或【分析】（1）由題意知，，是等腰直角三角形，由是等腰直角三角形可知為中點(diǎn)，進(jìn)而可知是的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)證明即可；（2）如圖2，延長到，使，連接，證明，可得，，證明，可得，．（3）分兩種情況求解：①如圖3，作，垂足為，，垂足為，由題意知，，，，，由，由（2）知，求解的值，進(jìn)而由計(jì)算求解即可；②如圖4，作，垂足為，，垂足為M，，垂足為N，與的交點(diǎn)為，由題意知，，，可得，根據(jù)，求的值，進(jìn)而得到的值，由證明，有，求解的值，由（2）知求出的值，根據(jù)計(jì)算求解即可．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)∴，∴是等腰直角三角形∵是等腰直角三角形∴為中點(diǎn)∵點(diǎn)H是的中點(diǎn)∴是的中位線∴∴（2）結(jié)論仍然成立．理由如下：如圖2，延長到，使，連接，．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（3）分兩種情況求解：①如圖3，作，垂足為，，垂足為由題意知，，，∴∴，∴∴由（2）知∴②如圖4，作，垂足為，，垂足為M，，垂足為N，與的交點(diǎn)為，由題意知∴，∴∵∴，∴，∴∵，∴∴，∴，解得，由（2）知，∴；綜上所述，的面積為或．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的靈活運(yùn)用．2．（2023·湖北十堰·二模）【問題背景】（1）如圖，，，．求證：；【變式遷移】（2）如圖，為正方形外一點(diǎn)，，過點(diǎn)作，垂足為，連接．求的值；【拓展創(chuàng)新】（3）如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，，直接寫出的長．

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【分析】（1）通過證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即可得證；（2）根據(jù)條件，證明，即可求解；（3）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，證明，可求，，在直角三角形中由勾股定理可求，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，∵，，，∴，，，∴，，∴，∴，∴；（2）解：如圖，連接，∵，，∴，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴的值為；

（3）解：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，∵，∴，∵，，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴或（負(fù)值不符合題意，舍去），∴的長為．

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，和是直角三角形，，，求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在與中，直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)C，點(diǎn)D在上，，且，連接，若，求的長；【拓展提高】（3）如圖3，若，，，，過A作交延長線于Q，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于壓軸題．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形和相似三角形．（1）通過證明，可得，，可得結(jié)論；（2）通過證明，可得，即可求解；（3）由銳角三角函數(shù)可求，由直角三角形的性質(zhì)可求，，通過證明，可求的長，即可求解．【詳解】（1）證明：，，，，，，；（2）解：，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖3，在上截取，連接，，，，，設(shè)，則，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，∴，，，，，1．（2023·浙江湖州·中考真題）【特例感知】（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)P在邊的延長線上，連接，過點(diǎn)D作，交的延長線于點(diǎn)M．求證：．【變式求異】（2）如圖2，在中，，點(diǎn)D在邊上，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P在邊的延長線上，連接，過點(diǎn)Q作，交射線于點(diǎn)M．已知，，，求的值．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，點(diǎn)P在邊的延長線上，點(diǎn)Q在邊上（不與點(diǎn)A，C重合），連接，以Q為頂點(diǎn)作，的邊交射線于點(diǎn)M．若，（m，n是常數(shù)），求的值（用含m，n的代數(shù)式表示）．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）證明，得出，根據(jù)勾股定理，根據(jù)，得出，求出，得出，求出；（3），作于點(diǎn)N，證明，得出．證明，得出，求出．【詳解】（1）證明：在正方形中，，，∴，∵，∴，∴，∴．（2）如圖1，作于點(diǎn)N，如圖所示：

∵，，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）∵，，∴，∴．∵，∴，如圖2，作于點(diǎn)N，

∵，∴，∴．∵，∴，∴，∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．2．（2023·遼寧錦州·中考真題）【問題情境】如圖，在中，，．點(diǎn)D在邊上將線段繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段（旋轉(zhuǎn)角小于），連接，，以為底邊在其上方作等腰三角形，使，連接．【嘗試探究】（1）如圖1，當(dāng)時，易知；

如圖2，當(dāng)時，則與的數(shù)量關(guān)系為；

（2）如圖3，寫出與的數(shù)量關(guān)系（用含α的三角函數(shù)表示）．并說明理由；

【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，當(dāng)，且點(diǎn)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時．若，，請直接寫出的長．

【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）先證明，可得，再證得出，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，在中，利用余弦定義可求，即可得出，然后把代入計(jì)算即可；（2）仿照（1）的思路即可解答；（3）方法一：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作，交延長線于點(diǎn)H，可求，得出，設(shè)，則，利用平行線分線段成比例得出，則可求，，，，，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程，求出．證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；方法二：如圖，過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，利用等腰三角形的性質(zhì)與判斷，平行線的性質(zhì)可證明，，證明，可得出．設(shè)，則，設(shè)，則，利用平行線分線段成比例得出，求出，，，．然后在中，利用勾股定理構(gòu)建方程，求出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，

∵，，∴，∴．∵是以為底邊的等腰三角形，，∴，．∴．∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，H為的中點(diǎn)，∴．在中，，∴．∴．∴．又，∴；（2）解：；如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，

∵，，∴，∴．∵是以為底邊的等腰三角形，，∴，．∴．∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，H為的中點(diǎn)，∴．在中，，∴．∴．∴．（3）．方法一：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作，交延長線于點(diǎn)H，

∴．∴．∵線段繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴．∴．∵是以為底邊的等腰三角形，，∴，．∴．∴．∴．∵，∴．設(shè)，則，∵，∴，∴．∴．∵，∴，．∴．在中，，，∴．∴，解得．∴．∵，∴．方法二：如圖，過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，

∴．∴．∵線段繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴．∴．∵，∴，．∴．∵，∴．∵是以為底邊的等腰三角形，，∴．∵，∴，．∴．設(shè)，則，∵，∴．∴．∴．∴．在中，，∴．在中，，，∴．∴，解得．∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判斷與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．3．（2023·湖北黃岡·中考真題）【問題呈現(xiàn)】和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng)時，直接寫出，的位置關(guān)系：____________；(2)如圖2，當(dāng)時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．【拓展應(yīng)用】(3)當(dāng)時，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使三點(diǎn)恰好在同一直線上，求的長．【答案】(1)(2)成立；理由見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)，得出，，證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；（2）證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；（3）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；故答案為：．

（2）解：成立；理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時，連接，如圖所示：

設(shè)，則，根據(jù)解析（2）可知，，∴，∴，根據(jù)解析（2）可知，，∴，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此時；當(dāng)點(diǎn)D在線段上時，連接，如圖所示：

設(shè)，則，根據(jù)解析（2）可知，，∴，∴，根據(jù)解析（2）可知，，∴，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此時；綜上分析可知，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論．4．（2023·四川成都·中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點(diǎn)，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作的垂線交直線于點(diǎn)F．

【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)時，興趣小組探究得出結(jié)論：，請寫出證明過程．【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)，且點(diǎn)F在線段上時，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）【拓展運(yùn)用】(3)如圖3，連接，設(shè)的中點(diǎn)為M．若，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)①，證明過程略；②當(dāng)點(diǎn)F在射線上時，，當(dāng)點(diǎn)F在延長線上時，(3)【分析】（1）連接，當(dāng)時，，即，證明，從而得到即可解答；（2）①過的中點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時，，根據(jù)，可得是等腰直角三角形，，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，再根據(jù)，，即可得到；②分類討論，即當(dāng)點(diǎn)F在射線上時；當(dāng)點(diǎn)F在延長線上時，畫出圖形，根據(jù)①中的原理即可解答；（3）如圖，當(dāng)與重合時，取的中點(diǎn)，當(dāng)與重合時，取的中點(diǎn)，可得的軌跡長度即為的長度，可利用建系的方法表示出的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)公式求出，最后利用勾股定理即可求出的長度．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

當(dāng)時，，即，，，，,，，即，，，在與中，，，，；（2）①證明：如圖，過的中點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

當(dāng)時，，即，是的中點(diǎn)，，，，，，，是等腰直角三角形，且，，根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，；故線段之間的數(shù)量關(guān)系為；②解：當(dāng)點(diǎn)F在射線上時，如圖，在上取一點(diǎn)使得，過作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

同①，可得，，，，，同①可得，，即線段之間數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)點(diǎn)F在延長線上時，如圖，在上取一點(diǎn)使得，過作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接

同（1）中原理，可證明，可得，，，，，同①可得，即線段之間數(shù)量關(guān)系為,綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F在射線上時，；當(dāng)點(diǎn)F在延長線上時，；（3）解：如圖，當(dāng)與重合時，取的中點(diǎn)，當(dāng)與重合時，取的中點(diǎn)，可得的軌跡長度即為的長度，

如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)作的垂線段，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線段，交于點(diǎn)，

，，，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，根據(jù)（2）中的結(jié)論，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地畫出圖形，作出輔助線，找對邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2022·廣東深圳·中考真題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，將沿翻折到處，延長交邊于點(diǎn)．求證：（2）【類比遷移】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且將沿翻折到處，延長交邊于點(diǎn)延長交邊于點(diǎn)且求的長．（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形中，，為邊上的三等分點(diǎn)，將沿翻折得到，直線交于點(diǎn)求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）的長為或【分析】（1）根據(jù)將沿翻折到處，四邊形是正方形，得，，即得，可證；（2）延長，交于，設(shè)，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，設(shè)，則，因，有，即解得的長為；（3）分兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)時，延長交于，過作于，設(shè)，，則，，由是的角平分線，有①，在中，②，可解得，；（Ⅱ）當(dāng)時，延長交延長線于，過作交延長線于，同理解得，．【詳解】證明：（1）將沿翻折到處，四邊形是正方形，，，，，，；（2）解：延長，交于，如圖：設(shè)，在中，，，解得，，，，，，即，，，，，，，，即，，設(shè)，則，，，，即，解得，的長為；（3）（Ⅰ）當(dāng)時，延長交于，過作于，如圖：設(shè)，，則，，，，，沿翻折得到，，，，是的角平分線，，即①，，，，，在中，，②，聯(lián)立①②可解得，；（Ⅱ）當(dāng)時，延長交延長線于，過作交延長線于，如圖：同理，，即，由得：，可解得，，綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形角平分線的性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．6．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)重合，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)三角尺時，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點(diǎn)，，連接，可得．

【探究一】如圖②，把繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，同時得到點(diǎn)在直線上．求證：；【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點(diǎn)，．求證：；【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點(diǎn)，．連接交于點(diǎn)，求的值．【答案】[探究一]見解析；[探究二]見解析；[探究三]【分析】[探究一]證明，即可得證；[探究二]根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，加上公共角，進(jìn)而即可證明[探究三]先證明，得出，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)在直線上．得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論．【詳解】[探究一]∵把繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，同時得到點(diǎn)在直線上，∴，∴，∴，在與中∴∴[探究二]證明：如圖所示，

∵四邊形是正方形，∴，又，∴，∵，∴，又∵，∴，又∵公共角，∴；[探究三]證明：∵是正方形的對角線，∴，，∴，∵，∴，即，∴，∴，，如圖所示，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)在直線上．

∴，，∴，又，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點(diǎn)．請猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說明理由；(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿足，，則______．【答案】(1)，(2)，，證明見解析(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)已知得出，即可證明，得出，，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；（2）同（1）的方法即可得證；（3）同（1）的方法證明，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)題意畫出圖形，連接，以為直徑,的中點(diǎn)為圓心作圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)，延長至，使得，證明，得出，勾股定理求得，進(jìn)而求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴，∴，設(shè)交于點(diǎn)，

∵∴，故答案為：，．（2）結(jié)論：，；證明：∵，∴，即，又∵，，∴∴，∵，，∴，∴，（3），理由如下，∵，∴，即，又∵和均為等腰直角三角形∴，∴，∴，在中，，∴，∴；（4）解：如圖所示，

連接，以為直徑,的中點(diǎn)為圓心作圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)，延長至，使得，則是等腰直角三角形，

∵,∴，∵，∴∴，∴，∵，在中，，∴∴過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，在中，，在中