專題04基本不等式及其運(yùn)用（考點(diǎn)歸納與八大題型方法總結(jié)）

專題04基本不等式及其運(yùn)用【題型歸納目錄】題型一：基本不等式的理解題型二：直接法求最值題型三：常規(guī)湊配法求最值題型四：換元求最值題型五：“1”的代換求最值題型六：利用基本不等式求參數(shù)題型七：利用基本不等式證明不等式題型八：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題【【考點(diǎn)歸納】考點(diǎn)1：基本不等式1．重要不等式：?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．2．基本不等式（1）有關(guān)概念：當(dāng)a，b均為正數(shù)時(shí)，把eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，把eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．（2）不等式：當(dāng)a，b是任意正實(shí)數(shù)時(shí)，a，b的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，即，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．【注意】①基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件；②連續(xù)使用不等式要注意取得一致。（3）其他變形：①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號(hào)成立的條件).3．已知x、y都是正數(shù)，（1）若(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值eq\f(S2,4).（3）若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大．考點(diǎn)2：常見(jiàn)求最值模型模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.【【題型歸納】題型一：基本不等式的理解【例1】【例1】下列不等式的推導(dǎo)過(guò)程正確的是________．①若x＞1，則x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2.②若x＜0，則x＋eq\f(4,x)＝③若a，b∈R，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.【答案】②【詳解】①中忽視了基本不等式等號(hào)成立的條件，當(dāng)x＝eq\f(1,x)時(shí)即x＝1時(shí)，x＋eq\f(1,x)≥2等號(hào)成立，因?yàn)閤＞1，所以x＋eq\f(1,x)＞2，③中忽視了利用基本不等式時(shí)每一項(xiàng)必須為正數(shù)這一條件．【例2】下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式成立的條件依次判斷各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，成立的條件為，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由于，故，正確.故選：D【【方法技巧歸納】1．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a＞0，b＞0)反映了兩個(gè)正數(shù)的和與積之間的關(guān)系．2．對(duì)基本不等式的準(zhǔn)確掌握要抓住以下兩個(gè)方面：(1)定理成立的條件是a、b都是正數(shù)．(2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：當(dāng)a＝b時(shí)，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)的等號(hào)成立，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；僅當(dāng)a＝b時(shí)，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號(hào)成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b.【【變式演練】1．下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)＋eq\f(4,a)≥4 B．a(chǎn)2＋b2≥4abC.eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2) D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)【答案】D【詳解】a＜0，則a＋eq\f(4,a)≥4不成立，故A錯(cuò)；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B錯(cuò)；a＝4，b＝16，則eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)，故C錯(cuò)；由基本不等式可知D項(xiàng)正確．2．（多選）已知、、．若，則（）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，，，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，由基本不等式可得，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，，可得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.3．《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，得到，，在直角中，利用勾股定理，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】設(shè)，可得圓的半徑為，又由，在直角中，可得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：D.題型二：直接法求最值【例3】若實(shí)數(shù)a，b滿足，則ab的最大值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式求解積的最大值.【詳解】∵，，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴．故選：D．【例4】若，則有（）A．最小值 B．最小值C．最大值 D．最大值【答案】B【分析】利用基本不等式可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，則有最小值.故選：B.【例5】已知正數(shù)、滿足，則的最小值是___________.【答案】【分析】利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?、為正?shù)，由基本不等式可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.【【方法技巧歸納】利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得滿足基本不等式成立條件，即“一正、二定、三相等”.解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件.具體可歸納為三句話：若不正，用其相反數(shù)，改變不等號(hào)方向；若不定應(yīng)湊出定和或定積；若不等，一般用后面第三章函數(shù)的基本性質(zhì)中學(xué)習(xí).【【變式演練】1．已知，，且，則的最大值是（）A．1 B． C．3 D．5【答案】D【分析】結(jié)合基本不等式求得的最大值.【詳解】依題意，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：D2．已知直角三角形的兩條直角邊的和等于4，則直角三角形面積的最大值是（）A．4 B． C．2 D．【答案】C【分析】由基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為，則，所以，直角三角形的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.故直角三角形面積的最大值是2.故選：C.3．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，則xy（）A．有最大值為1 B．有最小值為1 C．有最大值為 D．有最小值為【答案】C【詳解】，，且，（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號(hào)，故的最大值是：，故選：．4．已知，，且，則ab的最大值為（）A． B．4 C． D．2【答案】D【詳解】，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），解得：，即的最大值為故選5．若，則（）A．有最小值，且最小值為 B．有最大值，且最大值為2C．有最小值，且最小值為 D．有最大值，且最大值為【答案】D【解析】,當(dāng)且僅當(dāng)取“=”所以故選：D題型三：常規(guī)湊配法求最值【例5】函數(shù)的最小值是【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以函數(shù)的最小值是.選：D.【例6】已知，則的最大值是【答案】1【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為【例7】若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【分析】將給定函數(shù)化簡(jiǎn)變形，再利用均值不等式求解即得.【詳解】因，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：A【【方法技巧歸納】1．通過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．（見(jiàn)?？寄Ｐ停?．注意驗(yàn)證取得條件．【【變式演練】1．當(dāng)時(shí)，取得最小值時(shí)x的值為（）A．0 B． C．3 D．2【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以取得最小值時(shí)x的值為2.故選：D.2．若，則函數(shù)的最小值為___________.【答案】3【分析】由，及，利用基本不等式可求出最小值.【詳解】由題意，，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以函數(shù)的最小值為3.故答案為：3.3．若，且，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】利用給定條件確定，變形并借助均值不等式求解即得.【詳解】因，且，則，即有，同理，由得：，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為.故選：D題型四：換元求最值【例8】已知實(shí)數(shù)，則的最小值是（）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】用換元法，設(shè)，化簡(jiǎn)后用基本不等式得最小值．【詳解】因?yàn)?，設(shè)，則，．當(dāng)且僅當(dāng)且即，，時(shí)等號(hào)成立，故選：D．【例9】函數(shù)的最小值是___________.【答案】4【解析】令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，.所以函數(shù)的最小值是4.故答案為：4【【方法技巧歸納】若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問(wèn)題，對(duì)于這類問(wèn)題最常用的方法就是換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的分母為參數(shù)，轉(zhuǎn)化為參數(shù)的不等關(guān)系．1．代換變量，統(tǒng)一變量再處理．2．注意驗(yàn)證取得條件．【【變式演練】1．設(shè)，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知，求的最大值問(wèn)題，再根據(jù)基本不等式求解即可；【詳解】設(shè)，則，條件，所以，即.故選：D.2．若，且，則的最小值為_________【答案】【分析】令，可得，化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合基本不等式可求解.【詳解】令，則，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.題型五：“1”的代換求最值【例10】已知，且，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)，由，結(jié)合基本不等式，求得，進(jìn)而求得的最大值.【詳解】由，可得，又由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最大值為.故選：D.【例11】正實(shí)數(shù)，滿足：，則當(dāng)取最小值時(shí)，____.【答案】【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：．【例12】已知，則的最小值為（

）A．13 B．19 C．21 D．27【答案】D【分析】由基本不等式“1”的妙用求解【詳解】由題意得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．故選：D【【方法技巧歸納】1的代換就是指湊出1，使不等式通過(guò)變形出來(lái)后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過(guò)程中要特別注意等價(jià)變形．1．根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法．2．注意驗(yàn)證取得條件．【【變式演練】1．已知，，且，則的最小值為（）A．4 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】將展開利用基本不等式即可求解.【詳解】由，，且得，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立，的最小值為，故選：B.2．已知，，，則的最小值是______．【答案】16【分析】利用基本不等式求得的最小值.【詳解】依題意.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：163．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________.【答案】9【分析】由得，則，展開利用基本不等式可求得最值.【詳解】由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故的最小值為9.故答案為：94．設(shè)，，，則的最小值為______．【答案】#.【分析】?jī)纱芜\(yùn)用“1”進(jìn)行整體代換，結(jié)合基本不等式，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，故答案為：.題型六：利用基本不等式求參數(shù)【例13】已知，且，若恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【詳解】因?yàn)?，恒成立，即所以，即，又，所以所以，所以，所以正?shí)數(shù)的最小值為2．故選：A．【例14】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，.故選：D.【例15】已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為（）A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D【分析】利用參變分離的方法將不等式變形為恒成立，再由基本不等式得出代數(shù)式的最值，可得選項(xiàng).【詳解】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，轉(zhuǎn)化成求的最小值，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等所以．故選：D．【【變式演練】1．已知，且，若不等式恒成立，．則m的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用基本不等式求的最小值，由此可得m的范圍.【詳解】∵不等式恒成立∴又，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，∴，又，∴，故選：A.2．若對(duì)有恒成立，則的取值范圍是_________【答案】【詳解】因?yàn)椋愠闪?，則，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取得等號(hào)那么可知只要小于等于表達(dá)式的最小值8即可，故答案為3．若對(duì)任意，不等式恒成立，則的最小值是______.【答案】【分析】分離參數(shù)，再利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以恒成?又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，故答案為：題型七：利用基本不等式證明不等式【例16】已知，，，求證：（1）；（2）.【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】證明：（1）因?yàn)榍?，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即，所以，又，所以；（2）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.【例17】（2022·安徽·馬鞍山二中模擬預(yù)測(cè)（理））已知，．（1）若，證明：；（2）若，證明：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）把所求式轉(zhuǎn)化為，再利用二次函數(shù)去求其值域即可；（2）利用均值定理“1”的代換去求的最小值即可.【詳解】(1)因?yàn)?，所以，又，，所以，所以，?dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值；當(dāng)時(shí)，，即，所以．(2)由得，

所以，

．

當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立．所以【【方法技巧歸納】1．條件不等式的證明，要將待證不等式與已知條件結(jié)合起來(lái)考慮，比如本題通過(guò)“1”的代換，將不等式的左邊化成齊次式，一方面為使用基本不等式創(chuàng)造條件，另一方面可實(shí)現(xiàn)約分與不等式的右邊建立聯(lián)系．2．先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)(注意限制條件)，通過(guò)相加(乘)合成為待證的不等式，既是運(yùn)用基本不等式時(shí)的一種重要技能，也是證明不等式時(shí)的一種常用方法．【【變式演練】1．設(shè)，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析；【解析】證明：因?yàn)?，所以，所?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故不等式得證.2．已知：、是正實(shí)數(shù)，求證：.【答案】見(jiàn)解析.【解析】由基本不等式得出，，上述兩個(gè)不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由同向不等式的可加性得，即3．（2021·湖南）已知，.（1）求證：；（2）若，，，求證：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；（2）由條件有，且，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)由得，，即證．題型八：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題【例18】某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是（）A．20 B．25 C．28 D．30【答案】D【分析】根據(jù)題意得到總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和的表達(dá)式，利用基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為，顯然，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，故選：D【例19】新冠病毒疫情期間，武漢物資緊缺，一批口罩、食物等救災(zāi)物資隨輛汽車從某市以km/h的速度勻速直達(dá)武漢災(zāi)區(qū)．已知兩地公路線長(zhǎng)360km，為安全起見(jiàn)，兩輛汽車的間距不得小于km（車長(zhǎng)忽略不計(jì)），要使這批物資盡快全部到達(dá)災(zāi)區(qū)，則（）A．70km/h B．80km/h C．90km/h D．100km/h【答案】C【分析】由題意可得第一輛汽車到達(dá)用，最后一輛汽車到達(dá)的時(shí)間為，所以要用時(shí)最少，只要最小即可，然后利用基本不等式求解即可【詳解】第一輛汽車到達(dá)用，由題意，每隔到達(dá)一輛，則最后一輛汽車到達(dá)的時(shí)間為，要使這批物資盡快全部到達(dá)災(zāi)區(qū)，即就是最后一輛汽車到達(dá)的時(shí)間最短，即求最小時(shí)汽車的速度，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選：C．【例20】（1）用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長(zhǎng)度是多少？（2）用一段長(zhǎng)為的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長(zhǎng)為的正方形時(shí)，最短籬笆的長(zhǎng)度為；（2）當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長(zhǎng)為的正方形時(shí)，最大面積是.【分析】設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長(zhǎng)分別為、，籬笆的長(zhǎng)度為.（1）由題意得出，利用基本不等式可求出矩形周長(zhǎng)的最小值，由等號(hào)成立的條件可得出矩形的邊長(zhǎng)，從而可得出結(jié)論；（2）由題意得出，利用基本不等式可求出矩形面積的最大值，由等號(hào)成立的條件可得出矩形的邊長(zhǎng)，從而可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長(zhǎng)分別為、，籬笆的長(zhǎng)度為.（1）由已知得，由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長(zhǎng)為的正方形時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆的長(zhǎng)度為；（2）由已知得，則，矩形菜園的面積為.由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長(zhǎng)為的正方形時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是.【【方法技巧歸納】1．在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意如下思路和方法：（1）先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)；（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；（4）正確寫出答案．2．對(duì)于函數(shù)y＝x＋eq\f(k,x)(k>0)，可以證明0＜x≤eq\r(k)及－eq\r(k)≤x＜0上均為減函數(shù)，在x≥eq\r(k)及x≤－eq\r(k)上都是增函數(shù)．求此函數(shù)的最值時(shí)，若所給的范圍含±eq\r(k)時(shí)，可用基本不等式，不包含±eq\r(k)時(shí)，可用函數(shù)的單調(diào)性求解(第三章函數(shù)的基本性質(zhì)中學(xué)習(xí))．【【變式演練】1．一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金.一位顧客到店里要購(gòu)買20g黃金，售貨員先將10g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將10g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認(rèn)為顧客購(gòu)得的黃金是（）A．大于20g B．小于20g C．等于20g D．無(wú)法判斷【答案】A【分析】設(shè)天平左右臂長(zhǎng)分別為，兩次放黃金分別為g、g，即有，根據(jù)基本不等式即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】令天平左右臂長(zhǎng)分別為，第一次放黃金g，第二次放黃金g，∴，即有g(shù)，故選：A2．某企業(yè)投入萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加萬(wàn)元．為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為，設(shè)備年平均費(fèi)用為萬(wàn)元，求得關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式求出的最小值及其對(duì)應(yīng)的值，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為，設(shè)備年平均費(fèi)用為萬(wàn)元，則年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為，所以年的平均費(fèi)用為（萬(wàn)元），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為.故選：B.3．如果一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于，那么這個(gè)直角三角形的面積的最大值等于______.【答案】【分析】設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為、，利用勾股定理可得出，然后利用重要不等式可求出該直角三角形面積的最大值.【詳解】設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為、，由勾股定理可得，由重要不等式可知，因此，該直角三角形的面積為.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即這個(gè)直角三角形面積的最大值等于.故答案為：.4．如下圖所示，動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.（1）現(xiàn)有可圍36m長(zhǎng)網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？最大面積為多少？（2）若使每間虎籠面積為24，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小？最小值為多少？【答案】（1）當(dāng)長(zhǎng)為，寬為時(shí)，面積最大，最大面積為；（2）當(dāng)長(zhǎng)為，寬為時(shí)，鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小，最小值為.【分析】（1）求得每間虎籠面積的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求得最大值.（2）求得鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求得最小值.【詳解】（1）設(shè)長(zhǎng)為，寬為，都為正數(shù)，每間虎籠面積為，則，則，所以每間虎籠面積的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.（2）設(shè)長(zhǎng)為，寬為，都為正數(shù)，每間虎籠面積為，則鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)為，所以鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小為，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.【【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．若0<a<b，則下列不等式一定成立的是（）A．b>>a> B．b>>>aC．b>>>a D．b>a>>【答案】C【分析】利用不等式的性質(zhì)結(jié)合基本不等式進(jìn)行判斷【詳解】∵0<a<b，∴2b>a+b，∴b>>.∵b>a>0，∴ab>a2，∴>.故b>>>.故選：C2．已知，則的最大值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【分析】把所求代數(shù)式變形，轉(zhuǎn)化成，再對(duì)其中部分以基本不等式求最值即可解決.【詳解】時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）則，即的最大值為0.故選：C3．若a，b都為正實(shí)數(shù)且，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由基本不等式，結(jié)合題中條件，直接求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，都為正?shí)數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值.故選：D4．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，則xy（

）A．有最大值為1 B．有最小值為1 C．有最大值為 D．有最小值為【答案】C【分析】利用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】，，且，（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號(hào)，故的最大值是：，故選：．5．若，則有（

）A．最小值為3 B．最大值為3 C．最小值為 D．最大值為【答案】A【分析】利用基本不等式即得,【詳解】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，∴有最小值為3.故選：A.6．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由恒成立可知，，利用基本不等式求最值即可.【詳解】∵不等式恒成立，∴，又，∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，令，則，，∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴.故選：C.7．若，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】利用“乘1法”即得.【詳解】因?yàn)?，所以，∴，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為1.故選：D.8．已知，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由可得，將整理為，再利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：A二、多選題9．設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為4C．的最大值為 D．的最小值為【答案】BD【分析】由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，正實(shí)數(shù)，滿足，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則正確；對(duì)于選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，則錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則正確．故選：．10．（2022·河北張家口·三模）已知，（m是常數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．若的最小值為，則B．若的最大值為4，則C．若的最大值為m，則D．若，則的最小值為2【答案】BC【分析】根據(jù)已知等式，利用基本不等式逐一判斷即可.【詳解】由已知得，，解得，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤；，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B正確；，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，且，所以等號(hào)取不到，故D錯(cuò)誤，故選：BC.11．已知正數(shù)，，則下列不等式中恒成立的是（）A． B．C． D．【答案】AB【詳解】對(duì)A，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)B，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)C，，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.故選：AB.12．已知，則以下不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】直接利用基本不等式即可判斷ACD，由，可得，整理即可判斷B.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：BCD.三、填空題13．若，則的最大值為________【答案】【分析】化簡(jiǎn)，根據(jù)題意結(jié)合基本不等式，取得，即可求解.【詳解】由題意，實(shí)數(shù)，且，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最大值為.故答案為：.14．若，，，則的最小值為___________.【答案】3【分析】利用基本不等式常值代換即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為3，故答案為：315．已知，，且，則的最小值為______．【答案】6【分析】由可知，要使取最小值，只需最小即可，故結(jié)合，求出的最小值即可求解.【詳解】由，，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），又因，得，即，由，，解得，即，故.因此當(dāng)時(shí)，取最小值6.故答案為：6.16．（2022·重慶·三模）已知，，且，則的最小值為___________.【答案】4【分析】由題得，再利用基本不等式求出的最小值即得解.【詳解】解：由題得，所以.(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等)因?yàn)?，所以的最小值?.故答案為：4四、簡(jiǎn)答題17．已知，求的最