第五章二次函數（最值圖像陰影面積拓展）

第五章二次函數（最值、圖像、陰影面積拓展）一、二次函數的最值問題對于二次函數（表示y的最大值，表示y的最小值）（1）若自變量x的取值范圍為全體實數，如圖①，函數在頂點處時取到最小值．（2）若，如圖②，當，；當，；（3）若，如圖③，當，；當，；（4）若，且，如圖④，當，；當，典例1求出下列函數的最值：（1）若x為任意實數，求函數的最小值；（2）若，求函數的最小值、最大值；（3）若，求函數的最小值、最大值；（4）若，求函數的最小值、最大值；（5）若x為整數，求函數的最小值．【答案】見解析【解析】解析：∵∴對稱軸為直線，頂點坐標為（，）（1）x為任意實數，（2）當時，y隨x增大而增大∴當時，；當時，（3）當時，y先減后增∴當時，；當時，（4）當時，y隨x增大而減小∴當時，；當時，（5）∵x為整數∴當時，跟蹤訓練1當時，二次函數有最大值4，則實數m的值為__．【答案】2或【解析】解析：二次函數對稱軸為①時，取得最大值，，解得，不合題意，舍去②時，取得最大值，，解得∵不滿足的范圍，∴③時，取得最大值，，解得，綜上所述，或時，二次函數有最大值4典例2在平面直角坐標系中，點P的坐標為（0，2），點M的坐標為（，）（其中m為實數），當PM的長最小時，m的值為（）A． B． C．﹣3 D．﹣4【答案】A【解析】解析：由兩點間的距離公式可知：∴當時，最小跟蹤訓練2已知拋物線，當0≤x≤m時，y的最小值為﹣1，最大值為3，則m的取值范圍為（）A．m≥2 B．0≤m≤2 C．2≤m≤4 D．m≤4【答案】C【解析】解析：∵∴當時，當時，有解得：，∴當或4時，又∵當時，y的最小值為﹣1，最大值為3∴一次函數、二次函數圖像綜合判斷典例3在平面直角坐標系中，二次函數和一次函數的大致圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】解：A、二次函數的開口向下，，二次函數的對稱軸在軸的左側，，，當時，，一次函數的圖象經過一、二、四象限，故A錯誤，不符合題意；B、二次函數的開口向下，，二次函數的對稱軸在軸的右側，，，當時，，一次函數的圖象經過二、三、四象限，故B正確，符合題意；C、二次函數的開口向上，，二次函數的對稱軸在軸的右側，，，當時，，一次函數的圖象經過一、二、三象限，故C錯誤，不符合題意；D、二次函數的開口向上，，二次函數的對稱軸在軸的左側，，，當時，，一次函數的圖象經過一、三、四象限，故D錯誤，不符合題意；故選：B．跟蹤訓練3一次函數與二次函數在同一個平面坐標系中圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】解：由解析式可得：一次函數與二次函數的圖象與y軸的交點都為，即交點重合，選項B，C，D滿足，選項A不滿足，排除A；B選項，由一次函數圖象可得，此時二次函數的圖象應開口向下，有可能；C選項，由一次函數圖象可得，此時二次函數的圖象應開口向上，不可能；D選項，由一次函數圖象可得，此時二次函數的圖象應開口向下，不可能；故選B．典例4已知a，b是非零實數，且，在同一個坐標系中，二次函數與一次函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：．故二次函數y＝ax2+bx與一次函數y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐標系中的交點在x軸上為（，0）或點（1，a+b）．在A中，由一次函數圖象可知a＞0，b＞0，二次函數圖象可知，a＞0，b＞0，∵∴0，∴（，0）比（1，a+b）更靠近原點，故選項A不可能；在B中，由一次函數圖象可知a＞0，b＞0，二次函數圖象可知，a＞0，b＞0，∵∴0，∴（，0）比（1，a+b）更靠近原點，故選項B有可能；在C中，由一次函數圖象可知a＜0，b＞0，二次函數圖象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，則a+b＜0，故選項C不可能；在D中，由一次函數圖象可知a＜0，b＞0，二次函數圖象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，則a+b＜0，故選項D不可能；故選：B．跟蹤訓練4若函數y=x2(x≥0)的圖象與直線y=kx+k+1有公共點，則k的取值范圍是（

）A．k≤0 B．k≤－1 C．k≥－1 D．k為任意實數【答案】C【解析】解：的圖象與直線有公共點，有實數根，，∴，，此時k為任意值，又，一次函數與二次函數函數的交點在第一象限或原點，其橫坐標為k+1，即，解得：．故選C．典例5平面直角坐標系中，點為拋物線上一動點，當時，點關于軸的對稱點始終在直線的上方，則的取值范圍是．【答案】/【解析】解：直線中，當x＝3時，y＝32＝1，∵A（m，n）關于x軸的對稱點始終在直線y＝x2的上方，∴當m＝3時，n＜1，∴9a﹣3（a+1）﹣5＜1，解得a＜，又∵a＞0，∴a的取值范圍是0＜a＜．故答案為：0＜a＜．平移產生的陰影面積問題典例6如圖，拋物線的頂點為A，拋物線的頂點為B，過點A作軸于點C．點B作軸于點D，則陰影部分的面積為．【答案】4【解析】解：如圖，過點作軸于點，拋物線的頂點，拋物線的頂點，、兩點關于原點對稱，兩拋物線的二次項系數，即拋物線開口大小相同，拋物線段繞點旋轉后，與拋物線段重合，．故答案為：4．跟蹤訓練6如圖，拋物線的頂點為P(－2，2)與y軸交于點A(0，3)，若平移該拋物線使其頂P沿直線移動到點，點A的對應點為，則拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為【答案】12．【解析】解：連接AP，A′P′，過點A作AD⊥PP′于點D，由題意可得出：AP∥A′P′，AP＝A′P′，∴四邊形APP′A′是平行四邊形，∵拋物線的頂點為P（﹣2，2），與y軸交于點A（0，3），平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，﹣2），∴PO2，∠AOP＝45°，又∵AD⊥OP，∴△ADO是等腰直角三角形，∴PP′＝22＝4，∴AD＝DO＝sin45°?OA3，∴拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為：412．故答案為：12．典例7如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0），交y軸于C（0，﹣3），M是拋物線的頂點，現將拋物線沿平行于y軸的方向向上平移三個單位，則曲線CMB在平移過程中掃過的面積為（面積單位）．

【答案】9【解析】解：如圖所示，連接BC，OD，由圖象可知曲線CMB在平移過程中掃過的面積=平行四邊形OCBD的面積，根據題意可得：OB=3，OC=3，BD=3，所以，曲線CMB在平移過程中掃過的面積=OC×OB+OB×BD=×3×3+×3×3=9.故答案為:9．跟蹤訓練7已知二次函數的圖象如圖所示．將此函數圖象向右平移2個單位得拋物線的圖象，則陰影部分的面積為．【答案】8【解析】解：，頂點坐標是，二次函數向右平移2個單位得到，，頂點坐標是，，和拋物線圖象相同，與拋物線圍成的面積等于與拋物線圍成的面積，陰影部分面積等于平行四邊形的面積，陰影部分的面積為：，故答案為：8．1、已知二次函數（h為常數），在自變量x的值滿足的情況下，與其對應的函數值y的最小值為5，則h的值為（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3【答案】B【解析】解析：∵當時，y隨x得增大而增大，當時，y隨x的增大而減小∴①若，當時，y取得最小值5可得，解得或（舍去）②若，當時，y取得最小值5可得，解得或（舍去）③若，當時，y取得最小值，此種情況不符合題意，舍去∴綜上所述，h的值為或52、二次函數，當0≤x≤5時，y的取值范圍為（）A．7≤y≤12 B．2≤y≤12 C．3≤y≤12 D．3≤y≤7【答案】C【解析】解析：∵∴開口向上，對稱軸為直線∴當時，y隨x增大而增大∴當時，當時，∴當時，3．在同一坐標系中，一次函數和二次函數的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】解：由拋物線可知，，即；由直線可知，，二者矛盾，故本選項錯誤；B．由拋物線可知，，即，根據對稱軸，可得，兩者矛盾；由直線可知，，的范圍不一致，故本選項錯誤；C．由拋物線可知，，即，根據對稱軸，可得，兩者矛盾；由直線可知，，的范圍不一致，故本選項錯誤；D．由拋物線可知，，即，根據對稱軸，可得；由直線可知，，的范圍一致，故本選項正確；故選：D．4．在同一平面直角坐標系中，一次函數與二次函數的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】解：A．選項中一次函數的圖象經過一、二、三象限，則，二次函數的圖象與y軸負半軸相交，則，矛盾，故選項不符合題意；B．選項中二次函數的圖象開口向下，而的圖象開口向上，矛盾，故選項不符合題意；C．一次函數的圖象經過一、二、四象限，則，與y軸正半軸相交，二次函數的圖象與y軸負半軸相交，則，不矛盾，故選項符合題意；D．一次函數的圖象經過二、三、四象限，與一次函數的圖象與y軸正半軸相交矛盾，故選項不符合題意．故選：C．5．在同一平面直角坐標系中，一次函數的圖象和二次函數的圖象可能是（）A． B．

C．

D．

【答案】D【解析】解：A．由一次函數圖象可得，則二次函數圖象應開口向下，不符合題意；B．二次函數的圖象沒有過原點，不符合題意；C．由一次函數圖象可得，則二次函數圖象應開口向上，不符合題意；D．由一次函數圖象可得，，則二次函數圖象開口向下，對稱軸應在x軸正半軸，符合題意；故選：D．6．如圖，將拋物線平移得到拋物線m．拋物線m經過點和原點O，它的頂點為P，它的對稱軸與拋物線交于點Q，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【解析】連接，如圖∵平移后的拋物線m的函數解析式為，∴，拋物線m的對稱軸為直線，當時，，則點，由于拋物線向右平移3個單位，在向上平移個單位得到拋物線所以．故答案為：．7．如圖，拋物線y1=x2+2向右平移1個單位得到的拋物線y2.回答下列問題：(1)拋物線y2的解析式是，頂點坐標為；(2)陰影部分的面積;(3)若再將拋物線y2繞原點O旋轉180°得到拋物線y3，則拋物線y3的解析式為，開口方向，頂點坐標為.【答案】y2=（x1）2+2（1，2）S=2y3=（x+1）22向上（1，2）【詳解】試題分析：(1)、圖形的平移法則為：上加下減，左減右減，根據平移法則得出函數解析式；(2)、陰影部分的面積等于平行四邊形的面積；(3)、旋轉后開口方向改變，頂點關于原點對稱.試題解析：(1)、y2=(x1)2+2，(1，2)；(2)、S=2；(3)、y3=(x+1)22，向上，頂點坐標為(1，2).8．如圖，把拋物線向左平移2個單位長度，再向下平移8個單位長度得到拋物線l，拋物線l的頂點為P，它的對稱軸與拋物線交于點Q，則圖