專題03隨機(jī)變量及其分布-2023-2024學(xué)年高二年級下學(xué)期數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)（知識梳理熱考題型單元檢測）（知識梳理熱考題型單元檢測）（新高考人教A版專用）原卷版

專題03隨機(jī)變量及其分布（新高考人教A版專用）目錄目錄【知識梳理】 2【熱考題型】 5【考點(diǎn)1】條件概率 5【考點(diǎn)2】全概率公式 7【考點(diǎn)3】離散型隨機(jī)變量 9【考點(diǎn)4】離散型隨機(jī)變量的分布列 10【考點(diǎn)5】離散型隨機(jī)變量的均值 12【考點(diǎn)6】離散型隨機(jī)變量的方差 14【考點(diǎn)7】二項(xiàng)分布 16【考點(diǎn)8】超幾何分布 18【考點(diǎn)9】正態(tài)分布 19【單元檢測】 22【基礎(chǔ)卷】 22【能力卷】 26知識梳理知識梳理一、條件概率(1)若已知事件A發(fā)生，則A成為樣本空間.此時(shí)事件B發(fā)生的概率是AB包含的樣本點(diǎn)數(shù)與A包含的樣本點(diǎn)數(shù)的比值，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).(2)一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.(3)當(dāng)P(A)>0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，有P(B|A)＝P(B).(4)由條件概率的定義，對任意兩個(gè)事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)，我們稱此式為概率的乘法公式.二、條件概率的性質(zhì)性質(zhì)：條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).設(shè)P(A)>0，則(1)P(Ω|A)＝1；(2)若B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；(3)設(shè)eq\o(B,\s\up6(－))和B互為對立事件，則P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)＝1－P(B|A).三、全概率公式(1)全概率公式：一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))P(Ai)P(B|Ai).(2)貝葉斯公式(選學(xué))：設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Aieq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(B）))＝eq\f(P（Ai）P（B\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(Ai）)),P（B）)＝，i＝1，2，…，n.四、離散型隨機(jī)變量(1)定義：一般地，對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量.五、離散型隨機(jī)變量的分布列(1)離散型隨機(jī)變量的分布列：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，3，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列.離散型隨機(jī)變量的分布列可以用表格表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1.六、兩點(diǎn)分布對于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用A表示“成功”，eq\o(A,\s\up6(－))表示“失敗”，定義X＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，A發(fā)生，,0，\o(A,\s\up6(－))發(fā)生.))如果P(A)＝p，則P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－p，那么X的分布列如表所示X01P1－pp我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0－1分布.七、離散型隨機(jī)變量的均值(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱為期望.均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.(2)一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.(3)離散型隨機(jī)變量的均值性質(zhì)①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).八、離散型隨機(jī)變量的方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnD(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi能夠刻畫X相對于均值的離散程度(或波動大小)，這稱為離散型隨機(jī)變量X的方差.并稱eq\r(D（X）)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X).(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.(3)幾個(gè)常見的結(jié)論①D(aX＋b)＝a2D(X).②若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p).九、n重伯努利試驗(yàn)(1)只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).(2)n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征：①同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；②各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.十、二項(xiàng)分布(1)二項(xiàng)分布：一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p).十一、超幾何分布(1)一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.(2)設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p＝eq\f(M,N)，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而eq\f(X,n)是抽取的n件產(chǎn)品的次品率，則E(X)＝n·eq\f(M,N)＝np.十二、正態(tài)分布(1)f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R.其中μ∈R，σ>0為參數(shù).顯然，對任意的x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.(2)若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2).特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.(3)正態(tài)曲線的特點(diǎn)：①正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；②曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；③當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸.(4)若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.(5)服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為X只取區(qū)間[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.熱考題型熱考題型【考點(diǎn)1】條件概率一、單選題1．（2023·全國·高考真題）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.42．（2023·廣東江門·一模）衣柜里有灰色，白色，黑色，藍(lán)色四雙不同顏色的襪子，從中隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為（

）A． B． C． D．3．（2223高三·江西撫州·階段練習(xí)）一袋中有大小相同的個(gè)白球和個(gè)紅球，現(xiàn)從中任意取出個(gè)球，記事件“個(gè)球中至少有一個(gè)白球”，事件“個(gè)球中至少有一個(gè)紅球”，事件“個(gè)球中有紅球也有白球”，下列結(jié)論不正確的是（

）A．事件與事件不為互斥事件 B．事件與事件不是相互獨(dú)立事件C． D．二、多選題4．（2223高三上·江蘇南通·期末）一口袋中有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中無放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，記事件A1：第一次取出的是紅球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個(gè)紅球，則（

）A．事件，為互斥事件 B．事件B，C為獨(dú)立事件C． D．5．（2023·廣東肇慶·二模）隨著春節(jié)的臨近，小王和小張等4位同學(xué)準(zhǔn)備互相送祝福.他們每人寫了一個(gè)祝福的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從中隨機(jī)抽取一張作為收到的新春祝福，則（

）A．小王和小張恰好互換了賀卡的概率為B．已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為C．恰有一個(gè)人抽到自己寫的賀卡的概率為D．每個(gè)人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為三、填空題6．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)事件A，B，，，，則.四、解答題7．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）某游戲中的角色“突擊者”的攻擊有一段冷卻時(shí)間（即發(fā)動一次攻擊后需經(jīng)過一段時(shí)間才能再次發(fā)動攻擊）.其擁有兩個(gè)技能，技能一是每次發(fā)動攻擊后有的概率使自己的下一次攻擊立即冷卻完畢并直接發(fā)動，該技能可以連續(xù)觸發(fā)，從而可能連續(xù)多次跳過冷卻時(shí)間持續(xù)發(fā)動攻擊；技能二是每次發(fā)動攻擊時(shí)有的概率使得本次攻擊以及接下來的攻擊的傷害全部變?yōu)樵瓉淼?倍，但是多次觸發(fā)時(shí)效果不可疊加（相當(dāng)于多次觸發(fā)技能二時(shí)僅得到第一次觸發(fā)帶來的2倍傷害加成）.每次攻擊發(fā)動時(shí)先判定技能二是否觸發(fā)，再判定技能一是否觸發(fā).發(fā)動一次攻擊并連續(xù)多次觸發(fā)技能一而帶來的連續(xù)攻擊稱為一輪攻擊，造成的總傷害稱為一輪攻擊的傷害.假設(shè)“突擊者”單次攻擊的傷害為1，技能一和技能二的各次觸發(fā)均彼此獨(dú)立：(1)當(dāng)“突擊者”發(fā)動一輪攻擊時(shí)，記事件A為“技能一和技能二的觸發(fā)次數(shù)之和為2”，事件B為“技能一和技能二各觸發(fā)1次”，求條件概率(2)設(shè)n是正整數(shù)，“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為的概率記為，求.【考點(diǎn)2】全概率公式一、單選題1．（2023·福建莆田·二模）某醫(yī)用口罩生產(chǎn)廠家生產(chǎn)醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩三種產(chǎn)品，三種產(chǎn)品的生產(chǎn)比例如圖所示，且三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為90%，50%，40%．若從該廠生產(chǎn)的口罩中任選一個(gè)，則選到綁帶式口罩的概率為（

）A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.772．（2023·全國·模擬預(yù)測）某人連續(xù)兩次對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，若第一次擊中目標(biāo)，則第二次也擊中目標(biāo)的概率為，若第一次未擊中目標(biāo)，則第二次擊中目標(biāo)的概率為，已知第一次擊中目標(biāo)的概率為，則在第二次擊中目標(biāo)的條件下，第一次也擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024·江蘇宿遷·一模）人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項(xiàng)深度偽造技術(shù)，某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001．某團(tuán)隊(duì)決定用AI對抗AI，研究了深度鑒偽技術(shù)來甄別視頻的真假．該鑒偽技術(shù)的準(zhǔn)確率是0.98，即在該視頻是偽造的情況下，它有的可能鑒定為“AI”；它的誤報(bào)率是0.04，即在該視頻是真實(shí)的情況下，它有的可能鑒定為“AI”．已知某個(gè)視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2023·廣東廣州·二模）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為8%，第2臺加工的次品率為3%，第3臺加工的次品率為2%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個(gè)零件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該零件是第1臺車床加工出來的次品的概率為0.08B．該零件是次品的概率為0.03C．如果該零件是第3臺車床加工出來的，那么它不是次品的概率為0.98D．如果該零件是次品，那么它不是第3臺車床加工出來的概率為5．（2024·廣東廣州·一模）甲箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球，乙箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球（兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再從乙箱中隨機(jī)取出兩球，用事件表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則（

）A． B．C． D．三、填空題6．（2223高三下·浙江·開學(xué)考試）隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是．四、解答題7．（2023·浙江杭州·二模）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即．現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．假如一名賭徒進(jìn)入賭場參與一個(gè)賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?，且賭輸就要輸?shù)?元．賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為，賭博過程如下圖的數(shù)軸所示．當(dāng)賭徒手中有n元（，）時(shí)，最終輸光的概率為，請回答下列問題：(1)請直接寫出與的數(shù)值．(2)證明是一個(gè)等差數(shù)列，并寫出公差d．(3)當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算，時(shí)，的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)時(shí)，的統(tǒng)計(jì)含義．【考點(diǎn)3】離散型隨機(jī)變量一、單選題1．（2223高三上·山東濟(jì)南·期末）已知等差數(shù)列的公差為，隨機(jī)變量滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2223高二下·貴州遵義·期中）一袋中裝有4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)不放回，取出后記下顏色，若為紅色停止，若為白色則繼續(xù)抽取，停止時(shí)從袋中抽取的白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則（

）A． B． C． D．3．（2324高二上·山東德州·階段練習(xí)）如圖，我國古代珠算算具算盤每個(gè)檔掛珠的桿上有顆算珠，用梁隔開，梁上面顆叫上珠，下面顆叫下珠，若從某一檔的顆算珠中任取顆，記上珠的個(gè)數(shù)為，則（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2223高二下·山東濰坊·期中）圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的歷史.在某次圍棋比賽中，甲，乙兩人進(jìn)入決賽.決賽采用五局三勝制，即先勝三局的一方獲得比賽冠軍，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲勝乙的概率都為，且每局比賽的勝負(fù)互不影響，記決賽中的比賽局?jǐn)?shù)為X，則（

）A．乙連勝三場的概率是B．C．D．的最大值是5．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）一個(gè)盒子里放著大小、形狀完全相同的1個(gè)黑球、2個(gè)白球、2個(gè)紅球，現(xiàn)不放回地隨機(jī)從盒子中摸球，每次取一個(gè)，直到取到黑球?yàn)橹?，記摸到白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題6．（2223高二·全國·課后作業(yè)）離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律為，，其中是常數(shù)，則．四、解答題7．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）泉州是歷史文化名城、東亞文化之都，是聯(lián)合國認(rèn)定的“海上絲綢之路”起點(diǎn).著名的“泉州十八景”是游客的爭相打卡點(diǎn)，泉州文旅局調(diào)查打卡十八景游客，發(fā)現(xiàn)90%的人至少打卡兩個(gè)景點(diǎn).為提升城市形象，泉州文旅局為大家準(zhǔn)備了4種禮物，分別是世遺泉州金屬書簽、閩南古厝徽章、開元寺祈福香包、小關(guān)公陶瓷擺件.若打卡十八景游客至少打卡兩個(gè)景點(diǎn)，則有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會；若只打卡一個(gè)景點(diǎn)，則有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會.每次抽獎(jiǎng)可隨機(jī)獲得4種禮物中的1種禮物.假設(shè)打卡十八景游客打卡景點(diǎn)情況相互獨(dú)立.(1)從全體打卡十八景游客中隨機(jī)抽取3人，求3人抽獎(jiǎng)總次數(shù)不低于4次的概率；(2)任選一位打卡十八景游客，求此游客抽中開元寺祈福香包的概率.【考點(diǎn)4】離散型隨機(jī)變量的分布列一、單選題1．（2122高二下·廣東深圳·期中）設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為：X1234Pm則（）A． B． C． D．2．（2324高二上·遼寧·期末）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為：589則（

）A． B． C． D．3．（2223高二下·山東臨沂·期中）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X0123Pa若離散型隨機(jī)變量，則（

）．A． B． C． D．二、多選題4．（2223高二下·河南周口·期中）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為12460.20.1則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．若，則C．若，則 D．5．（2122高二下·廣東梅州·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξ的分布如下：則實(shí)數(shù)a的值為（

）ξ123PA．－ B． C． D．三、填空題6．（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量X的概率分布為，則實(shí)數(shù)．四、解答題7．（2223高二上·北京·期中）有兩種投資方案，一年后投資的盈虧情況如下兩表：投資股市的盈虧情況表投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損20%概率購買基金的盈虧情況表投資結(jié)果獲利20%不賠不賺虧損10%概率pq(1)當(dāng)時(shí)，求q的值；(2)已知甲、乙兩人都選擇了“投資股市”進(jìn)行投資，求一年后他們中恰有一人虧損的概率；(3)已知丙、丁兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進(jìn)行投資，設(shè)一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求p的取值范圍．【考點(diǎn)5】離散型隨機(jī)變量的均值一、單選題1．（2021·浙江杭州·二模）體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一次發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望，則P的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2223高三下·浙江溫州·開學(xué)考試）某醫(yī)院對10名入院人員進(jìn)行新冠病毒感染篩查，若采用單管檢驗(yàn)需檢驗(yàn)10次；若采用10合一混管檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果為陰性則只要檢驗(yàn)1次，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，就要再全部進(jìn)行單管檢驗(yàn)．記10合一混管檢驗(yàn)次數(shù)為，當(dāng)時(shí)，10名人員均為陰性的概率為（

）A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.23．（2023·江西·二模）李華在研究化學(xué)反應(yīng)時(shí)，把反應(yīng)抽象為小球之間的碰撞，而碰撞又分為有效碰撞和無效碰撞，李華有3個(gè)小球和3個(gè)小球，當(dāng)發(fā)生有效碰撞時(shí)，，上的計(jì)數(shù)器分別增加2計(jì)數(shù)和1計(jì)數(shù)，，球兩兩發(fā)生有效碰撞的概率均為，現(xiàn)在李華取三個(gè)球讓他們之間兩兩碰撞，結(jié)束后從中隨機(jī)取一個(gè)球，發(fā)現(xiàn)其上計(jì)數(shù)為2，則李華一開始取出的三個(gè)球里，小球個(gè)數(shù)的期望是（

）個(gè)A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2二、多選題4．（2223高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）乒乓球，被稱為中國的“國球”.某次比賽采用五局三勝制，當(dāng)參賽甲?乙兩位中有一位贏得三局比賽時(shí)，就由該選手晉級而比賽結(jié)束.每局比賽皆須分出勝負(fù)，且每局比賽的勝負(fù)不受之前比賽結(jié)果影響.假設(shè)甲在任一局贏球的概率為，實(shí)際比賽局?jǐn)?shù)的期望值記為，則下列說法中正確的是（

）A．三局就結(jié)束比賽的概率為 B．的常數(shù)項(xiàng)為3C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．5．（2122高三上·河北唐山·期末）為排查新型冠狀病毒肺炎患者，需要進(jìn)行核酸檢測．現(xiàn)有兩種檢測方式：（1）逐份檢測：（2）混合檢測：將其中k份核酸分別取樣混合在一起檢測，若檢測結(jié)果為陰性，則這k份核酸全為陰性，因而這k份核酸只要檢測一次就夠了，如果檢測結(jié)果為陽性，為了明確這k份核酸樣本究竟哪幾份為陽性，就需要對這k份核酸再逐份檢測，此時(shí)，這k份核酸的檢測次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢測的核酸樣本中，每份樣本的檢測結(jié)果是陰性還是陽性都是獨(dú)立的，并且每份樣本是陽性的概率都為，若，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識判斷下列哪些p值能使得混合檢測方式優(yōu)于逐份檢測方式．（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1三、填空題6．（2022·浙江·高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則，．四、解答題7．（2023·全國·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【考點(diǎn)6】離散型隨機(jī)變量的方差一、單選題1．（2023·山東煙臺·二模）口袋中裝有編號分別為1，2，3的三個(gè)大小和形狀完全相同的小球，從中任取2個(gè)球，記取出的球的最大編號為，則（

）A． B． C． D．2．（2023·河南洛陽·一模）已知某離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：x012Pabc若，，則（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知甲、乙兩名員工分別從家中趕往工作單位的時(shí)間互不影響，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，甲、乙一個(gè)月內(nèi)從家中到工作單位所用時(shí)間在各個(gè)時(shí)間段內(nèi)的頻率如下：時(shí)間/分鐘10~2020~3030~4040~50甲的頻率0.10.40.20.3乙的頻率00.30.60.1某日工作單位接到一項(xiàng)任務(wù)，需要甲在30分鐘內(nèi)到達(dá)，乙在40分鐘內(nèi)到達(dá)，用表示甲、乙兩人在要求時(shí)間內(nèi)從家中到達(dá)單位的人數(shù)，用頻率估計(jì)概率，則的數(shù)學(xué)期望和方差分別是（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2021高二·全國·單元測試）一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，給出下列4個(gè)結(jié)論，其中正確的有（

）A．從中任取3球，恰有一個(gè)白球的概率是B．從中有放回的取球6次，每次任取一球，則取到紅球次數(shù)的方差為C．現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為5．（2024·浙江·模擬預(yù)測）高考數(shù)學(xué)試題的第二部分為多選題，共三個(gè)題每個(gè)題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有2個(gè)或3個(gè)是正確選項(xiàng)，全部選對者得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．小明對其中的一道題完全不會，該題有兩個(gè)選項(xiàng)正確的概率是，記為小明隨機(jī)選擇1個(gè)選項(xiàng)的得分，記為小明隨機(jī)選擇2個(gè)選項(xiàng)的得分．則A． B．C． D．三、填空題6．（2223高三·全國·對口高考）隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若，則.X－101Pab四、解答題7．（2023·北京石景山·一模）某高?！爸参餇I養(yǎng)學(xué)專業(yè)”學(xué)生將雞冠花的株高增量作為研究對象，觀察長效肥和緩釋肥對農(nóng)作物影響情況.其中長效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對應(yīng)1,2,3三組.觀察一段時(shí)間后，分別從1,2,3三組隨機(jī)抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應(yīng)的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表.株高增量（單位：厘米）第1組雞冠花株數(shù)92092第2組雞冠花株數(shù)416164第3組雞冠花株數(shù)1312132假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有雞冠花生長情況相互獨(dú)立.(1)從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，估計(jì)株高增量為厘米的概率；(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，記這3株雞冠花中恰有株的株高增量為厘米，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用“”表示第組雞冠花的株高增量為，“”表示第組雞冠花的株高增量為厘米，，直接寫出方差，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【考點(diǎn)7】二項(xiàng)分布一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為．若該質(zhì)點(diǎn)每次移動一個(gè)單位長度，設(shè)經(jīng)過5次移動后，該質(zhì)點(diǎn)位于的位置，則（

）A． B． C． D．2．（2223高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）“錦里開芳宴，蘭缸艷早年.”元宵節(jié)是中國非常重要的傳統(tǒng)節(jié)日，某班級準(zhǔn)備進(jìn)行“元宵福氣到”抽獎(jiǎng)活動福袋中裝有標(biāo)號分別為1，2，3，4，5的五個(gè)相同小球，從袋中一次性摸出三個(gè)小球，若號碼之和是3的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng).若有5名同學(xué)參與此次活動，則恰好3人獲獎(jiǎng)的概率是（

）A． B． C． D．3．（2324高三上·湖北荊州·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，則概率最大時(shí)，的取值為（

）A． B． C．或 D．或二、多選題4．（2023·全國·高考真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個(gè)信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率5．（2023·湖南·一模）下列說法正確的是（

）A．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，設(shè)，則的方差B．?dāng)?shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為9C．若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則的平均數(shù)為8D．用簡單隨機(jī)抽樣的方法從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是三、填空題6．（2021·湖北武漢·一模）在一次以“二項(xiàng)分布的性質(zhì)”為主題的數(shù)學(xué)探究活動中，立德中學(xué)高三某小組的學(xué)生表現(xiàn)優(yōu)異，發(fā)現(xiàn)的正確結(jié)論得到老師和同學(xué)的一致好評.設(shè)隨機(jī)變量，記，.在研究的最大值時(shí)，小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若為正整數(shù)，則時(shí)，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；若為非整數(shù)，當(dāng)取的整數(shù)部分，則是唯一的最大值.以此為理論基礎(chǔ)，有同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù).當(dāng)投擲到第20次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)5次，若繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，則當(dāng)投擲到第100次時(shí)，點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大.四、解答題7．（2018·全國·高考真題）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)；（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費(fèi)用．（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【考點(diǎn)8】超幾何分布一、單選題1．（2223高二下·山東青島·期中）從裝有個(gè)白球，個(gè)紅球的密閉容器中逐個(gè)不放回地摸取小球.若每取出個(gè)紅球得分，每取出個(gè)白球得分.按照規(guī)則從容器中任意抽取個(gè)球，所得分?jǐn)?shù)的期望為（

）A． B． C． D．2．（2122高二下·河南三門峽·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是（

）A． B． C． D．3．（2122高二下·廣東廣州·期末）在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布C．隨機(jī)變量服從超幾何分布 D．二、多選題4．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）袋中有10個(gè)大小相同的球，其中6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，記隨機(jī)變量X為其中白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量Y為其中黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量Z為取出4個(gè)球的總得分，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．5．（2223高二上·江西上饒·期末）2022年冬奧會在北京舉辦，為了弘揚(yáng)奧林匹克精神，上饒市多所中小學(xué)開展了冬奧會項(xiàng)目科普活動.為了調(diào)查學(xué)生對冬奧會項(xiàng)目的了解情況，在本市中小學(xué)中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校中的部分同學(xué)，10所學(xué)校中了解冬奧會項(xiàng)目的人數(shù)如圖所示：若從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所學(xué)校進(jìn)行冬奧會項(xiàng)目的宣講活動，記為被選中的學(xué)校中了解冬奧會項(xiàng)目的人數(shù)在30以上的學(xué)校所數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．的可能取值為0，1，2，3 B．C． D．三、填空題6．（2122高二下·上海徐匯·期中）某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè)．從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，已知恰全為黑球的概率為，若記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，則．四、解答題7．（2324高三下·浙江杭州·開學(xué)考試）“英才計(jì)劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營活動.(1)若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有3人來自中學(xué)，從這7名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來自中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學(xué)科知識競答活動，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利.已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，.假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，且互不影響.當(dāng)時(shí)，求甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值.【考點(diǎn)9】正態(tài)分布一、單選題1．（2021·全國·高考真題）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等2．（2223高三下·山東·開學(xué)考試）設(shè)隨機(jī)變量，且，則（

）A． B． C． D．3．（2023·福建·模擬預(yù)測）已知，則，，.今有一批數(shù)量龐大的零件.假設(shè)這批零件的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)引單位：毫米）服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取N個(gè)，這N個(gè)零件中恰有K個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)ξ位于區(qū)間.若，試以使得最大的N值作為N的估計(jì)值，則N為（

）A．45 B．53 C．54 D．90二、多選題4．（2023·浙江溫州·三模）近年來，網(wǎng)絡(luò)消費(fèi)新業(yè)態(tài)?新應(yīng)用不斷涌現(xiàn)，消費(fèi)場景也隨之加速拓展，某報(bào)社開展了網(wǎng)絡(luò)交易消費(fèi)者滿意度調(diào)查，某縣人口約為萬人，從該縣隨機(jī)選取人進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)滿意度得分分成以下組：、、、，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示.由頻率分布直方圖可認(rèn)為滿意度得分（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，且，，，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得.則（

）A．由直方圖可估計(jì)樣本的平均數(shù)約為B．由直方圖可估計(jì)樣本的中位數(shù)約為C．由正態(tài)分布可估計(jì)全縣的人數(shù)約為萬人D．由正態(tài)分布可估計(jì)全縣的人數(shù)約為萬人5．（2023·福建廈門·二模）李明每天7：00從家里出發(fā)去學(xué)校，有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時(shí)30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時(shí)34分鐘，樣本方差為4．假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，則（

）A．P(X＞32)＞P(Y＞32)B．P(X≤36)＝P(Y≤36)C．李明計(jì)劃7：34前到校，應(yīng)選擇坐公交車D．李明計(jì)劃7：40前到校，應(yīng)選擇騎自行車三、填空題6．（2022·全國·高考真題）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則．四、解答題7．（2023·山西·模擬預(yù)測）2023年，全國政協(xié)十四屆一次會議于3月4日下午3時(shí)在人民大會堂開幕，3月11日下午閉幕，會期7天半；十四屆全國人大一次會議于3月5日上午開幕，13日上午閉幕，會期8天半.為調(diào)查學(xué)生對兩會相關(guān)知識的了解情況，某高中學(xué)校開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)從全校參與該活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取320名學(xué)生，他們的得分（滿分100分）的頻率分布折線圖如下.(1)若此次知識問答的得分，用樣本來估計(jì)總體，設(shè)，分別為被抽取的320名學(xué)生得分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，求的值；(2)學(xué)校對這些被抽取的320名學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：用頻率估計(jì)概率，得分小于或等于55的學(xué)生獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會，得分高于55的學(xué)生獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會.假定每次抽獎(jiǎng)抽到價(jià)值10元的學(xué)習(xí)用品的概率為，抽到價(jià)值20元的學(xué)習(xí)用品的概率為.從這320名學(xué)生中任取一位，記該同學(xué)在抽獎(jiǎng)活動中獲得學(xué)習(xí)用品的價(jià)值總額為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（用分?jǐn)?shù)表示），并估算此次抽獎(jiǎng)要準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)用品的價(jià)值總額.參考數(shù)據(jù)：，，，，.單元檢測單元檢測【基礎(chǔ)卷】一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．（2324高二下·河北滄州·階段練習(xí)）若，，則（

）A． B． C． D．2．（2324高二下·遼寧大連·階段練習(xí)）對甲，乙兩地小學(xué)生假期一天中讀書情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，已知小學(xué)生的讀書時(shí)間均符合正態(tài)分布，其中甲地小學(xué)生讀書的時(shí)間為（單位：小時(shí)），，對應(yīng)的曲線為，乙地小學(xué)生讀書的時(shí)間為（單位：小時(shí)），，對應(yīng)的曲線為，則下列圖象正確的是（

）A． B．C． D．3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知小明射箭命中靶心的概率為，且每次射擊互不影響，則小明在射擊4次后，恰好命中兩次的概率是（）A． B． C． D．4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在含有4件次品的100件產(chǎn)品中，任取2件，則至多取到1件次品的概率為（）A． B． C． D．5．（2023·廣東·模擬預(yù)測）一堆蘋果中大果與小果的比例為，現(xiàn)用一臺水果分選機(jī)進(jìn)行篩選．已知這臺分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為．經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺分選機(jī)篩選出來的“大果”里面隨機(jī)抽取一個(gè)，則這個(gè)“大果”是真的大果的概率為（

）A． B． C． D．6．（2122高二下·北京·期末）下面給出的四個(gè)隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的為（

）①高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；②一個(gè)沿直線進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離；③某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)；④某電子元件的壽命；A．①② B．③④ C．①③ D．②④7．（2024·廣東·一模）已知隨機(jī)變量的分布列如下：12則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測）現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項(xiàng)比賽，每項(xiàng)比賽至少一位同學(xué)參加，事件“甲參加跳高比賽”，事件“乙參加跳高比賽”，事件“乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，則（

）A．事件A與B相互獨(dú)立 B．事件A與C為互斥事件C． D．二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9．（2324高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則下列選項(xiàng)正確的是（參考數(shù)值：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（

），，）A． B．C． D．10．（2023·湖北武漢·一模）已知離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，其中，記為奇數(shù)的概率為，為偶數(shù)的概率為，則下列說法中正確的有（

）A． B．時(shí)，C．時(shí)，隨著的增大而增大 D．時(shí)，隨著的增大而減小11．（2023·山東威?！ひ荒＃┮阎录嗀，B滿足，，則（

）A．若，則 B．若A與B互斥，則C．若A與B相互獨(dú)立，則 D．若，則A與B相互獨(dú)立三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)12．（2324高三上·湖北·期末）已知紅箱內(nèi)有5個(gè)紅球、3個(gè)白球，白箱內(nèi)有3個(gè)紅球、5個(gè)白球.第一次從紅箱內(nèi)取出一球，觀察顏色后放回原處；第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)再取出一球，則第二次取到紅球的概率為.13．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律為，其中是常數(shù)，則.14．（2023·浙江·二模）袋中有形狀大小相同的球5個(gè)，其中紅色3個(gè)，黃色2個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)連續(xù)摸球，每次摸1個(gè)，當(dāng)有兩種顏色的球被摸到時(shí)停止摸球，記隨機(jī)變量為此時(shí)已摸球的次數(shù)，則.四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15.(13分)（2021·福建三明·模擬預(yù)測）為促進(jìn)物資流通，改善出行條件，駐某縣扶貧工作組引入資金新建了一條從該縣到市區(qū)的快速道路.該縣脫貧后，工作組為了解該快速道路的交通通行狀況，調(diào)查了行經(jīng)該道路的各種類別的機(jī)動車共1000輛，對行車速度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）試根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本中的這1000輛機(jī)動車的平均車速(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)；（2）設(shè)該公路上機(jī)動車的行車速度服從正態(tài)分布，其中，分別取自該調(diào)查樣本中機(jī)動車的平均車速和車速的方差(經(jīng)計(jì)算).（i）請估計(jì)該公路上10000輛機(jī)動車中車速不低于85千米/時(shí)的車輛數(shù)(精確到個(gè)位)：（ii）現(xiàn)從經(jīng)過該公路的機(jī)動車中隨機(jī)抽取10輛，設(shè)車速低于85千米/時(shí)的車輛數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.附注：若，則，，.參考數(shù)據(jù)：.16.(15分)（2023·廣東·模擬預(yù)測）某商場為了回饋廣大顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動，在抽獎(jiǎng)箱中放10個(gè)大小相同的小球，其中5個(gè)為紅色，5個(gè)為白色.抽獎(jiǎng)方式為：每名顧客進(jìn)行兩次抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)從抽獎(jiǎng)箱中一次性摸出兩個(gè)小球.如果每次抽獎(jiǎng)摸出的兩個(gè)小球顏色相同即為中獎(jiǎng)，兩個(gè)小球顏色不同即為不中獎(jiǎng).(1)若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后不將球放回抽獎(jiǎng)箱，直接進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.(3)如果你是商場老板，如何在上述問兩種抽獎(jiǎng)方式中進(jìn)行選擇？請寫出你的選擇及簡要理由.17.(15分)（2021·全國·高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.18.(17分)（2023·湖南長沙·一模）為了調(diào)動大家積極學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某市舉辦了黨史知識的競賽．初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個(gè)單位派出兩個(gè)小組，且每個(gè)小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格．某單位派出甲、乙兩個(gè)小組參賽，在初賽中，若甲小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且各個(gè)小組所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.(1)若該單位獲得決賽資格的小組個(gè)數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)已知甲、乙兩個(gè)小組都獲得了決賽資格，決賽以搶答題形式進(jìn)行．假設(shè)這兩組在決賽中對每個(gè)問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率．若最后一道題被該單位的某小組搶到，且甲、乙兩個(gè)小組搶到該題的可能性分別是45%，55%，該題如果被答對，計(jì)算恰好是甲小組答對的概率．19.(17分)（2022·全國·高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.【能力卷】一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．（2023·山東·一模）新能源汽車具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點(diǎn)，近年來備受青睞．某新能源汽車制造企業(yè)為調(diào)查其旗下A型號新能源汽車的耗電量（單位：kW·h/100km）情況，隨機(jī)調(diào)查得到了1200個(gè)樣本，據(jù)統(tǒng)計(jì)該型號新能源汽車的耗電量，若，則樣本中耗電量不小于的汽車大約有（

）A．180輛 B．360輛 C．600輛 D．840輛2．（2223高二下·江西撫州·期中）有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若表示取得次品的件數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．（2324高三上·江西·階段練習(xí)）在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中用協(xié)方差來衡量兩個(gè)變量的總體誤差，對于離散型隨機(jī)變量，，定義協(xié)方差為，已知，的分布列如下表所示，其中，則的值為（

）1212A．0 B．1 C．2 D．44．（2223高三上·天津河北·期末）將三顆骰子各擲一次，記事件“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不同”，“至少出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)”，則條件概率，分別等于（

）A．， B．， C．， D．，5．（2122高二下·吉林·階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下：則（

）X－1012PA． B． C． D．6．（2022·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）長時(shí)間玩可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩超過1，這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩不超過1的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（

）A． B． C． D．7．（2023·山東泰安·模擬預(yù)測）某人在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為，，其中，擊中奇數(shù)次為事件，則（

）A．若，則取最大值時(shí)B．當(dāng)時(shí)，取得最小值C．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大D．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小8．（2122高二下·黑龍江雙鴨山·階段練習(xí)）2021年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學(xué)計(jì)劃去老年公寓參加志愿者活動．小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道F處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條②小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條③小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會合一起到老年公寓的概率為④小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門口匯合，事件A：小明經(jīng)過F事件B；從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9．（2223高三上·江蘇無錫·期末）甲箱中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以，和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件B與事件相互獨(dú)立 B．C． D．10．（2324高三上·山東青島·期末）有一組樣本數(shù)據(jù)，添加一個(gè)數(shù)形成一組新的數(shù)據(jù)，且，則新的樣本數(shù)據(jù)（

）A．眾數(shù)是1的概率是B．極差不變的概率是C．第25百分位數(shù)不變的概率是D．平均值變大的概率是11．（2223高二下·河南許昌·期末）中華人民