湖南省長沙市三仙坳中學 高三數(shù)學理上學期摸底試題含解析

湖南省長沙市三仙坳中學高三數(shù)學理上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知是圓的直徑，點為直線上任意一點，則的最小值是（

）A．1

B．0

C．

D．參考答案：A2.函數(shù)在點處的切線斜率是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C知識點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程解析：由得，∴．故選：C．【思路點撥】求出原函數(shù)的導函數(shù)，然后直接取得在點處的導數(shù)值，即切線的斜率．

3.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A.45 B.54 C.57 D.63參考答案：B【分析】由三視圖得，該幾何體是棱長為3的正方體截去一個棱長為1的正方體得到的組合體.【詳解】由三視圖得，該幾何體是棱長為3的正方體截去一個棱長為1的正方體，如圖所示，所以該幾何體的表面積與棱長為3的正方體的表面積相等，即所求表面積為．故選：B．【點睛】本題考查了正方體的三視圖，結(jié)構(gòu)特征與表面積的計算問題，屬于基礎(chǔ)題．4.若關(guān)于x的不等式的解集為，且函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略5.如圖所示，已知正方形的邊長為，點從點出發(fā)，按字母順序沿線段，，運動到點，在此過程中的最大值是()A．

B．

C．

D．參考答案：A【知識點】數(shù)量積的定義【試題解析】因為圖中與夾角為鈍角，所以當在的射影的絕對值最小時，有最大值，所以，當與垂直時，的最大值是0.

故答案為：A6.已知函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，且當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)是A.9

B.10

C.11

D.12參考答案：B7.在平面直角坐標平面上，，且與在直線上的射影長度相等，直線的傾斜角為銳角，則的斜率為

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(

)A．1440 B．1200 C．960 D．720參考答案：B【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題．【分析】由三視圖可知：該幾何體是一個棱長分別為20，8，9，砍去一個角的一個三棱錐（長方體的一個角）．據(jù)此即可得出體積．【解答】解：由三視圖可知：該幾何體是一個棱長分別為20，8，8，砍去一個三棱錐（長方體的一個角）的幾何體．如圖：∴該幾何體的體積V=20×9×8﹣=1200．故選：B．【點評】本題考查空間幾何體的三視圖的應用，由三視圖正確恢復原幾何體是解題的關(guān)鍵．9.已知向量與關(guān)于x軸對稱，，則滿足不等式的點Z(x,y)的集合用陰影表示為（

）參考答案：C略10.已知集合，則集合N的真子集個數(shù)為（

）A．3；B．4C．7D．8參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設函數(shù)，則的取值范圍是

。參考答案：12.已知等差數(shù)列{an}，若a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，則S20=

．參考答案：180【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由條件a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78可得到a1+a20=18，再由等差數(shù)列的前20項和的式子可得到答案．【解答】解：∵a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3（a1+a20）∴a1+a20=18∴S20=（a1+a20）=180故答案為：180【點評】本題主要考查等差數(shù)列的前n項和公式的應用．考查等差數(shù)列的性質(zhì)．比較基礎(chǔ)．13.已知某圓錐體的底面半徑，沿圓錐體的母線把側(cè)面展開后得到一個圓心角為的扇形，則該圓錐體的表面積是．參考答案：14.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時,，則不等式的解集是

；參考答案：略15.已知橢圓的焦點重合，則該橢圓的離心率是

．參考答案：略16.已知點在曲線上移動，若經(jīng)過點的曲線的切線的傾斜角為，則的取值范圍是

.參考答案：17.在四面體ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，則四面體ABCD的外接球的表面積為__________．參考答案：

6π三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)某班名學生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛诿肱c秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）若成績大于或等于秒且小于秒認為良好，求該班在這次百米測試中成績良好的人數(shù)；（2）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于的概率.

參考答案：解：（1）由頻率分布直方圖知，成績在內(nèi)的人數(shù)為：（人）…3分所以該班成績良好的人數(shù)為人.

………

5分（2）由頻率分布直方圖知，成績在的人數(shù)為人，設為、；…6分成績在的人數(shù)為人，設為、、、

……

7分若時，有種情況；

………

8分若時，有種情況；

……………

9分若分別在和內(nèi)時，

ABCDxxAxBxCxDyyAyByCyD共有種情況.

………

10分所以基本事件總數(shù)為種，事件“”所包含的基本事件個數(shù)有種.∴（）.

………

12分略19.已知為等差數(shù)列，且，。（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若等比數(shù)列滿足，，求的前n項和公式參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）設等比數(shù)列的公比為，因為所以

即=3所以的前項和公式為略20.（12分）某高校在2012年的自主招生考試中隨機抽取了100名學生的筆試成績，按成績分組：第一組[160,165），第二組[165,170），第三組[170,175），第四組[175,180），第五組[180,185）得到的頻率分布直方圖如圖所示。（1）求第三、四、五組的頻率；（2）為了以選拔出最優(yōu)秀的學生，學校決定在筆試成績高的第三、四、五組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，求第三、四、五組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試。（3）在（2）的前提下，學校決定在這6名學生中隨機抽取2名學生接受甲考官的面試，求第四組至少有一名學生被甲考官面試的概率。參考答案：（1）由題設可知，第三組的頻率為0.06×5=0.3第四組的頻率為0.04×5=0.2

第五組的頻率為0.02×5=0.1（3分）（2）第三組的人數(shù)為0.3×100=30第四組的人數(shù)為0.2×100=20第五組的人數(shù)為0.1×100=10因為第三、四、五組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組抽到的人數(shù)分別為：第三組第四組第五組，所以第三、四、五組分別抽取3人，2人，1人。（6分）（3）設第三組的3位同學為，第四組的2為同學為,第五組的1為同學為C1，則從6為同學中抽2位同學有：共15種可能…………（9分）其中第四組的2為同學中至少1為同學入選有，共9種可能。所以第四組至少有1位同學被甲考官面試的概率為。（12分）21.已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊(1)求角C的大小和BD的長；(2)求四邊形ABCD的面積及外接圓的半徑.參考答案：解：(I)連結(jié)BD，由題設及余弦定理得①②由①②得故(2)四邊形ABCD的面積，四邊形ABCD的外接圓半徑略22.（本題滿分12分）已知函數(shù)，且周期為.（I）求的值；（II）當[]時，求的最大值及取得最大值時的值.參考答案：【知識點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的圖象．C3C7（I）;（II），取得最大值為解析：（I）∵.....（2分）

=..................................................................（4分）∵且，

故......................................................................（6分）（II）

由(1)知∵

∴................................................................................（7分）∴.∴...........