高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）8

高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

姓名:年級(jí):學(xué)號(hào):

題型選擇題填空題解答題判斷題計(jì)算題附加題總分

得分

評(píng)卷人得分

一、選擇題（共9題，共45分）

1、圓（x-3）2+（y-3）2=9上到直線3x+4y-11=0的距離等于1的點(diǎn)有（）

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

【考點(diǎn)】

【答案】C

【解析】解：由圓的方程，得到圓心A坐標(biāo)為（3,3）,半徑AE=3,

|3x3+4x3-ll|

則圓心（3,3）到直線3x+4y-11=0的距離為（^=5=2,即AD=2,

■■.ED=1,即圓周上E到已知直線的距離為1,同時(shí)存在P和Q也滿足題意，

.??圓上的點(diǎn)到直線3x+4y-11=0的距離為1的點(diǎn)有3個(gè).

故選C.

［考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的點(diǎn)到直線的距離公式,需要了解點(diǎn)尸）到直線/：4+的+C=°的

,=出+旗

距離為：+3】才能得出正確答案.

2、過(guò)拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)的直線I與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓的方程為(x-3)2+

(y-2)2=16,則p=()

A.1

B.2

C.3

D.4

【考點(diǎn)】

【答案】B

【解析】解：I根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷：x=6時(shí)，3h2最大值為36,

h大二24,

...在正方體中PO_L面BCD,

」x」x6x6x26

???三棱錐P-BCD的體積最大值：32=12,

4、如圖，空間四邊形OABC中，點(diǎn)M、N分別OA、BC上，0M=2MA、BN=CN,則MN=()

2——>1—?1—*

B.-j0A+^0B+j0C

c.廝廝界

【考點(diǎn)】

【答案】B

而=去赤+西OM=-OA

【解析】解：：BN=CN,-,-0M=2MA,/.3

???1.1.Q?

,MN=ON-OM=jOB+yOC-yOA

故選：B.

IIIIIII

利用已知0M=2MA、BN=CN,用04。8,℃,分別表示。M,OA；即可.

5、下列命題中正確的是()

A.若pVq為真命題，則p/\q為真命題

B.若直線ax+y-1=0與直線x+ay+2=0平行，則a=1

C.若命題lI3xGR,x2+(a-1)x+1<0"是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<-1或a>3

D.命題“若x2-3x+2=0,則x=1或x=2”的逆否命題為“若x豐1或x羊2,則x2-3x+2羊0”

【考點(diǎn)】

【答案】C

【解析】解：若pVq為真命題，則命題P,q中存在真命題，但不一定全為真命題，pAq不一定為真命題,

故A錯(cuò)誤；若直線ax+y-1=0與直線x+ay+2=0平行，則a=1,或a=-1,故B錯(cuò)誤；

若命題，xGR,x2+(a-1)x+KO"是真命題，則4=(a-1)2-4>0,解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是a

<-1或a>3,故C正確；

命題“若x2-3x+2=0,則x=1或x=2”的逆否命題為“若x手1且x大2,則x2-3x+2手0”，故D錯(cuò)誤;

故選：C【考點(diǎn)精析】利用命題的真假判斷與應(yīng)用對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知兩個(gè)命題

互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.

6、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的表面積為()

A.8+2+7^

3n

B.8+2+

D.6++

【考點(diǎn)】

【答案】B

【解析】解：由已知可得該幾何體是一個(gè)半圓錐與四棱錐的組合體，其直觀圖如下圖所示:

棱錐的底面面積為：4,

側(cè)面VAB和VCD是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，面積均為2,

面VBC是腰為2'回，底為2的等腰三角形，面積為招,

1

—7V

半圓錐的底面半徑為1,底面面積為：2,

側(cè)曲面面積為：2=n,

3n

故組合體的表面積S=8+T+,

故選：B【考點(diǎn)精析】本題主要考查了由三視圖求面積、體積的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求體積的關(guān)鍵

是求出底面積和高；求全面積的關(guān)鍵是求出各個(gè)側(cè)面的面積才能正確解答此題.

7、命題“VxGR,2x>0”的否定是（）

A.?xOGR,2^o>0

B.?x0eR,2W0

C.?xGR,2x<0

D.?xSR,2xW0

【考點(diǎn)】

【答案】B

【解析】解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以命題“VxGR,2x>0"的否定是mxOGR,2XoW0.故

選：B

8、已知直線I-L平面a,直線mu平面B,下面有三個(gè)命題：①a〃B今I

②aB=>l〃m；

③I//m=>a_L3；

則真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0

B.1

C.2

D.3

【考點(diǎn)】

【答案】C

【解析】解：①若a〃B,因?yàn)镮，平面a,所以I_L平面0,因?yàn)橹本€mu平面0,所以I_Lm,即①正

確.②當(dāng)a，B,直線I與平面a關(guān)系不確定，所以I〃m不一定成立，所以②錯(cuò)誤.

③當(dāng)I〃m時(shí)，因?yàn)镮J■平面a,所以mJ■平面a，又mu平面B，則根據(jù)面面垂直的判定定理可知a±P

成立，所以③正確.

故正確的命題為①③.

故選C.

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用命題的真假判斷與應(yīng)用和平面與平面之間的位置關(guān)系的相關(guān)

知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題

或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系；兩個(gè)平面平行沒(méi)有交點(diǎn)；兩個(gè)平面相交有一條公共直線.

x2y2

9、“mVO”是“布-E=1表示的曲線是雙曲線”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】

【答案】A

x2y2

【解析】解：若布-而口=1表示的曲線是雙曲線，則m（m-1）>0,解得：m>1或mVO

故m<0是m>1或m<0的充分不必要條件，

故選:A.

二、填空題（共4題，共20分）

10、已知拋物線y2=2px（p>0）,F為其焦點(diǎn)，I為其準(zhǔn)線，過(guò)F作一條直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，Az,

B'分別為A,B在I上的射線，M為A'B’的中點(diǎn)，給出下列命題：①kFJ_B，F(xiàn)；

②AM_LBM；

③A，F(xiàn)〃BM；

④A，F(xiàn)與AM的交點(diǎn)在y軸上；

⑤AB'與A'B交于原點(diǎn).

其中真命題的是.（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

【考點(diǎn)】

【答案】①②③④⑤

【解析】解：①由于A,B在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義可知A'A=AF,B'B=BF,因?yàn)椴?、B，分別為A、

B在I上的射影，所以A'F，B'F；②取AB中點(diǎn)C,則+BF）=利"，

③由②知，AM平分NA'AF,:.A'F±AM,：AM_LBM,:.A'F〃BM；

④取ABLx軸，則四邊形AFMA'為矩形，則可知A'F與AM的交點(diǎn)在y軸上；

⑤取ABLx軸，則四邊形ABB'A'為矩形，則可知AB'與A'B交于原點(diǎn)

所以答案是①②③④⑤.

11、一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1,2,3,則此球的表面積為

【考點(diǎn)】

【答案】14n

【解析】解：長(zhǎng)方體外接球直徑長(zhǎng)等于長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)，即2R=Vl2+22+32=y/14,

由S=4nR2=14n.

所以答案是：14n

12、已知兩圓x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=10相交于A,B兩點(diǎn)，則直線AB的方程是.

【考點(diǎn)】

【答案】x+3y-5=0

【解析】解：把兩圓x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=10的方程相減可得x+3y-5=0,此直線的方程既

能滿足第一個(gè)圓的方程、又能滿足第二個(gè)圓的方程，故必是兩個(gè)圓的公共弦所在的直線方程，

所以答案是：x+3y-5=0.

x2y2

13、I是經(jīng)過(guò)雙曲線C：前一^=1(a>0,b>0)焦點(diǎn)F且與實(shí)軸垂直的直線，A,B是雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn),

點(diǎn)在I存在一點(diǎn)P,使NAPB=60°,則雙曲線離心率的最大值為.

【考點(diǎn)】

2事

【答案】~

【解析】解：設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)F(c,0),直線I：x=c,可設(shè)點(diǎn)P(c,n),A(-a,0),B(a,0),

2a

由兩直線的夾角公式可得tanNAPB二卜式|二屈+三wRc-a,

；.事w,

2平

化簡(jiǎn)可得3c2W4a2,即cW3a,

即有eW.

當(dāng)且僅當(dāng)n=±舊一點(diǎn),即p(c,±),離心率取得最大值.

所以答案是.

三、解答題(共5題，共25分)

14、已知定圓C：x2+(y-3)2=4,定直線m；x+3y+6=0,過(guò)A(-1,0)的一條動(dòng)直線I與直線相交于N,

與圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，

(1)當(dāng)I與m垂直時(shí)，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明：I過(guò)圓心C；

(2)當(dāng)|PQ|=21P時(shí)，求直線?的方程.

【考點(diǎn)】

【答案】

1

(1)解：因?yàn)镮與m垂直，直線m：x+3y+6=0的斜率為-3)

所以直線I的斜率為3,

所以I的方程為y-0=3(x+1),即3x-y+3=0.

?3

x=-

2

x+3y+6=03

聯(lián)立卜-"3=0,解得1”一2,

3

即有N-),

代入圓心(0,3),有0-3+3=0成立，

所以直線I過(guò)圓心C(0,3)

(2)解：由|PQ|=2.3得，圓心c到直線|的距離d=1,

設(shè)直線I的方程為x-ny+1=0,則由d=曲+〃2=1.

3

解得n=0,或n=4,

所以直線1的方程為x+1=0或4x-3y+4=0

【解析】(1)運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,求得I的斜率，可得直線I的方程，聯(lián)立直線m

的方程，可得交點(diǎn)N,代入圓心，可得直線I過(guò)圓心；(2)由|PQ|二2得，圓心C到直線I的距離d=1,設(shè)

直線I的方程為x-ny+1=0,求得n的值，可得直線I的方程.

x2y2

15、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知R(x0,y0)是橢圓C：西”豆=1上的一點(diǎn)，從原點(diǎn)0向圓

R：(x-xO)2+(y-yO)2=8作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P,Q.

(1)若R點(diǎn)在第一象限，且直線OP,0Q互相垂直，求圓R的方程；

(2)若直線OP,0Q的斜率存在，并記為k1,k2,求k1?k2的值；

(3)試問(wèn)0P2+0Q2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】

【答案】

(1)解：由圓R的方程知圓R的半徑尸=2?,

因?yàn)橹本€OP,0Q互相垂直，且和圓R相切,

所以照=揚(yáng)=4,即片+區(qū)=16①

反+21=1

又點(diǎn)R在橢圓c上，所以2412②

聯(lián)立①②，解得1%=

所以，所求圓R的方程為1-網(wǎng)'+(尸網(wǎng)'=8

(2)解：因?yàn)橹本€OP：y=k1x和OQ：y=k2x都與圓R相切,

所以,也*,

兩邊平方可得k1,k2為(x02-8)k2-2x0y0k+(y02-8)=0的兩根,

%?2=

可得

因?yàn)辄c(diǎn)R(xO,yO)在橢圓C上,

所以，即,"建下*

(3)解：方法一①當(dāng)直線OP,0Q不落在坐標(biāo)軸上時(shí),

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),

由(2)知2k1k2知=0,

裝+1=0故血=*

所以打

因?yàn)镻(x1,y1),Q(x2,y2)在橢圓C上,

金+此=i4+3=i

所以2412,2412

即"2一""3彩

02-累）（12-狂）=*君

所以

整理得=+石=”,

＞；+/12-1^=12

所以

所以。產(chǎn)+。爐=y+E+W+＞；=（M+W）+5+N；）=36

rJIKA

方法（二）①當(dāng)直線OP,0Q不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，

設(shè)P（x1,y1）,Q（x2,y2）,

y=kx

'±+已

聯(lián)立面五,

解得1+2吊1+2Ai,

"“J*呷

所以*

—一24（呷

同理，得51+2片

由（2）2k1k2+1=0,得上隹

。尸+。/=4+4+宕+止=坐要+坐碧

所以i+K'+3

24。+吊）?=更季=36

1+瑞1+2.

②當(dāng)直線OP,0Q落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有0P2+0Q2=36.

綜上：0P2+0Q2=36.

【解析】(1)求得圓的半徑r,由兩直線垂直和相切的性質(zhì)，可得|0R|=4,解方程可得圓心R的坐標(biāo)，進(jìn)

而得到圓的方程；(2)設(shè)出直線OP：y=k1x和OQ：y=k2x,由直線和圓相切的條件：d=r,化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用

韋達(dá)定理，由R在橢圓上，即可得到k1?k2的值；(3)討論①當(dāng)直線OP,0Q不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P(x1,

yD,Q(x2,y2),運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程，由兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到定值36；②當(dāng)直線

OP,0Q落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有0P2+0Q2=36.

16、如圖，直三棱柱ABC-A，BzC'中，AA'=2AC=2BC,E為AA'的中點(diǎn)，C'E±BE.

(1)求證：C'E_L平面BCE；

(2)若AC=2,求三棱錐B'-ECB的體積.

【考點(diǎn)】

【答案】

(1)證明：在矩形A，ACC'中，E為A'A中點(diǎn)且AA，=2AC,

.,.EA=AC,EA'=AZC',

ZAEC=ZA/EC=45°,

.,.C/E±EC,

-.-C/E±BE,CEABE=E,

：.CEJ■平面BCE；

(2)解：..,B'C'〃BC,B'CzC平面BCE,BCu平面BCE,

：.BrC〃平面BCE,

.,.VB/-ECB=VC/-ECB,

E_L平面BCE,

.-.C/E±BC,

,,■BC±CC/,C'ECCC'=CZ,

；.BC_L平面ACC'A7'.-.BC±CE,

,,■AC=2,

.,.BC=2,EC=EC/=20,

Ixlx2x2^x2>^-

-ECB=VC'-ECB=32=3

【解析】(1)證明LE±EC,利用LE±BE,CEABE=E,即可證明JE,平面BCE；(2)利用等體積轉(zhuǎn)

化求三棱錐B'-ECB的體積.

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握平面外一條直線與此

平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行.

17、已知曲線C上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離與到直線x=-1的距離相等，直線I過(guò)點(diǎn)A(1,1),

且與C交于P,Q兩點(diǎn)；(I)求曲線C的方程；

(II)若A為PQ的中點(diǎn)，求三角形0PQ的面積.

【考點(diǎn)】

【答案】解：(I)...曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離與到直線x=-1的距離相等.二曲線C的

軌跡是以F(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線

，曲線C的方程為y2=4x.

(II)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1+y2=2

因?yàn)閥12=4x1,y22=4x2,

所以作差，可得直線I斜率為2,

所以直線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1.

此時(shí)直線I與拋物線相交于兩點(diǎn).

1

設(shè)T為I與x的交點(diǎn)，則|0T|=1,

由y=2x-1與y2=4x,消去x得y2-2y-2=0,

所以y1+y2=2,y1y2=-2,

所以三角形(^的面積為5=|01||丫1-丫2|=I.

【解析】(I)利用曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離與到直線x=-1的距離相等，可知曲線C的軌

跡是以F(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線，從而可求曲線C的方程；(II)求出直線I的方程，與拋物線方程聯(lián)立,

利用韋達(dá)定理，即可求三角形0PQ的面積.

18、如圖，已知四棱錐S-ABCD中，SA_L平面ABCD,ZABC=ZBCD=90"