湖南省永州市祁陽縣2024年高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析

湖南省永州市祁陽縣2024年高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為（）A． B．6 C． D．2．設(shè)不等式組，表示的平面區(qū)域?yàn)?，在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式的概率為A． B．C． D．3．函數(shù)的最小正周期是，則其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)的一條對(duì)稱軸是（）A． B． C． D．4．某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．5．如圖，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為A． B．C． D．6．過拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)A，與準(zhǔn)線在第三象限交于點(diǎn)B，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為.若，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，，若，對(duì)任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個(gè)使，則的最大值為（）A． B． C． D．8．已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．29．若集合，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．10．在三棱錐中，，，，，點(diǎn)到底面的距離為2，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．11．本次模擬考試結(jié)束后，班級(jí)要排一張語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評(píng)順序表，若化學(xué)排在生物前面，數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有（）A．72種 B．144種 C．288種 D．360種12．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則()A．12 B．10 C．8 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，，則_______.14．如圖是某幾何體的三視圖，俯視圖中圓的兩條半徑長(zhǎng)為2且互相垂直，則該幾何體的體積為________.15．銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的取值范圍是______.16．已知均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的取值范圍為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知．（1）若的解集為，求的值；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.19．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)，試討論的單調(diào)性；（2）若，，求的取值范圍.20．（12分）設(shè)橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)D在橢圓C上，的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過圓上任意一點(diǎn)P作圓E的切線l，若l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.21．（12分）某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)，通過隨機(jī)抽樣，得到參與問卷調(diào)查的100人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：組別男235151812女051010713(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”，請(qǐng)完成答題卡中的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”．視頻率為概率．①在我市所有“環(huán)保達(dá)人”中，隨機(jī)抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率；②為了鼓勵(lì)市民關(guān)注環(huán)保，針對(duì)此次的調(diào)查制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：“環(huán)保達(dá)人”獲得兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng)；其他參與的市民獲得一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)．每次抽獎(jiǎng)獲得紅包的金額和對(duì)應(yīng)的概率.如下表：紅包金額（單位：元）1020概率現(xiàn)某市民要參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）已知數(shù)列滿足，，其前n項(xiàng)和為.（1）通過計(jì)算，，，猜想并證明數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求常數(shù)t的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為：,故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.2、A【解析】

畫出不等式組表示的區(qū)域，求出其面積，再得到在區(qū)域內(nèi)的面積，根據(jù)幾何概型的公式，得到答案.【詳解】畫出所表示的區(qū)域，易知，所以的面積為，滿足不等式的點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓面，其面積為，由幾何概型的公式可得其概率為，故選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查由約束條件畫可行域，求幾何概型，屬于簡(jiǎn)單題.3、D【解析】

由三角函數(shù)的周期可得，由函數(shù)圖像的變換可得，平移后得到函數(shù)解析式為，再求其對(duì)稱軸方程即可.【詳解】解：函數(shù)的最小正周期是，則函數(shù)，經(jīng)過平移后得到函數(shù)解析式為，由，得，當(dāng)時(shí)，.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.4、C【解析】

作出三棱錐的實(shí)物圖，然后補(bǔ)成直四棱錐，且底面為矩形，可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，然后計(jì)算出矩形的外接圓直徑，利用公式可計(jì)算出外接球的直徑，再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實(shí)物圖如下圖所示：將其補(bǔ)成直四棱錐，底面，可知四邊形為矩形，且，.矩形的外接圓直徑，且.所以，三棱錐外接球的直徑為，因此，該三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時(shí)要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實(shí)物圖，并分析三棱錐的結(jié)構(gòu)，選擇合適的模型進(jìn)行計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.5、A【解析】

作交于點(diǎn)，根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出與的比例，再由與的比例，可得到結(jié)果.【詳解】如圖，作交于點(diǎn)，則，由題意，，，且，所以又，所以，，即，所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合，三角形面積公式，屬基礎(chǔ)題，作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵.6、C【解析】

需結(jié)合拋物線第一定義和圖形，得為等腰三角形，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作，再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出，，結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡(jiǎn)即可【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作.由拋物線定義知，所以，，，，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題7、C【解析】

根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組，求得的表達(dá)式（用表示），根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值，求得的取值范圍，求得對(duì)應(yīng)的取值范圍，由為整數(shù)對(duì)的取值進(jìn)行驗(yàn)證，由此求得的最大值.【詳解】由題意知，則其中，．又在上有且只有一個(gè)最大值，所以，得，即，所以，又，因此．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，成立；綜上所得的最大值為．故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.8、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)即可求解.【詳解】,,故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.9、D【解析】

由題意，分析即得解【詳解】由題意，故，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關(guān)系，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定，由此可知為三棱錐外接球的球心，在中，可以算出的一個(gè)表達(dá)式，在中，可以計(jì)算出的一個(gè)表達(dá)式，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑，進(jìn)而求出球的表面積．【詳解】取中點(diǎn)，由，可知：，為三棱錐外接球球心，過作平面，交平面于，連接交于，連接，，，，，，為的中點(diǎn)由球的性質(zhì)可知：平面，，且．設(shè)，，，，在中，，即，解得：，三棱錐的外接球的半徑為：，三棱錐外接球的表面積為．故選：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題，求解幾何體外接球相關(guān)問題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心的位置.11、B【解析】

利用分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列求解即可【詳解】第一步排語文，英語，化學(xué)，生物4種，且化學(xué)排在生物前面，有種排法；第二步將數(shù)學(xué)和物理插入前4科除最后位置外的4個(gè)空擋中的2個(gè)，有種排法，所以不同的排表方法共有種.選.【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用，不相鄰采用插空法求解，準(zhǔn)確分步是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題12、B【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得結(jié)論．【詳解】∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴，，∴．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：由坐標(biāo)系可知考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算14、20【解析】

由三視圖知該幾何體是一個(gè)圓柱與一個(gè)半球的四分之三的組合，利用球體體積公式、圓柱體積公式計(jì)算即可.【詳解】由三視圖知，該幾何體是由一個(gè)半徑為2的半球的四分之三和一個(gè)底面半徑2、高為4的圓柱組合而成，其體積為.故答案為：20.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體體積，考查學(xué)生空間想象能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.15、【解析】

由余弦定理，正弦定理得出，從而得出，推出的范圍，由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出的范圍，再利用二倍角公式化簡(jiǎn)，即可得出答案.【詳解】由題意得由正弦定理得化簡(jiǎn)得又為銳角三角形，則，，.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.16、【解析】

設(shè),可得的取值范圍,分別利用基本不等式和，把用代換,結(jié)合的取值范圍求關(guān)于的二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】因?yàn)?，令，則,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,,即,令則函數(shù)的對(duì)稱軸為,所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值為,即．當(dāng)且，即，或，時(shí)取等號(hào)；因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,令,則函數(shù)的對(duì)稱軸為,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值為,即，當(dāng),且時(shí)取等號(hào)，所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式與二次函數(shù)求最值相結(jié)合求代數(shù)式的取值范圍;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;基本不等式:和的靈活運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型、難度大型試題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用兩邊平方法解含有絕對(duì)值的不等式，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的值；（2）利用絕對(duì)值不等式求出的最小值，把不等式化為只含有的不等式，求出不等式解集即可．【詳解】（1）不等式，即兩邊平方整理得由題意知和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根即，解得（2）因?yàn)樗砸共坏仁胶愠闪?，只需?dāng)時(shí)，，解得，即；當(dāng)時(shí)，，解得，即；綜上所述，的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了含有絕對(duì)值的不等式解法與應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想，是中檔題．18、(1);(2).【解析】分析：（1）在式子中運(yùn)用正弦、余弦定理后可得．（2）由經(jīng)三角變換可得，然后運(yùn)用余弦定理可得，從而得到，故得．詳解：(1)由題意及正、余弦定理得，整理得，∴（2）由題意得，∴，∵，∴，∴.由余弦定理得，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．∴．∴面積的最大值為．點(diǎn)睛：（1）正、余弦定理經(jīng)常與三角形的面積綜合在一起考查，解題時(shí)要注意整體代換的應(yīng)用，如余弦定理中常用的變形，這樣自然地與三角形的面積公式結(jié)合在一起．（2）運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件，在解題中必須要注明．19、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

（1）由于函數(shù)，得出，分類討論當(dāng)和時(shí)，的正負(fù)，進(jìn)而得出的單調(diào)性；（2）求出，令，得，設(shè)，通過導(dǎo)函數(shù)，可得出在上的單調(diào)性和值域，再分類討論和時(shí)，的單調(diào)性，再結(jié)合，恒成立，即可求出的取值范圍.【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí)，令，則；令，則，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)?，可知，，令，?設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以在上的值域是，即.當(dāng)時(shí)，沒有實(shí)根，且，在上單調(diào)遞減，，符合題意.當(dāng)時(shí)，，所以有唯一實(shí)根，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，不符合題意.綜上，，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和根據(jù)恒成立問題求參數(shù)范圍，還運(yùn)用了構(gòu)造函數(shù)法，還考查分類討論思想和計(jì)算能力，屬于難題.20、（1）（2）見解析【解析】

(1)由，周長(zhǎng),解得,即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)通過特殊情況的斜率不存在時(shí),求得,再證明的斜率存在時(shí),即可證得為定值.通過設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理求得,利用直線與圓相切,即,求得的關(guān)系代入,化簡(jiǎn)即可證得即可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得，周長(zhǎng)，且.聯(lián)立解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)其方程為，則，所以，即.②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，并設(shè)，由，，，由直線l與圓E相切，得.所以.從而，即.綜合上述，得為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問題,考查了學(xué)生計(jì)算求解能力,難度較難.21、(1)不能；(2)①；②分布列見解析，.【解析】

（1）根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)可求2×2列聯(lián)表即可；計(jì)算K的觀測(cè)值K2，對(duì)照題目