2024屆貴州省中考數學復習 第四章 第21講《銳角三角函數及其應用》教學

第四章三角形第21講銳角三角函數及其應用2024年中考復習專題第四章三角形第21講銳角三角函數及其應用2024年中考復習專題課標要求1.利用相似的直角三角形,探索并認識銳角三角函數(sinA,cosA,tanA),知道30°,45°,60°角的三角函數值.2.會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值,由已知三角函數值求它對應的銳角.3.在平面上,運用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置.4.能用銳角三角函數解直角三角形,能用相關知識解決一些簡單的實際問題.考點梳理1銳角三角函數及其應用銳角三角函數特殊角的三角函數直角三角形的邊角關系解直角三角形的實際應用近似數和精確度三邊關系三角關系面積關系邊角關系仰角、俯角坡角、坡度（坡比）方位角如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A為△ABC中的一銳角，則有∠A的正弦：

∠A的余弦：

∠A的正切：

銳角三角函數

特殊角的三角函數αsinαcosαtanα30°④_______45°⑤________160°⑥________

1260°30°11

45°45°

直角三角形的邊角關系aCBAc2bch∠B

解直角三角形的實際應用【易錯提示】（1）坡度不是一個度數，而是一個比值，不要混淆坡角與坡度；（2）方向角先說南、北，后說東、西仰角、俯角在視線與水平線所成的角中：視線在水平線上方的角叫?______；視線在水平線下方的角叫?______坡角、坡度（坡比）山坡與地平面的夾角叫坡角（如圖中∠BAC，記做α）坡度（坡比）i=?________=tanα方位角點A在點O的北偏東?___方向鉛垂線視線水平線視線

CABhlα西南北東ABC70°45°60°O仰角俯角仰角俯角

60°點B在點O的?________方向點C在點O的?________方向北偏西20°南偏東45°近似數和精確度近似數：與實際接近但存在偏差的稱為近似數，如長江長約6300km，圓周率π約為3.14，這里的數都是近似數精確度：近似數與精確數的接近程度，可以用精確度表示.一般地，一個近似數四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位如：2.022精確到0.1或十分位為?___，精確到0.01或百分位為?____2.02.02分層突破2重難考點突破一、解直角三角形重難考點突破二、解直角三角形的實際應用

12例1

重難考點突破一、解直角三角形解直角三角形的方法:(1)當所求角在直角三角形中時,根據定義直接進行求解;(2)當所求角不在直角三角形中時,應作輔助線構造直角三角形,或尋找已知直角三角形中與所要求的角相等的角.方法指導12例1

C

對應練習12例1

A

12例1例2

(2023貴陽白云區(qū))爬山能強身健體,親近自然,陶冶情操.王老師周末到公園爬山,山的形狀如圖1,爬山路線示意圖如圖2,王老師從山腳A出發(fā),沿AB走400米到B點,再沿BC到山頂C點,已知山高CF為354米,BE∥AF,BD⊥AF,CE⊥BE交AD的延長線于點F,∠1=30°,∠2=50°.(圖中所有點均在同一平面內)(1)求BD的長;解:在Rt△ABD中,AB=400米,∠1=30°,∴BD=AB=×400=200(米).∴BD的長為200米.34例2重難考點突破二、解直角三角形的實際應用(2)求王老師從山腳A點到達山頂C點共走了多少米?(結果精確到1米.參考數據:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19)

34例21.求高度、長度等實際問題?？梢赞D化為解直角三角形的問題.解題時要先正確畫出示意圖,將實際問題轉化成數學問題,再根據特殊角或已知角,構造直角三角形并求解.2.當出現(xiàn)兩個或者兩個以上的直角三角形,不能直接解三角形時,要善于利用線段的和差關系,建立方程求解.方法指導34例23.(2023貴陽南明區(qū))如圖1是某商場營業(yè)大廳的自動扶梯,其示意圖如圖2.自動扶梯AB的傾斜角為37°,大廳兩層之間的距離BC為6

m,則自動扶梯AB的長約為(sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)(

)A.7.5

m

B.8

m

C.9

m

D.10

mD

對應練習34例24.(2023貴陽花溪區(qū)模擬)2021年11月9日是我國第30個“全國消防宣傳日”,該年“119消防宣傳月”活動的主題是“落實消防責任,防范安全風險”.為落實該主題,平頂山市消防大隊到建東小區(qū)進行消防演習.已知,圖1是一輛登高云梯消防車的實物圖,圖2是其工作示意圖,起重臂AC可伸縮(15m≤AC≤26m),且起重臂AC可繞點A在一定范圍內轉動,張角為∠CAE(90°≤∠CAE≤150°),轉動點A距離地面BD的高度AE為3m.34例2(1)當起重臂AC長度為20

m,云梯消防車最高點C距離地面BD的高度為13

m,求張角∠CAE的大小;34例2

(2)已知該小區(qū)層高為2.8

m,若某居民家突發(fā)險情,請問:該消防車有效救援能達到幾層?請說明理由.(參考數據:≈1.732)解:該消防車有效救援能達到10層.理由:當∠CAE=150°,AC=26

m時,能達到最高高度.∵∠EAM=90°,∴∠CAM=∠CAE-∠EAM=60°.在Rt△CAM中,CM=AC·sin60°=26×=13(m),∴CF=CM+MF=13+3≈13×1.732+3≈25.52(m).∴25.52÷2.8≈9.1,9+1=10(層).∴該消防車有效救援能達到10層.34例2（2016~2023）真題試做3命題點1

解直角三角形解直角三角形的實際應用命題點2

B命題點1解直角三角形21-113

B變式考法21-113

21-11321-113

B補充考法幾何直觀21-1134.(2023貴州22,10分)貴州旅游資源豐富.某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗,擬在如圖1景區(qū)內修建觀光索道.設計示意圖如圖2所示,以山腳A為起點,沿途修建AB,CD兩段長度相等的觀光索道,最終到達山頂D處,中途設計了一段與AF平行的觀光平臺BC為50

m.索道AB與AF的夾角為15°,CD與水平線夾角為45°,A,B兩處的水平距離AE為576

m,BE⊥AF,DF⊥AF,垂足分別為E,F.(圖中所有點都在同一平面內,點A,E,F在同一水平線上)(1)求索道AB的長(結果精確到1

m);

解直角三角形的實際應用命題點26547(2)求水平距離AF的長(結果精確到1

m).(參考數據:sin

15°≈0.25,cos

15°≈0.96,tan

15°≈0.26,≈1.41)6547

5.(2021貴陽21,10分)隨著科學技術的不斷進步,無人機被廣泛應用到實際生活中.小星利用無人機來測量廣場B,C兩點之間的距離,如圖所示,小星站在廣場的B處遙控無人機,無人機在A處距離地面的飛行高度是41.6

m,此時從無人機測得廣場C處的俯角為63°,他抬頭仰視無人機時,仰角為α.若小星的身高BE=1.6

m,EA=50

m(點A,E,B,C在同一平面內).6547數學建模(1)求仰角α的正弦值;6547

(2)求B,C兩點之間的距離.(結果精確到1

m)(sin

63°≈0.89,cos

63°≈0.45,tan

63°≈1.96,sin

27°≈0.45,cos

27°≈0.89,tan

27°≈0.51)

65476.(2022貴陽22,10分）交通安全心系千萬家,高速公路管理局在某隧道內安裝了測速儀,如圖所示的是該段隧道的截面示意圖.測速儀C和測速儀E到路面之間的距離CD=EF=7

m,測速儀C和E之間的距離CE=750

m,一輛小汽車在水平的公路上由西向東勻速行駛,在測速儀C處測得小汽車在隧道入口A點的俯角為25°,在測速儀E處測得小汽車在B點的俯角為60°,小汽車在隧道中從點A行駛到點B所用的時間為38

s(圖中所有點都在同一平面內).6547(1)求A,B兩點之間的距離;(結果精確到1

m)

6547

解:小汽車從點A行駛到點B沒有超速.理由:由題意,得760÷38=20(m/s),∵20m/s<22m/s,∴小汽車從點A行駛到點B沒有超速.65477.(2022遵義)如圖1所示是一種太陽能路燈,它由燈桿和燈管支架兩部分構成.如圖2,AB是燈桿,CD是燈管支架,燈管支架CD與燈桿間的夾角∠BDC=60°.綜合實踐小組的同學想知道燈管支架CD的長度,他們在地面的點E處測得燈管支架底部D的仰角為60°,在點F處測得燈管支架頂部C的仰角為30°,測得AE=3

m,EF=8

m(A,E,F在同一條直線上).根據以上數據,解答下列問題:(1)求燈管支架底部距地面高度AD的長(結果保留根號);

補充考法6547

6547

綜合提升訓練基礎過關練

C7654321

C7654321

B7654321

C7654321

B76543216.(2023濟寧)某數學活動小組要測量一建筑物的高度,如圖,他們

在建筑物前的平地上選擇一點A,在點A和建筑物之間選擇一點

B,測得AB=30m,用高1m(AC=1m)的測角儀在A處測得建筑物

頂部E的仰角為30°,在B處測得仰角為60°,則該建筑物的高

是

.

76543217.(2023青海)為了方便觀測動物的活動情況,某濕地公園要鋪設一段道路.

計劃從圖中A,C兩處分別向B處鋪設,現(xiàn)測得AB=1000m,∠BAC=30°,

∠ABC=136°,求B,C兩點間的距離.(結果取整數,參考數據:sin14°≈

0.24,cos14°≈0.97,tan14°≈0.25)

7654321

挑戰(zhàn)高分練C11109812

C1110981210.(2023武漢)如圖,將45°的∠AOB按圖中所示的方式放置在一把刻度

尺上,頂點O與刻度尺下沿的端點重合,OA與刻度尺下沿重合,OB與刻

度尺上沿的交點B在尺上的讀數為2cm,若按相同的方式將37°的

∠AOC放置在該刻度尺上,則OC與刻度尺上沿的交點C在尺上的讀數

是

cm(結果精確到0.1cm,參考數據sin37°≈0.60,cos37°≈

0.80,tan37°≈0.75)

2.71110981211.(2023眉山)一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向,

漁船向正東方向航行12海里到達B處,測得燈塔C在它的北偏東

45°方向,若漁船繼續(xù)向正東方向航行,則漁船與燈塔C的最短距

離是