中考復(fù)習(xí)-一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(解析版)

中考復(fù)習(xí)——一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一、選擇題1、已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的兩根，則x1+x2的值是（）． A.0 B.2 C.-2 D.4答案：B解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的兩根，∴x1+x2=2．選B.2、若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的兩個(gè)根，則x1·x2的值是（）． A.2 B.-2 C.4 D.-3答案：D解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的兩個(gè)根，∴x1·x2=-3．3、關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為12，則m的值為（）． A.m=-2 B.m=3 C.m=3或m=-2 D.m=3或m=2答案：A解答：設(shè)x1，x2是x2+2mx+m2+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ=-4m≥0，∴m≤0，∴x1+x2=-2m，x1·x2=m2+m，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=4m2-2m2-2m=2m2-2m=12，∴m=3或m=-2；∴m=-2．選A.4、一元二次方程x2-3x-2=0的兩根為x1，x2，則下列結(jié)論正確的是（）． A.x1=-1，x2=2 B.x1=1，x2=-2 C.x1+x2=3 D.x1x2=2答案：C解答：∵方程x2-3x-2=0的兩根為x1，x2，∴x1+x2=-=3，x1·x2==-2，∴C選項(xiàng)正確．5、α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0的兩實(shí)根，且+=-，則m等于（）． A.–2 B.–3 C.2 D.3答案：B解答：α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0的兩實(shí)根，∴α+β=2，αβ=m，∵+===-，∴m=-3．選B.6、已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的兩實(shí)數(shù)根，則（m+2）（n+2）的最小值是（）． A.7 B.11 C.12 D.16答案：D解答：∵m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的兩實(shí)數(shù)根，∴m+n=2t，mn=t2-2t+4，∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）=8t-16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．選D.7、若一元二次方程ax2=b，（ab＞0）的兩個(gè)根分別是m+1與2m-4，則=（）． A.-4 B.1 C.2 D.4答案：D解答：系數(shù)化為1時(shí)，由于一元二次方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)，所以和為0，即可求得m的值為1，兩根分別為2，-2，所以=x2=4．8、若x1，x2是一元二次方程x2+x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x23-4x12+17的值為（）． A.-2 B.6 C.-4 D.4答案：A解答：∵x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x12+x1-3=0，x22+x2-3=0，∴x22=-x2+3，x12=-x1+3，∴x23-4x12+17=x2·（-x2+3）-4（-x1+3）+17=-x22+3x2-4（-x1+3）+17=-（-x2+3）+3x2-4（-x1+3）+17=4x2-3+4x1-12+17=4（x1+x2）+2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2=-1，∴原式=4（x1+x2）+2=-4+2=-2．選A.9、方程x2-（m+6）x+m2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且滿足x1+x2=x1x2，則m的值是（）． A.-2或3 B.3 C.-2 D.-3或2答案：C解答：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=-2，∵方程x2-（m+6）+m2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0，解得m=6或m=-2，∴m=-2．10、已知a，b，c是△ABC三邊的長(zhǎng)，b＞a=c，且方程ax2-bx+c=0的兩根的差的絕對(duì)值等于，則△ABC中最大角的度數(shù)是（）． A.150° B.120° C.90° D.60°答案：B解答：設(shè)x1、x2是ax2-bx+c=0的兩根，則x1+x2=，x1x2==1，∵x1-x2的絕對(duì)值等于，∴|x1-x2|=，解以上方程組：（x1+x2）2-4x1x2=2，解得：b=a，∵b＞a=c，∴等腰三角形以b為底，∴∠A=∠C=30°，∴∠B=120°．二、填空題11、若關(guān)于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為2和b，則ab=______．答案：4解答：∵關(guān)于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為2和b，∴由韋達(dá)定理，得，解得，．∴ab=1×4=4．12、若關(guān)于x的方程x2+（k-2）x+k2=0的兩根互為倒數(shù)，則k=______．答案：-1解答：設(shè)方程的兩根為x1，x2，則x1x2=k2，∵x1與x2互為倒數(shù)，∴k2=1，解得k=1或k=-1；∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，Δ＞0，∴當(dāng)k=1時(shí)，Δ＜0，舍去，故k的值為-1．13、已知一元二次方程x2+2x-8=0的兩根為x1、x2，則+2x1x2+=______．答案：-解答：∵x1、x2是方程x2+2x-8=0的兩根，∴x1+x2=-2，x1x2=-8．∴+2x1x2+=+2x1x2=+2x1x2=+2×（-8）=-16=--16=-．14、已知關(guān)于x的方程x2+6x+k=0的兩個(gè)根分別是x1、x2，且+=3，則k的值為______．答案：-2解答：∵關(guān)于x的方程x2+6x+k=0的兩個(gè)根分別是x1、x2，∴x1+x2=-6，x1x2=k，∵+==3，∴=3，∴k=-2．15、若關(guān)于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，則x1（x2+x1）+x22的最小值為______．答案：解答：關(guān)于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，Δ=4m2-4（m2+3m-2）≥0，解得m≤由韋達(dá)定理可知x1+x2=-2m，x1·x2=m2+3m-2．x1（x2+x1）+x22=x1x2+x12+x22=（x1+x2）2-x1x2=（-2m）2-m2-3m+2=3m2-3m+2=3（m-）2+．∵m≤，∴當(dāng)m=時(shí)，取得最小值為．16、對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，定義：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）-5=0的兩根記為m、n，則m2+n2=______．答案：6解答：∵（x◆2）-5=x2+2x+4-5，∴m、n為方程x2+2x-1=0的兩個(gè)根，∴m+n=-2，mn=-1，∴m2+n2=（m+n）2-2mn=6．故答案為：6．17、閱讀材料：設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1，x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：x1+x2=-，x1·x2=．根據(jù)該材料填空：已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的兩實(shí)數(shù)根，則+的值為______．答案：10解答：由題意知，x1+x2=-6，x1x2=3，所以+====10．三、解答題18、已知關(guān)于x的方程x2+2x+a-2=0．（1）若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（2）當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及方程的另一根．答案：（1）a的取值范圍是a＜3．（2）a的值是-1，該方程的另一根為-3．解答：（1）∵b2-4ac=（2）2-4×1×（a-2）=12-4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范圍是a＜3．（2）設(shè)方程的另一根為x1，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，解得：，則a的值是-1，該方程的另一根為-3．19、已知關(guān)于x的方程x2-4x+k+1=0有兩實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍．（2）設(shè)方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且+=x1x2-4，求實(shí)數(shù)k的值．答案：（1）k≤3．（2）k=-3．解答：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+k+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ=（-4）2-4×1×（k+1）≥0，解得：k≤3，故k的取值范圍為：k≤3．（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=4，x1x2=k+1，由+=x1x2-4可得=x1x2-4，代入x1+x2和x1x2的值，可得：=k+1-4，解得：k1=-3，k2=5（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，k=-3是原方程的根，故k=-3．20、已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m-2=0．（1）求證：無論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1+x2+3x1x2=1，求m的值．答案：（1）證明見解答．（2）8．解答：（1）依題意可得Δ=（2m+1）2-4（m-2），=4m2+9＞0．故無論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，由x1+x2+3x1x2=1，得-（2m+1）+3（m-2）=1，解得m=8．21、已知關(guān)于x的方程x2+2x+a-2=0．（1）若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（2）若該方程的一個(gè)根為1，求a的值及該方程的另一根．答案：（1）a的取值范圍是a＜3．（2）a的值是-1，該方程的另一根為-3．解答：（1）∵b2-4ac=22-4×1×（a-2）=12-4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范圍是a＜3．（2）設(shè)方程的另一根為x1，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，解得：，則a的值是-1，該方程的另一根為-3．22、已知x1，x2是一元二次方程x2-2x+k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍．（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得等式+=k-2成立？如果存在，請(qǐng)求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．答案：（1）k≤-1．（2）存在，k值為-．解答：（1）∵一元二次方程x2-2x+k+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ=（-2）2-4×1×（k+2）≥0，解得：k≤-1．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2-2x+k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2=2，x1x2=k+2，∵+=k-2，∴==k-2，∴k2-6=0，解得：k1=-，k2=，又∵k≤-1，∴k=-，∴存在這樣的k值，使得等式+=k-2成立，k值為-．23、已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4x-m2=0．（1）求證：該方程有兩個(gè)不等的實(shí)根．（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2滿足x1+2x2=9，求m的值．答案：（1）證明見解答．（2）m=±．解答：（1）∵在方程x2-4x-m2=0中，Δ=（-4）2-4×1×（-m2）=16+4m2＞0，∴該方程有兩個(gè)不等的實(shí)根．（2）∵該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，∴x1+x2=4①，x1·x2=-m2②．∵x1+2x2=9③，∴聯(lián)立①③解之，得：x1=-1，x2=5，∴x1·x2=-5=-m2，解得：m=±．24、關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2．（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍．（2）若方程兩實(shí)根x