數(shù)學(xué)（九省新高考新結(jié)構(gòu)卷02）（全解全析）

2024年高考押題預(yù)測卷02【新九省卷】數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，則，故選D2．若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，，故選B.3．已知，，若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，，所以，解得，故選A.4．若，則（

）A．100 B．110 C．120 D．130【答案】C【解析】在中，，，所以，故選C5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】D【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，故選D.6．折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧DE，AC所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓臺(tái)上下底面的半徑分別為，由題意可知，解得，，解得：，作出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：圖中，，過點(diǎn)向作垂線，垂足為，則，所以圓臺(tái)的高，則上底面面積，，由圓臺(tái)的體積計(jì)算公式可得：，故選.7．已知直線與圓相交于M，N兩點(diǎn).則的最小值為（

）A． B． C．4 D．6【答案】C【解析】由圓的方程，可知圓心，半徑，直線過定點(diǎn)，因?yàn)?，則定點(diǎn)在圓內(nèi)，則點(diǎn)和圓心連線的長度為，當(dāng)圓心到直線距離最大時(shí)，弦長最小，此時(shí)，由圓的弦長公式可得，故選：C8．已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，若為奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，即，兩邊求導(dǎo)得，則，可知關(guān)于直線對稱，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，即，可知關(guān)于點(diǎn)對稱，令，可得，即，由可得，由，可得，即，可得，即，令，可得；令，可得；且，可知8為的周期，可知，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知復(fù)數(shù)z，下列說法正確的是（

）A．若，則z為實(shí)數(shù) B．若，則C．若，則的最大值為2 D．若，則z為純虛數(shù)【答案】AC【解析】設(shè)，則，若，即，即，則z為實(shí)數(shù)，故A正確；若，即，化簡可得，即，即，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不一定滿足，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不一定滿足，故B錯(cuò)誤；若，即，所以，即表示以為圓心，以為半徑的圓上的點(diǎn)，且表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以的最大值為2，故C正確；若，即，，即，化簡可得，則且，此時(shí)可能為實(shí)數(shù)也可能為純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：AC10．已知函數(shù)的圖象在y軸上的截距為，是該函數(shù)的最小正零點(diǎn)，則（

）A．B．恒成立C．在上單調(diào)遞減D．將的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象關(guān)于軸對稱【答案】AC【解析】函數(shù)的圖象在y軸上的截距為，所以，因?yàn)?，所?故A正確；又因?yàn)槭窃摵瘮?shù)的最小正零點(diǎn)，所以，所以，解得，所以，，所以，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位，得到，是非奇非偶函數(shù)，圖象不關(guān)于軸對稱，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（直線的傾斜角為銳角）與拋物線相交于兩點(diǎn)（A在軸的上方，在軸的下方），過點(diǎn)A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)直線的斜率為1時(shí)， B．若，則直線的斜率為2C．存在直線使得 D．若，則直線的傾斜角為【答案】AD【解析】易知，可設(shè)，設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立得，則，對于A項(xiàng)，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，此時(shí)，由拋物線定義可知，故A正確；易知是直角三角形，若，則，又，所以為等邊三角形，即，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；由上可知，即，故C錯(cuò)誤；若，又知，所以，則，即直線的傾斜角為，故D正確.故選：AD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對得6分，有選錯(cuò)的得0分；③部分選對得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若某小題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）．已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小明同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，第三小題隨機(jī)地選了一個(gè)選項(xiàng)，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為．【答案】11【解析】由題意得小明同學(xué)第一題得6分；第二題選了2個(gè)選項(xiàng)，可能得分情況有3種，分別是得0分、4分和6分；第二題選了1個(gè)選項(xiàng)，可能得分情況有3種，分別是得0分、2分和3分；由于相同總分只記錄一次，因此小明的總分情況有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8種情況，所以中位數(shù)為，13．在直三棱柱中，，，過作該直三棱柱外接球的截面，所得截面的面積的最小值為．【答案】【解析】由直三棱柱可知，平面，又，所以兩兩垂直，設(shè)直三棱柱外接球的半徑為R，通過構(gòu)造長方體可知該三棱柱的外接球與以為邊長的長方體外接球相同；過作該直三棱柱外接球的截面，當(dāng)為所截圓的直徑時(shí)截面面積最小，因?yàn)?，則所求截面面積最小值為.14．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，則=；若，則面積的最大值為．【答案】【解析】因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，則有，所以，得，即，故；因，，故，可得，由，解得，得，由余弦定理得，，所以，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，可得，，即面積的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（本小題滿分13分）已如曲線在處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【解】（1）由于的斜率為，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范圍為16．（本小題滿分15分）為促進(jìn)全民閱讀，建設(shè)書香校園，某校在寒假面向全體學(xué)生發(fā)出“讀書好、讀好書、好讀書”的號召，并開展閱讀活動(dòng)．開學(xué)后，學(xué)校統(tǒng)計(jì)了高一年級共1000名學(xué)生的假期日均閱讀時(shí)間（單位：分鐘），得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個(gè)小矩形的高度分別為0.0075，0.0125，后三個(gè)小矩形的高度比為3：2：1．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)高一年級1000名學(xué)生假期日均閱讀時(shí)間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)開學(xué)后，學(xué)校從高一日均閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學(xué)生作為代表分兩周進(jìn)行國旗下演講，假設(shè)第一周演講的3名學(xué)生日均閱讀時(shí)間處于[80，100）的人數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．【解】（1）由題知：各組頻率分別為：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均閱讀時(shí)間的平均數(shù)為：（分鐘）（2）由題意，在[60，80），[80，100），[100，120]三組分別抽取3，2，1人的可能取值為：0，1，2則

所以的分布列為：01217．（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，點(diǎn)在上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且平面．(1)證明：平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值．【解】（1）連接交與點(diǎn)，連接，可得平面與平面的交線為，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，可得且，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面．?）取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，可得，且，又因?yàn)?，且，所以，所以，又因?yàn)椋移矫?，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，可得，則，設(shè)是平面的法向量，則，取，可得，所以，設(shè)是平面的法向量，則，取，可得，所以；設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為．18．（本小題滿分17分）已知橢圓，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，，垂足為點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)求面積的取值范圍．【解】（1）①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)直線l在y軸右側(cè)，直線OA的方程為，由，解得，，所以，，所以，直線AB的方程為，此時(shí)．同理，當(dāng)直線l在y軸左側(cè)時(shí)，．②當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，，由消去y整理得，，∴，且，，又∵，∴即：，所以，，則，故，所以滿足，所以，．綜上，，所以，點(diǎn)P的軌跡方程為．（2）①由（1）可知，當(dāng)直線l斜率不存在或斜率為0時(shí)，．②當(dāng)直線l斜率存在且不為0時(shí)，，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立．∴，∴，∴，綜上，．19．（本小題滿分17分）置換是代數(shù)的基本模型，定義域和值域都是集合的函數(shù)稱為次置換.滿足對任意的置換稱作恒等置換.所有次置換組成的集合記作.對于，我們可用列表法表示此置換：，記.(1)若，計(jì)算；(2)證明：對任意，存在，使得為恒等置換；(3)對編號從1到52的撲克牌進(jìn)行洗牌，分成上下各26張兩部分，互相交錯(cuò)插入，即第1張不動(dòng)，第27張變?yōu)榈?張，第2張變?yōu)榈?張，第28張變?yōu)榈?張，......，依次類推.這樣操作最少重復(fù)幾次就能恢復(fù)原來的牌型？請說明理由.【解】（1），由題意可知；（2）解法一：①若，則為恒等置換；②若存在兩個(gè)不同的，使得，不妨設(shè)，則.所以，即為恒等置換；③若存在唯一的，使得，不妨設(shè)，則或.當(dāng)時(shí)，由（1）可知為恒等置換；同理可知，當(dāng)時(shí)，也是恒等置換；④若對任意的，則情形一：或或；情形二：或或或或或；對于情形一：為恒等置換；對于情形二：為恒等置換；綜上，對任意，存在，使得為恒等置換；解法二：對于任意，都有，所以