(狀元之路)函數(shù)的圖像及其變換

第四節(jié)函數(shù)的圖像及其變換考點(diǎn)精講1．列表描點(diǎn)法其根本步驟是列表、描點(diǎn)、連線，首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等)；其次：列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))；再次：描點(diǎn)；最后：連線．2．圖像變換法(1)平移變換：①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的圖像，可由y＝f(x)的圖像向左(＋)或向右(－)平移a個(gè)單位而得到．②豎直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的圖像，可由y＝f(x)的圖像向上(＋)或向下(－)平移b個(gè)單位而得到．(2)對稱變換：①y＝f(－x)與y＝f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱．②y＝－f(x)與y＝f(x)的圖像關(guān)于x軸對稱．③y＝－f(－x)與y＝f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱．④y＝f－1(x)與y＝f(x)的圖像關(guān)于直線y＝x對稱．⑤要得到y(tǒng)＝|f(x)|的圖像，可將y＝f(x)的圖像在x軸下方的局部以x軸為對稱軸翻折到x軸上方，其余局部不變．⑥要得到y(tǒng)＝f(|x|)的圖像，可將y＝f(x)，x≥0的局部作出，再利用偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸的對稱性，作出x＜0的圖像．(3)伸縮變換：①y＝Af(x)(A＞0)的圖像，可將y＝f(x)圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，橫坐標(biāo)不變而得到．②y＝f(ax)(a＞0)的圖像，可將y＝f(x)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)?/p>

倍，縱坐標(biāo)不變而得到．考點(diǎn)精練1．函數(shù)f(x)＝ln|x－1|的圖像大致是(

)解析：函數(shù)f(x)＝ln|x－1|的圖像是由函數(shù)g(x)＝ln|x|的圖像向右平移1個(gè)單位得到的，應(yīng)選B.答案：B答案：D

答案：C4．設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，那么函數(shù)y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖像關(guān)于()A．直線y＝0對稱 B．直線x＝0對稱C．直線y＝1對稱 D．直線x＝1對稱解析：方法一：設(shè)(x1，y1)是y＝f(x－1)圖像上任意一點(diǎn)，那么y1＝f(x1－1)，而f(x1－1)＝f[1－(2－x1)]，說明點(diǎn)(2－x1，y1)－定是函數(shù)y＝f(1－x)圖像上的一點(diǎn)，而點(diǎn)(x1，y1)與點(diǎn)(2－x1，y1)關(guān)于直線x＝1對稱，所以y＝f(x－1)的圖像與y＝f(1－x)的圖像關(guān)于直線x＝1對稱，所以選D.方法二：函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖像關(guān)于y軸對稱，y＝f(1－x)＝f[－(x－1)]．把y＝f(x)與y＝f(－x)的圖像同時(shí)都向右平移1個(gè)單位長度，就得到y(tǒng)＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖像，對稱軸y軸向右平移1個(gè)單位長度得直線x＝1，應(yīng)選D.方法三(特殊值法)：設(shè)f(x)＝x2，那么f(x－1)＝(x－1)2，f(1－x)＝(x－1)2，由圖可知(兩圖像重合)，函數(shù)f(x－1)和f(1－x)的圖像關(guān)于直線x＝1對稱，只有D正確.答案：D5．把函數(shù)y＝log2(－2x＋3)的圖像向左平移1個(gè)單位長度得到函數(shù)__________的圖像．解析：由題意，得所求函數(shù)解析式為y＝log2[－2(x＋1)＋3]＝log2(－2x＋1).

答案：y＝log2(－2x＋1)(3)當(dāng)x≥0時(shí)，y＝sin|x|與y＝sinx的圖像完全相同，又y＝sin|x|為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，如圖③.(4)首先作出y＝log2x的圖像c1，然后將c1向左平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)＝log2(x＋1)的圖像c2，再把c2在x軸下方的圖像作關(guān)于x軸對稱的圖像，即為所求函數(shù)y＝|log2(x＋1)|圖像c3.如圖④(實(shí)線局部)．解后反思：所給函數(shù)為非根本初等函數(shù)，因此要利用根本函數(shù)的圖像進(jìn)行變換作圖，首先應(yīng)將原函數(shù)式變形．題型二知式選圖或知圖選式問題例2(2011·合肥模擬)(1)函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的圖像大致為(

)答案：(1)A

(2)C解后反思：對于給定函數(shù)的圖像，要能從圖像的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域(最值)、單調(diào)性、奇偶性、周期性，注意圖像與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系，常用的方法有：①定性分析法：通過對問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖像的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題．②定量計(jì)算法：通過定量的計(jì)算來分析解決問題．③函數(shù)模型法：由所提供的圖像特征，聯(lián)想相關(guān)的函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．(2)由題意，有C：y＝lg(x＋1)－2.因?yàn)镃1與C關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以C1：y＝－lg(－x＋1)＋2.因?yàn)镃2與C1關(guān)于直線y＝x對稱(即兩函數(shù)互為反函數(shù))，故C2：y＝1－102－x(x∈R)．解后反思：(1)化為同底數(shù)；(2)翻折、平移；(3)平移、對稱、反函數(shù)；(4)平移、伸縮．題型四函數(shù)圖像的應(yīng)用例4函數(shù)f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求m的取值范圍，使得方程f(x)＝mx有四個(gè)不等實(shí)根．解后反思：①函數(shù)圖像形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、最值等)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，因此常用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)；②有些不等式問題常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的上、下關(guān)系來解；③方程解的個(gè)數(shù)常轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題來求解．失誤防范1．作函數(shù)的圖像時(shí)，一定要注意圖像的平滑性和對稱性．2．函數(shù)圖像的左、右平移變換，函數(shù)的解析式中x的系數(shù)必須為1，這樣才能正確找到平移量．當(dāng)x的系數(shù)不是1時(shí)，必須通過提取x的系數(shù)才能實(shí)現(xiàn)左、右平移．隨堂反響1．函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)的圖像分別如圖①②所示．那么函數(shù)y＝f(x)·g(x)的圖像可能是()解析：從f(x)、g(x)圖像可知它們分別為偶函數(shù)、奇函數(shù)，故f(x)·g(x)是奇函數(shù)，排除B.又x＜0時(shí)g(x)為增函數(shù)且為正值，f(x)也是增函數(shù)，故f(x)·g(x)為增函數(shù)，且正負(fù)取決于f(x)的正負(fù)，注意到x→0－(從小于0趨向于0)，f(x)·g(x)→＋∞，也可排除C、D.

答案：A答案：C解析：按圖像逐個(gè)分析，注意x、y的取值范圍.

答案：④②①③4．假設(shè)x∈(1,2)時(shí)，不等式(x－1)2＜logax恒成立，那么a的取值范圍是__________．解析：設(shè)f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax.要使當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x