高等數(shù)學(xué)下冊總復(fù)習(xí)

高等數(shù)學(xué)下冊總復(fù)習(xí)資料

財管雙語班

目錄

目錄

〈一〉內(nèi)容提要..................................................................1

第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用.............................................1

第九章重積分..............................................................5

第十章曲線積分與曲面積分...............................錯誤！未定義書簽。

第十一章無窮級數(shù)..........................................................7

第十二章微分方程.........................................................13

<-）強化訓(xùn)練.................................................................16

（I）04、05、06期末試卷..................................................16

2004—2005學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷....................................16

2005—2006學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷...................................20

2006—2007學(xué)年期末考試試卷............................................22

（II）自測訓(xùn)練.............................................................25

試卷..................................................................25

附參考答案：...........................................................28

試卷二..................................................................29

附參考答案：...........................................................32

試卷三..................................................................33

附參考答案：...........................................................36

2005-2006學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷（2005級快班試卷）................38

2006-2007學(xué)年第二學(xué)期期末考試（2006級快班試卷）....................41

試卷四.................................................................44

參考答案及提示.........................................................48

試卷五.................................................................52

參考答案及提?。?......................................................56

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〈一〉內(nèi)容提要

第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

一、基本概念

1.多元函數(shù)

(1)知道多元函數(shù)的定義

〃元函數(shù)：y=f(xi,x2,---,xn)

(2)會求二元函數(shù)的定義域

1°：分母不為0；

2°：真數(shù)大于0；

3。：開偶次方數(shù)不小于0；

4°：z=arcsin“或arccos“中I”IW1

(3)會對二元函數(shù)作幾何解釋

2.二重極限

limf(x,y)-A

Xf0

0

這里動點(x,y)是沿任意路線趨于定點(%,y0)的.

(1)理解二重極限的定義

(2)一元函數(shù)中極限的運算法則對二重極限也適用，會求二重極限；

(3)會證二元函數(shù)的極限不存在(主要用沿不同路徑得不同結(jié)果的方法).

3.多元函數(shù)的連續(xù)性

(1)理解定義：limf(P)=f(P0).

PT%

(2)知道一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論；

(3)知道多元函數(shù)在閉區(qū)域上的最大最小值定理、介值定理。

二、偏導(dǎo)數(shù)與全微分

1.偏導(dǎo)數(shù)

(1)理解偏導(dǎo)數(shù)的定義(二元函數(shù))

.=Hm/(Xo+Ar,%)-

-Ax

次=Hm/(龍0，%+山)一/心,%)

紂-?0Ay

(2)知道偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系.

(3)求偏導(dǎo)數(shù)法則、公式同一元函數(shù).

2.高階偏導(dǎo)數(shù)

(1)理解高階偏導(dǎo)數(shù)的定義.

1

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(2)注意記號與求導(dǎo)順序問題.

-\2~\2

(3)二元函數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時，求導(dǎo)次序無關(guān)：三匚=三二.

oxdydydx

3.全微分

(1)知道全微分的定義

若Az=/(x0+Ar,y0+Ay)-/(x0,y0)可表示成A-Ax+5-Ay+o(p),則

Z=/。,〉)在點(玉)，打)處可微；稱Ar+82)，為此函數(shù)在點(%,%)處的全微分，記

為dz=A?Ax+8?Ay.

(2)知道二元函數(shù)全微分存在的充分必要條件：

函數(shù)可微，偏導(dǎo)數(shù)必存在；

..法八法,dz,dz,,

(A=—,B=—；dz=—dx4----dy)

dxdydxdy

偏導(dǎo)數(shù)存在，不一定可微(加-廢是否為。(「)).

偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，全微分必存在.

方向?qū)?shù)、梯度，只對快班要求.

三、多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法則

1.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

.,,dzdzdudzdv

3xdudxdvdx

dz_dzdu+dzdv

dydudydvdy

(2)對于函數(shù)只有??個中間變量的二元函數(shù)或多個中間變量的一元函數(shù)(全導(dǎo)數(shù))的求導(dǎo)

法要熟練掌握.

(3)快班學(xué)生要掌握多元復(fù)合函數(shù)(主要是兩個中間變量的二元函數(shù))的二階偏導(dǎo)數(shù)的求

法.

2.隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

(1)一個方程的情形

若F(x,y)=0確定了y=y(x),則生=-"?；

dxFy

J?F3/F

若F(x,y,z)=0確定了z=z(x,y)，則廣=——-，多=——L-

oxFzdyF.

(2)方程組的情形

2

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\F{x,y,z)=Oy=y(x)

若《能確定<,則由

G(x,y,z)=0[z=z(x)

工-o

Fx+Fy-

<

-o

Gx+Gy-+G-.

可解出空與包;

dxdx

F(x,y,u,v)。確定了"="(x,y),v=v(x,y),象上邊—樣，可以求出白，尊

若《

G(x,y,u,v)=0dxdx

加dv

及n獷

四、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用

1.幾何應(yīng)用

（1）空間曲線的切線與法平面方程

1°：曲線「：x=（p（t）,y=y/（t）,z=0”），時，「上相應(yīng)點（玉pXpZ。）處

的切線方程：而t=箭=就

法平面方程：（p'Qo）（X-尤0）+“'（%）（y-Jo）+。'（，0）（z-Zo）=o

］設(shè)則點（、2。'"。）處的切線方程：-=沾=若

2°：曲線「：<

/

法平面方程：(x-x0)+^(x0)(y-y0)+^(-x0)(z-z())=0

F（x,y,z）=0

3°：曲線「：<Cz）=?！瘎t點如—）處的切線方程為

x-x。Z-Zo

F,"EF.F,K

G、G.GGG.G

PzxPvP

人工工工FxFy

法平面方程:?(x-x0)+?(丁-汽)+?(z-Zo)=O

G.G、GG

PG：GPXVP

（2）空間曲面的切平面與法線方程

1°：曲面￡：F（x,y,z）=0，點（Xo，yo，z（））處的切平面方程為:

3

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工（Xo'yo.ZoXx-XoHEXxo/o,ZoXy-yoH&OcpycpZoXz-ZoXO

法線方程：七包=口=三

2°

曲面Z：z=f(x,y)，在點(x0,y0,z0)處的切平面方程為：

Z-Za=fx(x0,yQ)<x-xa)+fy(x0,ya)-(y-y0)

法線方程為：==口==

fxfyT

2.極值應(yīng)用

f

o

一

一

aI一z

(1)求一個多元函數(shù)的極值(如z=/(x,y))：先用必要條件a.lr求出全部駐點,

=O

a一z

Id)

再用充分條件求出駐點處的Zu，z,,與

AAyy-V?

AC-B2>0,A<0時有極大值，A>0時有極小值；

AC-B2<()時無極值.

(2)求最值

1°：純數(shù)學(xué)式子時，區(qū)域內(nèi)駐點處的函數(shù)值與區(qū)域邊界上的最值比較；

2°：有實際意義的最值問題.

(3)條件極值

求一個多元函數(shù)在一個或機個條件下的極值時，用拉格朗11乘數(shù)法.

如:”=/(x,y,z)在條件夕i(x,y,z)=0與82(x，y，z)=0下的極值時，取

F(x,y,z；4，幾2)=/(x，>，z)+4.(x,y,z)+—陽羽y,z)

工=0

Fv=0

解方程組，工=0,求出x,y,z

(P\=0

夕2=°

則(x,%z)就是可能的極值點；再依具體問題就可判定(x,y,z)為極大(或極小)值點.

4

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第九章重積分

一、二重積分

1.定義：^f(x,y)da=\imACT,

D("Too)i=l

2.幾何意義：當(dāng)/(x,y)》O時;07(%>)4。表示以曲面2=/(羽〉)為頂，以。為底的

D

曲頂柱體體積.

物理意義：以/(x,y)為密度的平面薄片。的質(zhì)量.

3.性質(zhì)

1°：JjV(x,y)dcr=kJ，(x,y)d<7

DD

2°：JJ"(x,y)±g(x,y)]dcr=Jj7(x,y)dcr士JJg(x,y)dcr

DDD

3。：若。=。|+。2,則J，(x,y)dCT=J.(x,y)d(7+Jjy(x,)，M(T

DD

D12

4°：/(x,y)三1時，y)da=<JD

D

5°：若在。上夕(x,y)2”(九,y),則

]j8(x,y)dbeJJ"(x,y)d<7ny)da

DDDD

6°：若/(x,y)在閉區(qū)域。上連續(xù)，且％</(x,y)WM,則

mcrD^y)d(yWM.?？?/p>

D

V：(中值定理)若/(x,y)在閉區(qū)域。上連續(xù)，則必有點使

JJ/(x,y)dcr=/C，7；)S

D

4.二重積分的計算法

(1)在直角坐標(biāo)系中

r：若積分區(qū)域。為x—型區(qū)域

a<x<h

D-.\

(p^x)<y<(p2{x}

則化為先y后x的二次月

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JJ7(x，y)dxdy=『：：/(x,y)dy

D

2°：若積分區(qū)域。為丫-型區(qū)域

c<y<d

0：《

y,(y)<x<^2(y)

則化為先龍后y的二次積分:

J0(x'y)dxdy=￡小J：：：/(陽y)dx

D

(2)在極坐標(biāo)系中

f\x,y')=f(rcosG,rsin3),d(y=rdrd0

1°：極點在。外：

Ja<3</3

則有

||/(x,y)J(T='/(rcosC,rsine>

D*8(。)

2°：極點在。的邊界匕

D[a<e<p

：[0<r<(p{0}

則有

y)da-'/(rcos6,rsine)?心

極點在。的邊界上

I)

3°：極點在。內(nèi)：

(0W"24

D-.\

0<r<夕(。)

則有

y)J<7=￡/(rcos^,rsinO^rdr

D極點在。內(nèi)

在計算二重積分時要注意：

1°：選系：是直角坐標(biāo)系還是極坐標(biāo)系；

若積分區(qū)域是圓域、環(huán)域或它們的一部分；被積式含有尤2+y2或兩個積分變量之

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比2、2時，一般可選擇極坐標(biāo)系.

xy

2。：選序：當(dāng)選用直角坐標(biāo)系時，要考慮積分次序，選錯次序會出現(xiàn)復(fù)雜或根本積不出

的情況（二次積分換次序）.

3°：積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性要正確配合，如：。關(guān)于x軸（或y軸）對

稱時，應(yīng)配合被積函數(shù)對于y（或x）的奇偶性.

aWxWb

4°:若/（x,y）=力（x）J,（y），積分區(qū)域￡>：《一一，則二重積分可化為兩個定積

c<y<d

分的乘積。

第十一章無窮級數(shù)

一、常數(shù)項級數(shù)

1.基本概念

（1）定義：形如》>,,=%+%+…+…的無窮和式，其中每一項都是常數(shù)?

n=\

（2）部分和：S“=Z%

/=1

（3）常數(shù)項級數(shù)收斂（發(fā)散）=limS,,存在（不存在）.

“To?

（4）和S=limS,（存在時）.

”一>8

注：發(fā)散級數(shù)無和.

（5）余項：當(dāng)limS〃=S時，稱級數(shù)G=之〃為原級數(shù)第〃項后的余項.

”—>8

/=1

2.基本性質(zhì)

（1）￡版“與斂散性相同，且若￡>,=s,則￡如“=ks；

M=1n=ln=ln=l

（2）若Z〃“=S,工匕，=。,則Z（""+V"）=S+。

推論i：若“收斂，發(fā)散，則￡（“.+匕,）必發(fā)散；

推論2：若Z””與2與都發(fā)散，則Z（w,+v“）不一定發(fā)散.

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（3）在級數(shù)前面去掉或添加、或改變有限項后所得級數(shù)與原級數(shù)的斂散性相同（收斂級

數(shù)的和改變）.

（4）收斂級數(shù)加括號（按規(guī)則）所得級數(shù)仍收斂于原來的和；

（收斂級數(shù)去括號不一定收斂）

O0

（5）若級數(shù)￡〃"收斂,則必有l(wèi)im〃〃=0?

〃=1

（若lim〃〃w0,則必發(fā)散）

〃=1

3.幾個重要的常數(shù)項級數(shù)

（1）等比級數(shù)外T=<匚7⑷,I

5n=l>〔發(fā)散Iq?1

81

（2）調(diào)和級數(shù)發(fā)散；

81

（3）p-級數(shù)￡—（p>0）,P>1時收斂，0<pWl時發(fā)散）;

p

?=1n

81

（4）倒階乘級數(shù)Zz收斂.

”=1〃！

4.常數(shù)項級數(shù)的審斂法

（1）正項級數(shù)的審斂法

設(shè)￡>■與￡>“均為正項級數(shù)

〃=2〃=1

1°：W>“收斂o{s”}有界;

?|=1

2°：比較法

若“收斂（發(fā)散），且“"》為，則?>“收斂（發(fā)散）.

”=1”=1

若lim"=/,0</<+oo,則￡匕，與具有相同的斂散性.

推論1:

fV?“T?=I

推論2：若lim則￡〃〃發(fā)散;

“T8

n=\

若(p>l),則>>“收斂.

〃一>8

〃=1

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3°：比值法

0<1時收斂

n=l

若lim殳吐=p,則有＜￡?“發(fā)散

p>1時

n=]

象.待定

。=1時

W=1

4"：根值法

『＜1時

8

A

若lim/Z-P，則當(dāng)<“1時

n—>ooY

n8=l

A

p=1時M

（2）交錯級數(shù)的審斂法

萊布尼茲定理：若交錯級數(shù)（M,,＞0）滿足:

〃=1

1°:吃聲k

2°：limw=0

nTgw

則￡（—1嚴(yán)〃“收斂，且其和SW%,

M=1

（3）任意項級數(shù)的審斂法

則￡外發(fā)散;

1°：若lim〃〃W0，

〃一>8

〃=1

2°：若工1冊1收斂，則、＞，，絕對收斂；

w=ln=\

r：若發(fā)散，￡＞“收斂，則“條件收斂.

〃=1〃=1"=1

二、函數(shù)項級數(shù)

1.基本概念

（1）定義：形如之您⑴二的⑴+/⑴+…+乙⑴+…；

〃=1

（2）收斂點、發(fā)散點、收斂域、發(fā)散域;

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(3)部分和：S?(X)=￡M,(X)；

/=1

(4)和函數(shù)：在收斂域上S(x)=limS?(x)=(x).

n=l

2.基級數(shù)

(1)定義：之％(工一%)〃，當(dāng)x()=0時有:；

n=0n=0

(2)性質(zhì)

i°：若￡>"x"在/處收斂，則當(dāng)ixki/i時，絕對收斂(發(fā)散)；

〃=0〃=0

若￡>“爐在X。處發(fā)散，則當(dāng)lxl〉lx°l時，發(fā)散.

n=0n=0

2°：幕級數(shù)￡a“(x-x。)"的收斂域，除端點外是關(guān)于/對稱的區(qū)間

n=0

(%-R,%+R)，兩端點是否屬于收斂域要分別檢驗.

3°：在的收斂區(qū)間(一凡R)內(nèi)，此級數(shù)的和函數(shù)S(x)連續(xù).

n=0

(3)收斂區(qū)間的求法

1°：不缺項忖，先求p=lim也止，得收斂半徑R=L；

anIP

再驗證兩端點，則收斂域=(x0-R,x0+/?)U收斂的端點.

2。：缺項時，先求!吧也?=|p(x)|,解不等式|p(x)|<l得x的所屬區(qū)間

'I"UH(X)

X,<x<x2,再驗證端點X1,x2,則收斂域=(X1,》2)U收斂的端點.

3.嘉級數(shù)的運算

(1)基級數(shù)在它們收斂區(qū)間的公共部分可以進(jìn)行加、減、乘、除運算.

(2)零級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以進(jìn)行逐項微分與逐項積分運算，即

￡%x"=S(x),IxIcR,則有：

n=0

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=呢%x")=￡"％x"T=S，(x),\x\<R；

\n=0)n=0n=0

I：[ia"x"dx=fj"x"dx==J；S(x)dx,\x\<R

\?:=0JH=0n=0〃+1

4.函數(shù)展開為寢級數(shù)

(1)充要條件：若函數(shù)/(x)在點與的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則

(無)

gr(")n

/(x)=Z------^(x-x0)=limR"(x)=O.

fi=On!"T8

8

(2)唯一性：若/(x)在某區(qū)間內(nèi)能展開成幕級數(shù)/(x)=￡%(x—%)"，則其系數(shù)

n=0

a?-,(H=0,1,2,

n\

(3)展開法：

1°：直接法(見教材P218)

2°：間接法

利用幾個函數(shù)的展開式展開

優(yōu)=￡9(—8,+8)

77=0〃?

2H+1一〃一1

sin%=y(-i)n———或y(-1)"-1------'(-8,+8)

占(2/7+1)!(2n-l)!

cosx=----,(-8,+OO)

M(2〃)！

1

\^x=3

ZJ=O

x,,+1

ln(l+x)=Z(-ir

“=o5+1)

(1+x)"'=1+￡m(m-1)(7??-2)???(m-n4-1)〃z.1X

------------------:----------------1，(-L1)

n=\n\

5.傅立葉級數(shù)

(此內(nèi)容只適用于快班)

(1)定義：如果三角級數(shù)&+cosnx+0“sin/u)中的系數(shù)a“，么是由尤拉

2〃=]

11

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傅立葉公式給出，即

11

Q〃=-f(x)cosnxdx,〃=0,1,2,…；

7TJ一乃

1產(chǎn).

b=一f(x)sinnxdx,n=1,2,???

n7lJr

則稱這樣的三角級數(shù)為/(x)的傅立葉級數(shù).

(2)收斂定理

設(shè)/(x)是周期為2%的周期函數(shù)，如果它在一個周期內(nèi)滿足：連續(xù)或只有有限個

第一類間斷點；單調(diào)或只有有限個極值點，則/(x)的傅立葉級數(shù)

/(x)X為連續(xù)點

ao+，(a“cos?%+/??sinnx)收斂于，/(x-0)+/(x+0)

~2

n=l=~=.X為間斷點

(3)函數(shù)/(x)展開為俾立葉級數(shù)的方法:

1°:求/(X)的傅立葉系數(shù);

2。：將1。中的系數(shù)代入三角級數(shù)式；

3°：寫出上式成立的區(qū)間.

(4)正弦級數(shù)與余弦級數(shù)

稱￡/>"Sin”x(。“=0)為正弦級數(shù)；稱久■+￡a“cosnx(/>?=0)為余

n=i2,i=i

弦級數(shù).

若在［-4,利上，/(x)為奇函數(shù)，貝ij有%=0,其正弦級數(shù)為E2sinnx,

〃=1

2r兀.

bn=—\f(x)sinnxdx,(〃=1,2,???)；

71

若在［—肛〃］上，/(X)為偶函數(shù)，則有2=0,其余弦級數(shù)為

8

2「乃

&+COSHX,a=—/(x)cosnxdr,(〃=0,1,2,???)；

2〃=1?！?/p>

若/(x)是定義在［0,4］上的函數(shù)，要求其正弦(余弦)級數(shù)，可先對/(x)進(jìn)

行奇(偶)延拓;

/(x)xe[o,7r]

奇延拓：F(x)=<

一f(-x)xe[一),0]

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f(x)Xe[0,7T]

偶延拓：/(x)=《二

1/(-X)xe[一開,0)

對于周期為2/的函數(shù)的展開情況與上邊類似(略).

第十二章微分方程

一、基本概念

1.微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.

2.微分方程的階：微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫微分方程的階.

3.微分方程的解：

滿足微分方程的函數(shù)叫微分方程解；

若微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣

的解叫微分方程的通解；

確定了通解中任意常數(shù)以后所得的解叫微分方程的特解.

4.初始條件：用來確定通解中任意常數(shù)的條件叫初始條件.

二、一階微分方程的解法

?階微分方程的形式通常記為：

F(x,y,y')=0或y'=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

常見一階微分方程有：

1.可分離變量微分方程

能化成g(y)dy=f(x)dx的一階微分方程叫可分離變量的微分方程.通常有

半=g(y),/(X)或M(X),N|(y)dx+(%)-N2(y)dy=0,

ax

分離變量，兩邊積分可得通解.

2.齊次微分方程

一階方程◎=/(x,y)中的f(x,y)可表示成上的函數(shù)，即/(x,y)=/2］，

dxxyxJ

則稱此方程為齊次方程.

解法：令〃=2,則包=〃+x包代入原方程便得可分離變量微分方程.

xdxdx

3.一階線性微分方程

形如包+P(x)-y=Q(x)或蟲+尸(y)?x=Q(y)的方程叫一階線性非齊次微分

dxdy

方程。Q=0時，為一階線性齊次微分方程.

13

財管雙語班

生+P(x>y=0的通解為y=ceJPCMJ

dx

用常量變易法得蟲+P。)?y=Q(x)的通解為：

dx

y=e-W[jQ(x)eW"x+J

4.貝努利方程

形如生+尸(x>)，=Q(x>y""。0,1)的方程叫貝努利方程.

dx

解法：兩邊同除以y",令y「"=z,便得一階線性非齊次微分方程.

5.全微分方程(普通班不要求)

若方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0滿足望=學(xué)，即Pdx+Qdy為某二元函數(shù)

ayox

〃(x,y)的全微分，則稱此方程為全微分方程.

其通解為：“(x,y)=fP(x,yn)dx+fQ(x,y)dy=C1或

J'oJ.'b

”(x,y)=['Q(x0,y)dx+「P(x,y)dy=C.

%

三、可降階的高階微分方程

1.嚴(yán)=/(x)型

接連〃次積分，可得此方程的含有〃個相互獨立的任意常數(shù)的通解.

2.y"=/(x,y')型

令y'=p,則>，'=生，代入原方程，并依次解兩個一階微分方程便可得此方程的

dx

通解.

3.y"=/(%/)型

令y'=P,則>"=四=也.也=〃包，代入原方程，得到一階微分方程

dxdydxdy

p也=f(y,p).解此一階微分方程，得到)/=p=8()，，G)，然后分離變量并積分

dy

便可得此方程的通解.

14

高等數(shù)學(xué)下冊總復(fù)習(xí)資料

四、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

y〃+p(x)y，+Q(x)y=0........................................(1)

yr+p(x')y+Q(x)y=/(x)................................(2)

稱（1）為二階線性齊次微分方程，稱（2）為二階線性非齊次微分方程.

1°:若必，乃是（1）的兩個解，則線性組合￡3+。2為也是（1）的解.

2°：若弘，力是（1）的兩個線性無關(guān)的解，則＞=。|/+。2%就是（1）的通解.

3°：若口，為是（2）的兩個解，則），=乃-%就是（1）的一個解.

4°：若歹是（1）的通解，y*是（2）的一個特解，則y=》+y*就是（2）的通解.

5°：若⑵中的/（x）=/|（x）+/2（x），且城是），"+p（x）y'+q（x）y=/（x）的特解，為*

是y"+p（x））；'+q（x）y=/2（x）的特解，則y*=y；+乃*就是（2）的特解.

五、二階線性常系數(shù)微分方程

1.齊次：y*+py+qy=0..........................................（1）

其特征方程為：/+pr+q=。..................（2）

rxv

1°：若八,々為（2）的不等二實根，則（1）的通解為：y=C,e'+C2e.

2°：若八，弓為（2）的相等二實根，則（1）的通解為：y=（C,+C2xX'\

3°：若八2=a土優(yōu)為（2）的一對共桅復(fù)根，則（1）的通解為：

y=e?（Gcos/3x+c2sin0x）.

〃階(">2)的略.

2.非齊次

yff+pyf+qy=f(x)................⑴

相應(yīng)齊次方程為：yv+py，+qy=0..............(2)

方程（1）的通解y=（2）的通解（1）?個特解）J.

了已解決，這里關(guān)鍵是求y*：

1°：若fM=e^PmM,其中￡,（x）為x的，”次多項式，此時令

15

財管雙語班

y*=x?e2'Q,,(x),這里Q,“(x)為系數(shù)待定的〃?次多項式.

’0當(dāng)4不是特征方程的根時

k=<1當(dāng)；I是特征方程的單根時

2當(dāng)4是特征方程的重根時

2。：/(x)=［p,(x)cos/3x+Pn(x)sin/3x\(其中蟲尤)、匕(x)分別為/、〃次

多項式)

kz

此時令y*=xe'［Qm(x)cos(3x+Rm(x)sin(3x\,此處=max{/,〃}；2.(x)、

0當(dāng)4士〃?不是特征根時

R,“(x)是兩個小次系數(shù)待定的多項式，k=

1當(dāng)力士是特征根時

〈二〉強化訓(xùn)練

(I)04、05、06期末試卷

2004—2005學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷

-、單選題(每小題4分，共16分)

1.下面結(jié)論錯誤的是().

(A)若/(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，則［/(x)dx必存在

(B)若“X)在口，刃上可積，則/(x)在［a,。］上必有界

(C)若“X)在口，切上可積，則|/(x)|在［a,句上必可積

(D)若“X)在口,切上單調(diào)有界，則/(X)在［a,M上必可積

2.若矢量)=g(2i+2J-Z),則之的方向余弦cosa,cos/,cos7分別是()

2

3

3.平行于z軸的平面是()

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高等數(shù)學(xué)下冊總復(fù)習(xí)資料

(A)2x-3y+10=0(B)3x-2z=0(C)4y+z=0(D)x+y+z+l=0

4.設(shè)O={(x,y)l/+y2Wa2M>0,y>o},在極坐標(biāo)中，二重積分0(/+〉2)八沖可

D

表示為()

(A)Vdd[r3dr(B)[Td0[r-dr

JoJoJoJo

⑴)刖"公

(C)

22

二、填空題(每小題4分，共16分)

1.fx4sinxdx=

Jr

2.設(shè)方=3i—女，b=2i—3j+2k,^\dxh=

3.設(shè)z=xy+/,則生+生=

dxdy

4.設(shè)區(qū)域Q={(x,y)IOWx《l,O《yW2},則=

D

三、計算題(每題6分，共48分)

1.計算。右右.

2.求球心在點(2,-2,1)并與zOx平面相切的球面方程.

3.計算^xdxdydz，其中Q為三個坐標(biāo)面及平面x+2y+z=1所圍成的閉區(qū)域.

Q

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財管雙語班

4.計算］「）方。，其中。是由直線x=2,、=1及丁二%所圍成的閉區(qū)域.

D

。12%

5,應(yīng)用格林公式計算曲線積分：?2孫一爐）公+（x+y2妙，其中L是由拋物線y=/和

L

y2=x所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線.

6.求微分方程/'一2了+5〉=0的通解.

18

高等數(shù)學(xué)下冊總復(fù)習(xí)資料

7.將函數(shù)一^展開成龍的事級數(shù).

1+x2

8.求幕級數(shù)之生」匚的收斂域.

臺r-n

四、綜合題（共14分）

…一，f^=rcos^-

1.設(shè)有關(guān)系式|y_rsing，將積c分/（rcose/sin8）4廠化為直角坐標(biāo)系下的

二次積分。（6分）

2.設(shè)/3）=/+1-力+￡》■⑴力，其中/（幻為連續(xù)函數(shù)，求/（X）。（8分）

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財管雙語班

五、證明題（6分）

J；dyJo"e'ET）〃x）dx=J；（"x）e'"g）""）dx

2005—2006學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷

一、選擇題（每題4分，共20分）

1.z=-~5—的定義域（）.

ln（x+y）

A.x+yW（）B.x+y>0C.x+yWlD.x+y>0且x+yWl

2.z=/（x,y）在（％,%））處可微的充分條件是（）.

A.一（%,%），/；（%,比）都存在

B.f"（x0,y0）,力'（%,打）在（與，先）的某個鄰域內(nèi)都連續(xù)

C./（x,y）在（與，打）連續(xù)

D.*0，%），4—0，打）相等

3.當(dāng)（）時，￡4（。為常數(shù)）收斂.

n=lq

A.q<\B.\q\<\C.q>—{D.Il>1

4.當(dāng)積分區(qū)域。是由