圓的有關(guān)知識點及相關(guān)例題

圓的有關(guān)知識點及相關(guān)例題圓的知識點及典型例題一、知識點總結(jié)圓的有關(guān)概念與性質(zhì)1、圓是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合(2、點和圓的位置關(guān)系設圓的半徑為r，點P到圓心的距離為d，則點P在圓外d,r，點P在圓上d,r，點P在圓內(nèi)d,r(3、圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形4、垂徑定理及其推論垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分這條弦所對的兩條弧(推論1:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，且平分弦所對的兩條弧;推論2:平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，且平分弦所對的另一條弧;推論3:弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，且平分弦所對的兩條弧(5、定理:在同圓或等圓中，等弦等弧等圓心角(推論:在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等6、一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半(推論1:在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對弦相等(推論2:半圓(或直徑)所對的圓周角相等，90?的圓周角所對的弧相等(推論3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.7、圓內(nèi)接四邊形的對角互補,并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角.與圓有關(guān)的位置關(guān)系1、點與圓的三種位置關(guān)系:設點到圓心的距離為d，圓的半徑為r，點在圓內(nèi)d,r;點在圓上d,r;點在圓外d,r;2、直線與圓的位置關(guān)系:設圓的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則d,r直線l與圓相離;d,r直線l與圓相切;d,r直線l與圓相交(3、切線的判定方法:?定義:和圓只有一個公共點的直線是遠的切線;?和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線;?過半徑外端且和這條半徑垂直的直線是圓的切線(4、切線的性質(zhì):?切線和圓心的距離等于半徑;?切線垂直于過切點的半徑;5、切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角(6、確定圓的條件:不在同一直線上的三個點確定一個圓.外接圓:經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，外心到三個頂點的距離相等。內(nèi)切圓:和三角形三邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫三角形的內(nèi)心，它是三角形三個內(nèi)角平分線的交點，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等(與圓有關(guān)的計算1、定理:把圓分成n(n?3):(1)順次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形.?經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.定理:任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓2、正n邊形的每個內(nèi)角都等于(n-2)×180?,n.3、如果弧長為l，圓心角的度數(shù)為n，弧所在的圓的半徑為r，那么弧長的計算公式為;4、設扇形的圓心角為n?，扇形的半徑為r，扇形的面積為s，則扇形的面積的計算公式為或(其中l(wèi)表示扇形的弧長);5、圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形;6、設圓柱的底面半徑為R，圓柱的高為h，則圓柱的側(cè)面積為S,2πRh，圓柱2的全面積為S,2πR，2πRh;7、設圓錐的底面半徑為r，母線長為a，則圓錐的側(cè)面積為S,πar，圓錐的全2面積為S,πr，πar(二(主要輔助線及其作用:1(作弦心距:弦的中點(弧的中點。2(過某一點作弦:構(gòu)造相等的圓周角。3(作直徑:構(gòu)造直角三角形和同弧所對的圓周角。4(連結(jié)過切點的半徑:“題中若有圓切線圓心切點連一連”。5(兩圓相切和兩圓相交時，作連心線和公共弦?？键c一圓的概念和性質(zhì)考點突破:選擇題或填空題，主要考查圓周角和圓心角的之間的相互轉(zhuǎn)化，圓心角、弧和弦之間的關(guān)系，垂徑定理等內(nèi)容，解決這類問題要仔細觀察圖形，找到解題的突破點，并注意數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想的應用。oo例1、如下圖所示:四邊形ABCD內(nèi)接于，AB為的直徑，點C為的中點.,若，則度.，,B，,A40例2、如圖，?O的弦AB垂直平分半徑OC，若，則?O的半徑為()(A(B(C(D(例3、如圖，?O的弦CD與直徑AB相交，若?BAD,50?，求?ACD的度數(shù)(例4、如圖，點D為邊AC上一點，點O為邊AB上一點，AD,DO，以O為圓心，OD長為半徑作半圓，交AC于另一點E，交AB于點F，G，連EF(若?BAC,22?，求?EFG的度數(shù)(考點二圓中的計算與證明考點突破:(1)圓中有關(guān)半徑、弦長、弦心距、弓形高之間的計算.其常用處理方法是:利用半徑、半弦長、弦心距組成直角三角形，結(jié)合勾股定理求解.(2)判斷弦相等的方法:在圓中判斷兩條弦相等，經(jīng)常考慮用圓周角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理.(3)計算弧的度數(shù)常用的方法在圓中求弧的度數(shù)常用的方法是設法求出弧所對的圓心角(或所對的圓周角)度數(shù).(4)判斷圓的切線的方法判斷圓的切線的方法有兩種:一是說明圓心到直線的距離等于圓的半徑;二是說明直線經(jīng)過圓的半徑外端并且垂直于這條半徑.注意:圓的切線的性質(zhì)與判定是中考的必考內(nèi)容，經(jīng)常與其他知識點相結(jié)合成為中考的壓軸題.(5)不規(guī)則圖形面積的求法設法把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成可求面積的圖形的和差問題，可求面積的圖形有:三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、圓、扇形等.例1、如圖，已知?O的半徑13，弦AB長為24，則點O到AB的距離是()A.6B.5C.4D.3例2((14分)如圖，以?ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經(jīng)過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，AC=FC((1)求證:AC是?O的切線;(2)已知圓的半徑R=5，EF=3，求DF的長(例3.如圖，在Rt?ABC中，?ACB=90?，以AC為直徑作?O交AB于點D，連接CD((1)求證:?A=?BCD;(2)若M為線段BC上一點，試問當點M在什么位置時，直線DM與?O相切,并說明理由(例4(9分)如圖，以?ABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC，BC的交點分別為D、E，且=((1)試判斷?ABC的形狀，并說明理由((2)已知半圓的半徑為5，BC=12，求sin?ABD的值(例5、(10分)如圖，在?ABC中，AB=AC，以AC為直徑的?O交BC于點D，交AB于點E，過點D作DF?AB，垂足為F，連接DE((1)求證:直線DF與?O相切;(2)若AE=7，BC=6，求AC的長(例6、(2014年山東煙臺)如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于?O，若?O的半徑為4，則陰影部分的面積等于(考點是三圓與三角形、四邊形、函數(shù)的綜合題考點突破:1、圓與函數(shù)及坐標系相結(jié)合的函數(shù)綜合題，突破方法是先由已知條件求出點的坐標，再確定函數(shù)解析式。2、圓與三角形或四邊形相結(jié)合的幾何綜合題，突破方法是先由已知條件判斷圖形形狀，再利用圖形的性質(zhì)解題。例1、如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，半徑為2的圓與y軸交于點A，點P(4，2)是?O外一點，連接AP，直線PB與?O相切于點B，交x軸于點C((1)證明PA是?O的切線;(2)求點B的坐標;(3)求直線AB的解析式(例2.已知A，B，C是?O上的三個點，四邊形OABC是平行四邊形，過點C作?O的切線，交AB的延長線于點D.(?)如圖?，求?ADC的大小;(?)如圖?，經(jīng)過點O作CD的平行線，與AB交于點E，與AB交于點F，連接AF，求?FAB的大小.考點四、與圓有關(guān)的動態(tài)問題考點突破:圓中的運動問題包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和點的運動，解決這類問題的主要方法是“以靜制動”.所謂“以靜制動”，就是將各個時刻的圖形分別畫出或分析其特殊情形時的位置，找出他們的特點進行解題.這類問題同樣是中考的熱點問題，多以解答題的形式出現(xiàn).例1、如圖，已知l?l，?O與l，l都相切，?O的半徑為2cm，矩形ABCD1212的邊AD、AB分別與l，l重合，AB=4cm，AD=4cm，若?O與矩形ABCD12沿l同時向右移動，?O的移動速度為3cm，矩形ABCD的移動速度為4cm/s，1設移動時間為t(s)(1)如圖?，連接OA、AC，則?OAC的度數(shù)為105?;(2)如圖?，兩個圖形移動一段時間后，?O到達?O的位置，矩形ABCD到1達ABCD的位置，此時點O，A，C恰好在同一直線上，求圓心O移動的1111111距離(即OO的長);1(3)在移動過程中，圓心O到矩形對角線AC所在直線的距離在不斷變化，設該距離為d(cm)，當d,2時，求t的取值范圍(解答時可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖)(圓的知識點及典型例題參考答案:考點一例1.70例2.連OA(設AB與OC交于D，則，設OA,r，則，由勾股定理得，，故選A(例3、?AB為?O的直徑，??BDA,90?，??BAD,50?，??B,40?，??ACD,?B,40?(例4、?AD,DO，??DOA,?A,22?，，??EFG,?A，?AEF,22?，11?,33?(考點二例1、B考點:垂徑定理;勾股定理分析:過O作OC?AB于C，根據(jù)垂徑定理求出AC，根據(jù)勾股定理求出OC即可(解答:解:過O作OC?AB于C，?OC過O，?AC=BC=AB=12，在Rt?AOC中，由勾股定理得:OC==5(故選:B(點評:本題考查了垂徑定理和勾股定理的應用，關(guān)鍵是求出OC的長(例2、考點:切線的判定(專題:證明題(分析:(1)連結(jié)OA、OD，如圖，根據(jù)垂徑定理的推理，由D為BE的下半圓弧的中點得到OD?BE，則?D+?DFO=90?，再由AC=FC得到?CAF=?CFA，根據(jù)對頂角相等得?CFA=?DFO，所以?CAF=?DFO，加上?OAD=?ODF，則?OAD+?CAF=90?，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到AC是?O的切線;(2)由于圓的半徑R=5，EF=3，則OF=2，然后在Rt?ODF中利用勾股定理計算DF的長(解答:(1)證明:連結(jié)OA、OD，如圖，?D為BE的下半圓弧的中點，?OD?BE，??D+?DFO=90?，?AC=FC，??CAF=?CFA，??CFA=?DFO，??CAF=?DFO，而OA=OD，??OAD=?ODF，??OAD+?CAF=90?，即?OAC=90?，?OA?AC，?AC是?O的切線;(2)解:?圓的半徑R=5，EF=3，?OF=2，在Rt?ODF中，?OD=5，OF=2，?DF==(點評:本題考查了切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線(要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂直即可(也考查了勾股定理(例3、考點:切線的判定分析:(1)根據(jù)圓周角定理可得?ADC=90?，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得?A+?DCA=90?，再由?DCB+?ACD=90?，可得?DCB=?A;(2)當MC=MD時，直線DM與?O相切，連接DO，根據(jù)等等邊對等角可得?1=?2，?4=?3，再根據(jù)?ACB=90?可得?1+?3=90?，進而證得直線DM與?O相切(解答:(1)證明:?AC為直徑，??ADC=90?，??A+?DCA=90?，??ACB=90?，??DCB+?ACD=90?，??DCB=?A;(2)當MC=MD(或點M是BC的中點)時，直線DM與?O相切;解:連接DO，?DO=CO，??1=?2，?DM=CM，??4=?3，??2+?4=90?，??1+?3=90?，?直線DM與?O相切(點評:此題主要考查了切線的判定，以及圓周角定理，關(guān)鍵是掌握切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線(例4、考點:圓周角定理;等腰三角形的判定與性質(zhì);勾股定理(專題:計算題(分析:(1)連結(jié)AE，如圖，根據(jù)圓周角定理，由=得?DAE=?BAE，由AB為直徑得?AEB=90?，根據(jù)等腰三角形的判定方法即可得?ABC為等腰三角形;(2)由等腰三角形的性質(zhì)得BE=CE=BC=6，再在Rt?ABE中利用勾股定理計算出AE=8，接著由AB為直徑得到?ADB=90?，則可利用面積法計算出BD=，然后在Rt?ABD中利用勾股定理計算出AD=，再根據(jù)正弦的定義求解(解答:解:(1)?ABC為等腰三角形(理由如下:連結(jié)AE，如圖，?=，??DAE=?BAE，即AE平分?BAC，?AB為直徑，??AEB=90?，?AE?BC，??ABC為等腰三角形;(2)??ABC為等腰三角形，AE?BC，?BE=CE=BC=×12=6，在Rt?ABE中，?AB=10，BE=6，?AE==8，?AB為直徑，??ADB=90?，?AE?BC=BD?AC，?BD==，在Rt?ABD中，?AB=10，BD=，?AD==，?sin?ABD===(例5、(1)證明:連接OE,?CD是?O的切線，?OE?CD:)，(((((((((1分在Rt?OAD和Rt?OED中，OA=OE,OD=OD，1?Rt?OADcR?t?OED，??AOD=?EOD=?AOE，(((((((((((((((((((22分1在?O中，ABE=?AOE,??AOD=?ABE，((((((((((((((((((((32分?OD?BE..................4分1(2)同理可證:Rt?COE?Rt?COB(??COE=?COB=?BOE,2??DOE+?COE=900，??COD是直角三角形，??????5分?S?DEO=S?DAO,S?COE=S?COB,?S梯形ABCD=2(S?DOE+S?COE)=2S?COD=OC?OD=48，即xy=48，(((((((((7分2222又?x+y=14，?x+y=(x+y)-2xy=14-2×48=100,2222CD,OC，OD,x，y,100,10在Rt?COD中,???????9分即CD的長為10(?????10分例6、分析:先正確作輔助線，構(gòu)造扇形和等邊三角形、直角三角形，分別求出兩個弓形的面積和兩個三角形面積，即可求出陰影部分的面積(解:連接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，過O作OZ?CD于Z，?六邊形ABCDEF是正六邊形，?BC=CD=DE=EF，?BOC=?COD=?DOE=?EOF=60?，由垂徑定理得:OC?BD，OE?DF，BM=DM，F(xiàn)N=DN，?在Rt?BMO中，OB=4，?BOM=60?，?BM=OB×sin60?=2，OM=OB?cos60?=2，?BD=2BM=4，??BDO的面積是×BD×OM=×4×2=4，同理?FDO的面積是4;??COD=60?，OC=OD=4，??COD是等邊三角形，??OCD=?ODC=60?，在Rt?CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60?=2，?S,S=,×4×2=π,4，扇形?OCDCOD?陰影部分的面積是:4+4+π,4+π,4=π，故答案為:π(點評:本題考查了正多邊形與圓及扇形的面積的計算的應用，解題的關(guān)鍵是求出兩個弓形和兩個三角形面積，題目比較好，難度適中(考點三例1、【答案】(1)證明:依題意可知，A(0，2)?A(0，2)，P(4，2)，?AP?x軸(??OAP=90?，且點A在?O上，?PA是?O的切線;(2)解法一:連接OP，OB，作PE?x軸于點E，BD?x軸于點D，?PB切?O于點B，??OBP=90?，即?OBP=?PEC，又?OB=PE=2，?OCB=?PEC(??OBC??PEC(?OC=PC((或證Rt?OAP??OBP，再得到OC=PC也可)設OC=PC=x，則有OE=AP=4，CE=OE,OC=4,x，222在Rt?PCE中，?PC=CE+PE，5222?x=(4,x)+2，解得x=，????????4分253?BC=CE=4,=，221113156?OB?BC=OC?BD，即×2×=××BD，?BD=(222222536822?OD==4,=，OB,BD52586由點B在第四象限可知B(，);,55解法二:連接OP，OB，作PE?x軸于點E，BD?y軸于點D，?PB切?O于點B，??OBP=90?即?OBP=?PEC(又?OB=PE=2，?OCB=?PEC，??OBC??PEC(?OC=PC(或證Rt?OAP??OBP，再得到OC=PC也可)設OC=PC=x，則有OE=AP=4，CE=OE,OC=4,x，222在Rt?PCE中，?PC=CE，PE,5222?x=(4,x)+2，解得x=，????????????4分253?BC=CE=4,=，22?BD?x軸，??COB=?OBD，又??OBC=?BDO=90?，CBOCOB??OBC??BDO，?==，BDODBO35222即==(BDBD286?BD=，OD=(5586由點B在第四象限可知B(，);,55(3)設直線AB的解析式為y=kx+b，b,2,,86,由A(0，2)，B(，)，可得;,,8655k，b,,,55,b,2,,解得?直線AB的解析式為y=,2x+2(,k,,2,,【考點解剖】本題考查了切線的判定、全等、相似、勾股定理、等面積法求邊長、點的坐標、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等(【解題思路】(1)點A在圓上，要證PA是圓的切線，只要證PA?OA(?OAP=90?)即可，由A、P兩點縱坐標相等可得AP?x軸，所以有?OAP+?AOC=180?得?OAP=90?;(2)要求點B的坐標，根據(jù)坐標的意義，就是要求出點B到x軸、y軸的距離，自然想到構(gòu)造Rt?OBD，由PB又是?O的切線，得Rt?OAP??OBP，從而得?OPC為等腰三角形，在Rt?PCE中,PE=OA=2,PC+CE=OE=4,列出關(guān)于CE的方程可求出CE、OC的長，?OBC的三邊的長知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得點B的坐標;(3)已知點A、點B的坐標用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式(【解答過程】略.【方法規(guī)律】從整體把握圖形，找全等、相似、等腰三角形;求線段的長要從局部入手，若是直角三角形則用勾股定理，若是相似則用比例式求，要掌握一些求線段長的常用思路和方法.【關(guān)鍵詞】切線點的坐標待定系數(shù)法求解析式例2、考點四、例1、考點:圓的綜合題(分析:(1)利用切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系分別求出?OAD=45?，?DAC=60?，進而得出答案;(2)首先得出，?CAD=60?，再利用AE=AA,OO,2=t,2，求出t的值，