圓的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)及相關(guān)例題

圓的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)及相關(guān)例題圓的知識(shí)點(diǎn)及典型例題一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)圓的有關(guān)概念與性質(zhì)1、圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(2、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)圓的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則點(diǎn)P在圓外d,r，點(diǎn)P在圓上d,r，點(diǎn)P在圓內(nèi)d,r(3、圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形4、垂徑定理及其推論垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分這條弦所對(duì)的兩條弧(推論1:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，且平分弦所對(duì)的兩條弧;推論2:平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，且平分弦所對(duì)的另一條弧;推論3:弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，且平分弦所對(duì)的兩條弧(5、定理:在同圓或等圓中，等弦等弧等圓心角(推論:在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等6、一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半(推論1:在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，相等的圓周角所對(duì)弦相等(推論2:半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角相等，90?的圓周角所對(duì)的弧相等(推論3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.7、圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角.與圓有關(guān)的位置關(guān)系1、點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系:設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓的半徑為r，點(diǎn)在圓內(nèi)d,r;點(diǎn)在圓上d,r;點(diǎn)在圓外d,r;2、直線與圓的位置關(guān)系:設(shè)圓的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則d,r直線l與圓相離;d,r直線l與圓相切;d,r直線l與圓相交(3、切線的判定方法:?定義:和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是遠(yuǎn)的切線;?和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線;?過半徑外端且和這條半徑垂直的直線是圓的切線(4、切線的性質(zhì):?切線和圓心的距離等于半徑;?切線垂直于過切點(diǎn)的半徑;5、切線長定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角(6、確定圓的條件:不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.外接圓:經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。內(nèi)切圓:和三角形三邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫三角形的內(nèi)心，它是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等(與圓有關(guān)的計(jì)算1、定理:把圓分成n(n?3):(1)順次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形.?經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形.定理:任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓2、正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于(n-2)×180?,n.3、如果弧長為l，圓心角的度數(shù)為n，弧所在的圓的半徑為r，那么弧長的計(jì)算公式為;4、設(shè)扇形的圓心角為n?，扇形的半徑為r，扇形的面積為s，則扇形的面積的計(jì)算公式為或(其中l(wèi)表示扇形的弧長);5、圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形;6、設(shè)圓柱的底面半徑為R，圓柱的高為h，則圓柱的側(cè)面積為S,2πRh，圓柱2的全面積為S,2πR，2πRh;7、設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為a，則圓錐的側(cè)面積為S,πar，圓錐的全2面積為S,πr，πar(二(主要輔助線及其作用:1(作弦心距:弦的中點(diǎn)(弧的中點(diǎn)。2(過某一點(diǎn)作弦:構(gòu)造相等的圓周角。3(作直徑:構(gòu)造直角三角形和同弧所對(duì)的圓周角。4(連結(jié)過切點(diǎn)的半徑:“題中若有圓切線圓心切點(diǎn)連一連”。5(兩圓相切和兩圓相交時(shí)，作連心線和公共弦?？键c(diǎn)一圓的概念和性質(zhì)考點(diǎn)突破:選擇題或填空題，主要考查圓周角和圓心角的之間的相互轉(zhuǎn)化，圓心角、弧和弦之間的關(guān)系，垂徑定理等內(nèi)容，解決這類問題要仔細(xì)觀察圖形，找到解題的突破點(diǎn)，并注意數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想的應(yīng)用。oo例1、如下圖所示:四邊形ABCD內(nèi)接于，AB為的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn).,若，則度.，,B，,A40例2、如圖，?O的弦AB垂直平分半徑OC，若，則?O的半徑為()(A(B(C(D(例3、如圖，?O的弦CD與直徑AB相交，若?BAD,50?，求?ACD的度數(shù)(例4、如圖，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，點(diǎn)O為邊AB上一點(diǎn)，AD,DO，以O(shè)為圓心，OD長為半徑作半圓，交AC于另一點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，G，連EF(若?BAC,22?，求?EFG的度數(shù)(考點(diǎn)二圓中的計(jì)算與證明考點(diǎn)突破:(1)圓中有關(guān)半徑、弦長、弦心距、弓形高之間的計(jì)算.其常用處理方法是:利用半徑、半弦長、弦心距組成直角三角形，結(jié)合勾股定理求解.(2)判斷弦相等的方法:在圓中判斷兩條弦相等，經(jīng)常考慮用圓周角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理.(3)計(jì)算弧的度數(shù)常用的方法在圓中求弧的度數(shù)常用的方法是設(shè)法求出弧所對(duì)的圓心角(或所對(duì)的圓周角)度數(shù).(4)判斷圓的切線的方法判斷圓的切線的方法有兩種:一是說明圓心到直線的距離等于圓的半徑;二是說明直線經(jīng)過圓的半徑外端并且垂直于這條半徑.注意:圓的切線的性質(zhì)與判定是中考的必考內(nèi)容，經(jīng)常與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合成為中考的壓軸題.(5)不規(guī)則圖形面積的求法設(shè)法把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成可求面積的圖形的和差問題，可求面積的圖形有:三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、圓、扇形等.例1、如圖，已知?O的半徑13，弦AB長為24，則點(diǎn)O到AB的距離是()A.6B.5C.4D.3例2((14分)如圖，以?ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，AC=FC((1)求證:AC是?O的切線;(2)已知圓的半徑R=5，EF=3，求DF的長(例3.如圖，在Rt?ABC中，?ACB=90?，以AC為直徑作?O交AB于點(diǎn)D，連接CD((1)求證:?A=?BCD;(2)若M為線段BC上一點(diǎn)，試問當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，直線DM與?O相切,并說明理由(例4(9分)如圖，以?ABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC，BC的交點(diǎn)分別為D、E，且=((1)試判斷?ABC的形狀，并說明理由((2)已知半圓的半徑為5，BC=12，求sin?ABD的值(例5、(10分)如圖，在?ABC中，AB=AC，以AC為直徑的?O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF?AB，垂足為F，連接DE((1)求證:直線DF與?O相切;(2)若AE=7，BC=6，求AC的長(例6、(2014年山東煙臺(tái))如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于?O，若?O的半徑為4，則陰影部分的面積等于(考點(diǎn)是三圓與三角形、四邊形、函數(shù)的綜合題考點(diǎn)突破:1、圓與函數(shù)及坐標(biāo)系相結(jié)合的函數(shù)綜合題，突破方法是先由已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再確定函數(shù)解析式。2、圓與三角形或四邊形相結(jié)合的幾何綜合題，突破方法是先由已知條件判斷圖形形狀，再利用圖形的性質(zhì)解題。例1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，半徑為2的圓與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P(4，2)是?O外一點(diǎn)，連接AP，直線PB與?O相切于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)C((1)證明PA是?O的切線;(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(3)求直線AB的解析式(例2.已知A，B，C是?O上的三個(gè)點(diǎn)，四邊形OABC是平行四邊形，過點(diǎn)C作?O的切線，交AB的延長線于點(diǎn)D.(?)如圖?，求?ADC的大小;(?)如圖?，經(jīng)過點(diǎn)O作CD的平行線，與AB交于點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F，連接AF，求?FAB的大小.考點(diǎn)四、與圓有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題考點(diǎn)突破:圓中的運(yùn)動(dòng)問題包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，解決這類問題的主要方法是“以靜制動(dòng)”.所謂“以靜制動(dòng)”，就是將各個(gè)時(shí)刻的圖形分別畫出或分析其特殊情形時(shí)的位置，找出他們的特點(diǎn)進(jìn)行解題.這類問題同樣是中考的熱點(diǎn)問題，多以解答題的形式出現(xiàn).例1、如圖，已知l?l，?O與l，l都相切，?O的半徑為2cm，矩形ABCD1212的邊AD、AB分別與l，l重合，AB=4cm，AD=4cm，若?O與矩形ABCD12沿l同時(shí)向右移動(dòng)，?O的移動(dòng)速度為3cm，矩形ABCD的移動(dòng)速度為4cm/s，1設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(s)(1)如圖?，連接OA、AC，則?OAC的度數(shù)為105?;(2)如圖?，兩個(gè)圖形移動(dòng)一段時(shí)間后，?O到達(dá)?O的位置，矩形ABCD到1達(dá)ABCD的位置，此時(shí)點(diǎn)O，A，C恰好在同一直線上，求圓心O移動(dòng)的1111111距離(即OO的長);1(3)在移動(dòng)過程中，圓心O到矩形對(duì)角線AC所在直線的距離在不斷變化，設(shè)該距離為d(cm)，當(dāng)d,2時(shí)，求t的取值范圍(解答時(shí)可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖)(圓的知識(shí)點(diǎn)及典型例題參考答案:考點(diǎn)一例1.70例2.連OA(設(shè)AB與OC交于D，則，設(shè)OA,r，則，由勾股定理得，，故選A(例3、?AB為?O的直徑，??BDA,90?，??BAD,50?，??B,40?，??ACD,?B,40?(例4、?AD,DO，??DOA,?A,22?，，??EFG,?A，?AEF,22?，11?,33?(考點(diǎn)二例1、B考點(diǎn):垂徑定理;勾股定理分析:過O作OC?AB于C，根據(jù)垂徑定理求出AC，根據(jù)勾股定理求出OC即可(解答:解:過O作OC?AB于C，?OC過O，?AC=BC=AB=12，在Rt?AOC中，由勾股定理得:OC==5(故選:B(點(diǎn)評(píng):本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出OC的長(例2、考點(diǎn):切線的判定(專題:證明題(分析:(1)連結(jié)OA、OD，如圖，根據(jù)垂徑定理的推理，由D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)得到OD?BE，則?D+?DFO=90?，再由AC=FC得到?CAF=?CFA，根據(jù)對(duì)頂角相等得?CFA=?DFO，所以?CAF=?DFO，加上?OAD=?ODF，則?OAD+?CAF=90?，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到AC是?O的切線;(2)由于圓的半徑R=5，EF=3，則OF=2，然后在Rt?ODF中利用勾股定理計(jì)算DF的長(解答:(1)證明:連結(jié)OA、OD，如圖，?D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，?OD?BE，??D+?DFO=90?，?AC=FC，??CAF=?CFA，??CFA=?DFO，??CAF=?DFO，而OA=OD，??OAD=?ODF，??OAD+?CAF=90?，即?OAC=90?，?OA?AC，?AC是?O的切線;(2)解:?圓的半徑R=5，EF=3，?OF=2，在Rt?ODF中，?OD=5，OF=2，?DF==(點(diǎn)評(píng):本題考查了切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線(要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可(也考查了勾股定理(例3、考點(diǎn):切線的判定分析:(1)根據(jù)圓周角定理可得?ADC=90?，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得?A+?DCA=90?，再由?DCB+?ACD=90?，可得?DCB=?A;(2)當(dāng)MC=MD時(shí)，直線DM與?O相切，連接DO，根據(jù)等等邊對(duì)等角可得?1=?2，?4=?3，再根據(jù)?ACB=90?可得?1+?3=90?，進(jìn)而證得直線DM與?O相切(解答:(1)證明:?AC為直徑，??ADC=90?，??A+?DCA=90?，??ACB=90?，??DCB+?ACD=90?，??DCB=?A;(2)當(dāng)MC=MD(或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn))時(shí)，直線DM與?O相切;解:連接DO，?DO=CO，??1=?2，?DM=CM，??4=?3，??2+?4=90?，??1+?3=90?，?直線DM與?O相切(點(diǎn)評(píng):此題主要考查了切線的判定，以及圓周角定理，關(guān)鍵是掌握切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線(例4、考點(diǎn):圓周角定理;等腰三角形的判定與性質(zhì);勾股定理(專題:計(jì)算題(分析:(1)連結(jié)AE，如圖，根據(jù)圓周角定理，由=得?DAE=?BAE，由AB為直徑得?AEB=90?，根據(jù)等腰三角形的判定方法即可得?ABC為等腰三角形;(2)由等腰三角形的性質(zhì)得BE=CE=BC=6，再在Rt?ABE中利用勾股定理計(jì)算出AE=8，接著由AB為直徑得到?ADB=90?，則可利用面積法計(jì)算出BD=，然后在Rt?ABD中利用勾股定理計(jì)算出AD=，再根據(jù)正弦的定義求解(解答:解:(1)?ABC為等腰三角形(理由如下:連結(jié)AE，如圖，?=，??DAE=?BAE，即AE平分?BAC，?AB為直徑，??AEB=90?，?AE?BC，??ABC為等腰三角形;(2)??ABC為等腰三角形，AE?BC，?BE=CE=BC=×12=6，在Rt?ABE中，?AB=10，BE=6，?AE==8，?AB為直徑，??ADB=90?，?AE?BC=BD?AC，?BD==，在Rt?ABD中，?AB=10，BD=，?AD==，?sin?ABD===(例5、(1)證明:連接OE,?CD是?O的切線，?OE?CD:)，(((((((((1分在Rt?OAD和Rt?OED中，OA=OE,OD=OD，1?Rt?OADcR?t?OED，??AOD=?EOD=?AOE，(((((((((((((((((((22分1在?O中，ABE=?AOE,??AOD=?ABE，((((((((((((((((((((32分?OD?BE..................4分1(2)同理可證:Rt?COE?Rt?COB(??COE=?COB=?BOE,2??DOE+?COE=900，??COD是直角三角形，??????5分?S?DEO=S?DAO,S?COE=S?COB,?S梯形ABCD=2(S?DOE+S?COE)=2S?COD=OC?OD=48，即xy=48，(((((((((7分2222又?x+y=14，?x+y=(x+y)-2xy=14-2×48=100,2222CD,OC，OD,x，y,100,10在Rt?COD中,???????9分即CD的長為10(?????10分例6、分析:先正確作輔助線，構(gòu)造扇形和等邊三角形、直角三角形，分別求出兩個(gè)弓形的面積和兩個(gè)三角形面積，即可求出陰影部分的面積(解:連接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，過O作OZ?CD于Z，?六邊形ABCDEF是正六邊形，?BC=CD=DE=EF，?BOC=?COD=?DOE=?EOF=60?，由垂徑定理得:OC?BD，OE?DF，BM=DM，F(xiàn)N=DN，?在Rt?BMO中，OB=4，?BOM=60?，?BM=OB×sin60?=2，OM=OB?cos60?=2，?BD=2BM=4，??BDO的面積是×BD×OM=×4×2=4，同理?FDO的面積是4;??COD=60?，OC=OD=4，??COD是等邊三角形，??OCD=?ODC=60?，在Rt?CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60?=2，?S,S=,×4×2=π,4，扇形?OCDCOD?陰影部分的面積是:4+4+π,4+π,4=π，故答案為:π(點(diǎn)評(píng):本題考查了正多邊形與圓及扇形的面積的計(jì)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出兩個(gè)弓形和兩個(gè)三角形面積，題目比較好，難度適中(考點(diǎn)三例1、【答案】(1)證明:依題意可知，A(0，2)?A(0，2)，P(4，2)，?AP?x軸(??OAP=90?，且點(diǎn)A在?O上，?PA是?O的切線;(2)解法一:連接OP，OB，作PE?x軸于點(diǎn)E，BD?x軸于點(diǎn)D，?PB切?O于點(diǎn)B，??OBP=90?，即?OBP=?PEC，又?OB=PE=2，?OCB=?PEC(??OBC??PEC(?OC=PC((或證Rt?OAP??OBP，再得到OC=PC也可)設(shè)OC=PC=x，則有OE=AP=4，CE=OE,OC=4,x，222在Rt?PCE中，?PC=CE+PE，5222?x=(4,x)+2，解得x=，????????4分253?BC=CE=4,=，221113156?OB?BC=OC?BD，即×2×=××BD，?BD=(222222536822?OD==4,=，OB,BD52586由點(diǎn)B在第四象限可知B(，);,55解法二:連接OP，OB，作PE?x軸于點(diǎn)E，BD?y軸于點(diǎn)D，?PB切?O于點(diǎn)B，??OBP=90?即?OBP=?PEC(又?OB=PE=2，?OCB=?PEC，??OBC??PEC(?OC=PC(或證Rt?OAP??OBP，再得到OC=PC也可)設(shè)OC=PC=x，則有OE=AP=4，CE=OE,OC=4,x，222在Rt?PCE中，?PC=CE，PE,5222?x=(4,x)+2，解得x=，????????????4分253?BC=CE=4,=，22?BD?x軸，??COB=?OBD，又??OBC=?BDO=90?，CBOCOB??OBC??BDO，?==，BDODBO35222即==(BDBD286?BD=，OD=(5586由點(diǎn)B在第四象限可知B(，);,55(3)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，b,2,,86,由A(0，2)，B(，)，可得;,,8655k，b,,,55,b,2,,解得?直線AB的解析式為y=,2x+2(,k,,2,,【考點(diǎn)解剖】本題考查了切線的判定、全等、相似、勾股定理、等面積法求邊長、點(diǎn)的坐標(biāo)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等(【解題思路】(1)點(diǎn)A在圓上，要證PA是圓的切線，只要證PA?OA(?OAP=90?)即可，由A、P兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等可得AP?x軸，所以有?OAP+?AOC=180?得?OAP=90?;(2)要求點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的意義，就是要求出點(diǎn)B到x軸、y軸的距離，自然想到構(gòu)造Rt?OBD，由PB又是?O的切線，得Rt?OAP??OBP，從而得?OPC為等腰三角形，在Rt?PCE中,PE=OA=2,PC+CE=OE=4,列出關(guān)于CE的方程可求出CE、OC的長，?OBC的三邊的長知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo);(3)已知點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式(【解答過程】略.【方法規(guī)律】從整體把握?qǐng)D形，找全等、相似、等腰三角形;求線段的長要從局部入手，若是直角三角形則用勾股定理，若是相似則用比例式求，要掌握一些求線段長的常用思路和方法.【關(guān)鍵詞】切線點(diǎn)的坐標(biāo)待定系數(shù)法求解析式例2、考點(diǎn)四、例1、考點(diǎn):圓的綜合題(分析:(1)利用切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系分別求出?OAD=45?，?DAC=60?，進(jìn)而得出答案;(2)首先得出，?CAD=60?，再利用AE=AA,OO,2=t,2，求出t的值，